Трошкі Наталія Василівна. МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВИХ ПОЛІВ

Краткое описание

Трошкі Наталія Василівна. Назва дисертаційної роботи: "МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВИХ ПОЛІВ"

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
На правах рукопису
Трошкi Наталiя Василiвна
УДК 519.21
Моделювання випадкових полiв
Дисертацiя
на здобуття наукового ступеня
кандидата фiзико-математичних наук
01.01.05 – теорiя ймовiрностей та математична статистика
Науковий керiвник - доктор
фiзико-математичних наук, професор
Козаченко Юрiй Васильович
Київ–2015
2
ЗМIСТ
ВСТУП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 ОГЛЯД ЛIТЕРАТУРИ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 ПОБУДОВА МОДЕЛЕЙ ГАУССОВИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСIВ З
ЗАДАНОЮ НАДIЙНIСТЮ ТА ТОЧНIСТЮ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1 Побудова моделi гауссового випадкового процесу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Точнiсть моделювання гауссових процесiв в Lp(T), p ≥ 1 . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Точнiсть моделювання гауссових процесiв в C(T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 ПОБУДОВА МОДЕЛЕЙ ГАУССОВИХ ВИПАДКОВИХ ПОЛIВ З ЗАДАНОЮ НАДIЙНIСТЮ ТА ТОЧНIСТЮ В Lp(T), p ≥ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1 Побудова моделi гауссового випадкового поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Точнiсть моделювання гауссових полiв в Lp(T), p ≥ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 ОЦIНКИ ДЛЯ ФУНКЦIЙ БЕССЕЛЯ ПЕРШОГО РОДУ . . . . . . . . . . . . . 72
5 ТОЧНIСТЬ ТА НАДIЙНIСТЬ МОДЕЛI ГАУССОВОГО ОДНОРIДНОГО ТА IЗОТРОПНОГО ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ У ПРОСТОРI
Lp(T), p ≥ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1 Побудова моделi однорiдного та iзотропного випадкового поля . . . . . . . 89
5.2 Точнiсть та надiйнiсть моделювання випадкових полiв. . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 ТОЧНIСТЬ ТА НАДIЙНIСТЬ МОДЕЛI ГАУССОВОГО ОДНОРIДНОГО ТА IЗОТРОПНОГО ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ У ПРОСТОРI C(T)102
3
7 ПОБУДОВА МОДЕЛЕЙ ДЕЯКИХ ДРОБОВИХ ВИПАДКОВИХ
ПРОЦЕСIВ IЗ ЗАДАНОЮ НАДIЙНIСТЮ ТА ТОЧНIСТЮ В ПРОСТОРI C(T). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.1 Побудова моделi дробового випадкового процесу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.2 Точнiсть та надiйнiсть побудованої моделi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
ВИСНОВКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4
ВСТУП
Актуальнiсть теми. Комп’ютерне моделювання є ефективним засобом
вiдтворення та передбачення рiзних явищ та процесiв, що вiдбуваються в
навколишньому середовищi. Оскiльки в основi комп’ютерного моделювання
лежать математичнi моделi, тому задача побудови таких моделей та дослiдження їх загальних властивостей i надалi залишається актуальною. Загальнi методи чисельного моделювання випадкових процесiв та полiв активно
почали розроблятись в другiй половинi ХХ столiття. Вiд тодi ж розширюється область їх застосування, що також обумовлює актуальнiсть дослiджень в
цьому напрямку. Зокрема, С. М. Ермаковим та Г. О. Михайловим розробленi
моделi, що використовуються в обчислювальнiй математицi; Ю. I. Палагiним
та А. С. Шалигiним побудованi моделi, що використовуються в метеорологiї
та машинобудуваннi; Г. I. Марчук та Г. О. Михайлов запропонували моделi,
що використовуються в ядернiй фiзицi та iн.
Багато нових методiв моделювання випадкових процесiв та полiв запропоновано Г. О. Михайловим та його учнями, серед яких метод подвiйної рандомiзацiї, моделi випадкових полiв по точкових потоках, метод розбиття та
