МЕТОДИЧНА СИСТЕМА НАВЧАННЯ ПРОЕКТИВНОЇ ГЕОМЕТРІЇ В ПЕДАГОГІЧНИХ УНІВЕРСИТЕТАХ Автореферат

У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми, визначено об’єкт, предмет, мету, завдання, методологічну основу і методи дослідження, розкрито наукову новизну і практичне значення. Подано відомості про апробацію і впровадження результатів дослідження в практику навчання, обсяг та структуру дисертації.

У першому розділі «Предмет та теоретичні основи дослідження» визначено психолого-методичні засади вивчення проективної геометрії, методичні вимоги до організації процесу навчання, розроблено методичну систему (уточнено мету та зміст курсу, з’ясовано організаційні форми, методи та засоби навчання, що сприяють досягненню поставленої мети та завдань).

Результати аналізу навчальних програм підготовки вчителів математики, підручників, посібників дали змогу уточнити мету курсу: навчання студентів методам і фактам проективної геометрії, формування та розвиток вмінь застосовувати їх до розв’язування задач курсу; оволодіння студентами методами побудови зображень просторових фігур на площині та методами розв’язування задач на побудову за допомогою однієї лінійки, зокрема на побудову перерізів; розвиток просторової уяви та конструктивних вмінь у майбутнього вчителя математики.

З’ясовано різні підходи до вивчення курсу: синтетичний, аналітичний та аналітико-синтетичний, розкрито зміст і особливості їх використання в навчальному процесі. Використання синтетичного підходу до викладання навчального матеріалу дозволяє уникати формалізму знань студентів, демонструє прикладну спрямованість курсу проективної геометрії та його зв'язок зі шкільним курсом геометрії, сприяє розв’язуванню більшої кількості конструктивних задач.

У педагогічних вищих навчальних закладах надається перевага аналітико-синтетичному підходу. Результати дослідження показали, що такий підхід призводить до порушення цілісності змісту курсу, його логічної структури і, як наслідок, до формального засвоєння студентами навчального матеріалу.

У процесі дослідження уточнено зміст курсу (весь теоретичний матеріал проективної геометрії, де використовується аналітичний підхід, об’єднано в окрему тему, яка розглядається в кінці курсу); з’ясовано зв'язок між його темами; виділено з кожної теми основні поняття та твердження курсу (відомі та нові), а також вимоги до знань та вмінь студентів.

Для виділення організаційних форм, що сприяють кращому досягненню поставлених мети та завдань курсу, в дослідженні з’ясовано особливості розвитку просторової уяви та абстрактного мислення у студентів 18-20 річного віку. З’ясовано, що навчання проективної геометрії покращується, якщо воно ґрунтується на основних положеннях асоціативно-рефлекторної теорії навчання, теорії формування понять та теорії поетапного формування розумових дій та понять. Виявлено вплив орієнтовних основ дій (ООД) на формування вмінь та розроблено види ООД (алгоритми, схеми, опорні конспекти, плани розв’язування задач).

Під час навчання проективної геометрії доцільно використовувати традиційні організаційні форми: лекції, практичні заняття, самостійну та індивідуальну роботи.

Серед існуючих видів лекцій, враховуючи специфіку навчального курсу, були виділені такі, що сприяють підвищенню рівня розумової активності студентів: лекції-візуалізації, лекції прес-конференції, інтерактивні лекції.

Враховуючи абстрактність матеріалу курсу проективної геометрії та його насиченість побудовами, рекомендується використовувати лекції-візуалізації, під час яких теоретичний матеріал супроводжується презентаціями, розробленими в PowerPoint. Кожна з презентацій містить мету вивчення теми, зв'язок з іншими темами, основний зміст матеріалу і опорний конспект. Завдяки розробленим слайдам викладач має змогу відтворити матеріал попередніх тем за допомогою опорних схем; проілюструвати виконання рисунків до теорем, покрокове виконання побудови тощо. При цьому, враховуючи залежність рисунків від вибору початкових даних, дані зображення, що демонструються на лекціях, є наочно правильними (що економить навчальний час).

Використання лекцій прес-конференцій дає можливість підтримувати постійну увагу студентів. На початку лекції студентів попереджають про майбутню «прес-конференцію» і наприкінці заняття вони отримують аркуші паперу, на яких подано окремі питання теми, що розглядалися під час лекції. Перед студентами ставляться завдання: сформулювати означення поняття, вказати теорему, доведення якої подано, доповнити частину доведення тощо.

