Байдакова Наталия Васильевна. Полиномиальная интерполяция на симплексах

Краткое описание

Байдакова Наталия Васильевна. Полиномиальная интерполяция на симплексах: диссертация ... доктора Физико-математических наук: 01.01.01 / Байдакова Наталия Васильевна;[Место защиты: ФГБУН Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук], 2018.- 210 с.

Введение к работе
Актуальность темы.Предметом изучения диссертации являются вопросы, связанные с интерполяцией и аппроксимацией функций многих переменных алгебраическими многочленами степени не вышеппо совокупности переменных наd-симплексе в равномерной норме. Способы интерполяции на произвольном симплексе выбираются таким образом, чтобы результирующий сплайн, определенный на триангулированной области, обладал свойством непрерывности или гладкости порядкат,т> 1 (под сплайном мы понимаем функцию, которая на каждом симплексе из триангуляции областиQявляется алгебраическим многочленом, причем эти многочлены задаются таким образом, чтобы результирующая кусочно-полиномиальная функция на всей области обладала свойством непрерывности или гладкости заданного порядка; под гладкостью порядкат—существование и непрерывность всех производных до порядкатвключительно). В первой и третьей главах рассматривается интерполяция Лагранжа (интерполируются значения приближаемой функции) в равномерных узлах симплекса. Такой выбор интерполяционных условий часто используется в методе конечных элементов, но может также представлять самостоятельный интерес как способ аппроксимации функции. Во второй главе рассмотрен ряд способов интерполяции Эр-мита и Биркгофа (интерполируются значения приближаемой функции и значения ее производных: последовательных — в случае интерполяции Эрмита, и с пропусками — в случае интерполяции Биркгофа) с интерполяцией производных высокого порядка в связи с изучением возможности применения соответствующих сплайнов, построенных на триангулирова-ной исходной области, в методе конечных элементов.
В первой главе изучаются константа и функция Лебега для процесса интерполяции Лагранжа многочленами степени не вышеппо равномерным узлам произвольногоd-симплекса А в Rd,т. e. по узлам{ani2...id+1}, имеющим следующие барицентрические координаты:
п пп
г* є {0, ...,п},І+ і2++ id+i = п.
Напомним, что константой Лебега называется норма оператора, действующего изС (А)вС (А),который каждой непрерывной функции ставит
в соответствие ее интерполяционный многочлен степени не вышеппо совокупности переменных (черезС (А)обозначено пространство функций, непрерывных на А); функцией Лебега называется норма функционала в пространствеС (А),ставящего в соответствие каждой непрерывной функции / значение ее интерполяционного многочлена в точке симплекса А . Константы и функции Лебега позволяют получать оценки неустранимой погрешности интерполирования, обусловленной ошибками задания значений интерполируемой функции в узлах и могут быть использованы при исследовании сходимости интерполяционных процессов для заданной матрицы узлов. Дляd= 1,п Є N задачами, связанными с оценками констант Лебега занимались А.Х. Турецкий (получена ас-миптотика по п), А. Шёнхаге, М. Коломб, Т.Дж. Ривлин, Р.-К. Джиа, П. Хенричи, Л. Трефетен, Дж. Видеман, Т.М. Милс, С. Смит, А. Айзин-берг, Г. Феделе, Г. Франц. Для произвольныхd, пЄ N Л.П. Бос получил оценку сверху порядка константы Лебега, Т. Блумом была найдена логарифмическая асимптотика константы Лебега (поппри фиксированномd) и получены результаты, связанные с логарифмической асимтоти-кой подпоследовательностей функций Лебега. В диссертационной работе найден точный порядок роста константы Лебега поппри фиксированномdи получены результаты, связанные с поточечной оценкой снизу функции Лебега.
