Торбін Григорій Мирославович. Фрактальні розподіли ймовірностей і перетворення, що зберігають розмірність Хаусдорфа-Безиковича

Краткое описание

НАЦIОНАЛЬНА АКАДЕМIЯ НАУК УКРАЇНИ IНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ На правах рукопису Торбiн Григорiй Мирославович УДК 519.21 ФРАКТАЛЬНI РОЗПОДIЛИ ЙМОВIРНОСТЕЙ I ПЕРЕТВОРЕННЯ, ЩО ЗБЕРIГАЮТЬ РОЗМIРНIСТЬ ХАУСДОРФА-БЕЗИКОВИЧА 01.01.05 — теорiя ймовiрностей i математична статистика Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук Науковий консультант доктор фiзико-математичних наук, професор Працьовитий М.В. Київ - 2008 2 ЗМIСТ Вступ 6 1. Багаторiвневий фрактальний аналiз сингулярно неперервних iмовiрнiсних мiр 38 1.1. Сингулярнiсть та абсолютна неперервнiсть ймовiрнiсних мiр . . . . 38 1.2. Спектрально-фрактальний аналiз сингулярно неперервних ймовiрнiсних мiр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.2.1. Cпектральна класифiкацiя одновимiрних сингулярно неперервних ймовiрнiсних мiр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.2.2. Cпектральна класифiкацiя багатовимiрних сингулярно неперервних ймовiрнiсних мiр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.3. Фрактальний аналiз носiїв щiльностi та суттєвих носiїв щiльностi сингулярно неперервних ймовiрнiсних мiр . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.4. Фрактальний аналiз мiнiмальних розмiрнiсних носiїв сингулярно неперервних ймовiрнiсних мiр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.5. Мультифрактальний аналiз сингулярно неперервних ймовiрнiсних мiр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2. Багаторiвневий фрактальний аналiз випадкових величин типу Джессена-Вiнтнера. 92 2.1. Випадковi величини з незалежними Q∗− та Qe−символами та їх багаторiвневий фрактальний аналiз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.1.1. Випадковi величини з незалежними Q∗− та Qe−символами та їх лебегiвська структура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.1.2. Тополого-метрична структура розподiлу випадкової величини з незалежними Qe− символами . . . . . . . . . . . . . . . 97 3 2.1.3. Фрактальнi властивостi розподiлiв випадкових величин з незалежними Q∗−символами та їх спектрiв. . . . . . . . . . . . 100 2.1.4. Властивостi деяких динамiчних систем, пов’язаних з розподiлами випадкових величин з незалежними Q∗−символами 112 2.1.5. Фрактальнi властивостi розподiлiв випадкових величин з незалежними Q∞−символами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2.2. Нескiнченнi згортки Бернуллi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.2.1. Топологiчнi i фрактальнi властивостi спектрiв узагальнених нескiнченних згорток Бернуллi . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 2.2.2. Тонкi фрактальнi властивостi узагальнених нескiнченних згорток Бернуллi без суттєвих перекриттiв” . . . . . . . . . . . . 136 2.2.3. Нескiнченнi узагальненi згортки Бернуллi з суттєвими перекриттями” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 2.3. Випадковi величини та динамiчнi системи, пов’язанi з рядами Остроградського 1 виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 2.3.1. Ряди Остроградського 1 виду та їх властивостi . . . . . . . . 168 2.3.2. Основи метричної теорiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 2.3.3. Випадковi величини з незалежними рiзницями ряду Остроградського 1 виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 2.3.4. Властивостi символьних динамiчних систем, пов’язаних з рядами Остроградського 1 виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 2.3.5. Нескiнченнi згортки Бернуллi, пов’язанi з рядами Остроградського 1 виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 3. Перетворення, що зберiгають розмiрнiсть Хаусдорфа-Безиковича 214 3.1. DP-перетворення метричних просторiв. Груповий погляд на фрактальну геометрiю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 3.2. Неперервнi DP-перетворення R1 . Ймовiрнiсний пiдхiд до дослiдження DP-перетворень. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 4 3.2.1. Збереження розмiрностi Хаусдорфа-Безиковича функцiями розподiлу випадкових величин з незалежними s-адичними цифрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 3.2.2. Збереження розмiрностi Хаусдорфа-Безиковича функцiями розподiлу випадкових величин з незалежними Q-символами 225 3.2.3. Загальнi достатнi умови збереження розмiрностi ХаусдорфаБезиковича . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 3.2.4. Аналiтичне представлення неперервних DP-перетворень R1 . 246 3.3. Застосування багаторiвневого фрактального аналiзу ймовiрнiсних мiр для дослiдження класiв неперервних DP- перетворень . . . . . 257 3.3.1. Загальнi необхiднi умови збереження розмiрностi ХаусдорфаБезиковича . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 3.3.2. Критерiй збереження розмiрностi Хаусдорфа-Безиковича функцiями розподiлу випадкових величин з незалежними s-адичними цифрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 3.3.3. Критерiй збереження розмiрностi Хаусдорфа-Безиковича функцiями розподiлу випадкових величин з незалежними Q-символами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 3.3.4. Збереження фрактальних розмiрностей функцiями розподiлу нескiнченних згорток Бернуллi, породжених рядами Остроградського . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 4. Застосування багатофакторного фрактального аналiзу сингулярно неперервних ймовiрнiсних мiр 272 4.1. Застосування БФА СНIМ в теорiї чисел . . . . . . . . . . . . . . . . 272 4.1.1. Нормальнiсть та анормальнiсть чисел . . . . . . . . . . . . . 272 4.1.2. Фрактальнi властивостi множини суттєво анормальних чисел 274 4.1.3. Множини суттєво анормальних чисел як носiї сингулярних розподiлiв ймовiрностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 4.1.4. Топологiчнi властивостi множини суттєво анормальних чисел 281 5 4.1.5. Фрактальнi властивостi множини частково анормальних чисел283 4.1.6. Нормальнiсть чисел в рiзних системах числення та DP-перетворення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 4.1.7. Нормальнiсть чисел в системах числення з нескiнченним алфавiтом. Q∞-нормальнi та Q∞-анормальнi числа . . . . . . . 296 4.1.8. Узагальнення поняття нормальностi . . . . . . . . . . . . . . 305 4.2. Оператори з сингулярно неперервним спектром та їх тонка структура319 4.2.1. Тонка спектральна класифiкацiя операторiв з сингулярно неперервним спектром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 4.2.2. Мультифрактальна класифiкацiя операторiв з сингулярно неперервним спектром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 Висновки 334 Список використаних джерел 337

Список литературы

ВИСНОВКИ • Створено теоретичнi основи та обгрунтовано методи багаторiвневого фрактального аналiзу сингулярно неперервних iмовiрнiсних мiр; • знайдено загальнi необхiднi i достатнi умови абсолютної неперервностi i сингулярностi ймовiрнiсних розподiлiв в термiнах суттєвих носiїв щiльностi; • знайдено умови збереження чистоти та взаємної сингулярностi пар ймовiрнiсних мiр при нелiнiйних вiдображеннях; • запропоновано спектральну класифiкацiю одновимiрних та багатовимiрних сингулярних ймовiрнiсних мiр та доведено теореми про структурне представлення таких мiр; • здiйснено мультифрактальну класифiкацiю сингулярних ймовiрнiсних мiр та доведено теореми про канонiчне представлення таких мiр; • повнiстю поглиблено теорему