Арюткина Светлана Владимировна. Формирование обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами у учащихся 8-9 классов

Краткое описание

Арюткина Светлана Владимировна. Формирование обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами у учащихся 8-9 классов : Дис. ... канд. пед. наук : 13.00.02 : Арзамас, 2002 155 c. РГБ ОД, 61:02-13/813-1

АРЗАМАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
ИНСТИТУТ ИМ. АЛ. ГАЙДАРА
На правах рукописи
АРЮТКИНА СВЕТЛАНА ВЛАДИМИРОВНА
ФОРМИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ПРИЕМОВ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ У УЧАЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ

і

13.00.02 Теория и методика обучения и воспитания (математика)
Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель
доктор педагогических наук.
профессор М.И. Зайкин

Арзамас 2001

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ПРИЕМОВ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ 10
§1. Задачи с параметрами и их роль в математическом образовании
школьников 10
§2. Предпосылки и этапы формирования обобщенных приемов решения
уравнений и неравенств с параметрами 24
§3. Составы обобщенных приемов решения основных видов уравнений
и неравенств с параметрами 45
Выводы по главе 1 72
Глава 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ПРИЕМОВ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ У УЧАЩИХСЯ 8-9
КЛАССОВ 73
§ 1. Циклы задач как средство формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с
параметрами 73
1.1. Общие основы построения циклов
задач 75
1.2. Характеристика циклов уравнений и неравенств с параметрами
основных видов 80
§2. Методические особенности работы с циклами задач при различных
формах усиленной математической подготовки школьников 99
§3. Постановка педагогического эксперимента и его результаты.... 113
Выводы по главе 2 128
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 129
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 130
ПРИЛОЖЕНИЯ 145

з
ВВЕДЕНИЕ
На современном этапе развития школьного образования становятся приори¬тетными развивающие цели обучения. В связи с этим при изучении математики особую значимость приобретает организованное обучение приемам мышления, рационального выполнения учебной деятельности, что исключительно важно при усвоении трудных тем и решении сложных задач таких, как уравнения и неравен¬ства с параметрами. Именно недостаточная сформированность приемов учебной деятельности является одной из причин того, что большинство учащихся совер¬шает ошибки или испытывает затруднения при решении даже несложных задач такого рода.
Изучением задач с параметрами, их роли в обучении, понятий, связанных с их решением, в разные годы занимались М.И. Башмаков [15], Г.В. Дорофеев [49], М.И. Зайкин [58], Т.А. Иванова [67], Г.Л. Луканкин [76], Я.Л. Крейнин [84], В.К. Марков [99], А.Г. Мордкович [111, 112], Н.Х. Розов [49], Г.И. Саранцев [150], Р.А. Утеева [172] и др. Многие из них подчеркивали важность обучения школьников приемам решения уравнений и неравенств с параметрами прежде всего в связи с необходимостью подготовки учащихся к выполнению работ итоговой аттестации и различного рода конкурсных испытаний. При этом большинство авторов харак¬теризует задачи с параметрами как исследовательские задачи, требующие высо¬кой логической культуры и техники исследования; как наиболее сложные в логи¬ческом и семантическом плане вопросы элементарной математики. В этой связи В.В. Вересова [23], В.И. Горбачев [33], Н.С. Денисова [23], В.Н. Литвиненко [96], А.Г. Мордкович [96, 111, 112], Т.Н. Полякова [23], Г.А. Ястребинецкий [194-196] и др. справедливо замечают, что для описания процесса их решения необходимо использовать систему понятий, математических утверждений и фактов, опреде¬ляемую фундаментальными математическими идеями; некоторые из них пред¬принимают попытки к ее разработке. Однако в многочисленных пособиях и руко¬водствах справочного и методического характера для поступающих в вузы рас¬сматриваются лишь частные приемы решения конкретных уравнений и нера¬венств с параметрами, чаще всего в рамках широкого спектра конкурсных зада¬ний. При этом большинство авторов опирается на интуитивное описание исполь¬зуемых понятий.