Вторая и третья главы посвящены получению оценок сверху и снизу величин погрешности аппроксимации функции, заданной на симплексе, и ее производных интерполяционными многочленами типа Лагранжа, Эрмита или Биркгофа и их производными соответственно. Рассматривается множествоWn+lM = Wn+1M(Q)функций, определенных на произвольном многогранникеQС Rd,непрерывных наQвместе со всеми своими частными производными до порядкап+ 1 включительно, у которых все производные порядкап+ 1 ограничены по модулю константойМ >0 . Согласно лемме Сеа [5] (глава 2, предложение 3.1), оценка погрешности аппроксимации решения краевой задачи кусочно-полиномиальными функциями, полученными в ходе реализации метода конечных элементов, зависит от расстояния между точным решением краевой задачи и построенным подпространством конечных элементов. Поскольку вычисление величины наилучшего приближения функции элементами соответствующего подпространства является достаточ-
но сложной задачей, то для оценки погрешности метода обычно используют не элемент наилучшего приближения из пространства конечных элементов, а интерполяционную кусочно-полиномиальную функцию. Последняя задача, в свою очередь, сводится к проблеме локальной интерполяции на отдельномd-симплексе. Отметим, что при получении оценок сверху обычно (в том числе в диссертации) также решается задача выбора подходящих интерполяционных условий, которые и определяют способ построения пространства конечных элементов, использующегося впоследствии для поиска приближенного решения краевой задачи. От того, какие выбраны условия интерполяции, зависят получаемые оценки погрешности аппроксимации производных интерполируемой функции.Конечным элементомбудем называтьd-симплекс вместе с выбранными на нем условиями интерполяции функции / ЄWn+lM.Везде речь будет идти о конечных элементах, применение которых ведет к получению непрерывной или достаточно гладкой результирующей кусочно-полиномиальной функции на триангулированной исходной областиQ.
Договоримся о следующих обозначениях:А — d-симплекс из триангуляции многогранника Г2; <2i, й2, ,o-d+i—вершины А;
ll/Цд = supf(u)]
иєА
X(u)= A = (Ai, Аг,..., A^+i) ЄM,d+l—барицентрические координаты
точкиUсимплекса А относительно его вершин <2l,<22, ,Q-d+1]
-і / (1Л)—— -L(1Л)—— -L І( / )—— -L( / )
— многочлен степени не вышеппо совокупности переменных, являющихся координатами точкииЄ А (в некоторой системе координат),удовлетворяющий каким-либо условиям интерполяции функции / ЄWn+1M(A); Dlє f —производная порядкаsфункции / :M,d—> К.по направлениям произвольных единичных векторов i,... ,sЄM.d;
Ens= sup\Щіs(/—^п)ІІА
/ ЄW n~i~^M(A), jGffi , ||^|| =1,i=l,...,s
—величина погрешности аппроксимации производной порядкаs (s =1,...,п) функции / интерполяционным многочленомPdна А (отметим, что величина Е^sзависит от способа выбора интерполяционных условий, используемых при задании многочленаPd).Мы будем
говорить об изучении зависимости величины Е^sот геометрических характеристик симплекса, что тесно связано с контролем триангуляции исходной области при применении метода конечных элементов.
Во второй главе диссертационной работы рассматриваются задачи простой и кратной (в большей степени кратной) интерполяции для случаевd= 2,3. Под простой интерполяцией мы будем понимать случаи, когда интерполируются только значения исходной функции / в точках (узлах) многомерной сетки; под кратной — любые случаи, когда кроме значений функции интерполируются также значения каких-либо ее производных в выбранных точках (в том числе, в частности, значения самой функции в таких точках могут не интерполироваться). Договоримся в обозначении многочленаР^опускать верхний индекс, если из контекста понятно, о какой размерности идет речь.
