Модель гипоупругой крупкой среды и ее применение в сейсмике

brief description

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ...:..3

ГЛАВА 1. Методы решения прямых динамических задач сейсмики и модели сред

(обзор)...27

1.1. Полуаналитические и численные методы решения прямых динамических задач сейсмики...27

1.2. Некоторые модели сред, используемые в сейсмике...33

ГЛАВА 2. Модель гипоупругой среды...39

2.1 Введение...39

2.2 Определение гипоупругой среды. Полная система уравнений механики деформируемого гипоупругого тела...41

2.3 Тензор Кристоффеля для среды с начальными напряжениями. ...46

2. 4. Расщепление поперечных волн и оценки для Земли и планет...50

2. 5 Выводы...57

ГЛАВА 3. О построении разностной схемы. Решение модельных задач...58

3.1 Основные уравнения и построение численной схемы...59

3.2 Модельные задачи...77

3.3 Конечно-разностная схема...99

3.4 Выводы...102

ГЛАВА 4. Описание разрушения при численном моделировании динамических

задач сейсмики...104
Введение

4.1. Введение. О некоторых подходах к численному описанию разрушения

...:...км

4.2. Способ описания хрупкости для гипоупругой среды...107

4.3 Влияние трещины на деформирование среды...112

4.4. Выводы...128

ГЛАВА 5. Применение модели гипоупругой хрупкой среды при решении

некоторых задач о деформировании геосреды и излучении сейсмических волн при ее разрушении...130

5Л. Прочность реальных сред и критерий разрушения...130 .

5.2. Излучение упругих волн при разрушении отрывом и сдвигом...141

5.3. Излучение сейсмических волн при равномерном и неравномерном распространении трещин в геоматериалах...154

5.4 Численное моделирование сейсмоакустической эмиссии от формирующейся поверхности скольжения активного гравитационного оползня...168

5.5 Оценка напряженного состояния в теле оползня...176

5.6 Выводы...191

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...193

ЛИТЕРАТУРА...197

ВВЕДЕНИЕ

Объектом исследования диссертационной работы являются процессы деформирования и разрушения геоматериалов, а также поля упругих волн, излучаемые при этом.

Актуальность исследований. В последнее время значительно повысился интерес геофизиков и геомехаников к изучению как собственно процесса деформирования горных пород, так и явлений, его сопровождающих. Деформирование геологической среды зачастую сопровождается ее разрушением и излучением сейсмических волн. Единого подхода, позволяющего в наиболее общей постановке рассчитать поле напряжений в геоматериале при деформировании, разрушение этого материала, излучение и распространение в нем упругих волн нет. Диссертационная работа автора призвана восполнить этот пробел.

Деформирование с последующим разрушением и излучением волн характерно как для больших геологических масштабов и высоких значений высвобождаемой энергии (очаги землетрясений), так и для малоэнергетических по уровню акустической эмиссии, но не менее катастрофических по последствиям оползневых процессов. И в том и в другом случае речь идет о деформировании геоматериала и о попытке его аккомодации, т.е. приспособления, к процессу деформирования. Исследования последних лет в качестве заключительного механизма аккомодации выделяют разрушение на микро и мезоуровнях, при сохранении общей прочности среды, при отсутствии в ней макроразрушений. (Здесь приставки микро и мезо, так же как и макро понимаются только в относительном значении).

Разрушение на любом из этих уровней сопровождается излучением сейсмических волн, а сами разрушения имеют характер трещин отрыва и

сдвига. Разрушение подчас распространяется со столь низкими скоростями, что для объяснения этого требуются специальные теоретические исследования и эксперименты. С другой стороны, сейсмические методы еще не очень активно применяются, например, при изучении метастабильных механических систем, таких, как оползни, неустойчивые склоны и.т.п. Инструментальные наблюдения за такими процессами ведутся, но их анализ должен опираться на адекватные теоретические представления об изучаемом явлении. Одним из основных свойств упомянутых процессов являются большие (конечные) деформации.

На основе вышесказанного представляется актуальным создание и развитие метода численного моделирования процессов конечного деформирования и разрушения твердых тел и излучения ими упругих волн, что и выполнено в настоящей работе. Автором предложена оригинальная модель гипоупругой хрупкой среды и на этой основе создан численный метод, весомо дополняющий существующие методы и подходы в решении динамических задач сейсмологии, геомеханики и механики деформируемого твердого тела.