рандомiзацiї спектру.
В роботах М. Й. Ядренка та його учнiв (З. О. Вижва, Г. Рахiмов) дослiджується моделювання iзотропних та однорiдних випадкових полiв на площинi
та на сферi. Для оцiнки точностi використовуються оцiнки моментiв. Дослiдженням точностi та надiйностi побудованих моделей гауссових стацiонарних
процесiв, а також оцiнками збiжностi моделей за ймовiрнiстю в рiзних функцiональних просторах займається Ю. В. Козаченко та його учнi Л. Ф. Козаченко, А. О. Пашко, I. В. Розора, А. М. Тегза та iншi.
Бiльшiсть фiзичних та соцiальних явищ залежать вiд багатьох факторiв,
тому при їх моделюваннi потрiбно вiдтворити процеси та поля, що є сумою
великого числа випадкових факторiв, дiя кожного з яких незалежна, тому,
5
як випливає з центральної граничної теореми, цi процеси можна вважати гауссовими. При побудовi моделей конкретних процесiв та полiв за допомогою
методу розбиття та рандомiзацiї спектру отримуємо моделi, якi є субгауссовими. Це є якiсною вiдмiннiстю цього методу вiд iнших, оскiльки при цьому
коварiацiйна функцiя моделi спiвпадає з коварiацiйною функцiєю процеса
(поля), а для бiльшостi iнших методiв ця властивiсть не виконується. Бiльше того, побудованi моделi процесiв та полiв збiгаються за ймовiрнiстю до
гауссових.
В данiй роботi розглядаються гауссовi нестацiонарнi випадковi процеси та
поля, а також однорiднi та iзотропнi випадковi поля. За допомогою методу
розбиття та рандомiзацiї спектру побудовано моделi таких процесiв та полiв.
В роботi також дослiджуються точнiсть та надiйнiсть побудованих моделей
в просторi неперервних функцiй та просторi Lp(T), p ≥ 1.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.
Дисертацiйна робота виконана в рамках державної бюджетної дослiдницької наукової теми № 11БФ038-02 “Еволюцiйнi системи: дослiдження аналiтичних перетворень, випадкових флуктуацiй та статистичних закономiрностей”, що виконується на кафедрi теорiї ймовiрностей, статистики та актуарної математики механiко-математичного факультету Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка, i входить до комплексного тематичного плану науково-дослiдних робiт “Сучаснi математичнi проблеми
природознавства, економiки та фiнансiв” (номер державної реєстрацiї №
0111U006561).
Мета i завдання дослiдження.
Метою роботи є розробка теоретичних основ побудови методiв моделювання випадкових процесiв та полiв, побудова моделей, що наближають випадковi процеси та поля iз заданою надiйнiстю та точнiстю в просторах C(T) та
Lp(T). В роботi вивчаються наступнi задачi:
• побудова моделей гауссових нестацiонарних випадкових процесiв та полiв
6
за допомогою методу розбиття та рандомiзацiї спектру;
• дослiдження точностi та надiйностi моделi гауссового нестацiонарного
процесу в просторi C(T);
• побудова моделi однорiдного та iзотропного випадкового поля, а також
дослiдження її точностi та надiйностi в C(T);
• отримання умов збiжностi моделей деякких дробових випадкових процесiв за ймовiрнiстю в просторi C(T);
• дослiдження точностi та надiйностi побудованих моделей гауссових нестацiонарних процесiв та полiв в Lp(T);
• моделювання однорiдного та iзотропного випадкового поля iз заданою
точнiстю та надiйнiстю в просторi Lp(T).
Об’єктом дослiдження є гауссовi нестацiонарнi випадковi процеси та
поля, а також однорiднi та iзотропнi випадковi поля.
Предметом дослiдження є точнiсть та надiйнiсть побудованих субгауссових моделей в рiзних функiональних просторах.
Методи дослiдження.
В роботi використано методи теорiї моделювання випадкових процесiв та
полiв, теорiї субгауссових випадкових процесiв та полiв, а також аналiтичний
апарат математичного аналiзу.
