ФОРМУВАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ КОМПЕТЕНТНОСТЕЙ СТАРШОКЛАСНИКІВ У ПРОЦЕСІ ВИВЧЕННЯ РІВНЯНЬ ТА НЕРІВНОСТЕЙ

Краткое содержание

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дослідження, визначено його об’єкт, предмет, мету, завдання, методологічну основу й методи дослідження, наукову новизну, практичне значення, наведено відомості про апробацію та впровадження результатів дослідження.

У першому розділі “Дидактичні та психологічні основи дослідження” розглянуто питання реалізації компетентнісного підходу до навчання математики; виділено математичні компетентності учнів, наведені напрями їх набуття; розроблено критерії перевірки рівня їх сформованості; теоретично обґрунтовано психолого-педагогічні та методичні вимоги до навчання розв’язуванню рівнянь та нерівностей у курсі алгебри та початків аналізу, спрямованого на набуття учнями математичних компетентностей.

Урахування міжнародного та вітчизняного досвіду реалізації компетентні-сного підходу в математичній освіті дозволило уточнити поняття математичної компетентності – це вміння бачити та застосовувати математику в реальному житті; розуміти зміст і метод математичного моделювання; уміння будувати математичну модель, досліджувати її методами математики, інтерпретувати отримані результати, оцінювати похибку обчислень.

На основі аналізу програм з математики дванадцятирічної школи та враху-вання загальних принципів реалізації компетентнісного підходу до навчання виді-лено предметно-галузеві математичні компетентності учня, а саме: процедурну (володіння методами розв’язування типових математичних задач); конструктивно-графічну (здатність будувати математичні моделі практичних ситуацій, використо-вуючи аналітичні або графічні об’єкти); логічну (володіння дедуктивним методом доведення та спростування тверджень); дослідницьку (володіння передбачуваними програмою та Державним стандартом базової і повної загальної середньої освіти математичними методами дослідження практичних задач).

Поняття компетентності не зводиться тільки до знань і навичок, а належить до сфери складних умінь і якостей особистості, тому безпосередньо оцінювати можна лише зовнішні прояви сформованості математичних компетентностей, зокрема, навчальні досягнення учнів. На основі аналізу критеріїв сформованості начальних досягнень учнів, наведених у Державному стандарті базової і повної середньої освіти та в програмах з алгебри і початків аналізу для дванадцятирічної школи, виділено критерії рівня сформованості математичних компетентностей учнів, що стосуються змістової лінії рівнянь і нерівностей у курсі алгебри і початків аналізу та безпосередньо пов’язані з їхніми навчальними досягненнями. Також до опосередкованих, проте важливих показників рівня сформованості математичних компетентностей, ми відносимо ставлення до навчальної діяльності та міцність набутих знань, навичок та вмінь. У роботі обґрунтовано, що з’ясування та врахування взаємозв’язків між алгебраїчними поняттями і способами дій, а також виділення орієнтовних основ діяльності, необхідної для розв’язування рівнянь та нерівностей, сприяє набуттю учнями математичних компетентностей. Проде-монстровано, що в залежності від того, на якій саме компетентності ми зосередили увагу, важливо вдало поєднувати репродуктивні методи, доповнені дидактичним прийомом явного виділення орієнтовних основ діяльності та частково-пошукові й дослідницькі методи навчання; використовувати (у залежності від виду навчальної діяльності та поставленої мети) основні форми навчання (фронтальну, групову, індивідуальну роботу), його діалогізацію, індивідуалізацію.

Проведене теоретичне дослідження питання використання ІКТ з метою формування математичних компетентностей старшокласників засвідчило, що систематичне використання ІКТ з урахуванням дидактичних принципів навчання та дидактичних умов добору й застосування навчальних математичних програм є важливим засобом формування не лише математичних, а й окремих галузевих (зокрема технологічної) та ключових компетентностей учнів.

У дисертації обґрунтовано, що для набуття учнями математичних компе-тентностей при вивченні змістової лінії рівнянь і нерівностей доцільно вдоско-налити наявну методику навчання алгебри та початків аналізу в напрямку:

- формування узагальнених способів розв’язування рівнянь та нерівностей;

- виділення в явному вигляді загальних орієнтовних основ діяльності з розв’язування рівнянь, нерівностей та їх систем;

- включення в зміст навчання алгебри і початків аналізу формування орієнтовних основ діяльності з розв’язування відповідних алгебраїчних завдань;

- організації діяльності учнів зі складання планів розв’язування рівнянь та нерівностей; реалізації складених планів; аналізу одержаних результатів.