4
В условиях реализуемого учителями информационно-объяснительного пол-хода к решению названных задач у учащихся формируются лишь частные приемы решения конкретных заданий, которые они не могут самостоятельно "перенести*" на другие уравнения или неравенства. При осуществлении усиленной математи¬ческой подготовки: в классах с углубленным изучением, на факультативах, спец¬курсах, на подготовительных курсах, в репетиторской практике, как правило, предпринимаются попытки количественного обогащения, прежде всего, заданно¬го материала: задействуется большее число задач, сами задачи становятся более разнообразными по сравнению с теми, которые содержатся в учебниках для об¬щеобразовательных школ. Но при этом используются интуитивные представления об уравнениях и неравенствах с параметрами, а вместо выявления сущности таких задач, общих способов их решения каждое новое уравнение рассматривается фак¬тически вне связи с предыдущими, что в конечном счете вызывает затруднения у школьников. Такой подход можно назвать интуитивно-эмпирическим или индук¬тивным. Анализ результатов вступительных экзаменов в вузы (ссузы), олимпиад-ных и конкурсных работ по математике, проведенный многими исследователями, в том числе и нами, свидетельствует о том, что учащиеся, получившие усиленную математическую подготовку в рамках данного подхода, по-прежнему, допускают ошибки в решениях уравнений и неравенств с параметрами, либо испытывают трудности при выполнении такого рода заданий. В теории обучения математике имеются многочисленные подтверждения того, что простое увеличение количест-ва решаемых задач, далеко не всегда приводит к качественным "сдвигам" в уме-нии выполнять соответствующую математическую деятельность. В связи с этим многими исследователями (В.И. Горбачев [33], Н.Д. Джиоев [46], Г.П. Мещеряко-ва [109], Н.П. Ратников [142] и др.) активно обсуждается вопрос о необходимости формирования общего метода решения таких задач, в качестве которого чаще все¬го предлагается графический. Однако следует заметить, что этот способ наиболее эффективен, если в задании встречается один параметр и требуется найти не об¬щие решения, а лишь их число.
Встречаются попытки описать общий метод решения уравнений (нера¬венств) вида F(a, х)=0 (F(a, х)<0) с параметром а и переменной .г. Однако в виду максимальной общности методов исследования таких уравнений (неравенств), со-

5
ставляющие их действия детально не могут быть определены: уточнить состав учебных действий общего метода решения позволяет только знание свойств соот-ветствующих функций, содержащихся в уравнении (неравенстве). Такой подход, в противовес первому, можно назвать абстрактно-теоретическим или дедуктив¬ным. Он может быть полезен при работе с учащимися, студентами и другими ка-тегориями обучаемых, обладающииидостаточно высокой математической культу-рой. Но для учащихся 8-9 классов дедуктивный путь познания сопряжен с опре-деленными трудностями: абстрактное "затеняет" конкретные проявления реаль-ного, лишает их "чувственности", актуальной значимости для ученика и, стало быть, снижает мотивационную направленность и развивающий потенциал всей учебной деятельности. Прием, как таковой не формируется в результате мысли-тельного поиска, скорее усваивается алгоритм его применения. А потому при ра-боте с учащимися 8-9 классов более эффективным, на наш взгляд, является некий промежуточный подход, предполагающий восхождение от конкретного к общему, а от него к частному. Этот путь формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами каждого отдельного вида (линейных, квадратных, дробно-рациональных) нами и разрабатывается.
Все вышесказанное обуславливает актуальность проблемы поиска условий и средств реализации идеи формирования обобщенных приемов решения уравне-ний и неравенств с параметрами у учащихся 8-9 классов при усиленной матема-тической подготовке.
Цель исследования заключается в разработке теоретических основ и методи-ческого обеспечения формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами у учащихся 8-9 классов с усиленной математическоіі подготовкой.
Объектом исследования является процесс обучения алгебре в основной школе, а его предметом - особенности овладения учащимися способами решения уравнений и неравенств с параметрами.
В основу исследования положена гипотеза: если выделить действия, опре-деляющие составы обобщенных приемов решения каждого отдельного вида уравнений и неравенств с параметрами (линейных, квадратных, дробно-рациональных), установить основные этапы процесса их формирования и в соот-