Під час підготовки інтерактивних лекцій доцільно заздалегідь роздати необхідний дидактичний матеріал та методичні рекомендації щодо вивчення теми. Студенти готуються до цього заняття (виписують означення понять, формулювання теорем тощо). Такі лекції проводяться після виконання студентами проектів-досліджень. Тоді викладач має можливість з’ясувати, наскільки зрозуміло те, що опрацьовувалося самостійно, оцінити роботу студентів, прокоментувати найскладніші місця.

Під час дослідження було з’ясовано основні вимоги до організації практичних занять та самостійної роботи студентів. Серед них: забезпечення розуміння студентами необхідності оволодіння теоретичними знаннями; індивідуалізація та диференціація; дотримання систематичності й логічної послідовності у формуванні умінь та навичок студентів; розробка завдань для практичних занять; включення в систему практичних занять завдань творчого характеру; систематичне контролювання виконання студентами практичних завдань та постійне заохочення практичної навчальної діяльності студентів.

У процесі дослідження обґрунтовані методи навчання, використання яких сприяє найбільш повному досягненню мети курсу. Пояснювально-ілюстративний метод доцільно використовувати при введенні нових понять курсу та доведенні складних теорем. Частково-пошуковий метод дає змогу підвищити рівень навчально-пізнавальної діяльності, стимулювати розумову діяльність та активність студента. Тому він доцільний при вивченні більшості матеріалу проективної геометрії. Дослідницький метод рекомендується використовувати під час введення нових понять та їх властивостей, теорем та їх доведень, алгоритмів розв’язування основних задач на побудову з використанням принципів двоїстості та під час виконання індивідуальних робіт, проектів-досліджень.

Під час організації занять з курсу проективної геометрії (лекцій, практичних занять) використовують засоби навчання — допоміжні матеріальні (підручники, рисунки, інструменти (циркуль та лінійка) тощо) та ідеальні засоби (слово викладача, різноманітні задачі, алгоритми, системи символів і знаків тощо).

У першому розділі наведено стан досліджуваної проблеми в практиці навчання в педагогічних університетах. З’ясовано, що у традиційній методичній системі навчання не використовуються види лекцій, розроблені в ході дослідження; недостатньо застосовується ІКТ, зокрема для самостійного та індивідуального навчання. Результати проведених письмових робіт з випускниками (ІV і V курси) показали недостатній рівень вмінь студентів розв’язувати конструктивні задачі, зокрема на побудову перерізів. Результати тестів, які містили питання з курсу проективної геометрії, її обґрунтування, проведених із студентами ІІ-ІV курсів, показали формальне засвоєння студентами даного курсу. Все зазначене вище дало підстави зробити висновок про те, що аналітико-синтетичний підхід не забезпечує ефективного вивчення основних положень проективної геометрії та формування вмінь розв’язувати конструктивні задачі курсу. Результати дослідження дали змогу обґрунтувати необхідність внесення змін у традиційну методичну систему навчання проективної геометрії.

У другому розділі “Методика навчання проективної геометрії в педагогічних університетах” наведена методика навчання студентів основних понять та тверджень курсу проективної геометрії при синтетичному підході, формування вмінь розв’язувати задачі; виділено основні (візуальні та метричні) задачі на побудову, алгоритми їх розв’язування; введено класифікацію задач з недосяжними елементами; запропоновано методику організації лабораторної роботи з дослідження властивостей центрального проектування та проекти-дослідження (з питань проективної геометрії та методів зображень).

Під час вивчення основних понять та тверджень курсу доцільно приділяти увагу створенню проблемних ситуацій, добору проблемних задач (враховуючи прикладну спрямованість курсу та його тісний зв'язок з перспективою, такі задачі найчастіше пов’язані із виконанням зображення). Більшість понять проективної геометрії є конструктивними, а тому їх вивчення має супроводжуватися виконанням рисунку.

Встановлено, що навчання проективної геометрії більш ефективне, якщо використовувати можливості принципу двоїстості. Цей принцип дає змогу залучати студентів до самостійного формулювання нових понять та їх властивостей, теорем, що, з одного боку, економить навчальний час на лекції, а з другого – стимулює навчально-пізнавальну діяльність студентів під час вивчення нового матеріалу, оскільки поняття, двоїсті до даних, студенти формулюють самостійно. Такі поняття доцільно вводити паралельно для кращого їх розуміння і запам’ятовування них.