- посилення прикладної спрямованості навчання розв’язуванню рівнянь та нерівностей.

У другому розділі “Методичні особливості формування математичних компетентностей учнів у процесі вивчення рівнянь та нерівностей у курсі алгебри та початків аналізу” наведені методичні рекомендації щодо реалізації шляхів набуття учнями математичних компетентностей у процесі вивчення рівнянь та нерівностей. Окремим питанням розглянута реалізація компетентнісного підходу в процесі підготовки старшокласників до розв’язування рівнянь та нерівностей державної підсумкової атестації.

Під час проведення педагогічного дослідження ми умовно виокремлювали питання формування певних математичних компетентностей. Але теоретичний аналіз і результати педагогічного експерименту засвідчили, що всі математичні компетентності взаємопов’язані. Відповідно у процесі вивчення рівнянь та нерівностей, як і будь-якої іншої змістової лінії курсу алгебри та початків аналізу, в учнів формуються практично всі математичні компетентності (хоча формування конструктивно-графічної компетентності відбувається, передусім, при розгляді змістової лінії функцій та в шкільних курсах геометрії і креслення). Разом з тим для підвищення ефективності навчання алгебри та початків аналізу доцільно при орга-нізації навчання на кожному уроці акцентувати увагу вчителя на формуванні тієї компетентності, на яку першочергово спрямована відповідна навчальна діяльність.

За результатами проведеного аналізу були виділені основні поняття та методи, якими повинні оволодіти учні для успішного розв’язування тих рівнянь, нерів-ностей та їх систем, які пропонуються в шкільних підручниках та в завданнях державної підсумкової атестації й зовнішнього незалежного оцінювання з матема-тики. Передусім, це поняття рівняння та нерівності, системи рівнянь (нерівностей), коренів рівняння, розв’язків системи рівнянь, розв’язків нерівності та системи нерівностей, області допустимих значень рівняння, нерівності та їх систем, рів-няння-наслідку, системи-наслідку, рівносильних рівнянь, нерівностей та їх систем.

Учні повинні також знати й уміти використовувати певні теореми про рівносильність рівнянь, нерівностей та їх систем; формули або алгоритми розв’язування найпростіших рівнянь та нерівностей з кожної теми; схему розв’язування нерівностей методом інтервалів; основні ідеї, пов’язані із застосуванням властивостей функцій до розв’язування рівнянь.

У результаті поелементного аналізу розв’язань рівнянь та нерівностей було виділено найбільш загальні орієнтовні основи діяльності з розв’язування рівнянь та нерівностей основними методами. Для рівнянь – це методи рівносильних перетворень, використання рівнянь-наслідків та властивостей функцій. Для нерівностей – це метод рівносильних перетворень та метод інтервалів.

У роботі обґрунтовано, що для набуття учнями математичних компетентно-стей (передусім, процедурної та логічної) з розв’язування рівнянь, нерівностей та їх систем доцільно організувати роботу, спрямовану на формування здатностей виконання перетворень для одержання рівнянь-наслідків (систем-наслідків), рівносильних рівнянь (нерівностей та систем рівнянь і нерівностей). Також доцільно виділити для учнів схему розв’язування нерівностей загальним методом інтервалів; схеми розв’язування рівнянь та нерівностей з модулями та з параметрами; схеми застосування властивостей функцій до розв’язування рівнянь.

Для набуття відповідних компетентностей доцільно виділити два рівні орієнтовних основ: перший рівень – орієнтовні основи діяльності з пошуку плану розв’язування та з розв’язування будь-яких рівнянь і нерівностей (методами, які зазначено вище), а другий – орієнтовні основи діяльності з пошуку плану розв’язування та з розв’язування рівнянь і нерівностей з конкретної теми.

У другому розділі також з’ясовано особливості ознайомлення учнів із загальними орієнтовними основами дій, пов’язаними з розв’язуванням рівнянь, нерівностей та їх систем та обґрунтовано, що для набуття старшокласниками математичних компетентностей (передусім процедурної) у процесі навчання розв’язуванню рівнянь і нерівностей доцільно організувати навчання так, щоб учні засвоїли загальну схему роботи з рівняннями й нерівностями даної теми на одному-двох типових прикладах, а потім тренувалися в застосуванні цієї схеми при розв’язуванні інших завдань з теми, які пропонуються в підручнику та різноманітних збірниках завдань.