6
ветствии с ними разработать методическое обеспечение учебного процесса, то это позволит повысить качество обучения учащихся решению такого рода задан пи. поскольку специальное формирование обобщенных приемов учебной деятельно-сти обеспечивает "переносимость" усвоенных действий на широкий круг новых задач.
Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:
1) охарактеризовать роль задач с параметрами в математическом образо¬вании школьников и уточнить их сущность;
2) выделить действия, определяющие составы обобщенных приемов ре-шения уравнений и неравенств с параметрами каждого отдельного вида (ли-нейных, квадратных, дробно-рациональных);
3) определить основные этапы и разработать методическое обеспечение процесса формирования обобщенных приемов решения уравнений и нера-венств с параметрами каждого отдельного вида (линейных, квадратных, дроб-но-рациональных);
4) экспериментально проверить разработанное методическое обеспече¬
ние.
Для решения поставленных задач использовались следующие методы педа-гогического исследования: изучение и анализ психолого-педагогической и мето-дической литературы по проблеме исследования; анализ программ, учебников и учебных пособий для общеобразовательных школ и школ (классов) с углублен-ным изучением математики; изучение и анализ опыта работы учителей математи-ки, осуществляющих усиленную математическую подготовку учащихся 8-9 клас-сов; интервьюирование и анкетирование учителей и учащихся; констатирующий, поисковый, обучающий эксперименты; статистическая обработка и анализ ре-зультатов экспериментов.
Методологической основой исследования явились: принципы единства и диалектического взаимодействия теории и практики в научном познании; прин-цип ведущей роли обучения в развитии; концепция деятельностного подхода в обучении математике; концепция формирования обобщенных приемов и основ-ные положения теории поэтапного формирования умственных действий.

7
Исследование проводилось поэтапно. На первом этапе осуществлялось изу-чение и анализ психолого-педагогической и методической литературы по пробле-ме исследования, фиксировалось состояние методической работы по данному во-просу; анализировался опыт учителей; проводился констатирующий эксперимент. На втором этапе изучались индивидуальные различия в деятельности школьни-ков при решении математических задач с параметрами. Для этого использовались специально составленные задания. В ходе их апробации были выявлены и охарак-теризованы уровни обученности учащихся. Разрабатывались теоретические осно-вы процесса формирования обобщенных приемов решения уравнений и нера-венств с параметрами у учащихся 8-9 классов с усиленной математической подго-товкой; создавалось соответствующее методическое обеспечение и проходила его первичная проверка. На третьем этапе проводился обучающий эксперимент. По-лученные результаты были проанализированы и обработаны средствами матема-тической статистики, что позволило подтвердить справедливость теоретических выводов и эффективность разработанного методического обеспечения.
Научная новизна исследования заключается в том, что впервые проблема обучения учащихся решению уравнений и неравенств с параметрами решена по-средством формирования обобщенных приемов их решения по каждому из основ¬ных видов (линейных, квадратных, дробно-рациональных).
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что в нем оха-рактеризованы функции задач с параметрами в математическом образовании школьников; выявлены этапы процесса формирования обобщенных приемов их решения; определены составы обобщенных приемов решения каждого вида урав-нений и неравенств с параметрами; обоснована целесообразность циклического построения методического обеспечения процесса их формирования.
Практическая ценность результатов исследования состоит в том, что соз-данное методическое обеспечение процесса формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами может быть использовано в прак¬тике обучения математике учащихся 8-9 классов на факультативных занятиях в общеобразовательной школе, при обучении учащихся математике в специализи-рованных классах (школах), на подготовительных курсах в вузах и ссузах, при самоподготовке к различного рода конкурсным испытаниям. Результаты исследо-