Оскільки проективна геометрія вивчає властивості фігур, що залишаються незмінними під час центрального проектування, то рекомендується кожне нове поняття демонструвати з точки зору саме цього проектування. Крім того доцільно, по можливості, під час вивчення кожної теми демонструвати зв'язок між проективною та евклідовою (шкільною) геометрією, що буде сприяти кращому розумінню студентами місця теоретичних основ курсу в системі їх фахової математичної освіти. Одним із видів таких демонстрацій є застосування проективної геометрії до методів зображень. Під час вивчення теорії зображень доцільними є інтерактивні лекції, оскільки відповідні теми містять багато означень, які є нескладними і можуть бути засвоєні студентами самостійно. Тоді на лекційних заняттях звертається увага на основні теореми, що лежать в основі виконання зображень на площині, та основну теорему аксонометрії – Польке-Шварца.

У курсі проективної геометрії виділяються задачі на обчислення (такі задачі переважають під час аналітичного підходу), доведення, дослідження та побудову. Задачі на побудову рекомендується поділяти на візуальні та метричні, в залежності від властивостей даних в задачі фігур. Розв’язування візуальних задач вимагає лише встановлення певних співвідношень, що характеризують положення шуканої фігури. Метричні задачі пов’язані із вимірюванням відрізків чи кутів, з поняттям рівності двох відрізків (кутів), із порівнянням або перенесенням відрізків (кутів), побудовою кривих другого порядку. Розв’язування таких задач за допомогою однієї лінійки вимагає наявності абсолюту, який може задаватися паралельними прямими, паралелограмом, квадратом, кривою другого порядку з її центром та одним із фокусів. Метрична задача із заданим абсолютом стає візуальною задачею.

На основі зазначеної класифікації, були виділені найпростіші (11 задач) та основні задачі на побудову (10 візуальних та 5 метричних), складено алгоритми для розв’язування останніх задач.

До найпростіших побудов (що виконуються циркулем та лінійкою) рекомендується відносити такі: побудувати: промінь АВ, якщо побудовані точки А, В; відрізок АВ, якщо побудовані точки А, В; пряму АВ, якщо побудовані точки А, В; коло, якщо побудовані його центр і відрізок, що рівний радіусу; точку перетину двох побудованих (зокрема паралельних) прямих; невласну точку, якщо побудована пряма, що їй належить, або пучок паралельних прямих; точку перетину побудованої прямої і кола, якщо такі існують; точку перетину двох побудованих кіл, якщо такі точки існують; точку, яка належить побудованій фігурі; точку, яка не належить побудованій фігурі, якщо фігура не співпадає з усією площиною; невласну пряму, якщо побудована площина, яка їй належить, або пучок паралельних площин.

До основних візуальних задач віднесені такі: побудова: конфігурації Дезарга; повного чотиривершинника; гармонічної четвірки точок; відповідних елементів першого ступеня в проективній відповідності; відповідних елементів в інволюційній відповідності для рядів із спільним носієм; подвійних елементів проективної відповідності; точки многокутника, вписаного (описаного) в криву другого порядку (побудова точки, що належить до кривої другого порядку); поляри для заданої точки; полюса для заданої поляри; відповідних елементів в гомології.

Рекомендовані метричні задачі: поділ відрізка навпіл (задано дві паралельні прямі і відрізок на одній із них); побудова прямої, що проходить через задану точку, паралельно до заданого відрізка із вказаною його серединою; побудова прямої, що проходить через задану точку, паралельно до заданої прямої (задано коло із центром або паралелограм, або квадрат); побудова прямої, що проходить через задану точку, перпендикулярно до заданої прямої (задано коло із центром або квадрат); від даної точки відкласти відрізок заданої довжини і положення (задано коло із центром).

