Моделювання випадкових процесів Кокса : Моделирование случайных процессов Кокса

brief description

Київський національний університет імені Тараса Шевченка
На правах рукопису
Погоріляк Олександр Олександрович
УДК 519.21
Моделювання випадкових процесів Кокса
01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук
Науковий керівник Козаченко Юрій Васильович
доктор фізико-математичних наук, професор
Київ-2007

ЗМІСТ
ВСТУП............................................................................................................................................................................................. 4
1 ОГЛЯД ЛІТЕРАТУРИ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ..................................................................................................................... 26
2 ВИПАДКОВІ ПРОЦЕСИ КОКСА.................................................................................................................................................................. 32
3 ГАУССОВІ ВИПАДКОВІ ПРОЦЕСИ ТА ПОЛЯ................................................................................................................................. 36
3.1. Побудова моделей стаціонарного гауссового процесу та однорідного гауссового поля......... 37
3.2. Побудова моделі неоднорідного гауссового поля.......................................................... 39
3.3. Оцінка розподілу супремуму Ьр— процесу................................................................................ 40
3.4. Оцінка супремуму розподілу квадратично гауссового процесу 41
4 МОДЕЛЮВАННЯ ЛОГАРИФМІЧНО ГАУССОВОГО ПРОЦЕСУ КО­КСА ЯК ПРОЦЕСУ НАДХОДЖЕННЯ ВИМОГ В АКТУАРНІЙ МА­ТЕМАТИЦІ ............................................................................................................................................................................... 46
5 СПРОЩЕНИЙ МЕТОД МОДЕЛЮВАННЯ ЛОГАРИФМІЧНО ГА- УССОВИХ ПРОЦЕСІВ КОКСА.................................. 65
6 МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ КОКСА У ВИПАДКУ КОЛИ ЙОГО ІНТЕНСИВНІСТЬ ПОРОДЖЕНА ОДНОРІДНИМ ЛОГАРИФМІЧНО ГАУССОВИМ ПОЛЕМ....................................................................................................... 81
7 МОДЕЛЮВАННЯ ЛОГАРИФМІЧНО ГАУССОВОГО ПРОЦЕСУ КО­КСА У ВИПАДКУ КОЛИ ЙОГО ІНТЕНСИВНІСТЬ ПОРОДЖЕНА НЕОДНОРІДНИМ ПОЛЕМ................................................................................................................................................ 91
8 МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ КОКСА У ВИПАДКУ КОЛИ ЙО­ГО ІНТЕНСИВНІСТЬ ПОРОДЖЕНА КВАДРАТИЧНО ГАУССОВИМ ВИПАДКОВИМ ПРОЦЕСОМ............................................................................................................................... 98
9 МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ КОКСА КЕРОВОНОГО КВАДРА­ТИЧНО ГАУССОВИМ ВИПАДКОВИМ ПОЛЕМ........... 107
9.1. Моделювання квадратично гауссового процесу Кокса коли його ін­тенсивність породжена однорідним полем 108
9.2. Моделювання квадратично гауссового процесу Кокса коли його ін­тенсивність породжена неоднорідним полем 111
ВИСНОВКИ............................................................................................................................................................................. 116
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ......................................................................................................................... 117

ВСТУП
Актуальність теми.
У зв’язку з тим, що теорія випадкових процесів дедалі ширше засто­совується в різних галузях, і не тільки, природничих наук, однією з най­актуальніших задач залишається побудова математичної моделі випадко­вого процесу та дослідження її властивостей. Внаслідок стрімкого розвит­ку електронно-обчислювальної техніки, активно розробляються методи чи­сельного моделювання випадкових процесів. Зростає сфера застосування стохастичних моделей в різних областях природничих та соціальних наук, таких, як метеорологія, радіотехніка, соціологія, фінансова та актуарна математика, стохастична геометрія, електроніка та ін.