8
вания могут быть использованы также при составлении учебно-методических по-собий для учителей, учащихся и студентов.
Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечена опо-рой на методологические основы теории и методики обучения математике с уче-том современных положений психологии обучения; применением методов иссле-дования, адекватных его целям, задачам и логике; а также проведенным экспери-ментом.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Повышение качества обучения школьников решению уравнений и не-равенств с параметрами может быть достигнуто посредством целенаправленного формирования обобщенных приемов их решения по каждому из основных видов, линейных, квадратных, дробно-рациональных.
2. Определение составов обобщенных приемов целесообразно осущест-влять посредством выделения действий по решению конкретных уравнений и не-равенств с параметрами, их анализа и нахождения общих характеристик, охваты-вающих все особенности действий по решению уравнений и неравенств с пара-метрами каждого отдельного вида.
3. Методическое обеспечение процесса формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами целесообразно строить на основе циклов задач, состоящих из четырех взаимосвязанных блоков (вспомо-гательные, базисные, тренировочные и развивающие), в соответствии с основными этапами процесса их формирования и особенностями содержания деятельности на каждом из них.
На защиту выносится также разработанное нами методическое обеспечение. включающее задачи каждого из названных выше блоков по каждому из основных видов уравнений и неравенств с параметрами (линейных, квадратных, дробно-рациональных).
Апробация основных положений и результатов настоящего исследования проводилась в форме докладов на заседаниях научно-методического семинара кафедры теории и методики обучения математике Арзамасского педагогического института, на Всероссийских, межрегиональных и межвузовских научно-практических конференциях в Орле (1999 г., 2001 г.); Кирове (2000 г., 2001 г.).

9
Арзамасе (2000 г.); Тобольске (2001 г.); Нижнем Новгороде (2001 г.); Брянске (2001 г.).
Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось в ходе экспериментальной проверки разработанного методического обеспечения процесса формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами у учащихся 8-9 классов с усиленной математической подготовкой. В эксперименте наряду с автором участвовали учителя Архангельской и Нижего-родской областей.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, за-ключения, списка используемой литературы и приложений. Основное содержание работы изложено на 155 страницах машинописного текста. Библиография насчи-тывает 199 наименований.

Список литературы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В процессе теоретического и экспериментального исследования в соответст¬вии с его целью и задачами сделаны основные выводы и получены следующие ре¬зультаты.
Роль уравнений и неравенств с параметрами в математическом образовании школьников определяется свойственными им функциями: дидактическими, связанными с подготовкой учащихся к поступлению в вузы, математическим конкурсам и олимпиадам, систематизацией знаний приемов решения уравнений и неравенств с одной переменной, обобщением соответствующих умений: развивающими, предполагающими развитие исследовательских навыков, навыков самоконтроля и креативности учащихся; воспитательными, ориентированными на воспитание научного мировоззрения учащихся, их личностных качеств.
Составы действий обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами целесообразно определять посредством выделения действий по решению конкретных уравнений и неравенств с параметрами; их анализа и нахождения общих характеристик, охватывающих все особенности действий по решению уравнений и неравенств с параметрами каждого отдельного вида.
На основе этого подхода выделены составы обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметром каждого отдельного вида (линейных, квад¬ратных, дробно-рациональных).
Методическое обеспечение процесса формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами целесообразно строить на основе циклов, состоящих из четырех блоков взаимосвязанных задач (вспомогательные, базисные, тренировочные, развивающие), в соответствии с основными этапами процесса их формирования и особенностями содержания деятельности на каждом из них. Данный подход допускает возможность создания вариативных циклов уравнений и неравенств с параметрами, учитывающих изменения в целях учебной деятельности по решению задач с параметрами, доминирующих функциях самих задач в условиях различных форм усиленной математической подготовки. Что обеспечивает необходимую степень самостоятельности школьников при решении задач, выделении составоь действий обобщенных приемов и заданный уровень сформированности приема.
Экспериментальное обучение доказало эффективность обучения учащихся решению уравнений и неравенств с параметрами посредством формирования обобщенных приемов их решения по каждому из основных видов (линейных, квадратных, дробно-рациональных), что подтвердило гипотезу исследования.