Наукова новизна одержаних результатiв.
Основними науковими результатами, що виносяться на захист, є такi:
• розроблено модифiкований метод розбиття та рандомiзацiї спектру для
побудови нестацiонарних випадкових процесiв та полiв;
• запропоновано нову модель гауссового нестацiонарного випадкового процесу, яка наближає його iз заданою точнiстю та надiйнiстю в просторi
C(T);
7
• побудовано моделi гауссових нестацiонарних процесiв та полiв, якi наближають їх iз заданою точнiстю та надiйнiстю в просторi Lp(T);
• запропоновано нову модель однорiдного та iзотропного випадкового поля,
яка наближає його iз заданою надiйнiстю та точнiстю в просторi Lp(T);
• отримано умови при яких модель однорiдного та iзотропного випадкового
поля наближає його iз заданою надiйнiстю та точнiстю в просторi C(T);
• дослiджено умови збiжностi моделi деяких дробових випадкових процесiв
за ймовiрнiстю в просторi C(T).
Практичне значення отриманих результатiв.
Результати дисертацiйної роботи мають теоретичне значення та практичне застосування в багатьох природничих та соцiально-економiчних науках,
зокрема в фiнансовiй математицi, метеорологiї, геофiзицi, геологiї, радiотехнiцi, машинобудуваннi, при випробуваннi рiзних механiзмiв.
Особистий внесок здобувача.
Доведення всiх результатiв, що виносяться на захист дисертацiї отриманi автором самостiйно. За результатами дисертацiйної роботи опублiковано
6 робiт, з яких одна у спiвавторствi з науковим керiвником, професором
Ю. В. Козаченком Йому належать постановка задачi, пропозицiї щодо методiв її розв’язання та аналiз отриманих результатiв. Одна робота опублiкована у спiвавторствi з А. М. Тегзою. В цiй роботi здобувачем отримано оцiнки
моментiв k-порядку субгауссових випадкових величин, якi використовуються
при дослiдженнi точностi та надiйностi побудованої моделi.
Апробацiя результатiв.
Основнi результати дисертацiйної роботи доповiдались та обговорювались
на таких наукових конференцiях:
• П’ятнадцята всеукраїнська (десята мiжнародна) студентська наукова
конференцiя з прикладної математики та iнформатики (м. Львiв, Україна, 2012);
8
• Shevchenkivska vesna 2013. XI International Interdisciplinary Scientific
Conference of Students and Young Scientists (Kyiv, Ukraine, 2013);
• Одинадцята вiдкрита наукова конференцiя iнституту прикладної математики та фундаментальних наук (м. Львiв, Україна, 2013);
• Всеукраїнська наукова конференцiя “Сучаснi проблеми теорiї ймовiрностей та математичного аналiзу” (м. Iвано-Франкiвськ, Україна, 2014);
• П’ятнадцята мiжнародна наукова конференцiя iменi академiка Михайла
Кравчука (м. Київ, Україна, 2014);
• VII Мiжнародна школа-семiнар “Теорiя прийняття рiшень” (м. Ужгород,
Україна, 2014);
• III Мiжнародна науково-практична конференцiя “Математика в сучасному технiчному унiверситетi” (м. Київ, Україна, 2014);
• International Conference “Probability, Reliability and Stochastic Optimization” (Kyiv, Ukraine, 2015);
та наукових семiнарах:
• засiданнi наукового семiнару “Теорiя ймовiрностей та математична статистика” кафедри теорiї ймовiрностей, статистики та актуарної математики
механiко-математичного факультету Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка пiд керiвництвом проф. Ю. С. Мiшури та
проф. Ю. В. Козаченка (м. Київ, Україна, 2015);
• засiданнi наукового семiнару “Статистичнi проблеми для випадкових процесiв i полiв” кафедри математичного аналiзу та теорiї ймовiрностей
фiзико-математичного факультету НТУУ “КПI” пiд керiвництвом проф.
О. I. Клесова та проф. О. В. Iванова (м. Київ, Україна, 2015);
• засiданнi наукового семiнару “Теорiя стохастичних процесiв та їх застосування” кафедри теоретичної та прикладної статистики механiко-