У роботі обґрунтовано, що для набуття логічної та дослідницької компетентностей доцільно використовувати усні завдання, спрямовані на розвиток логічного мислення та культури математичного мовлення учнів, прикладні задачі, математичними моделями яких є тригонометричні, ірраціональні, показникові та логарифмічні рівняння, як при введенні понять даних рівнянь, так і в процесі їх вивчення; організовувати навчальні дослідження (аналітичні та графічні) учнів під час вивчення систем рівнянь, рівнянь, нерівностей і їх систем з параметрами, функціональних рівнянь.

У додатках до дисертації наведена добірка усних завдань, спрямованих на розвиток логічного мислення учнів. Ці завдання виконують розвивальну функцію, можуть використовуватися з метою закріплення вмінь, навичок та з метою контролю. Тим часом подібні завдання не потребують громіздких розрахунків, їх розв’язування складається з 2 – 3 логічних кроків, вони привчають учнів аналі-зувати умову завдання та врахувати властивості функцій, що входять до рівняння (нерівності), перш ніж переходити до його розв’язування. Наприклад, при розв’язу-ванні рівняння  (яке пропонується в четвертій частині завдань державної підсумкової атестації з математики) учні обґрунтовують, що в його лівій частині стоїть зростаюча функція (як сума двох зростаючих функцій), тому це рівняння може мати тільки один корінь, який не складно підібрати (x = 10).

Для посилення прикладної спрямованості навчання у процесі вивчення рівнянь та нерівностей розроблено систему прикладних задач (понад 70), які в залежності від дидактичних цілей, що ставляться учителем, можна використо-вувати на різних етапах уроку (наприклад, при введенні нових понять), а також у самостійній роботі учнів.

У роботі наведено приклади організації навчальних досліджень учнів під час вивчення рівнянь та нерівностей з параметрами, систем рівнянь та функціональ-них рівнянь. Доцільно в ці навчальні дослідження включати такі етапи: аналіз умови завдання (що включає постановку проблеми та складання плану), реалізацію плану з відповідним обґрунтуванням проведеної роботи, висновок, вивчення знай-деного розв’язання та аналіз його результатів. Проаналізувавши основні методи розв’язування рівнянь і нерівностей, ми виділили аналітичні та графічні навчальні дослідження учнів при розв’язуванні рівнянь та нерівностей з параметрами. В основі аналітичних навчальних досліджень лежить використання основних методів розв’язування рівнянь та нерівностей, до яких ми відносимо використання рівносильних перетворень, використання властивостей функцій та використання рівнянь-наслідків. В основі графічних навчальних досліджень лежить використання графічного методу розв’язування рівнянь та нерівностей з параметрами.

У дослідженні розглянуті два можливі шляхи систематичного використання ІКТ для набуття учнями як математичних, так і ключових життєвих компетентностей, підвищення їхньої інформаційної грамотності: по-перше, систематичне використання ІКТ під час уроків вивчення рівнянь та нерівностей; по-друге, упровадження в 11 класах за рахунок шкільного компонента спецкурсу ”Використання ІКТ для розв’язування рівнянь, нерівностей та їх систем”. У роботі наведений його зміст та методичні рекомендації до проведення занять.

Дослідження засвідчило, що використання ІКТ на уроках алгебри і початків аналізу у процесі розв’язування рівнянь та нерівностей, при організації графічних навчальних досліджень сприяє підвищенню інформаційної грамотності учнів, формуванню в них здатностей обґрунтовувати правильність розв’язування задач, висувати та емпірично перевіряти справедливість гіпотез, аналізувати раціо-нальність (ефективність) розв’язування задач певним методом, будувати графіки рівнянь, нерівностей та їх систем за допомогою комп’ютера і проводити їх дослідження; критично мислити, систематизувати отримані результати, що сприяє формуванню в учнів не тільки логічної, дослідницької та конструктивно-графічної математичних компетентностей, а й ключових компетентностей.

