Наследственные модели переходных волновых процессов в геологический средах, содержащий фрактальные структуры :

Краткое описание

ВВЕДЕНИЕ...5

Глава 1. Математические модели распространения плоских волн в структурах, обладающих фрактальными свойствами...11

1.1. Фракталы и фрактальная размерность...11

1.2. Размерность подобия (гомотетическая размерность)...14

1.3. Некоторые простые физические следствия из самоподобия фрактальных систем...24

1.4. Модели законов дисперсии волн, распространяющихся в системах, содержащих фрактальные структуры...35

1.5. Вывод причинных одномерных линейных уравнений для распространения нестационарных возмущений в средах, содержащих фрактальные структуры...50

1.6. Переход к пространственно-временному представлению линейных наследственных волновых уравнений для переходных волн в средах, содержащих фрактальные структуры. Операция дробного дифференцирования...55

1.7. Феноменологический учет ограниченности диапазона фрактального самоподобия физических систем в моделях распространения в них

переходных волн...63

Выводы по главе 1...82

Глава 2. Волны в наследственно-упругих телах...84

2.1. Наследственные модели в теории упругости...84

2.2. Общие свойства решений наследственных волновых уравнений с факторизуемым линейным наследственным волновым оператором...93

3 2.3. Случай трансверсально-изотропной среды с мультифрактальной

структурой...101

2.4.Типы волн, распространяющихся в однородной аксиально-симметричной (трансверсально-изотропной) вязкоупругой среде...103

2.5. Динамическая эффективная.вязкоупругая модель комплексной дисперсии волн в статистически масштабно-самоподобной трансверсально-изотропной упругой среде...115

Выводы по главе 2...120

Глава 3. Пропагаторы волн (функции Грина) для обобщенного волнового уравнения с абелевой особенностью наследственного ядра...122

3.1. Вычисление пропагаторов волн для уравнений со степенной слабой сингулярностью в ядре наследственности...122

3.2. Интегральное представление для функции Грина уравнения с Абелевым ядром наследственности...139

3.3. Функции Грина для трехмернного обобщенного волнового уравнения с абелевым ядром наследственности...145

3.4. Функции Грина для двумерного обобщенного волнового уравнения с абелевым ядром наследственности...146

3.5. Масштабное преобразование координат и времени, ведущее к исключению крэффициента перед интегральным (наследственным) членом

в обобщенном волновом уравнении...153

Выводы по главе 3...156

Глава 4. Распространение волновых импульсов конечной ширины в среде с фрактально распределенными случайными включениями...157

4.1. Рассмотрение задачи об импульсе, возбужденном в наследственной среде с сингулярным ядром памяти...157

4.2. Оценка эффекта замедления распространения импульса от показателя степени абелеваядра наследственности...164

4.3. Изменение «энергии» волновой моды при распространении в

4

наследственной среде...171

Выводы по главе 4...178

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...180

ЛИТЕРАТУРА...187
Введение

ВВЕДЕНИЕ

Практические задачи геофизической акустики, сейсмики и сейсмоакустики связаны во многих случаях с использованием эффектов, возникающих при возбуждении и распространении акустических импульсов, то есть нестационарных (переходных) волн, в различных геологических средах и структурах с последующей регистрацией отраженного, рассеянного или прошедшего сейсмоакустического поля и обработкой полученных данных. Эти задачи распадаются на огромное количество отдельных проблем и методов, разработанных и продолжающих разрабатываться для их решения и применения в конкретных приборах, устройствах и технологиях, используемых на практике. Их фундаментом служит теория волновых процессов, протекающих в физических системах, свойства которых в том или ином отношении отражают существенные свойства геологических сред, влияющие на динамику изменений их физического состояния.

Развитие теоретических представлений и моделей, позволяющих математически описать существенные особенности указанных процессов в условиях, соответствующих распространению переходных упругих волн в случайно-неоднородных геологических структурах, содержащих элементы, обладающие фрактальными свойствами, представлено в данной работе. Причем, именно процессы распространения волн, а не микроскопические детали формирования наблюдаемых при их распространении свойств среды, будут служить объектом рассмотрения. Естественно, что имеются в виду стохастические мультифрактальные объекты, а не регулярные фракталы построенные с помощью каких-либо рекурсивных процедур [Федер, 1991].

