Розора Iрина Василiвна Статистичнi властивостi оцiнок iмпульсних перехiдних функцiй : Розора Ирина Васильевна Статистические свойства оценок импульсных переходных функций Rozora Iryna Vasylivna Statistical Properties of Estimates of Pulse Transient Functions

brief description

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
Мiнiстерство освiти i науки України
Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
Мiнiстерство освiти i науки України
Квалiфiкацiйна наукова
праця на правах рукопису
Розора Iрина Василiвна
УДК 519.21
ДИСЕРТАЦIЯ
Статистичнi властивостi оцiнок
iмпульсних перехiдних функцiй
01.01.05 — теорiя ймовiрностей i математична статистика
11 математика та статистика
Подається на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук
Дисертацiя мiстить результати власних дослiджень. Використання iдей, результатiв i текстiв iнших авторiв мають посилання на вiдповiдне джерело.
I.В. Розора
Науковий консультант - доктор фiзико-математичних наук, професор
Козаченко Юрiй Васильович
Київ2020

ЗМIСТ
ВСТУП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1 ОГЛЯД ЛIТЕРАТУРИ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2 КВАДРАТИЧНО-ГАУССОВI ВИПАДКОВI ПРОЦЕСИ . . . . . . . . . . . . . 59
2.1 Простiр квадратично-гауссових випадкових величин . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2 Оцiнки розподiлiв супремума квадратично-гауссового випадкового
процесу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3 Розподiл норми в просторi Lp(T) для квадратично-гауссових випадкових процесiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4 Оцiнка ймовiрностi виходу траєкторiй квадратично-гауссових випадкових процесiв за криву . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5 Умови вибiркової неперервностi з ймовiрнiстю одиниця квадратично-гауссових випадкових процесiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.6 Висновки до другого роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3 ОЦIНКИ IМПУЛЬСНИХ ПЕРЕХIДНИХ ФУНКЦIЙ ПРИ ВIДОМIЙ
СПЕКТРАЛЬНIЙ ЩIЛЬНОСТI ВХIДНОГО СИГНАЛУ . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.1 Основнi означення та властивостi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.2 Про швидкiсть збiжностi корелограм у просторi неперервних функцiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.3 Вибiркова неперервнiсть з ймовiрнiстю одиниця для оцiнки iмпульсної перехiдної функцiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
15
3.4 Про швидкiсть збiжностi корелограм у просторi Lp(T). . . . . . . . . . . . . . . 131
3.5 Критерiї для перевiрки вигляду iмпульсної перехiдної функцiї . . . . . 133
Висновки до роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4 ОЦIНКИ IМПУЛЬСНИХ ПЕРЕХIДНИХ ФУНКЦIЙ, ЗАДАНИХ НА
КОМПАКТI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.1 Оцiнка iмпульсної перехiдної функцiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2 Оцiнка iмпульсної перехiдної функцiї з використанням тригонометричного базису . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.3 Про швидкiсть збiжностi корелограм у просторi неперервних функцiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.4 Вибiркова неперервнiсть з ймовiрнiстю одиниця для оцiнки iмпульсної перехiдної функцiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.5 Про швидкiсть збiжностi корелограм в просторi Lp(T). . . . . . . . . . . . . . . 182
4.6 Критерiї для перевiрки вигляду iмпульсної перехiдної функцiї . . . . . 185
Висновки до роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5 ОЦIНКИ IМПУЛЬСНИХ ПЕРЕХIДНИХ ФУНКЦIЙ, ЗАДАНИХ НА
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.1 Оцiнка iмпульсної перехiдної функцiї на R та ї ї властивостi . . . . . . . . 194
5.2 Оцiнка iмпульсної перехiдної функцiї за допомогою полiномiв Ермiта202
5.3 Про швидкiсть збiжностi оцiнки iмпульсної перехiдної функцiї в
просторi неперервних функцiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
16
5.4 Вибiркова неперервнiсть з ймовiрнiстю одиниця для оцiнки iмпульсної перехiдної функцiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.5 Про швидкiсть збiжностi оцiнки iмпульсної перехiдної функцiї в
просторi Lp([a, b]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.6 Критерiї для перевiрки вигляду iмпульсної перехiдної функцiї . . . . . 225
Висновки до роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6 МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСIВ IЗ НАПЕРЕД ЗАДАНОЮ ТОЧНIСТЮ ТА НАДIIЙНIСТЮ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.1 Модель Карунена-Лоєва для вхiдного процесу з урахуванням виходу232
6.2 Побудова моделi стацiонарного випадкового процесу з дискретним
спектром, що розглядається як вхiдний сигнал, з урахуванням виходу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.3 Розклад випадкових процесiв у ряд за системою ортонормованих
функцiй та застосування його до моделювання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.4 Умови рiвномiрної збiжностi з ймовiрнiстю одиниця рядiв з незалежними доданками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.5 Точнiсть моделювання строго φ-субгауссових випадкових процесi