Над розробкою теорії моделювання випадкових процесів та полів пра­цювало багато науковців, серед них Михайлов Г.О., Єрмаков С.М., Ядрен- ко М.Й., Козаченко Ю.В., Пашко А.О., Розора І.В., Войтишек А.В., Пала- гін Ю.І., Шалигін О.С. та ін.
Окремо потрібно відмітити Михайлова Г.О. та його учнів. Ними були запропоновані ряд нових напрямків в моделюванні випадкових процесів та полів. Це спектральні моделі гауссових процесів та полів, моделі випад­кових процесів по точкових потоках, теорія збіжності числових моделей випадкових функцій, метод подвійної рандомізації тощо.
Оскільки більшість фізичних явищ залежать від багатьох факторів, то при їх моделюванні намагаються відтворити процеси, що є сумою великого числа випадкових чинників, тобто згідно центральною граничною теоре­мою є гауссовими або близькими до них процесами. Тому найбільш широ­ко розроблені методи моделювання гауссових випадкових процесів і полів. Традиційними є методи лінійного перетворення, ковзаючого підсумовуван­ня, авторегресії та ковзаючого середнього, метод канонічних представлень, метод подвійної рандомізації, неканонічного розкладу. В більшості робіт, присвячених комп’ютерному моделюванню випадкових процесів, не вивча­ються питання про точність та надійність побудованих моделей. Вперше такі питання досліджувались в роботах Козаченка Ю.В., Козаченко Л.Ф., Пашка А.О.
Методи моделювання гауссових процесів, при яких модель наближає процес з даною точністю та надійністю в просторі L2([0,T]), вперше роз­глядались в роботах Козаченка Ю.В., Козаченко Л.Ф. [24, 25]. В книзі [26] вичаються субгауссові випадкові процеси та будуються їх моделі з точніс­тю та надійністю заданими наперед в різних банахових просторах. Коза­ченком Ю.В., Тегзою А.М. досліджувались надійність та точність моделі гауссового випадкового процесу побудованого методом Михайлова Г.О. в різних функціональних просторах. В працях Козаченка Ю.В., Розори І.В. [42, 76, 41] розглядалось моделювання гауссових стацоінарних процесів з дискретним спектром з урахуванням виходу процеса на фільтрі та гауссо­вих ізотропних випадкових полів на одиничній сфері.
Але, майже не вивчались і зовсім не будувались моделі подвійно стохас- тичних випадкових процесів які не є гауссовими, але певні характеристики яких є гауссові або породжуються гауссовими процесами чи полями, що наближають процес з заданою точністю та надійністю. Прикладом таких
процесів є випадкові процеси Кокса, які власне і є об’єктом дослідження даної дисертаційної роботи.
Оскільки, такі процеси широко використовуються для опису моделей в актуарній математиці, стохастичній геометрії та інших галузях природни­чих наук, то зрозуміло, що побудова моделей таких процесів є актуальною задачею.
Основним завданням дисертаційної роботи є дослідження точності та надійності побудованих моделей випадкового процесу Кокса.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.
Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетної дослідницької теми № 01БФ03806 кафедри теорії ймовірностей та математичної статис­тики КНУ ім. Т. Шевченка Розвиток теорії випадкових полів та динаміч­них систем на алгебраїчних структурах ”, яка входить до програми По­будова та застосування математичних методів дослідження детермінова­них та стохастичних еволюційних систем” (номер державної реєстрації № 010іи002472).
Мета і завдання дослідження.
Метою роботи є подальший розвиток теорії моделювання просторово- точкових випадкових процесів, деякі характеристики яких породжуються гауссовими процесами або полями, а також розширення кола теоретичних і практичних застосувань даної теорії, зокрема, до задач стохастичної геомет­рії, фінансової математики, теорії масового обслуговування та ін. В роботі ставляться наступні завдання:
• розвиток теорії моделювання точкових випадкових процесів;
• розробка методів числового моделювання випадкових процесів Кокса;
• побудова моделей випадкового процесу Кокса, керованого стаціонар­ним логарифмічно гауссовим процесом або однорідним чи неоднорід­ним логарифмічно гауссовими полями;
• побудова моделей випадкового процесу Кокса, керованого стаціонар­ним квадратично гауссовим процесом або однорідним чи неоднорідним квадратично гауссовими полями;
• дослідження точності та надійності побудованих моделей вище згада­них процесів Кокса.