У роботі розроблено методику компетентнісно орієнтованої підготовки старшокласників до розв’язування завдань зі змістової лінії рівнянь та нерівностей державної підсумкової атестації з математики. Важливими складовими цієї підготовки є проведення систематизуючих бесід з використанням систематизуючих графічних схем. Під час цих бесід учні згадували основні методи та орієнтовні основи розв’язування рівнянь і нерівностей (зокрема з параметрами і з модулем), після чого організовувалася фронтальна та групова робота учнів, спрямована на формування в них здатності застосовувати розглянуті орієнтовні основи до розв’язування завдань державної підсумкової атестації. Також у роботі виділені критерії та схеми оцінювання розв’язання основними методами завдань із змістової лінії рівнянь та нерівностей, розв’язання яких під час державної підсумкової атестації слід записувати з повним обґрунтуванням.

Основні положення дослідження перевірялись експериментально протягом 2003 – 2008 рр. До педагогічного експерименту були залучені 485 учнів 10-х і
11-х класів шкіл і гімназій м. Бердянська Запорізької області та Харківської області. Дослідження проводилось у три етапи.

На першому етапі (2003 – 2004 р.) було проведено констатуючий експеримент. Його завдання полягали у виявленні характеру утруднень, пов’язаних із вивченням рівнянь та нерівностей у курсі алгебри та початків аналізу, що виникають в учнів та вчителів; з’ясуванні недоліків традиційного навчання та їх причин; з’ясуванні переліку та визначенні передумов формування математичних компетентностей, яких старшокласники повинні набути під час вивчення рівнянь та нерівностей. Результати цього етапу підтвердили необхідність удосконалення методики вивчення рівнянь та нерівностей за рахунок систематичного використання інформаційно-комунікаційних технологій і спрямування її на формування в учнів відповідних математичних компетентностей.

На другому етапі (2004 – 2006 рр.) було проведено пошуковий експеримент. Його завдання полягали в розробці компонентів методичної системи, спрямованої на формування математичних компетентностей старшокласників при вивченні рівнянь та нерівностей, які б відповідали вимогам, визначеним у процесі теоретичного дослідження; упровадженні розробленої методики в практику навчання учнів 10 і 11 класів та аналізуванні результатів експериментального навчання й корекції експериментальних матеріалів. Аналіз результатів пошукового експерименту дозволив удосконалити методику вивчення рівнянь і нерівностей у курсі алгебри та початків аналізу, зорієнтувати її на формування в учнів відповідних математичних компетентностей.

На третьому етапі (2006 – 2008 рр.) було проведено формувальний експеримент. Його завдання полягали в перевірці ефективності розробленої методики. Для аналізу результатів педагогічного експерименту були використані методи математичної статистики.

Експеримент довів, що досить високого рівня математичних компетентностей учні можуть досягти або шляхом засвоєння великого обсягу мало впорядкованої навчальної інформації завдяки проведенню (у контрольних класах) додаткових занять з учнями, на яких математичні компетентності та стійкі орієнтовні основи формувалися в результаті багаторазового виконання однотипних завдань; або шляхом засвоєння невеликого обсягу добре структурованого навчального матеріалу за рахунок явного виділення орієнтовних основ відповідної діяльності.

У процесі експерименту ми впевнилися, що використання на уроках у процесі вивчення рівнянь та нерівностей розроблених завдань (зокрема, усних вправ та прикладних задач) сприяє підвищенню мотивації учнів, активізації їхньої навчальної діяльності, формуванню вмінь аналізувати придатність отриманих знань та використовувати їх у навчальних та життєвих ситуаціях, планувати свою навчальну діяльність, розвитку логічного мислення та математичного мовлення учнів. Це сприяє набуттю учнями не лише математичних, але й ключових компе-тентностей. Підтвердилась доцільність використання ІКТ у процесі вивчення рівнянь та нерівностей і доцільність упровадження в 11 класах спецкурсу “Використання ІКТ у процесі вивчення рівнянь та нерівностей”.

Результати експерименту засвідчили, що організація навчальних досліджень під час вивчення рівнянь та нерівностей сприяє оволодінню учнями прийомами евристичного характеру, формуванню в них здатності обґрунтовувати доцільність вибору певного методу розв’язування, систематизувати та узагальнювати отримані результати, і, як наслідок, набуттю ними не лише математичних, але й окремих ключових компетентностей.

Результати експерименту підтвердили ефективність запропонованих компо-нентів методичної системи навчання, спрямованого на формування математичних компетентностей старшокласників у процесі вивчення рівнянь і нерівностей. При використанні цієї методики навіть учні класів універсального профілю досить успішно розв’язували нестандартні (з точки зору традиційної методики) завдання.