bibliography

ВИСНОВКИ Дисертацiйну роботу присвячено стохастичним неперервним однорiдним лiнiйним системам, що описуються iмпульсними перехiдними функцiями. Здобувачем дослiджуються методи оцiнювання невiдомої iмпульсної перехiдної функцiї, вивчаються статистичнi властивостi побудованих оцiнок таких функцiй. Для цього використовується та знаходить подальший свiй розвиток теорiя квадратично-гауссових випадкових процесiв, розширюється коло теоретичних i практичних застосувань даних процесiв та теорiї лiнiйних стохастичних систем, зокрема, до задач моделювання випадкових процесiв. У дисертацiйнiй роботi отримано оцiнку ймовiрностi виходу траєкторiї квадратично-гауссового процесу за криву, яка описується неперервною функцiєю, на компактi. Одержано достатнi умови вибiркової рiвномiрної неперервностi з ймовiрнiстю одиниця для квадратично-гауссових процесiв. Знайдено оцiнку розподiлу модуля неперервностi квадратично-гауссового процесу. Покращено оцiнки, вiд вже iснуючих, для розподiлiв хвостiв квадратично-гауссових процесiв в нормi неперервних функцiй. Дослiджено фiзично здiйснимi однорiднi системи з iмпульсною перехiдною функцiєю H(τ ), τ ∈ R, у якостi вхiдних сигналiв яких розглядається сiм’я дiйснозначних стацiонарних центрованих гауссових випадкових процесiв з вiдомими спектральними щiльностями. Побудовано оцiнку функцiї H за спостереженнями за реакцiєю системи на вхiдний сигнал. Для цього використано iнтегральний корелограмний метод оцiнювання iмпульсної перехiдної функцiї H за умови H ∈ L2(R). Наведено умови асимптотичної незмiщеностi даної оцiнки Hˆ T та сильної конзистентностi. В частковому випадку знайдено оцiнку зсуву. Отримано оцiнку швидкостi збiжностi оцiнки Hˆ T в просторi неперервних функцiй. Знайдено оцiнку розподiлу норми по- 305 хибки оцiнювання в просторi Lp(T). Дослiджено умови рiвномiрної вибiркової неперервностi оцiнки Hˆ T з ймовiрнiстю одиниця. Побудовано критерiї згоди про вигляд iмпульсної перехiдної функцiї. Окремо вивчено випадок, коли iмпульсна перехiдна функцiя задана на компактi, H(τ ), τ ∈ [0,Λ]. В якостi вхiдних сигналiв розглядаються центрованi гауссовi випадковi процеси, що зображаються за допомогою ортонормованих функцiй з L2([0,Λ]), а саме зрiзаного ряду за ортонормованим базисом. В цьому випадку побудовано оцiнку Hˆ T функцiї H∗ (τ ) = H(τ )−a0 рiзницi iмпульсної перехiдної функцiї та реакцiї на сталий сигнал a0 = √ 1 Λ ∫ Λ 0 H(t)dt за спостереженнями вхiдного сигналу та вiдгуку системи за умови H ∈ L2([0,Λ]). Доведено асимптотичну незмiщенiсть та конзистентнiсть даної оцiнки Hˆ T . Знайдено оцiнку зсуву. Отримано оцiнку розподiлу супремуму похибки оцiнювання iмпульсної перехiдної функцiї. Знайдено оцiнку швидкостi