Цель исследований. Поведение геологической среды при деформировании для различных временных масштабов и различных скоростей деформаций описывается различными определяющими соотношениями. Так, построение сейсмических волновых полей вдали от источника обычно выполняют в рамках динамической теории упругости, вблизи же источника учитывается неупругое поведение среды. Деформирование твердых оболочек Земли в масштабах геологических времен моделируют течением вязкой жидкости. Есть природные и техногенные процессы деформирования горных пород, которые сопровождаются локальным разрушением и излучением (эмиссией)

сейсмических волн, но в целом среда остается упругой. Эти процессы могут быть изучены с позиций упруго-хрупкого поведения. Построение одной из моделей такого поведения и рассмотрение процессов деформирования геологической среды, ее разрушения и излучения сейсмических волн является целью диссертационной работы.

Для достижения поставленной цели были решены соответствующие задачи. Некоторые из них были необходимы и изложены в тексте диссертации, но являлись при этом вспомогательными. Другие имели основной методологический смысл или носили исследовательский характер и перечислены ниже:

1. Разработана оригинальная физико-математическая модель гипоупругой хрупкой среды, в основе которой лежат: а) закон поведения гипоупругих сред, введенный К. Трусделлом в 1955 г., б) предложенная соискателем специальная методика раздвоения точек расчетной сетки при численном моделировании. В среде, поведение которой может быть охарактеризовано как гипоупругое хрупкое, при данном напряженном состоянии компоненты скоростей изменения напряжений есть однородные линейные функции скоростей деформаций, а сама скорость изменения напряжений определяется с использованием производной относительно собственного вращения. При этом деформации могут быть конечны, вплоть до разрушения всей среды.

2. Создан метод, в основе которого лежит предложенная соискателем модель гипоупругой хрупкой среды, позволяющий решать пространственную задачу о деформировании среды, разрушениях в ней, излучении при этом упругих волн и их распространении.

3. С использованием модели гипоупругой среды выявлена аналитическая связь между касательными напряжениями и скоростью поперечных упругих волн для среды с начальными напряжениями:

касательные напряжения аддитивно входят в выражение для квадрата скорости поперечных волн, при этом поперечные волны расщепляются на две, более быструю и более медленную.

4. Основываясь на решении задачи о сложном нагружении среды с трещиной сделан вывод о том, что распространение трещин отрыва может быть неравномерным, с изменениями скорости в течение всего процесса в несколько раз.

5. Для геоматериалов с использованием модели гипоупругой хрупкой среды проведены расчеты разрушения отрывом и сдвигом; для этих случаев построены функции направленности источника сейсмической эмиссии. Показано, что, в отличие от известных решений, основная энергия от разрушения распространяется вдоль свободных от напряжений берегов трещины, то есть в направлении, противоположном разрыву.

6. По результатам численного эксперимента, проведенного соискателем, построены поляризационные кривые колебаний частиц среды на поверхности активного гравитационного оползня. Сделан вывод, что колебания частиц поляризованы по направлению падения склона и определяются напряженным состоянием в теле оползня.

7. По результатам численного анализа напряженно-деформированного состояния в теле оползня с использованием предложенной модели среды выявлена зона максимальных касательных напряжений, которая при переходе оползня в неустойчивое состояние смещается вниз к подножию склона.

Диссертационная работа посвящена описанию нового подхода к решению задач сейсмики. В этом подходе методы расчета сейсмических волновых полей сочетаются с методами механики разрушения. Основу подхода составляет модель гипоупругой хрупкой среды, среды, которая деформируется конечным образом, в которой по тем или иным причинам

развиваются зоны концентрации напряжений, происходит разрушение, излучение сейсмических волн и дальнейшее их распространение.

В диссертационной работе впервые предложен подход к решению динамических задач, в котором методы механики разрушения сочетаются с методами расчета упругих волновых полей.

Предложенный метод численного решения прямых пространственных задач эластодинамики позволяет решать пространственные задачи о деформировании среды, развитии в ней больших деформаций и разрушений, выделении сейсмической энергии и распространении сейсмических волн, что существенным образом расширяет круг решаемых в геофизике, геодинамике и механике деформируемого твердого тела задач и является новым инструментом исследования;

Предложенный новый подход к описанию разрушения при численном моделировании может использоваться и используется рядом научных учреждений при решении теоретических и прикладных задач механики деформируемого твердого тела, геофизики и геодинамики.

Выявленная в численном эксперименте направленность поляризации колебания частиц на поверхности гравитационного оползня использована при анализе микросейсмических наблюдений на оползнеопасных склонах.

Предложенный подход к моделированию напряженно-деформированного состояния активного оползня как динамического процесса может быть использован при применении сейсмических методов для оценки напряженного состояния оползнеопасных склонов.