Прежде всего, следует отметить, что геологическая среда, в которой преобладают горные породы, разбитые трещинами на блоки, и структуры, сформированные длительными процессами разрушения, смешивания,

6

агрегации, физико-химического метаморфизма, приводящие появлению широкого спектра неоднородностей горных пород и геологических структур [Садовский, 1979; Садовский, Болховитинов Писаренко, 1987 ]. Во многих случаях обнаруживаются закономерности иерархического строения геологических объектов, например, свойства самоподобия, возникающие в ходе процессов самоорганизации геосреды [Кузнецов, Муравьев, Видяпин, 2000]. Статистическое самоподобие характерно также и для внутреннего строения многих геологических пород в достаточно широком диапазоне масштабов. Поскольку самоподобие является основным свойством фракталов [Mandelbrot, 1977], то естественным способом математического описания соответствующих структур геосреды является привлечение методов, развитых при изучении фрактальных объектов. То, что фрактальные свойства действительно присущи в ряде случаев реальным геологическим средам и системам, имеющим сложную пространственную и структурную организацию [Одинцев, Бунин, 2004], как и элементам ландшафта [Burrough, 1981], уже подтверждено многочисленными наблюдениями. Эти свойства проявляются также и в ряде сейсмических и сейсмоакустических явлений, детерминированных происходящими в геосреде процессами, связанными с возбуждением и распространением волн в таких средах. По-видимому, они проявляются и в ряде других свойств и процессов, характерных для геологических сред, таких как механические свойства горных пород, особенности процессов фильтрации флюидов в них и тому подобное. Имеются убедительные данные, свидетельствующие о степенном характере спектров аномалий потенциальных полей (гравитационных, магнитных) геологических структур и их связи с фрактальным характером намагниченности земной коры [Todoeschuck, Pikington, Greotski, 1992]. Также давно обнаружено, что процессы распространения электромагнитных волн в природных средах происходят так, что эффективные комплексные, то есть с учетом затухания, диэлектрические свойства этих сред наилучшим образом соответствуют модели степенного по

7

частоте закона измерения в широком диапазоне частот [Cole, К., and Cole, R., 1941, Jonscher, 1977].

Фрактальные свойства геологических систем в сейсмоакустических полях наблюдаются и проявляются в геофизике на разных временных и масштабных уровнях — от распределения неоднородностей в литосфере [Файзуллин., Шапиро, 1989; Shapiro, Faizullin, 1992], до высокочастотного сейсмического шума [Мухамедов, 1992]. Фрактальными свойствами обладают также распределения в объеме пористой среды фильтрующихся сквозь неё несмешивающихся флюидов. Уже перечисленные примеры имеют разную по происхождению физическую природу, но подтверждают широкое распространение фрактальных объектов в геосреде и применимость идей и методов, основанных на особенностях и свойствах таких объектов, при изучении и объяснении протекающих в них процессов, в том числе и связанных с распространением возмущений состояния геосреды.

Внимание к такого рода подходу в различных областях физики и её приложений выросло из стремления «... к установлению связи между микроскопической структурой и макроскопическим поведением сложных систем», как отмечено в отношении всего многообразия исследований по изучению фрактальных структур в волновых процессах авторами обзора [Зосимов, Лямшев, 1995].

Самоподобие и свободная масштабируемость фрактальных структур означает, что для них - в идеальном случае - отсутствуют какие-либо внутренние характерные масштабы. Это приводит к тому, что спектр неоднородностей такого рода оказывается непрерывным (или может рассматриваться как квазинепрерывный). С точки зрения описания процессов распространения возбуждений, в первую очередь механических волн, это приводит к тому, что частотные спектры пропагаторов волн, возбуждаемых и распространяющихся в таких средах, обладают не дискретными особенностями

8

(например, в виде полюсов различных порядков), а непрерывными особенностями - в виде разрезов на соответствующей комплексной плоскости.