В роботі використовуються методи теорії моделювання випадкових про­цесів та полів, аналітичний апарат теорії випадкових процесів з просторів Орлича.
Наукова новизна одержаних результа^в.
• Розроблено та обгрунтовано два методи моделювання випадкових про­цесів Кокса.
• Побудована модель випадкового процесу Кокса у якого інтенсивність породжується стаціонарним логарифмічно гауссовим процесом, одно­рідним та неоднорідним логарифмічно гауссовими полями.
• Побудована модель випадкового процесу Кокса у якого інтенсивність породжується стаціонарним квадратично гауссовим процесом, однорі­дним та неоднорідним квадратично гауссовими полями.
• Отримані достатні умови наближення процесів вище згаданими моде­лями з наперед заданою точністю та надійністю.
Практичне значення одержаних результатів.
Всі отримані в дисертаційній роботі результати мають теоретичне зна­чення та практичне застосування в актуарній математиці, теорії масового обслуговування, стохастичному моделюванні, статистиці та інших галузях, в яких використовуються випадкові процеси.

Наприклад, як показують практичні дослідження, в класичній теорії ри­зику, для резервного процесу ризику

bibliography

ВИСНОВКИ
Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку теорії моделюван­ня просторово-точкових процесів, певні характеристики яких породжують­ся гауссовими процесами або полями.
Описано та обгрунтовано два методи моделювання процесів Кокса керо­ваних випадковою інтенсивністю.
Отримані достатні умови наближення процесу Кокса побудованими мо­делями для випадків, коли інтенсивність породжується логарифмічно гаус- совим стаціонарним процесом або логарифмічно гауссовим однорідним чи неоднорідним полем, а також квадратично гауссовим стаціонарним проце­сом або квадратично гауссовим однорідним чи неоднорідним полями.
Всі вище згадані моделі випадкових процесів Кокса будуються з певною точністю та надійністю заданими наперед.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
[1] Беляев Ю.К. Локальные свойства выборочных функций стационарных случайных процессов // Теория вероятн. и ее применен. - 1960. - Т. 5, №1. - С. 128-131.
[2] Беляев Ю.К. О числе выходов векторного случайного процесса за гра­ницу области // Теория вероятн. и ее применен. - 1968. - Т. 13, № 2. - С. 333-337.
[3] Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике.- М.: Сов. радио, 1971. - 326 с.
[4] Булдыгин В.В. Сходимость случайных элементов в топологических пространствах. - К.: Наукова думка, 1980. - 240 с.
[5] Булдыгин В.В., Козаченко Ю.В. Метрические характеристики случай­ных величин и процессов. - Киев: ТВІМС, 1998. - 289 с.
[6] Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные распре­деления в банаховых пространствах. - М.: Наука, 1985. - 368 с.
[7] Владимиров В. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1967.­436 с.
[8] Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. - М.: Наука, 1971. - Т. 1. - 664 с.
[9] Гихман. И., Скороход А., Ядренко М. Теория вероятостей и математи­ческая статистика. - К.: Выща школа, 1988. - 439 с.
[10] Джуліано Антоніні Р., Козаченко Ю.В., Тегза А.М. Нерівності для норм субгауссових векторів та точність моделювання випадкових про­цесів // Теор. ймовірностей та матем. статист. - 2002. - Вип. 66. - С. 58-66.
[11] Джуліано Антоніні Р., Козаченко Ю.В., Тегза А.М. Точність моделю­вання в Lp гауссових випадкових процесів // Вісник Київського уні­верситету, Сер. фіз.-мат. науки. - 2002. - Вип. 5. - С. 7-14.
