Шалайко Тарас Олександрович. Стохастичний аналіз змішаних моделей

Краткое описание

Шалайко Тарас Олександрович. Назва дисертаційної роботи: "Стохастичний аналіз змішаних моделей"

Київський нацiональний унiверситет iменi Т. Г. Шевченка
На правах рукопису
Шалайко Тарас Олександрович
УДК 519.21
Стохастичний аналiз змiшаних моделей
01.01.05 — теорiя ймовiрностей i математична статистика
Дисертацiя на здобуття наукового ступеня
кандидата фiзико-математичних наук
Науковий керiвник
Шевченко Георгiй Михайлович,
доктор фiзико-математичних наук, доцент
Київ — 2015
2
ЗМIСТ
0.1. Позначення та стандартнi домовленостi . . . . . . . . . . . . 5
Вступ 7
Роздiл 1. Огляд лiтератури 18
1.1. Огляд лiтератури за Роздiлом “Нижня межа точностi наближення деяких функцiоналiв вiд дробового броунiвського руху функцiоналами вiд приростiв” . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2. Огляд лiтератури за Роздiлом “Представлення випадкових
величин iнтегралами по дробовому броунiвському руху” . . 19
1.3. Огляд лiтератури за Роздiлом “Побудова локальних версiй
для деяких мультидробових процесiв” . . . . . . . . . . . . . 21
1.4. Огляд лiтератури за Роздiлом “Стохастичний аналiз змiшаних рiвнянь” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Роздiл 2. Попереднi та допомiжнi вiдомостi 26
2.1. Дробовий броунiвський рух . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1. Малi вiдхилення суми квадратiв приростiв дробового
броунiвського руху . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2. Iнтегрування по дробовому броунiвському руху . . . 29
2.1.3. Локальна невизначенiсть . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2. Числення Маллявена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1. Iзонормальнi гауссiвськi процеси та похiдна Маллявена 33
2.2.2. Розклад Iто-Вiнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3. Числення Маллявена для змiшаних рiвнянь . . . . . 38
2.3. Елементи теорiї шершавих траєкторiй (rough path) . . . . . 39
2.4. Iншi допомiжнi твердження . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3
Роздiл 3. Нижня межа точностi наближення деяких функцiоналiв вiд дробового броунiвського руху функцiоналами вiд приростiв 45
3.1. Наближення випадкових величин функцiоналами вiд приростiв 45
3.1.1. Формулювання та обговорення результату . . . . . . 46
3.1.2. Доведення основного результату . . . . . . . . . . . . 46
3.2. Наближення дробової площi Левi . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.1. Постановка задачi та основний результат . . . . . . . 53
3.2.2. Представлення умовного математичного сподiвання та
формула для похибки наближення . . . . . . . . . . . 56
3.2.3. Доведення основного результату . . . . . . . . . . . . 59
3.2.4. Лiстинг програми для обчислення e(n)n
4H−1
. . . . . 63
Висновки до роздiлу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Роздiл 4. Представлення випадкових величин iнтегралами по
дробовому броунiвському руху 66
4.1. Узагальнений iнтеграл Лебега-Стiлтьєса по дробовому броунiвському руху . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2. Обговорення та доведення основного результату . . . . . . . 68
4.3. Доведення допомiжних тверджень про узагальнений iнтеграл
Лебега-Стiлтьєса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Висновки до роздiлу 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Роздiл 5. Побудова локальних версiй для деяких мультидробових процесiв 79
5.1. Обговорення та доведення результату . . . . . . . . . . . . . 80
Висновки до роздiлу 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Роздiл 6. Стохастичний аналiз змiшаних рiвнянь 91
6.1. Iснування щiльностi для змiшаних стохастичних диференцiальних рiвнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4
6.1.1. Iснування щiльностi за спрощеної умови Хермандера 92
6.1.2. Iснування щiльностi за сильної умови Хермандера . . 95
6.1.3. Допомiжнi леми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2. Теорiя шершавих траєкторiй застосовна до змiшаних рiвнянь 109
6.2.1. Вiд рiвнянь iз шершавими траєкторiями до змiшаних
рiвнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.2. Вiд змiшаних рiвнянь до рiвнянь iз шершавими траєкторiями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.2.3. Гранична теорема для змiшаних рiвнянь . . . . . . . 116
6.2.4. Чисельнi методи для змiшаних рiвнянь . . . . . . . . 121
6.3. Змiшанi рiвняння iз затримкою . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.3.1. Гранична теорема для змiшаних рiвнянь . . . . . . . 123
6.3.2. Рiвняння iз зникаючою затримкою . . . . . . . . . . . 133
6.3.3. Ейлеровi наближення . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3.4. Гранична теорема для рiвнянь Iто . . . . . . . . . . . 137
Висновки до роздiлу 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Висновок 143
Список використаних джерел 145

Список литературы

ВИСНОВОК
Дисертацiйну роботу присвячено вивченню моделей iз дробовим броунiвським рухом, мультидробовим броунiвським рухом та вiнерiвським процесом.
У роботi побудовано процес iз локальною версiєю BH∞ на нескiнченностi
та BH(t0) у всiх скiнченних точках. Для такого процесу доведено строгу
локалiзовнiсть.
Для випадкових величин з невиродженим першим вiнерiвським хаосом
встановлено нижню межу точностi наближення функцiоналами вiд приростiв дробового броунiвського руху на iнтервалах рiвномiрного розбиття.
Доведено, що оптимальним, у середньо квадратичному сенсi, методом наближення дробової площi Левi є формула трапецiй, а вiдповiдна швидкiсть
збiжностi має порядок n
1/2−2H, де n позначає загальну кiлькiсть точок рiвномiрного розбиття, використаних для побудови наближення.
Встановлено iнтегральне представлення випадкових величин, що є кiнцевими точками узгоджених процесiв з логарифмiчно гельдеровими траєкторiям. У цьому представленнi iнтеграл розумiється в узагальненому сенсi
Лебега-Стiлтьєса.
У роботi вивчаються також змiшанi стохастичнi диференцiальнi рiвняння. Встановлено належнiсть розв’язку локальному соболiвському простору
D
1,p
loc . Доведено iснування та гладкiсть щiльностi розподiлу розв’язкiв таких
рiвнянь за умов типу умови Хермандера. Для розв’язкiв змiшаних рiвнянь
доведено аналог леми Норрiса.
Встановлено зв’язок мiж розв’язками змiшаних рiвнянь та вiдповiдними рiвняннями iз шершавими траєкторiями. Використовуючи такий зв’язок, доведена основна гранична теорема про збiжнiсть розв’язкiв рiвнянь iз
144
“згладженим” дробовим броунiвським рухом до розв’язку вихiдного змiшаного рiвняння. Отримано також результати щодо збiжностi схеми Ейлера.
У випадку змiшаних рiвнянь iз затримкою ми отримали граничну теорему наступного плану: якщо коефiцiєнти та початковi данi змiшаних рiвнянь
iз затримкою збiгаються, то збiгаються i вiдповiднi розв’язки. Наслiдком
такого результату є, наприклад, збiжнiсть схеми Ейлера до розв’язку вихiдного змiшаного рiвняння. При достатньо м’яких умовах на коефiцiєнти
довели, що послiдовнiсть розв’язкiв рiвнянь iз затримкою, що прямує до
нуля, збiгається до розв’язку рiвняння без затримки рiвномiрно за ймовiрнiстю. Встановлено також граничну теорему для рiвнянь Iто iз випадковими коефiцiєнтами.