Джессена-Вiнтнера в класi випадкових величин з незалежними Qe-символами та їх узагальнень; проведено багаторiвневий фрактальний аналiз сингулярно неперервних iмовiрнiсних мiр з цього класу; • повнiстю розв’язана задача про лебегiвську структуру узагальнених нескiнченних згорток Бернуллi першого роду (без перекриттiв”), показано, що в даному класi ймовiрнiсних мiр сингулярнiсть є домiнуючою; проведено багаторiвневий фрактальний аналiз сингулярно неперервних iмовiрнiсних мiр з цього класу; • розв’язана задача про лебегiвську структуру узагальнених нескiнченних згорток Бернуллi другого роду (з перекриттями”) з певних класiв; дослiджено 335 метричнi, топологiчнi та фрактальнi властивостi спектрiв таких мiр, досдiджено тонкi мультифрактальнi властивостi мiр; • дослiджено ергодичнi властивостi представлень дiйсних чисел за допомогою рядiв Остроградського першого виду; знайдено умови нуль-мiрностi (додатностi мiри) замкнених нiде не щiльних множин чисел, заданих умовами на елементи їх розвинення в ряд Остроградського 1-го виду. • дослiджено структуру випадкових величин з незалежними рiзницями ряду Остроградського 1 виду, зокрема, доведено, що вiдповiднi мiри або чисто дискретнi, або чисто сингулярно неперервнi; вивчено топологiчнi, метричнi та фрактальнi властивостi сингулярно неперервних мiр з даного класу; • вивчено властивостi символьної динамiчної системи, породженої перетворенням T одностороннього зсуву по рiзницевому представленню Остроградського 1-го виду; зокрема, доведено, що не iснує ймовiрнiсних мiр, якi були б iнварiантними i ергодичними вiдносно T i абсолютно неперервними вiдносно мiри Лебега; • закладено основи теорiї перетворень, що зберiгають розмiрнiсть Хаусдорфа-Безиковича (DP-перетворень); запропоновано i обгрунтовано груповий погляд на фрактальну геометрiю; запропоновано i застосовано новi методи обчислення розмiрностi Хаусдорфа-Безиковича; • дослiджено клас неперервних DP-перетворень простору R1 ; на основi запропонованого автором ймовiрнiсного пiдходу до вивчення DP-перетворень дослiджено класи перетворень, що породженi розподiлами випадкових величин з незалежними s−адичними цифрами, Q−символами та класiв нескiнченних згорток Бернуллi; • на основi розроблених методiв багаторiвневого фрактального аналiзу знайдено загальнi необхiднi умови i достатнi умови збереження розмiрностi Хаусдорфа-Безиковича; в класах перетворень, якi iндукованi випадковими 336 величинами з незалежними s−адичними цифрами, Q−символами знайдено критерiїї збереження розмiрностi; знайдено зв’язок мiж ентропiєю ймовiрнiсного розподiлу, його розмiрнiстю Хаусдорфа-Безиковича та належнiстю вiдповiдної функцiї розподiлу до DP-класу. • застосовуючи методи фрактального аналiзу сингулярних ймовiрнiсних мiр, дослiджено топологiчнi, метричнi та фрактальнi властивостi пiдмножин анормальних дiйсних чисел, завершено класифiкацiю дiйсних чисел за асимптотичними властивостями частот їх цифр в s-адичнiй системi числення; доведено, що множина суттєво анормальних дiйсних чисел є всюди щiльною суперфрактальною Gδ множиною; • дослiджено топологiчнi, метричнi та фрактальнi властивостi пiдмножин анормальних дiйсних чисел, заданих в системаж числення з нескiнченним алфавiтом; доведено, що множина Q∞-суттєво анормальних дiйсних чисел є всюди щiльною суперфрактальною Gδ множиною; • дослiджено залежнiсть топологiчних, метричних та фрактальних властивостей квазiнормальних, частково анормальних та суттєво анормальних дiйсних чисел вiд вибраного способу представлення (системи числення); вивчено властивостi Γ-нормальних та Γ-анормальних чисел; • здiйснено тонку спектральну та мультифрактальну класифiкацiї самоспряжених операторiв з сингулярно неперервним спектром