Сами процессы формирования геологических сред и систем, содержащих фрактальные структуры, носят, очевидно, нелинейный характер. То есть появление у геологических объектов таких многомасштабных неоднородностей является, очевидно, результатом длительных процессов их формирования, в ходе которых могли иметь место различные нелинейные явления, во многих случаях сопровождающиеся динамической хаотизацией [Заславский и Сагдеев, 1988; Заславский и др. 1991], такие как случайное перемешивание, растрескивание, случайное перемещение флюидов, сопровождающееся фазовыми и химическими изменениями и преобразованиями компонентов среды и тому подобными процессами. В некоторых случаях уже сейчас есть достаточно развитые и исследования математических моделей подобных явлений, имеющих отношение к геологическим процессам, например, гидрогеологического явления Харста [Hurst, 1951] в работах [Найденов и Кожевникова, 2000, 2001а,б], которое связано с фрактальным характером колебаний стоков рек, катастрофических наводнений, колебаний уровня моря и глобального климата. В других случаях можно найти достаточно глубокие аналогии с нелинейными моделями, построенные и изученными вне прямой связи с геологией и геофизикой. Примером могут служить модели порождения фрактальных структур рекурсивными процедурами, имеющими, некоторое качественное сходство с характерными особенностями некоторых геологических процессов [Морозов, 1999].

Наличие фрактальных свойств у микронеоднородных упругих сред, в первую очередь масштабное самоподобие их физических структур в достаточно широком диапазоне пространственных масштабов, позволяет существенно упростить задачу конструирования эффективных феноменологических макроскопических уравнений, специальным образом описывающих пространственно-временном представлении осредненное

9

акустическое поле и распространение переходных волн в таких средах. При этом «центр тяжести» решения соответствующих задач переносится с получения статистическим методами эффективных параметров среды и осредненных значений акустических полей — на решение уравнений, описывающих кинематику волн в пространстве и времени, соответствующих осредненному волновому, например, акустическому, полю, удовлетворяющему некоторому уравнению адекватно описывающему эффективные макроскопические волновые свойства среды, которые в основном исчерпываются комплексными законами дисперсии (то есть частотной дисперсией скорости и частотной зависимостью затухания) каждой волновой моды, способной распространяться в этой среде. Объединяющей чертой математических моделей этих волновых процессов является наличие характерных макроскопических наследственных свойств, которые могут быть представлены в виде зависимости актуального локального состояния от истории его изменений в прошлом, которое может быть представлено интегральными операторами с ядрами, представленными функциями, содержащими интегрируемые степенные особенности. Вопросы физического происхождения структур подобного типа при таком подходе можно оставить в стороне, как это делается в механике сплошных сред, где обычно макроскопические уравнения состояния сплошных сред вводятся эмпирически. Тем не менее, использование фрактальных моделей естественно оказывается приложимым к любой системе, в которой неоднородность распределения некоторого свойства проявляется на заданном уровне разрешения (точности) наблюдений так, что степень наблюдаемой неоднородности возрастает с уменьшением масштабов наблюдаемых деталей. То есть в том или ином смысле обладают свойствами «карты береговой линии» степень изрезанности которой зависит от масштаба карты и тем выше, чем детальней изображение, как это было рассмотрено в одной из первых работ по фрактальной геометрии в природе [Mandelbrot, 1967].