Серед візуальних задач першого ступеня виділено задачі з недосяжними елементами (такими є точки перетину паралельних прямих або точки перетину прямих, які перетинаються за межами креслення). Для розв’язування цих задач використовуються пряма та обернена теореми Дезарга, поняття та властивості повного чотиривершинника, поняття гомології. У ході дослідження було класифіковано такі задачі в залежності від кількості недосяжних елементів (одна точка, дві точки, безліч точок однієї прямої). Було з’ясовано, що розвитку творчого мислення сприяють індивідуальні роботи по відшуканню способу розв’язання задач, що містять недосяжні елементи (складання алгоритму). При цьому мають враховуватися рівні навчальних досягнень студентів. Студентам, що навчаються на середньому рівні, досить запам’ятати один із способів розв’язання таких задач, для решти студентів пропонується знайти й інші способи. Після вивчення поняття гомології, доцільно запропонувати порівняти знайдені способи розв’язування задач одного типу за допомогою трьох понять та визначити найбільш раціональний із них.

Розроблені в ході дослідження методичні рекомендації забезпечують ефективне формування вмінь розв’язувати задачі з використанням основних понять та тверджень курсу, зокрема: теорем Дезарга, Паскаля та Бріаншона; понять повного чотиривершинника, четвірки гармонічних точок, проективних форм першого ступеня, полюса та поляри, гомології.

Підвищенню інтересу до курсу проективної геометрії та розвитку образного мислення сприяють індивідуальні завдання у вигляді досліджень. Наприклад, під час вивчення центрального проектування студентам пропонується провести дослід з утворення тіні плоских фігур, розташованих в одній площині, точковим джерелом на іншу площину, розглянувши різні можливі положення фігури та джерела світла. Розвиток дослідницьких умінь покращується, якщо пропонувати студентам проекти-дослідження, дидактичною метою яких є, зокрема, ознайомлення з різними підходами до вивчення понять проективної геометрії (синтетичного та аналітичного), вміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати; розвиток вміння працювати з навчальною літературою. Вивчення питань теорії зображень більш ефективне, якщо використовувати розроблені проекти-дослідження та розрахунково-графічні роботи, пов’язані з вивченням законів зображення та основних методів виконання зображень просторових фігур на площині, побудови перерізів. Мета цих робіт - закріпити вміння зображати плоскі та просторові фігури на площині, а також виконувати перерізи цих фігур.

Вивчення проективної геометрії передбачає використання комп’ютерних технологій. Під час проведення лекційних занять доцільною є програма PowerPoint, за допомогою якої зручно демонструвати виконання побудов. Під час розв’язування метричних задач на побудову рекомендується використовувати програму KOMPAS 3D. Ця програма дає можливість виконувати побудову на необмеженій області; вводити допоміжні лінії та точки; здійснювати вимірювання заданої величини та побудованої, з метою переконання в правильності розв’язання поставленої задачі тощо.

Для дослідно-експериментальної перевірки результативності створених методичних розробок і методичних рекомендацій щодо їх застосування з метою підвищення рівня засвоєння знань та формування вмінь з курсу проективної геометрії проводилися констатувальний (2006 - 2008 рр.), пошуковий (2008 – 2009 рр.) і формувальний (2010 – 2011 рр.) етапи експерименту.

У процесі констатувального експерименту було з’ясовано стан розробки методичної системи навчання проективної геометрії в педагогічних вищих навчальних закладах; виявлено характер і причини труднощів, які виникають у студентів під час вивчення курсу; з’ясовано рівень розвитку вмінь розв’язувати задачі з даного курсу. Результати констатувального етапу експерименту дозволили сформувати висновок про те, що аналітико-синтетичний підхід до вивчення проективної геометрії не сприяє успішному засвоєнню теоретичних основ курсу, пов’язаних з центральним проектуванням, з перспективою, застосуванням проективної геометрії до евклідової геометрії, формуванню конструктивних умінь студентів.

На другому етапі було проведено пошуковий експеримент, в ході якого уточнювалися основні складові методичної системи (мета, зміст, організаційні форми, методи і засоби) навчання проективної геометрії, аналізувалися підходи до вивчення курсу, технології формування вмінь розв’язувати задачі.

На етапі формувального експерименту перевірялася ефективність розробленої методичної системи навчання проективної геометрії. Об’єм вибірки становив 430 студентів, які були розподілені на дві групи: контрольна група (КГ) складалася з 225 студентів, експериментальна (ЕГ) – 205 студентів. На початку експерименту була проведена діагностична письмова робота з метою виявлення рівня знань та вмінь, необхідних для вивчення курсу проективної геометрії (рис.1, де В – високий, Д – достатній, С – середній, Н – низький рівні знань та вмінь студентів). Результати виконання завдань студентами КГ та ЕГ показали, що відмінність між цими групами на початку експерименту не була статистично значущою.