9
математичного факультету Львiвського нацiонального унiверситету iменi Iвана Франка пiд керiвництвом проф. Я. I. Єлейка (м. Львiв, Україна,
2015);
• засiданнi наукового семiнару кафедри теорiї ймовiрностей i математичного аналiзу математичного факультету ДВНЗ “Ужгородський нацiональний унiверситет” пiд керiвництвом проф. П. В. Слюсарчука (м. Ужгород,
Україна, 2015);
• засiданнi наукового семiнару кафедри вищої математики фiзикоматематичного iнституту Нацiонального педагогiчного унiверситету iменi
М. П. Драгоманова пiд керiвництвом проф. М. В. Працьовитого (м. Київ,
Україна, 2015);
Публiкацiї.
За результатами дисертацiї опублiковано 14 робiт:
• 6 статей, двi з яких [128, 131] надруковано в iноземних журналах, одна
робота [130] опублiкована в українському фаховому виданнi, яке iндексоване в наукометричнiй базi SCOPUS та три статтi [126, 127, 129] опублiковано в наукових виданнях з перелiку затвердженого МОН України;
• 8 тез доповiдей на мiжнародних i вiтчизняних наукових конференцiях
[132]-[139].
Структура та обсяг роботи.
Дисертацiя складається зi вступу, семи роздiлiв, якi мiстять пiдроздiли,
висновкiв та списку використаних джерел, який нараховує 139 найменувань,
мiстить 3 рисунки. Повний обсяг роботи становить 152 сторiнки, iз них список
використоних джерел займає 16 сторiнок.
Змiст роботи. У вступi обґрунтовано актуальнiсть обраної теми, вказано
зв’язок роботи з науковими планами, програмами, темами, визначено мету i
завдання дослiдження, об’єкт, предмет, методи дослiдження, коротко викла-
10
денi основнi результати роботи та окреслено можливi практичнi застосування одержаних результатiв. Крiм того, у вступi подано опис особистого внеску
здобувача, вiдомостi про апробацiю результатiв та перелiк публiкацiй автора.
У першому роздiлi наведено огляд лiтератури за темою дисертацiйного
дослiдження та спорiдненими питаннями. Висвiтлено сучасний стан вивчення
проблем, схожих до тих, що розглядаються у дисертацiйнiй роботi.
Другий роздiл присвячено побудовi моделей гауссових нестацiонарних випадкових процесiв iз заданою точнiстю та надiйнiстю. У першому пiдроздiлi
другого роздiлу, для гауссового нестацiонарного випадкового процесу побудовано модель, а також отримано оцiнки моментiв k-порядку субгауссових
випадкових величин.
Нехай T – деяка параметрична множина. Розглянемо гауссiв дiйсний центрований неперервний в середньому квадратичному випадковий процес ξ =
{ξ(t), t ∈ T}, коварiацiйна функцiя якого допускає зображення
R(t, s) = Z
∞
0
g(t, λ)g(s, λ)dF(λ),
де F(λ) – неперервна функцiя розподiлу.
Даний процес матиме наступний вигляд
ξ(t) = Z
∞
0
g(t, λ)dη(λ),
де η(λ) – гауссiв процес з незалежними приростами, E(η(b) − η(c))2 = F(b) −
F(c), b > c та Eη(λ) = 0.
Нехай L > 0 деяке задане число. Розглянемо розбиття Λ = {λ0, ..., λN }
множини [0,∞] таке, що λ0 = 0, λk < λk+1, λN−1 = L, λN = +∞.
За модель будемо брати
ξΛ(t) =
N
X−1
k=0
ηkg(t, ζk),
де ηk, ζk – незалежнi випадковi величини, ηk – гауссовi випадковi величини,
такi що Eηk = 0, Eη
2
k = F(λk+1) − F(λk) = b
2
k
, ζk – випадковi величини, що
11
приймають значення на вiдрiзках [λk, λk+1] i якщо b
2
k > 0, то
Fk(λ) = P{ζk < λ} =
F(λ) − F(λk)
F(λk+1) − F(λk)
.
Покладемо, що ηk =
λ
R
k+1
λk
dη(λ) i розглянемо наступну рiзницю
ηΛ(t) = ξ(t) − ξΛ(t) =
N
X−1
k=0
λ
Z
k+1
λk
g(t, λ)dη(λ) −
N
X−1
k=0
λ
Z
k+1
λk
g(t, ζk)dη(λ) =
=
N
X−1
k=0
λ
Z
k+1
λk
(g(t, λ) − g(t, ζk)) dη(λ) (1)
Накладемо на функцiю g(t, λ) наступну умову
| g(t, λ) − g(t, u) |≤ S(| u − λ |) · Z(t),
де Z(t), t ∈ T – деяка неперервна функцiя, S(λ), λ ∈ R – монотонно неспадна
функцiя, така що S(λ) → 0 при λ → 0.
Лема 1. Мають мiсце наступнi спiввiдношення
E