[12] Дмитровский В.А. О распределении максимума и локальных свойствах реализаций предгауссовских полей // Теория вероятн. и матем. ста­тист. - 1981. - №25, - С. 154-164.
[13] Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Стохастическое моделирование. - Мо­сква: Наука, 1982. - 286 с.
[14] Зелепугина И.Н., Козаченко Ю.В. Об оценках точности моделирова­ния случайных полей в пространствах Lp // Исследование операций и АСУ.- 1988. - №32, - C. 10-14.
[15] Ибрагимов И.А., Розанов Ю.А. Гауссовские случайные процессы. - М.: Наука, 1970. - 384 с.
[16] Ибрагимов И.А. Об условиях гладкости траекторий случайных фун­кций // Теория вероятн. и ее применен. - 1983. - Т. 28, №2. - С. 229-250.
[17] Каргин Б.А., Пригарин С.М. О численном моделировании оптических характеристик взволнованной поверхности моря // Методы стохасти­ческого моделирования. - 1990. - C. 95-102.
[18] Каргин Б.А., Пригарин С.М. Имитация поверхности морского волне­ния и исследования ее оптических свойств методом Монте-Карло // Оптика атмосферы и океана. - 1992. - Т. 5, №3. - С. 285-291.
[19] Кнут Д.Е. Искусство програмиравания. - Москва-Киев: Вильямс. - 2000. - Т. 1-3.
[20] Козаченко Ю.В. О равномерной сходимости стохастических инте­гралов в норме пространства Орлича // Теория вероятн. и матем. статист.- 1983. - Вып. 29. - С. 52-64.
[21] Козаченко Ю.В. Случайные процессы в пространствах Орлича.1. // Теория вероятн. и матем. статист. - 1984. - Вып. 30. - С. 92-107.
[22] Козаченко Ю.В. Случайные процессы в пространствах Орлича.11. // Теория вероятн. и матем. статист. - 1984. - Вып. 31. - С. 44-50.
[23] Козаченко Ю.В. Случайные процессы в пространствах Орлича. Свой­ство траектории, сходимость рядов и интегралов: Дисс. ... докт. физ.- мат. наук: 01.01.05; - Захищена 25.12.1985; Затв. 23.05.1986 - К., 1985.­296 с.: іл.-Бібліогр.: с. 285-296.
[24] Козаченко Ю.В., Козаченко Л.Ф. О точности моделирования в Ь2(0, Т) гауссовских случайных процессов // Вычисл. и прикладн. математика. - 1991. - №74. - С. 108-11.
[25] Козаченко Ю.В., Козаченко Л.Ф. О точности моделирования в Ь2(0, Т) гауссовских случайных процессов // Вычисл. и прикладн. математика.- 1992. - №75. - С. 88-93.
[26] Козаченко Ю.В., Пашко А.О. Моделювання випадкових процесів. - К.: Київський університет, 1999. - 223 с.
[27] Козаченко Ю.В., Тегза А.М. Застосування теорії 8иЬ^(^} просторів випадкових величин до знаходження точності моделювання стаціонар­них гауссових процесів // Теор. ймовірностей та матем. статист. - 2002. - Вип. 67. - С. 71-87.
[28] Колмогоров А.Н. О некоторых асимптотических характеристиках вполне ограниченных метрических пространств. // Докл. АН СССР. - 1956. - Т. 108, №3. - С. 385-388.
[29] Колмогоров А.Н., Тихомиров В.М. е-энтропия и е-емкость множеств в функциональных пространствах. // Успехи матем. наук. - 1959. - Т. 14, №2. - С. 3-86.
[30] Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. - М.: Мир, 1969. - 400 с.
[31] Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и про­странства Орлича. - М.: Физматгиз, 1958. - 271с.
[32] Лифшиц В.А. Гауссовские случайные функции. - К.: ТВиМС, 1995. - 246 с.
[33] Мацак И.К. Непрерывность случайного процесса на компакте и цен­тральная предельная теорема в С^} // Теория вероятн. и матем. ста­тист. - 1981. - Вып. 24. - С. 102-107.