Предложенный и развитый в диссертации подход, основанный на модели гипоупругой хрупкой среды, может быть использован при анализе геодинамических явлений различных масштабов (землетрясения, оползни, горные удары), для теоретической оценки функций направленности

8

возникающих при разрушении горных пород сейсмических источников, при анализе распространения трещин в твердых телах и конструкциях.

Таким образом, практическая ценность предложенного подхода, модели гипоупругой хрупкой среды и развитого на ее основе метода состоит в возможности проведения в рамках одной вычислительной программы теоретических расчетов и оценок напряженно-деформированного состояния для различных геологических объектов, находящихся в состоянии предразрушения - активных оползней, неустойчивых склонов, разломов, разрушения в этих объектах, излучения сейсмических волн и дальнейшего их распространения.

Основным защищаемым результатом автор считает создание на основе оригинальной модели гипоупругой хрупкой среды метода, позволяющего решать комплексную задачу о деформировании среды, разрушениях в ней, излучении при этом упругих волн и распространении этих волн. Кроме этого, ниже перечислены иные основные результаты и положения, также выносимые на защиту:

1. С использованием модели гипоупругой среды получена аналитическая связь между касательными напряжениями и скоростью поперечных упругих волн для среды с начальными напряжениями: поперечные волны расщепляются на две, более быструю и более медленную.

2. Основываясь на решении задачи о сложном нагружении среды с трещиной, сделан вывод о том, что распространение трещин отрыва может быть неравномерным с изменениями скорости в течение всего процесса в несколько раз.

3. Основываясь на численном расчете, проанализированы функции направленности излучения сейсмических волн при разрушении среды

отрывом и сдвигом и показано их отличие от общепринятых представлений.

4. По результатам численного эксперимента сделан вывод, что колебания частиц на поверхности гравитационного оползня поляризованы по направлению падения склона и определяются напряженным состоянием в теле оползня.

5. По результатам численного анализа напряженно-деформированного состояния в теле оползня (с использованием предложенной модели среды) выявлена зона максимальных касательных напряжений, которая при переходе его в неустойчивое состояние смещается вниз к подножию склона.

Обоснованность и достоверность

Высокая степень достоверности полученных результатов определяется решением модельных и тестовых задач, сравнением с результатами физического моделирования, с данными натурных наблюдений и с результатами, полученными иными методами и другими исследователями:

а) характер поведения частиц на поверхности гравитационного оползня, обнаруженный в ходе численных расчетов и отраженный в поляризационных кривых, подтверждает натурные наблюдения на оползне в долине реки Суусамыр в Киргизии;

б) поле деформаций и положение областей максимальных напряжений внутри склона из модельного геоматериала, полученные в результате расчетов, подтверждаются результатами физического моделирования и натурными наблюдениями, выполненными в Институте физики и механики горнах пород НАН Кыргызстана;

в) результаты решения задачи об излучении волн при вертикальном воздействии на поверхности однородного изотропного полупространства

10

соответствуют не только известными аналитическими и численными решениями этой задачи, но и подтверждаются данными физического моделирования, проведенного в Институте геофизики СО РАН;

г) поле максимальных касательных напряжений, численно рассчитанное соискателем для задачи о растяжении тела с надрезом, качественно соответствует экспериментальным данным, полученным методом фотоупругости;

д) выявленный в результате проведенного соискателем численного эксперимента факт, что вершина трещины отрыва является энергетическим стоком, подтверждается теоретическими выводами работы;

е) построенные в ходе численного расчета фронты продольной и поперечных волн, а также области неоднозначности волновых поверхностей для кристалла цинка подтверждаются теоретическим построением лучевых поверхностей для анизотропных сред.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: EGS XXII General Assembly, Vienna, Austria, 21-25 April 1997; V International Conference Computer Aided Design of Advanced Materials and Technologies Augest 4-6, 1997, Baikal Lake, Russia; международной конференции "Вибрационные технологии исследований и мониторинга литосферы" (Новосибирск, 1998 г.); международной конференции "Physical mesomechanics and computer aided design of advanced materials and technologies - Mesomechanics1 98" (Израиль, Тель - Авив, 1998), на VI Всероссийской научно-технической конференции "Механика летательных аппаратов и современные материалы" (Томск, 1999), на международной конференции "Сейсмология в Сибири на рубеже тысячелетий" (Новосибирск, 2000 г.), . международной конференции "Геодинамика и

11

напряженное состояние недр Земли", (2-4 октября 2001г. - Новосибирск ), на пяти школах-семинарах "Геофизика и геомеханика" (Новосибирск, 1999-2003), на International workshop "Mesomechanics: foundations and applications", March 26-28, 2001, Tomsk, на сейсмическом семинаре Института геофизики СО РАН. Кроме того, полностью результаты диссертационной работы докладывались на специальных семинарах в Институте гидродинамики им. Лаврентьева и в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.