Пустьd= 2 и имеется триангуляция области fi С R2. На каждом треугольнике из триангуляцииQдля / ЄWn+1M(Q)строится многочленРп= Pn[f]степени не вышеппо совокупности переменных, интерполирующий функцию / (и ее производные, если речь идет о кратной интерполяции) в некоторых узлах треугольника. Всего задается (п + 1)(п + 2)/2 условий интерполяции на каждом треугольнике. Будем говорить в таком случае, что сплайн получен с помощью локальной интерполяции. Пусть условия для построенияРп= Pn[f]таковы, что результирующая кусочно-полиномиальная функция наQимеет гладкость порядкат,тЄ Z+,п> 4m + 1 (последнее ограничение на соотношение междупитявляется естественным и обусловлено тем, что при локальной интерполяции степеньп= 4т + 1 является наименьшей, обеспечивающей гладкость порядкатрезультирующего сплайна наQ).
Построенная кусочно-полиномиальная функция аппроксимирует /, а ее производные аппроксимируют соответствующие производные функции /. Так как оценки величин Е^sобычно зависят от геометрических характеристик треугольников триангуляции, то на триангуляцию, как правило, накладываются определенные требования. Первоначально используемым ограничением на триангуляцию являлосьусловие наименьшего угла —ограничение снизу величин наименьших углов треугольников. Это связано с тем, что во многих первых (ставших широко известными) оценках сверху величин Е^sв знаменателях дробей, участвующих в этих оценках, присутствуют синусы наименьших углов треуголь-
ников, составляющих разбиение исходной области, или их аналоги. В качестве примера можно указать полученные в конце 60-х и начале 70-х годов прошлого века оценки М. Зламала, А. Женишека, Дж. Брамбла и М. Зламала, а также существенно обобщающие их оценки Ф. Сьяр-ле и П.А. Равьяра [6] для многомерного случая, полученные в 1972 г. Некоторую дополнительную информацию и обзор вариантов обобщений условия наименьшего угла на случаиd-симплексов можно найти в серии совместных работ Я. Брандтса, А. Ханнукайнена, С. Коротова, М. Кри-жека. Отметим, что в большинстве уже указанных и цитируемых ниже работ речь идет не только о полученных авторами оценках, но и о выборе способов интерполяции.
С другой стороны, дляd= 2 и малых значенийпс 1957 по 1976 гг. в работах Дж.Л. Синжа, К. Фенга, Дж. Грегори, И. Бабушки, А.К. Ази-за был получен ряд результатов, связанных с простой интерполяцией, из которых следует, что по существу оценки сверху величин Е^sзависят не от наименьшего, а от наибольшего угла треугольника (что позволяет заменять условие наименьшего угла, накладываемое на триангуляцию, наусловие наибольшего угла —ограничение сверху на величины наибольших углов треугольников, точнее, отделенность величин наибольших углов треугольников от 7г). Названные результаты положили начало серии работ, в которых рассматриваются различные виды интерполяции и устанавливаются оценки сверху величин аппроксимации функций изWn+lMи их производных, представленные через различные геометрические характеристики симплекса, иногда с точными константами. В случае простой интерполяции в равноотстоящих узлах симплекса для различныхdиnздесь нужно отметить работы П. Жамэ(d >2,п Є N), Ю.С. Завьялова, Б.И. Квасова, В.Л. Мирошниченко(d= 2,п = 1, случай прямоугольных треугольников), Ю.Н. Субботина(d >2,п Є N), Д. Хандскомба(d= 2,п = 1), Ю.А. Килижекова(d >2,п = 1), Ш. Уолдрона (d> 2,п = 1), М. Стампфле (d> 2,п = 1), М. Криже-ка (d= 2, 3п= 1), В.А. Клячина и А.А Широкого (d= 3п= 1), Ф. Гетманюка и П. Кнупа (d= 2, 3,пЄ N ), В.А. Клячина и Е.А. Пабат (d> 2,п= 1), В.А. Клячина (d> 2,п= 1), С. Коротова, М. Криже-ка, А. Ханнукайнена(d >2,п= 1). В случае кратной интерполяции оценки сверху величин Е^sполучали Ю.Н. Субботин(d = 2, п = 3,5),Н.В. Латыпова(d = 2, п = Am+ 3,т> 0), А. Женишек(d = 2,