[34] Михайлов Г.А. Численное построение случайного поля с заданной спе­ктральной плоностью // Докл. АН СССР. - 1982. - Т. 238, №4. - С. 793-795.
[35] Михайлов Г.А. Моделирование случайных процессов и полей на основе точечных потоков Пальма // Докл. АН СССР. - 1982. - Т. 262, №3. - С. 531-535.
[36] Михайлов Г.А. Приближенные модели случайных процесов и полей // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1983. - Т. 23, №3. - С. 558-566.
[37] Островский Е.И. Обобщение нормы Булдыгина-Кзаченко и централь­ная предельная теорема в банаховых пространствах // Теория вероятн. и ее применен. - 1982. - Т. 27, №3 - С. 618-629.
[38] Островский Е.И. Экспоненциальные оценки распределения максимума негауссовского случайного поля // Теория вероятню и ее применен. - 1990. - Т. 35, №3. - С. 482-493.
[39] Пешкир Г., Ширяев А.Н. Неравенства Хинчина и мартингальное ра­сширение сферы их действия // Успехи матем. наук. - 1975. - Т. 50, №5. - С. 3-62.
[40] Питербарг В.И. Большие уклонения случайных процессов, близких к гауссовским // Теория вероятн. и ее применен. - 1982. - Т. 27, №3. - С. 474-491.
[41] Розора І.В. Моделювання випадкових процесів та полів із заданою то­чністю та надійністю: Дис. ... канд. фіз.-мат. наук: 01 01 05; - Захищена 26.09.2005; Затв. 9.03.2006. - К., 2005. - 143 с.: іл.-Бібліогр.: с. 127-143.
[42] Розора І.В., Козаченко Ю.В. Точність та надійність моделювання гаус- сових стаціонарних процесів з дискретним спектром // Праці конфе­ренції Сучасні проблеми в прикладній статистиці, промисловій, акту- арній та фінансовій математиці”. - Донецьк, 2003. - №1-2. - С.231.
[43] Скороход А.В. Замечание о гауссовских мерах в банаховых пространс­твах // Теория вероятн. и ее применен. - 1970. - Т. 15, №3. - С. 519-520.
[44] Тройников В.С. Численное моделирование случайных процессов на основе точечных потоков Пальма в задачах переноса излучения в обла­чной среде // Изв. АН СССР. Сер ФАО. - 1984. - Т. 20, №4. - C. 274-279.
[45] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. - М.: Мир, 1984. - Т. 2. - 744 с.
[46] Хамитов Г.П. Имитация случайных процессов. - Иркутск: изд. Иркут­ского ун-та. - 1983. - 183 с.
[47] Шалыгин А.С., Палагин Ю.И. Прикладные методы стохастического моделирования. - Л.: Машиностроение. - 1986. - 319 с.
[48] Ядренко М.И. О непрерывности выборочных функций гауссовского случайного поля на гильбертовом пространстве // Докл. АН УССР. - 1968. - С. 734-737.
[49] ЛІЬіп J.M.P. On extremal theory for stationary processes // Ann. Probab. - 1990. - № 18. - P. 92-128.
[50] ЛІЬіп J.M.P. On extremal theory for self-s^lar processes // Ann. Probab. - 1998. - № 26. - P. 723-793.
[51] Bartlett M.S. The spectral analysis of two-dimensional point processes. Biometrika. - 1964. - Vol. 51, P. 299-311.
[52] Bartlett M.S. The Statistical Analysis of Spatial Pattern. - London: Chapman and Hall. - 1975. - 90 p.
[53] Belyaev Yu.K. Continuity and Holder’s conditions for sample functions of stationary Gaussian processes // Proc. Fourth Berkeley Symp. on Math. and Probability. - 1961. - Vol.2. - P. 23-33.
[54] Berman S.M. Excursions of stationary Gaussian processes above high movi­ng barriers // The Annals of Probability. - 1973. - Vol. 1, № 3. - P. 133-184.