10

Данный подход относится, по существу, к способу построения промежуточных асимптотик [Баренблатт, 1982, Зельдович, Соколов, 1985, Barenblatt, 1996] для задач о распространении возмущений состояния сред, в условиях, когда проявление особенностей их физического строения наблюдается в масштабах, характеризующих масштабы возмущений много больших, чем собственные масштабы элементов структурных неоднородностей среды, но не настолько, чтобы эти неоднородности перестали сказываться на их динамике. То есть речь идет о более грубых моделях этих процессов, чем модели, основанные на каких-либо представлениях о составе, структуре и взаимодействии элементов среды, но зато такой подход позволяет найти и выделить характерные особенности кинематики распространения, например, волновых импульсов в пространственно-временном представлении и необходимых для их описания моделей эффективных параметров среды. При этом нет нужды отвлекаться на анализ множества возможных вариантов их микроскопической реализации и сложные процедуры дальнейшего статистического осреднения, необходимого для получения макроскопических эффективных значений физических параметров среды статистическими методами.

Целью работы является получение макроскопических эффективных математических моделей распространения возмущений состояния геологических сред, содержащих однородно распределенные статистически фрактальные элементы, удовлетворяющих принципу причинности и макроскопическим свойствам симметрии, включая масштабную инвариантность. Получение и исследование свойств их нестационарных волновых решений в точном пространственно-временном представлении и физическая интерпретация возникающих эффектов, прежде всего в случае возбуждения макроскопических упругих волн.

11 Глава 1.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПЛОСКИХ ВОЛН В СТРУКТУРАХ, ОБЛАДАЮЩИХ ФРАКТАЛЬНЫМИ

СВОЙСТВАМИ.

1.1. Фракталы и фрактальная размерность.

В математике фракталы рассматриваются как множества точек в некотором метрическом пространстве, для которых невозможно определить меру с целой размерностью («топологическую меру», такую как обычные длина, площадь, объём). Само слово «фрактал» придумано и введено в 1963 г. Мандельбротом, составившим его соединением двух слов fraction — «дробь» и fracture - «трещина, излом». В математике такие объекты появились значительно раньше в период становления основ теории множеств как экзотические, как казалось современникам, искусственно сконструированные объекты (кривые Коха, ковер Серпинского и т.п. см. Рис. 1.1.1-1.1.3) [Федер, 1991], которые порождаются в соответствии с некоторыми рекурсивными правилами и в пределе, при бесконечном повторении шагов, определяемых этими правилами, оказываются обладающими свойствами, удивлявшими в свое время математиков, главным из которых оказывалась указанная выше неизмеримость обычной мерой целой размерности. Выход в математике был найден с помощью введения меры Хаусдорфа [Hausdorjf, 1919], которая может иметь любую неотрицательную действительную степень размерности применяемого масштаба измерения (то есть не только целую, как в обычных топологических пространствах, как, например, 1 для длины, 2 - для площади, 3 — для объема и т.д., выраженных в единицах длины, но и дробную). Размерностью множества при этом называют наибольшую размерность меры Хаусдорфа, дающую ненулевой результат при измерении данного множества (или наименьшую, дающую нулевой результат). Она называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича [Морозов, 1999] этого множества.

12

n=l

00

Рис. 11.1. Первые пять шагов построения триадной кривой Коха. В пределе п получается фрактальная кривая с фрактальной размерностью df = In 4/ In 3 я» 1.2628.

13

Рис. 1.1.2. Первые шаги построения треугольной салфетки Серпинского. При бесконечном числе повторений этих шагов получается фрактальная кривая с размерностью d, =1пЗ/1п2« 1.58496...

Рис. 1.1.3. Первые шаги построения ковра Серпинского. В пределе — фрактальная кривая с размерностью df = 1п8/1пЗ «1.892789...

14 Строгое определение размерности Хаусдорфа df подмножества Z

компактного метрического пространства X (то есть ZcX) связано с его внешней мерой Хаусдорфа

(1.1.1)

-¦—¦к-—-—- -W^H(_/ ^\J '

s-0 G

где нижняя грань берется по всем конечным или счетным покрытиям G множества Z открытыми множествами U, диаметр (diamU), то есть наибольшее расстояние между двумя элементами, принадлежащими к U, которых не больше е, а затем вычисляется предел таких величин при стремлении этого диаметра к нулю. Сама же величина df равна наименьшей

величине а, при которой мера Хаусдорфа еще сохраняет нулевое значение:

df = Ы{а : т{ау Z) = 0}. (1.1.2)

Это определение приведено здесь для справки и в дальнейшем изложении использоваться не будет. Обычно на практике используются оценки фрактальной меры, построенные на основе свойств самоподобия фрактальных объектов.