збiжностi Hˆ T в просторi Lp(T). Дослiджено умови рiвномiрної вибiркової неперервностi оцiнки Hˆ T з ймовiрнiстю одиниця. Знайдено оцiнку розподiлу модуля неперервностi для Hˆ T . Побудовано критерiї згоди про вигляд iмпульсної перехiдної функцiї. У частковому випадку обчисленi таблицi критичних значень для вiдповiдних критерiїв. Дослiджено однорiдну лiнiйну систему з iмпульсною перехiдною функцiєю L(τ ), τ ∈ R, в якостi вхiдних сигналiв якої розглянуто центрованi гауссовi випадковi процеси, що зображаються за допомогою ортонормованих функцiй з L2(R), а саме зрiзаного ряду за ортонормованим базисом. Детально проаналiзовано випадок з використанням ортонормованих функцiй Ермiта. Побудовано оцiнку функцiї L(τ ) iмпульсної перехiдної функцiї за спостереженнями вхiдного сигналу та вiдгуку системи. Доведено асимптотичну незмiщенiсть та конзистентнiсть даної оцiнки LˆN,n. Знайдено оцiнку зсуву. Знайдено оцiнку швидкостi збiжностi оцiнки LˆN,n в просторi непе- 306 рервних функцiй. Отримано оцiнку швидкостi збiжностi оцiнки LˆN,n в просторi Lp(T). Дослiджено умови рiвномiрної вибiркової неперервностi оцiнки LˆN,n з ймовiрнiстю одиниця. Знайдено оцiнку розподiлу модуля неперервностi для LˆN,n. Побудовано критерiї згоди про вигляд iмпульсної перехiдної функцiї. Знайдено оцiнки швидкостi збiжностi та розроблено обчислювальнi алгоритми побудови iз заданими точнiстю i надiйнiстю моделей випадкових процесiв, якi розглядаються як вхiднi сигнали на лiнiйну однорiдну систему та використовують зображення Карунена — Лоєва, в просторi Lp(T) та просторi неперервних функцiй з урахуванням реакцiї системи. Отримано оцiнки швидкостi збiжностi та запропоновано обчислювальнi алгоритми побудови iз заданими точнiстю i надiйнiстю моделей випадкових процесiв, якi розглядаються як вхiднi сигнали на лiнiйну однорiдну систему та зображаються як процеси з дискретним спектром, в просторi Lp(T) та просторi неперервних функцiй з урахуванням реакцiї системи. Знайдено оцiнки швидкостi збiжностi та розроблено обчислювальнi алгоритми побудови iз заданими точнiстю i надiйнiстю моделей випадкових процесiв, якi розглядаються як вхiднi сигнали на лiнiйну однорiдну систему та розкладаються в ряд за ортонормованими функцiями, в просторi Lp(T) та просторi неперервних функцiй з урахуванням реакцiї системи. Дослiджено умови рiвномiрної збiжностi з ймовiрнiстю одиниця випадкових процесiв, що зображаються у виглядi рядiв з незалежними доданками. Знайдено швидкостi збiжностi та розроблено обчислювальнi алгоритми побудови iз заданими точнiстю i надiйнiстю моделей строго φ-субгауссових випадкових процесiв з дискретним спектром в просторi L2([0, T]). Дослiджено асимптотичну поведiнку процесу вiдновлення.