[55] Borell C. Tail probabilities in gauss space. Vector space measures. Appl. I // Proc. Conf. Dublin 1977. - Lect. Notes Math. - 1978. - № 644. - P. 73-82.
[56] Brix A. Generalized gamma measures and shot-noise Cox processes // Advances in applied probability. - 1999. - Vol. 31, № 3, - P. 929-953.
[57] Buldygin V.V., Solntsev S.A. Asymptotic behaviour of linearly transformed sums of random variables. - Dordrecht: Kluwer Academic Press, 1997. - 500 p.
[58] Cramer H., Lidbetter M. Stationary and Releted Stachastic Process. - New York: Willey, 1967.
[59] Cressie, Noel A.C. Statistics for Spatial Data: second edn. - New York: Wiley, 1991. - 900 p.
[60] Cox D.R. Some statistical models related with series of events // Journal of the Royal Statistical Society. - Series B. - 1955. - Vol.17. - P. 129-164.
[61] Delport J. Fonctions aleatoires presque surement continues sur un intervalle ferme // Theres presentees a la faculte des sciences d l’universite de Lill. - Paris: 1967. - 215 p.
[62] Dudley R.M. Gaussian processes on several parameters // Ann. Math. Statist. - 1965. - Vol. 36, № 3. - P. 771-788.
[63] Dudley R.M. The series of compact subsets of hilbert space and continuity of Gaussian proceses // J. Func. Anal. - 1967. - Vol. 1, № 2. - P. 290-330.
[64] Dudley R.M. Sample functions of the Gaussian processes // Annal. of Probability. - 1973. - Vol. 1, №1. - P. 3-68.
[65] Fernique X. Integrabilite des vecteurs gaussiens // C. R. Acad. Sci. A 270.­1970. - № 7. - P. 1698-1699.
[66] Fernique X. Regularite des trajectoires des fonctions aleatoires gaussiennes // Lecture Notes in Mathematics. - 1975. - Vol. 480. - P. 1-96.
[67] Fernique X. Regularite de fonctions aleatoires non gaussiennes // Lecture Notes in Mathematics. - 1983. - Vol. 976. - P. 1-74.
[68] Hahn M. Conditions for sample continuity and the central limit theorem // Ann. Probab. - 1977. - Vol. 5, №3. - P. 351-360.
[69] Hahn M., Klass M. Sample continuity of square integrable processes // Ann. Probab. - 1977. - Vol. 5, №3. - P. 361-367.
[70] Jain N.C., Marcus M.B. Continuity of sub-Gaussian processes // Adv. Probab. - 1978. - Vol. 4. - P. 81-196.
[71] Kahane J.P. Some random series of functions. - Lexington, Mass.: D.C. Heath and Company, 1968. - 184 p.
[72] Kallenberg O. Random Measures. - Berlin: Akadamie-Verlag, 1975. - 104p.
[73] Karr A.F. Point Processes and Their Statistical Inference. - NewYork: Marcel Dekker, 1991. - 490 p.
[74] Kerstan J., Matthes K. & Mecke J. Unbegrenzt teilbare Punktprozesse. - Berlin: Akademie-Verlag, 1974. - 420 p.
[75] Kozachenko Yu., Moklyachuk O. Large deviation probabilities for square- Gaussian stochastic processes // Extremes. - 1999. - № 11. - P. 269-293
[76] Kozachenko Yu., Rozora I. Simulation of Gaussian Stochastic Fields.// Theory of Stochastic Processes. - 2004.- Vol.10 (26), №.1-2.- P.48-60.
[77] Kono N. Sample path properties of stochastic processes // J. Math. Kyoto Univ. - 1980. - Vol. 20, № 2. - P. 295-313.
[78] Landau H.J., Shepp L.A. On the supremum of Gaussian processes // Sankhya, Ser. A. - 1970. - Vol. 32, № 4. - P. 369-378.