1.2. Размерность подобия (гомотетическая размерность).

На практике обычно пользуются более простым способом определения величины фрактальной размерности множества через его гомотетическую размерность [Федер, 1991]:

и -1- М*)) поп

15

где s - длина ребра куба в пространстве (с обычной целой неотрицательной топологической размерностью d), в которое погружено измеряемое фрактальное множество. В одномерном топологическом пространстве это - отрезок, в двумерном - квадрат, в трехмерном (и так далее) — куб или гиперкуб с ребром, равным е, а М(е) - минимальное число таких кубов, необходимое для полного покрытия этого множества.

Заслуга Мандельброта [Mandelbrot, 1967', 2002; Манделъброт, 2002] состоит, прежде всего, в том, что он указал на то, что математическое понятие фрактала применимо к описанию и анализу широкого класса реальных объектов и явлений с коррелированной в широком диапазоне масштабов микроструктурой, не обладающих строгой упорядоченностью, как кристалл, но и не абсолютно хаотичных. Известными примерами из физики являются фазовые переходы второго рода, аморфные твердые тела, флуктуации скорости в турбулентном потоке. Макроскопические усредненные величины, характеризующие свойства этих процессов или объектов, связаны соотношениями, независящими от масштаба осреднения («масштабная инвариантность» или «скейлинг») в достаточно широком интервале масштабов. Ограничения диапазона масштабной инвариантности являются внешними по отношению к фрактальной структуре, поскольку она сама не обладает никаким характеризующим её внутренним масштабом (что, собственно, и проявляется в масштабной инвариантности характеризующих её параметров и свойств). В отличие от регулярных фракталов, построенных по некоторому рекурсивно повторяющемуся правилу, для которых самовоспроизводимость структуры в виде геометрического самоподобия на разных масштабных уровнях очевидна из самого способа их построения, фрактальные свойства естественных объектов и процессов проявляются обычно статистически. Во всяком случае, именно свойство самоподобия (скейлинг) сам Б.Мандельброт счел наиболее важным признаком фрактала [Манделъброт, 1988], предложив считать фракталами структуры, состоящие из частей, которые в каком-то смысле подобны целому

16

(на рис. 1.2.1 примеры множеств Мандельброта). Заметим, что самоподобие означает отсутствие у фрактала определенного внутреннего характерного масштаба. В реальных физических структурах верхняя и нижняя границы диапазона масштабов самоподобия фрактального типа являются внешними по отношению к данной фрактальной структуре.,

Для самоподобных фигур можно также ввести понятие гомотетической размерности, исходя непосредственно из подобия [Мандельброт, 2002]. Она, как было уже указано, может служить хорошей оценкой для хаусдорфовой размерности, а во многих случаях совпадает с ней. В том случае, если фигура может быть разбита без остатка на N одинаковых непересекающихся частей, и каждая часть может быть получена из целого с помощью преобразования подобия с коэффициентом r(N), то размерность подобия

In

Очевидно, что речь здесь, фактически, идет о чуть модифицированном выражении для гомотетической размерности (1.2.1), поскольку каждая из N одинаковых частей исходной фигуры характеризуется, очевидно, некоторым размером е, который пропорционален коэффициенту подобия r(N), а считая характерный размер целой фигуры единичным - просто равен ему: s= r(N).

Например, для троичной кривой Коха (Рис. 1.1.1) [Koch, 1904], при построении которой каждый отрезок на очередном шаге заменяется четырехзвенной ломаной (/V=4), каждое звено которой имеет длину, равную одной трети исходного отрезка (г=1/3), получаем ds=\n(4)/\n(3)=df.

Множество статистически самоподобно, если оно является объединением N отдельных подмножеств, каждое из которых получено из исходного множества преобразованием подобия с коэффициентом подобия r(N) (0