n= 3), Т. Апель(d= 2,3,пЄ N), Ю.В. Куприянова (Ю.В. Матвеева) (d= 2,3, п = 3 ), А. Женишек и Я. Ходерова-Зламалова (d= 3 , п = 3 ). Некоторые из характеристик симплекса, введенные в указанных работах, использовались в дальнейшем приd= 2,3 разными авторами для получения оценок в ряде других ситуаций, связанных с другими способами интерполяции, другими пространствами. В качестве примера можно привести работы Г. Акосты, Р.Г. Дюрана, Т. Апеля, А.Л. Ломбарди (обзор и сравнение ряда характеристик можно найти в [2] и [4]).
Наряду с оценками сверху величин Е^sпредставляют интерес оценки снизу, показывающие, что условие наибольшего угла, накладываемое на треугольник, является, вообще говоря, существенным при аппроксимации производных функции, заданной на треугольнике, производными интерполяционного многочлена. Первым и наиболее известным примером, демонстрирующим существенность условия наибольшего угла, является пример Шварца конца 19-го века. Данный пример показывает, что при определенном соотношении диаметра треугольника и величины наибольшего угла может даже не быть сходимости при аппроксимации градиента функции / градиентом линейной функции, заданной на треугольнике и интерполирующей значения / в вершинах треугольника. Также ряд оценок снизу величин Е^sполучен в работах Ю.Н. Субботина при доказательстве неулучшаемости соответствующих оценок сверху на множестве функцийWn+lMпри исследуемых им интерполяционных условиях (в том числе для случая простой интерполяции по равномерным узлам равнобедренного треугольника при произвольномпЄ N). Дляd = 2,3 и п = 1оценки снизу для аппроксимации производных функции получены Дж.Р. Шевчуком через радиусRописанной окружности треугольника или тетраэдра . В.А.Клячиным доказано, что приd = 3оценки снизу, полученные Дж.Р. Шевчуком, не являются точными. Интересно отметить, что даже если функция /, являющаяся решением эллиптической краевой задачи наСМ2,такова, что для сходимости производных интерполяционного многочлена к производным функции / требуется выполнение условия наибольшего угла, то это не означает, что при аппроксимации функции / (и ее производных) с использованием метода конечных элементов условие наибольшего угла является обязательным. Условие наибольшего угла, вообще говоря, не является необходимым для сходимости метода конечных элементов,
пример чего получен С. Коротовым, М. Крижеком, А. Ханнукайненом. С другой стороны, в работах И. Бабушки, А.К. Азиза, П. Освальда, В. Кучеры показано, что невыполнение этого условия может также приводить к сколь угодно медленной сходимости и даже расходимости метода конечных элементов.
В главе 2 диссертационной работы в 2.1 приd= 2,3 предложены новые конечные элементы, для которых получены оценки сверху величин E^s, более точные по сравнению с известными оценками, полученными ранее для других конечных элементов. В 2.2 доказано, что для широкого множества способов выбора условий интерполяции, в том числе и для традиционных, прит> 1 влияние наименьшего угла треугольника на величину Е^sявляется существенным дляs >2 . В случает= 0 существенным является влияние среднего (наибольшего) угла (независимо случайт= 0,п= 1 для интерполяции функции в вершинах треугольника рассмотрен В. Кучерой в 2016 г.). Как следствие, в диссертации показана оптимальность полученных ранее автором оценок сверху величин аппроксимации производных (для специально выбираемых условий интерполяции) не только для выбранного частного способа интерполяции, но и для широкого класса интерполяционных условий, обеспечивающих гладкость порядкатрезультирующего сплайна наQ .