[79] Leadbetter M.R., Lindgren G. & Rootzen H. Extremes and related properties of random sequences and processes. - Berlin: Springer, 1983.­336 p.
[80] Ledoux M. A note on large deviations for Wiener chaos // Seminaire de probebilities XXIV 1988/89. - Lecture Notes in Mathematics. - 1990. - Vol. 1426. - P. 1-14.
[81] Ledoux M. Isoperimetry and Gaussian Analysis: Lectures on Probability Theory and Statistics // Lecture Notes in Mathematics, - 1996. - Vol. 1648. - P. 165-294.
[82] Ledoux M., Talagrand M. Probability in Banach space. - Berlin-New York: Springer-Verlag, 1991. - 480 p.
[83] Lindgren G. Extreme values of stationary normal processes // Z.
Wahrscheinlichkeitstheor. Verw. Geb. - 1971. - Vol. 17. - P. 39-47.
[84] Lorentz G.G. Metric entropy and approximation // Bull. Amer. Math. Soc. - 1966. - Vol. 72. - P. 903-937.
[85] Marcus M.B. Continuity in lp of certain Ornstein-Uhlenbeck processes
// Probability in Banach space 7. - Proc. 7th Int. Conf. -
Oberwolfach(FRG).- 1990. - P. 139-145.
[86] Marcus M.B., Pisier G. Random Fourier series with applications to harmonic analysis. - Prinston: Prinston University Press. - 1981. - Vol. 101. - 150 p.
[87] Marcus M.B., Rosen J. Sample path properties of the local times of strongly simmetric markov processes via Gaussian processes // Ann. Probab. - 1992. - № 20. - P. 1603-1684.
[88] Matheron G. Random Sets and Integral Geometry. - New York: Wiley, 1975. - 261 p.
[89] Moller J. Shot noise Cox processes // Advances in applied probability. - 2003. - Vol. 35, № 3. - P. 614-640.
[90] Moller J., Syversveen A.R. & Waagepetersen R.P. Log gaussian Cox Processes // Scandinavian Journal of Statistics. - 1998. - Vol. 25, № 4.- P. 451-482.
[91] Moller J., Waagepetersen R.P. An introduction to simulation-based inference for spatial point processes, in J.Moller(ed.). // Spatial Statistics and Computational Methods, Lecture Notes in Statistics 173. - NewYork: Springer-Verlag, 2003. - P. 143-198.
[92] Nanopoulos C., Nobelis P. Regularite et proprietes limites des fonctions aleatoires // Semin. Probab. XII, Univ. Strasbourg 1976/77. - Lect. Notes Math. - 1978. - Vol. 649. - P. 567-690.
[93] Ogorodnikov V.A. Statistical simulation of discrete random processes and fields // Soviet journal of numerical analysis and mathematical modelling- 1990. - vol. 5, №6, - P. 489-509.
[94] Pickands J. III. Upcrossing probabilities for stationary Gaussian processes // Trans. Am. Math. Soc. - 1969. - Vol. 145. - P. 51-73.
[95] Pisier G. Condtinuite d’entropie as surant la conditions // Semin. Anal. Fonct. - 1978-1980. - P. 13-14.
[96] Pisier G. Conditions d’entropie assurant la continuite de certains processus et applications a l’analyse harmonique // Semin. Anal. Fonct. - 1979-1980.- №. 13-14. - 43 p.
[97] Pisier G. Some applications of the metric entropy condition to harmonic analysis // Lect. Notes Math. - 1983. - Vol. 995. - P. 123-154.
[98] Piterbarg V.I. Asyptotic methods in the theory of Gaussian processes and fields: Translations of Mathematical Monographs. - Providence: AMS, 1996. - 148 p.
[99] Ripley B.D. Spatial Statistics. - New York: Wiley, 1981. - 252 p.
[100] Ripley B.D. Statistical Inference for Spatial Processes. - Cambridge: Cambridge UniversityPress, 1988. - 148 p.