Работа выполнена в рамках научных направлений: "3.1.14. Развитие физико-геологических основ, теории и технических средств геофизических исследований строения и геодинамики литосферы, поисков полезных ископаемых и прогноза землетрясений" по плану работ ОИГГМ СО РАН на 1997-2000 гг.

"5.1.7 Теоретико-экспериментальное изучение неидеальных свойств геосред в связи с их микро- и мезоструктурой и сложным напряженным состоянием" № 01200101573 по плану работ ОИГГМ СО РАН на 2001-2003 годы.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 43 работы, в том числе две монография (в соавторстве).

Обоснование структуры работы.

Основную часть работы предваряет обзорная глава, посвященная моделям поведения , применяемым при описании поведения геоматериалов, а также методов решения прямых задач сейсмики. Вторая глава целиком посвящена свойству гипоупругости и тем особенностям поведения, которые заложены в модели гипоупругой среды. Далее строится численный метод , позволяющий решать динамические задачи сейсмики и механики деформируемого твердого тела. Построение такого

12

метода требует его тестирования, а введение в численный метод модели гипоупругости влечет за собой обязательное решение модельных задач. ^ Этому посвящена третья глава. После всесторонней проверки

работоспособности модели и алгоритма в целом вводится описание хрупкости среды как реализованная при построении расчетной сетки возможность разрушения в расчетной точке. На решении известных задач механики разрушения проверена работа алгоритма хрупкого разрушения. И, наконец, решено несколько исследовательских задач - о характере направленности источника сейсмических волн при единичном разрушении отрывом и сдвигом, о равномерном и неравномерном движении трещины, о напряженно-деформированном состоянии в теле гравитационного оползня и о сейсмической эмиссии с его подошвы.

Структура и объем работы.

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы, состоящего из 207 наименований. Общий объем работы - 217 страниц машинописного текста.

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, '#/ сформулирована цель работы, перечислены новые результаты, раскрыта их

практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.

В первой главе рассмотрены методы и подходы, применяемые в решении прямых динамических задач упругости и сейсмики, проанализированы некоторые используемые модели сред.

Во второй главе вводится понятие гипоупругой среды и изучены некоторые ее свойства.

Необходимость введения модели гипоупругой среды обусловлена желанием более адекватно описать поведение геологической среды - то есть поведение сложно построенной существенно неоднородной среды. С

13

другой стороны, постоянный интерес к воспроизведению (моделированию) динамических процессов, протекающих в таких средах, приводит исследователей к численным методам. Инкрементальный характер гипоупругого описания среды как нельзя более подходит именно для численного моделирования. А резко, на несколько порядков, возросшие за последнее десятилетие вычислительные мощности компьютеров позволяют от численного решения одномерных и двумерных задач перейти к моделированию пространственных процессов.

В сейсмологии настоятельная потребность в решении трехмерных задач вызвана, в первую очередь, необходимостью адекватно описывать динамические процессы в условиях критического состояния геосреды. Это процессы, протекающие в приразломных зонах, вблизи подошвы гравитационных оползней и т. п. Кроме изменения размерности решаемых задач изменяется и качественная сторона проблем. Так, стали появляться работы, в которых учитывается неоднородное начальное напряженное состояние среды, в которых Земля описывается как неупругое тело с использованием определяющих соотношений в инкрементальной форме ..

Необходимость учета реального блочного строения сильно неоднородной геосреды, подвергающейся конечной деформации понимается сегодня большинством геофизиков. При этом отмечается, что если на длительных геологических временах геологическая среда ведет себя как вязкое тело, то на временах, существенных для сейсмологии и сейсмики в целом она может быть описана как упруго-пластическая и упруго-хрупкая. Известно, что среда, которая ведет себя на уровне отдельных частиц как упруго-хрупкая, на макроуровне хорошо описывается соотношениями упруго-пластичности.

Поэтому для довольно точного решения многих задач геомеханики достаточно предположить, что деформации и напряжения конечны, а сама среда хрупкая. Автором диссертационной работы конечность деформаций

14

и напряжений предлагается описывать моделью гипоупругой среды, а хрупкость реализовать на этапе построения численной схемы с помощью оригинальной методики.