Отметим, что все оценки получены на множестве функцийWn+lM .Исследования оценок сверху, при которых учитывается возможное анизотропное поведение функции и начало которым положено в работах Э. Надлера, Н. Дин, Д. Левина, Ш. Риппа, Е.Ф. Д’Азеведо, Р.Б. Симпсона, выходят за рамки данной диссертации.
В 2.3 и 2.4 приd= 2 для величин погрешности аппроксимации производных функций получены соответственно оценки сверху длясоставных конечных элементов(или, что то же самое,макроэлементов —конечных элементов, составленных из нескольких треугольников) типа Сие-Клафа-Точера и оценки снизу для составных конечных элементов некоторого общего вида. В частности, полученные оценки сверху для величин аппроксимации производных первого порядка в случае макроэлементов типа Сие-Клафа-Точера позволяют накладывать на триангуляцию условие наибольшего (а не наименьшего, как это было ранее) угла. Идея построения макроэлементов впервые была предложена Сие в 1962 г. как идея сопряжения трех многочленов малой степени с це-
лью получения гладкой итоговой кусочно-полиномиальной функции на триангулированной исходной областиQСR2(сведения об этом можно найти в [1, глава 6]). Реализовано такое сопряжение было Р. Клафом и Дж. Точером в 1965 г. для трех многочленов 3 -й степени. Использование макроэлементов позволяет получать сплайны гладкости порядкатпри меньшем числе определяющих параметров конечноэлементного пространства по сравнению с использованием простых (не составных) эрмитовых конечных элементов. Обзор на эту тему можно найти в книге М.-Я. Лая и Л. Шумейкера [8].
В главе 3 диссертации рассматривается интерполяция Лагранжа по равномерным узлам{о-і1і2...ісі+1}^заданным в (1), наd-симплексе А С Rd.Как отмечено выше, для такой интерполяции на настоящий момент существует большое количество работ, где получены оценки сверху величин E^s, представленные через различные геометрические характеристики симплекса. Однако чаще всего в этих работах отсутствуют полноценные сравнения найденных оценок с результатами, полученными ранее. Автором предлагается в качестве базовых рассматривать оценки П. Жамэ [7]. Отметим, что в настоящее время эти оценки являются почти не используемыми, несмотря на то, что в задаче оценки сверху величин аппроксимации производных нет результатов, которые утверждали бы, что какие-либо из вновь получаемых оценок являются более точными, чем те, которые доказаны в [7]. В 3.1 вводится новая характеристика симплекса со свойствами, аналогичными свойствам характеристики П. Жамэ, являющаяся более простой для вычисления и использования на практике. Это делает более простыми процесс контроля триангуляции и сравнение оценок П. Жамэ с вновь получаемыми. В 3.2 приводятся оценки снизу величины погрешности аппроксимации производных функции на классеWn+1M(A),что связано с изучением проблемы неулучшаемости оценок сверху, полученных П. Жамэ. В 3.3 приводится пример, демонстрирующий, что приd= 3,п= 1 для некоторого класса тетраэдров оценки П. Жамэ можно несколько улучшить.
Цель работы.1) Для процесса интерполяции непрерывной функцииdпеременных алгебраическими многочленами степениппо равномерным узламd-симплекса при фиксированномdполучить точный порядок по степени многочленапконстанты ЛебегаLdn]найти оценку снизу для верхнего предела последовательности функций ЛебегаLdn{)
(n—> oo ) при каждом фиксированноми = и(Х)Є А.