λ
Z
k+1
λk
(g(t, λ) − g(t, ζk)) dη(λ)


2m+1
= 0,
E


λ
Z
k+1
λk
(g(t, λ) − g(t, ζk)) dη(λ)


2m
≤
≤
(2m)!
2m · m!
Z
2m(t)E


λ
Z
k+1
λk
S
2
(|λ − ζk|)dF(λ)


m
.
Означення 2. Випадкову величину χ будемо називати субгаусовою, якщо
знайдеться таке a ≥ 0, що для всiх λ ∈ R виконується нерiвнiсть
E exp{λχ} ≤ exp 
a
2λ
2
2

.
Простiр усiх субгаусових випадкових величин, заданих на стандартному
ймовiрнiсному просторi {Ω, B,P}, будемо позначати Sub(Ω). Простiр Sub(Ω)
– простiр Банаха з нормою τ (χ) = sup
λ6=0
h
2 ln E exp{λχ}
λ2
i
1
2
.
12
В роботi також оцiнено норму процесу ξ(t) − ξΛ(t).
Теорема 3. Випадковий процес ξ(t) − ξΛ(t) є субгауссовим та виконується
наступна нерiвнiсть
τ (ξ(t) − ξΛ(t)) ≤ Z(t)
"
N
X−1
k=0
b
2
k
sup
m≥1

ES
2m(|ζk − ζ
∗
k
|)


1
m
#
1
2
,
де b
2
k = F(λk+1) − F(λk), а ζ
∗
k
– випадковi величини, що не залежать вiд ζk i
мають такi ж розподiли, що i ζk.
У пiдроздiлi 2.2 на основi попереднiх оцiнок отримано теорему про наближення моделi до гауссового нестацiонарного випадкового процесу iз заданою
точнiстю та надiйнiстю в просторi Lp(T), p ≥ 1.
Означення 4. Випадковий процес ξΛ(t) наближає процес ξ(t) з надiйнiстю
(1 − δ), 0 < δ < 1 та точнiстю ε > 0 в Lp([0, T]), якщо розбиття Λ таке, що
має мiсце наступна нерiвнiсть
P





Z
T
0
| ξ(t) − ξΛ(t) |
p
dt


1
p
> ε



≤ δ.
Теорема 5. Нехай в моделi ξΛ(t) розбиття Λ таке, що має мiсце наступна
нерiвнiсть
Z
T
(τ (ξ(t) − ξΛ(t)))p
dt ≤
ε
p
max 
p
p
2 ,

2 ln 2
δ

p
2
.
Тодi ця модель наближається до гауссового процесу ξ(t) з надiйнiстю 1 − δ,
0 < δ < 1 та точнiстю ε > 0 у просторi Lp(T), p ≥ 1.
Також наведено приклади реалiзацiй цих моделей за допомогою програмного забезпечення Mathematica.
У пiдроздiлi 2.3 отримано оцiнки моментiв k-порядку субгауссових випадкових величин та знайдено оцiнки супремумiв норм субгауссових випадкових
процесiв, якi будуть використанi при дослiдженi умов вибору розбиття так,
щоб побудована модель наближала гауссовий процес iз заданими надiйнiстю
та точнiстю в просторi C(T

Список литературы

ВИСНОВКИ
В дисертацiйнiй роботi розглядається питання моделювання випадкових
процесiв та полiв, а саме моделювання гауссових нестацiонарних випадкових
процесiв та полiв. Метод розбиття та рандомiзацiї спектру був запропонований Г. О. Михайловим та далi розробляється його учнями для побудови
моделей гауссових стацiонарних випадкових процесiв. Однак, даний метод
не може бути застосований до нестацiонарних процесiв та полiв. Тому, на
основi даного методу, в роботi розроблено модифiкований метод розбиття та
рандомiзацiї спектру, за допомогою якого побудованi моделi гауссових нестацiонарних випадкових процесiв та полiв, а також однорiдних та iзотропних
випадкових полiв. Крiм цього дослiджено точнiсть та надiйнiсть побудованих
моделей в просторах неперервних функцiй та Lp(T), p ≥ 1. Основнi результати роботи можна пiдсумувати наступним чином:
1. Побудовано модель гауссових нестацiонарних випадкових процесiв, а також дослiджено надiйнiсть та точнiсть цiєї моделi в просторi Lp(T), p ≥ 1.
2. Дослiджено надiйнiсть та точнiсть побудованої моделi гауссового нестацiонарного випадкового процесу в просторi неперервних функцiй.
3. За допомогою модифiкованого методу розбиття та рандомiзацiї спектру
побудовано модель гауссового нестацiонарного випадкового поля та дослiджено надiйнiсть та точнiсть побудованої моделi в просторi Lp(T).
4. Отримано умови при яких побудована модель однорiдного та iзотропного
випадкового поля наближає його iз заданою надiйнiстю та точнiстю в
просторах C(T) та Lp(T), p ≥ 1.
5. Показано, що за допомогою модифiкованого методу розбиття та рандомiзацiї спектру можна будувати моделi, що наближають деякi дробовi
випадковi процеси iз заданою точнiстю та надiйнiстю.