[101] Sabelfeld K.K. and Kurbanmuradov O.A. Numerical statistical model of classical incompressible isotropic turbolence // Soviet journal of numerical analysis and mathematical modelling. - 1990. vol. 5, №3. - P. 251-263.
[102] Stoyan D., Kendall W.S. & Mecke J. Stochastic Geometry and Its Appli­
cations: second edn. - Chichester: Wiley, 1995. - 436 p.
[103] Student. On the error of counting with a haemacytometer. // Biometrika- 1907. - Vol. 10. - P. 179-180.
[104] Talagrand M. Ragularity of Gaussian processes // Acta Math. - 1987. - №159. - P. 99-149.
[105] Teugels Jozef L., Sundt Bjorn. Poisson Processes // Encyclopedia of actuarial science. - Wiley, 2004. - Vol. 3: O - Z. - P. 1296-1301.
[106] Weber M. Analyse infinitesimale de fonctions aleatorie // Ecole d’Ete de Probabilites de St-Flour, 1981, Lecture Notes in Mathematics. - Springer
Verlag, Berlin, Heidelberg, 1983. - Vol. 976. - P. 381-465.
[107] Yurinsky V. Sums and Gaussian vectors // Lecture Notes in Mathematics.- Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1995. - Vol. 1617. - 305 p.
[108] Козаченко Ю.В., Погоріляк О.О. Моделювання процесів Кокса керо­ваних випадковим полем // Доповіді НАН України. - 2006. - №10. - С. 20-23.
[109] Козаченко Ю.В., Погоріляк О.О. Моделювання логарифмічно гаус- сових процесів Кокса з заданою надійністю та точністю // ТВіМС. - 2007. - №76. - С. 58-71.
[110] Погоріляк О.О. Моделювання логгауссових процесів Кокса // Вісник Київ. нац. ун-ту ім. Шевченка. Сер матем., мех. - 2006. - № 15-16. - С.
94- 100.
[111] Погоріляк О.О. Моделювання квадратично гауссових процесів Кокса у випадку коли інтенсивність породжена однорідним полем // Наук. вісн. Ужгородського ун-ту. Сер. матем. і інформ. - 2007. - № 14. - C.
95- 102.
[112] Погоріляк О.О. Моделювання подвійно стохастичних процесів Пуас­сона з певною точністю та надійністю // Вісник Київ. ун-ту ім. Шев­ченка. Сер. фіз.-мат. науки. - 2007. - № 2. - С. 29-32.
[113] Козаченко Ю.В., Погоріляк О.О. Моделювання процесу надходження вимог як логгауссового процесу Кокса в класичній моделі резервного процесу ризику // Страхування та фінанси: наука, практика та освіта: міжн. літня школа. Форос, 25 червня - 1липня. 2006 р. - С. 6.
[114] Погоріляк О.О. Про моделювання логгауссових процесів Кокса // Шевченківська весна. Сучасний стан науки: досягнення, проблеми та перспективи розвитку: міжн. науково-практична конф. Київ, 2-3 берез­ня. 2006. - К: Логос, 2006. - С. 317-319.
[115] Погоріляк О.О. Про моделювання процесів Кокса керованих випад­ковим логарифмічно гауссовим полем. // Сучасна стохастика: теорія і застосування: міжн. конф. присв. 60-ій річниці каф. теор. ймов. та метем. стат. та пам’яті проф. М.Й. Ядренка. Київ, 19-23 червня. 2006.- С. 68-69.
[116] PogoriHak O.O. Simulation of Log Gaussian Cox processes with given accuracy and reliability // 9th International Vilnius Conference on Probabi- hty Theory and Mathematical Statistics. Vilnius, june 25-30. 2006. - P. 265.
[117] Pogoriliak O.O. Simulation of Cox processes with a random intensi­ty generated by a Log Gaussian process // Skorokhod Spase. 50 years on: international conference. Kyiv, june 17-23. 2007. - Kyiv: Institute of Mathematics of National academy of Sciences of Ukraine, 2007. - Part П.- P. 135.