Найти новые способы интерполяции (типа Эрмита или Биркго-фа) функции изWn+1M(A)алгебраическими многочленами и близкими конструкциями (составные конечные элементы), позволяющие получать непрерывные или гладкие сплайны на триангулированной области и приводящие к более точной аппроксимации производных производных исходной функции производными аппроксимирующей функции, чем известные ранее способы интерполяции; получить соответствующие оценки сверху погрешности аппроксимации производных функции производными интерполяционных многочленов.

Показать, что требование гладкости результирующей кусочно-полиномиальной функции на триангулированной области ведет к тому, что при аппроксимации производных порядка два и выше условие наименьшего угла, накладываемое на триангуляцию, становится неустранимым.

Найти новую характеристику, позволяющую контролировать качество триангуляции и являющуюся более простой для вычисления, чем классическая характеристика П. Жамэ. Показать, что известные оценки сверху погрешности аппроксимации функции и ее производных для случая интерполяции функции изWn+lM(A)алгебраическими многочленами степениппо равномерным узламd-симплекса, полученные П. Жамэ, для широкого класса симплексов являются качественно неулучшаемыми, а соответствующее ограничение на триангуляцию — неустранимым.

Методы исследования.В работе используются методы математического анализа и теории приближения функций.
Научная новизна.Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Найден точный порядок поппри фиксированномdконстанты ЛебегаLdn]получена оценка снизу для верхнего предела последовательности функций ЛебегаLdn{)(п -лоо ) при каждом фиксированноми = и(Х)є А.

Предложены новые способы интерполяции функции на треугольниках и тетраэдрах, для которых получены оценки сверху величинEdnа, более точные по сравнению с известными оценками, полученными ранее для для других конечных элементов. При этом также рассмотрены

составные конечные элементы.

Доказано, что для широкого множества способов выбора условий интерполяции функции двух переменных на треугольнике, в том числе традиционных, обеспечивающих локальное задание сплайна и гладкость порядка m 1, влияние наименьшего угла треугольника на величину погрешности аппроксимации производных функции производными интерполяционного многочлена является существенным для производных порядка 2 и выше. В случае m = 0 доказано, что существенным является влияние среднего (наибольшего) угла.

Введена новая характеристика d -симплекса, со свойствами, аналогичными свойствам характеристики П. Жамэ, являющаяся более простой для вычисления и использования на практике. С помощью этой характеристики показано, что во многих случаях условие на триангуляцию, введенное П. Жамэ в связи с интерполяцией Лагранжа по равномерным узлам d -симплекса и обеспечивающее сходимость метода конечных элементов, является неулучшаемым. Таким образом, показано, что оценки П. Жамэ для величины Edn,sявляются близкими к оптимальным и должны приниматься во внимание при исследовании и использовании величины Edn,s.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при аппроксимации поверхностей, при решении краевых задач методом конечных элементов. Развитые методы могут быть использованы при дальнейшем изучении способов аппроксимации производных функции производными интерполяционных многочленов и получении соответствующих оценок погрешности аппроксимации.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [10] [20] (без соавторов) в изданиях, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий ВАК.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на летних Школах С.Б. Стечкина (Миасс 2000, 2002, 2011, 2012, 2013, 2015; Алексин, 2007), на 16-й, 18-й, 19-й Саратовских зимних школах ”Совре-менные проблемы теории функций и их приложения” (Саратов, 2012, 2016, 2018), на Двенадцатой международной Казанской летней научной школе-конференции ”Теория функций, ее приложения и смежные вопросы” (Казань, 2016), на всероссийских конференциях ”Алгоритмический
анализ неустойчивых задач”, посвященных памяти В.К. Иванова (Екатеринбург, 2001, 2008, 2011; Челябинск, 2014), на российских конференциях ”Методы сплайн-функций”, посвященных памяти Ю.С. Завьялова (Новосибирск, 2001, 2011), на международной конференции ”Функциональные методы теории аппроксимации и теории операторов”, посвященной памяти В.К. Дзядыка (Украина, Волынская область, 2009), на конференции ”Теория приближения функций и ее приложения” (Украина, Каменец-Подольский, 2012), на IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток (Абрау-Дюрсо, 2002), на 3-й, 4-й, 7-й Всероссийских конференциях ”Актуальные проблемы прикладной математики и механики”, посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2006, 2008, 2014), на 31-й Региональной молодежной конференции (Екатеринбург, 2000), на международной школе-конференции ”Геометрический анализ и его приложения” (Волгоград, 2016), на совместном семинаре отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН под руководством члена-корреспондента РАН Ю.Н. Субботина и профессора Н.И. Черных, на семинаре лаборатории численных методов математического анализа Института математики им. С.Л.Соболева (руководитель к.ф.-м.н. В.Л. Мирошниченко), на семинаре по теории функций действительного переменного (руководители академик РАН Б.С. Кашин, академик РАН СВ. Конягин, профессор Б.И. Голубов, профессор М.И. Дьяченко).
Структура и объем работы.Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Общий объем работы — 210 страниц. Список литературы содержит 93 наименования.