Основные законы механики, записанные в виде уравнений в частных производных, устанавливают связь мгновенных значений величин в окрестности бесконечно малой частицы среды. Определяющие соотношения (законы поведения) иногда также формулируют в терминах производных, т.е. мгновенных значений - например, при описании вязкой жидкости. Закон Гука, широко используемый в эластодинамике, связывает напряжения с деформациями раз и навсегда (это, по сути, среда с особой "памятью исходной конфигурации"). В последние же десятилетия используется закон Гука в виде мгновенной связи между напряжениями и деформациями, т.е. в виде связи между скоростями напряжений и скоростями деформаций (см. раздел 1.2.). Вся система уравнений тогда становится, так сказать, однотипной, посредством дифференциальных уравнений в частных производных описывающей мгновенное поведение частиц среды, а сама среда называется гипоупругой.

Вводя понятие скорости напряжений, то есть производной от компонент тензора напряжений, нужно учитывать тот факт, что изменение напряжений должно быть вызвано некоторым изменением деформации (напряжения в упругом теле- это упругая реакция на деформирование). Легко видеть, что при деформировании среды не все изменения напряжений будут упругими реакциями. Так, если среда, в которой задано тензорное поле, вращается как абсолютно твердое тело, то полные производные по времени от компонент тензора будут меняться в неподвижной системе отсчета, в то время как в самой среде компоненты не меняются. Поэтому вычисленный с помощью полных производных тензор скоростей напряжений не является объективным тензором.

15

Поэтому в определяющих соотношениях гипоупругой среды используется коротационная производная Яуманна, или производная относительно собственного вращения.

Приведем следующее определение гипоупругой среды: среда является гипоупругой, если в каждой точке и в любой момент времени тензор скоростей изменений напряжений есть линейная функция тензора скоростей деформаций, причём эта функция может, в свою очередь, зависеть от тензора напряжений как от параметра. В диссертационной работе всюду рассмотрен простейший случай гипоупругости - когда тензор упругих модулей от напряжений не зависит.

Скорость изменения тензора напряжения может задаваться

—»— различным образом. Так, если задано поле скоростей V(r,t) и поле

—i

напряжений aik(r,t), то можно записать следующие выражения для обычной полной производной изменения компонент aik относительно пространственной системы координат.

doik _ dcrik ___^

dt dt dX; ''

где в правой части первый член — локальная часть (локальная производная), а второй член - конвективная часть.

Определённая таким образом скорость изменения напряжений будет зависеть от собственного вращения элемента среды и не является поэтому объективной (материальной) величиной. Для построения закона поведения необходимо использовать производную тензора, которая будет обращаться в нуль при вращении тела как твёрдого относительно реальной системы отсчёта. Для этого Яуманном было введено понятие производной

16

относительно собственного вращения и инкрементальный закон поведения гипоупругой среды может быть записан так:

v

где

- производная Яуманна,

QJm - тензор скоростей вращений (спин-тензор),

ф do,, Эау до..

= + - V. - полная производная по времени, dt dt Эхк

'?ij = ( v' + Vy') - тензор скоростей деформаций. 2 Эд:; Эд:,

Полная система динамических уравнений для модели гипоупругой среды выглядит следующим образом:

Уравнения движения (первый закон Коши):

Э ай.

--±- = p(X,Y,Z)ui, 1=1,2,3;

dXj

Определяющие соотношения для гипоупругой среды: v •

тензор скоростей деформаций

2 dXj dX; Здесь и - смещения, v - скорость смещений.

17

Эта система замкнута и при дополнении ее соответствующими граничными и начальными условиями может быть сформулирована соответствующая краевая задача.

В работе была проведена линеаризация системы и построен тензор Кристоффеля.

При упрощающих допущениях, что в исходной конфигурации в каждой точке среды направления главных осей одинаковы (т.н. однородное напряженное состояние) и при совмещении этих осей с координатными компоненты тензора Кристоффеля в изотропной среде

Ф

имеют вид

2 2 imk .

Гц = (Х + jli + sijkTk)mimj, при i Ф j.

Здесь X, \i - упругие модули в изотропной среде (константы Лямэ), Cj-k - псевдотензор Леви-Чивиты, m - компоненты единичного вектора

волновой нормали, тк - главные касательные напряжения.

Далее показано, что максимальное расщепление поперечных волн по скоростям вдоль конкретной оси будет иметь место вдоль 2 главной оси ,

Av р = т, +т3 =—т2.

А максимальная анизотропия получается при сравнении скоростей поперечных волн вдоль 1 и 3 осей:

v2xp-v2zp = 2T2.

Анализируется возможная неизотропность напряженного состояния Земли. На основе полученных формул для поперечных волн проводится оценка вероятного расщепления поперечных волн в Земле за счет наличия в ней скалывающих напряжений.

Список литературы