НАБЛИЖЕННЯ ОПЕРАТОРАМИ ВАЛЛЕ-ПУССЕНА ФУНКЦІЙ, ВИЗНАЧЕНИХ НА ДІЙСНІЙ ОСІ

Краткое содержание

У першому розділі дисертаційної роботи наведено огляд літератури за її темою. Висвітлюється історія розвитку теорії наближення різних функціональних класів операторами Валле-Пуссена, зазначається, які з питань залишилися ще не розв’язаними.

Другий розділ присвячено дослідженню апроксимативних властивостей операторів Валле-Пуссена при наближенні класів  неперервних функцій малої гладкості.

Перший підрозділ другого розділу носить допоміжний характер. В ньому наводяться необхідні означення, формулюється задача дослідження.

Нехай  — множина функцій f які визначені на дійсній осі і такі, що мають скінченну норму

Позначимо через A множину неперервних при v³0 функцій y(v), які задовольняють умови: 1)y(v)³0, y(0)=0, y(v) зростає на [0,1); 2) y(v) опукла донизу на [1,¥) і  3) y’(v)=y’(v+0) має обмежену варіацію на [0,¥) Підмножину функцій y(v) для яких  позначають A’

Нехай, далі,  та  — відповідно парне і непарне продовження функцій  I=1,2. Для пари  означаємо функцію

 Тоді через  наслідуючи О.І. Степанця, позначають підмножину неперервних функцій  які можна подати у вигляді такої рівності:

                                                                    (2)

де A0 — деяка стала, інтеграл розуміємо як границю по симетричних проміжках, що розширюються, jÎN (),

                                                                                                (3)

Якщо , , то перетворення  сумовне на дійсній осі.

В ролі N будемо розглядати одиничну кулю S¥ простору M істотно обмежених функцій: S¥={j: esssup |j|£1} (в цьому випадку покладаємо ), а також класи Hw:

де  — підмножина неперервних функцій з простору , w(t) — фіксований модуль неперервності.

Функцію j(×) в зображенні (2) називають -похідною функції f(×) і позначають . Функцію f(×), відповідно, називають -інтегралом функції j(×) і позначають

За апарат наближення для  будемо використовувати функції

 де  — перетворення Фур’є вигляду (3) функції

 О.І. Степанець довів, що за умови

                                                                                                          (4)

Vs,cΠде  — множина цілих функцій експоненціального типу £s, які задовольняють нерівність (4). В періодичному випадку при s=nÎℕ і c=n-p,pÎℕ, p<n оператори Vs,c(f;x) співпадають з відомими сумами Валле-Пуссена. Тому Vs,c(f;x) називають операторами Валле-Пуссена.

З кожною функцією yÎℳ пов’яжемо таку пару характеристик:

Нехай

ℳ0={y: yÎℳ, 0<m(y;t)£K1<¥},

ℳC={y: yÎℳ, 0<K2m(y;t)£K3<¥},

де K1, K2, K3 — деякі сталі (які, можливо, залежать від функції y(t)). Якщо yÎA і при t³ yÎℳ0 або yÎℳC, то кажемо, що yÎA0 або yÎAC відповідно.

В цьому ж підрозділі формулюється задача дослідження, яка полягає у вивченні асимптотичної (при s®¥) поведінки верхніх граней (1) за умови, що y1ÎA0, y2ÎA’0,