Численное исследование уединённых волн на поверхности жидкости :

Краткое описание

Введение 4

Глава 1. Обзор работ, посвященных численному исследованию уединённых волн на поверхности жидкости, и некоторые лабораторные эксперименты. 12

§ 1.1. Численное исследование уединённых волн в двумерном

случае. 12

§ 1.2. Численное исследование уединённых волн в трёхмерном

случае и некоторые лабораторные эксперименты. 14 § 1.3. Численное и аналитическое исследование процессов

образования, взаимодействия и отражения уединённых

волн от препятствий в отсутствии внешнего воздействия. 17

Глава 2. Численное исследование уединённых волн на поверхности флотирующей жидкости в узком кольцевом канале, возбуждаемых атмосферными возмущениями. 20

§ 2.1. Исследование уединённых волн в лабораторных условиях. 20 § 2.2. Математическая постановка общей нелинейной задачи о волнах на поверхности флотирующей жидкости в кольцевом аэрогидроканале. 25

§ 2.3. Нелинейные волны на поверхности флотирующей жидкости в узком кольцевом канале в приближении мелкой воды и математическая постановка конкретной задачи. 27

§ 2.4. Неполный метод Галёркина. 30

§ 2.5. Результаты вычислений и их обсуждение. 32

Глава 3. Численное исследование уединённых волн на поверхности флотирующей жидкости в кольцевом канале конечной ширины, возбуждаемых атмосферными возмущениями. 40

§3.1. Вывод неоднородной системы Буссинеска в двумерном

случае при наличии флотации. 40

§ 3.2. Математическая постановка задачи. 42

§ 3.3. Построение разностной схемы. 44

§ 3.4. Результаты вычислений и их обсуждение. 46

Глава 4. Численное моделирование процессов образования и взаимодействия уединённых волн в достаточно узких кольцевом и прямоугольном каналах в отсутствии внешнего воздействия. 54

§ 4.1. Предварительные замечания, касающиеся уравнения Буссинеска, и вывод безразмерного уравнения Буссинеска в модифицированной форме. 54

§ 4.2. Образование и взаимодействие уединённых волн в узком

кольцевом канале, движущихся в одном направлении. 58

1. Математическая постановка задачи и построение разностной схемы. 58

2. Результаты вычислений и их обсуждение. 60 § 4.3. Образование и взаимодействие уединённых волн,

движущихся на встречных курсах в кольцевом и

прямоугольном каналах малой ширины. 68

1. Математическая постановка задачи. 68

2. Результаты вычислений и их обсуждение. 69

Заключение 76

Литература 79
Введение

Введение

Как известно, к длинным гравитационным волнам на поверхности мирового океана относятся приливы, штормовые нагоны, волны цунами, а также волны, вызываемые либо атмосферными процессами (анемобарические волны), либо — нелинейным взаимодействием ветровых волн, зыби (инфрагравитационные волны) [1]. Первые три типа длинных гравитационных волн хорошо изучены. Приливы фактически определяют всю жизнедеятельность человека в прибрежных районах морей и океанов, а штормовые нагоны в значительной степени её осложняют. Волны цунами вообще представляют собой серьёзное стихийное бедствие, занимая пятое место в мире по числу жертв согласно статистическим данным за вторую половину двадцатого века [2].

Анемобарические и инфрагравитационные волны в спектре океанских волн занимают промежуточное положение между приливами и зыбью [3] и имеют характерные периоды от нескольких десятков секунд до нескольких часов, а характерные размеры — от нескольких сот метров до нескольких сот километров [1]. Долгое время значение этих волн недооценивалось, поэтому история их исследования значительно короче, чем приливов или штормовых нагонов. В странах Европы и в США интерес к данному типу длинных гравитационных волн возник только после Второй мировой войны и первоначально был связан с проблемой цунами. Было замечено, что в некоторых случаях (которые встречаются сравнительно редко) изменение метеорологических условий над поверхностью океана приводят к генерации сильных длинноволновых колебаний уровня океана [1]. В отечественной литературе такие волны получили название метеоцунами, так как по разрушительному воздействию на побережье, длинам и периодам они сходны с сейсмическими морскими волнами цунами, характерная длина которых порядка 200 км [2], [4]. Поэтому эти два

явления иногда оказываются трудно различимыми, если отсутствует соответствующая сейсмическая информация. Так, пакет длинных волн (высотой до 60 см с периодами от 24 до 60 мин), замеченный 11 мая 1981 года у побережья Южной Африки, поначалу ошибочно был принят за «обычное» цунами и даже описан в сентябрьском номере того же года «Цунами ньюслеттер». И лишь позднее эти волны были идентифицированы как анемобарические колебания, вызванные прохождением глубокого циклона [1]. Однако возбуждение метеоцунами — действительно довольно редкое явление, поскольку далеко не каждый глубокий циклон, фронт или цуг атмосферных волн приводит к образованию заметных поверхностных волн в океане. При каких условиях это всё же происходит? Источники [1] и [2], обобщая многочисленные статистические данные, указывают на резонансный механизм возбуждения: скорость распространения атмосферных возмущений совпадает (хотя бы приближённо) со скоростью длинных гравитационных волн. В частности такой эффект привёл к генерации длинных волн на шельфе о. Лонг-Айленд 23 ноября 1953 года и 20 сентября 1958 года, а также явился причиной катастрофического нагона на Великих озёрах 26 июня 1954 года [1]. Этот тип резонанса геофизики называют резонансом Праудмена по имени исследователя, впервые подробно его описавшего [5]. При математическом описании явления генерации метеоцунами, вызываемого движущимися атмосферными возмущениями (например движущимся тайфуном) в случае двумерных волновых движений приходится отказываться от длинноволновой модели и учитывать нелинейные эффекты вследствие резонансного механизма возбуждения [2]. В [2] показано, что аналогичная ситуация встречается при рассмотрении математической задачи о возбуждении сейсмической волны цунами горизонтальной подвижкой дна, движущейся со скоростью длинных гравитационных волн. Но подвижка дна при подводном

землетрясении может перемещаться лишь в пределах зоны очага (которая является относительно небольшой), тайфун же способен передвигаться на значительные расстояния, и тогда учёт резонансных эффектов оказывается наиболее важным. При анализе теоретических и экспериментальных данных в [2] устанавливается тот факт, что на больших расстояниях при любых начальных возмущениях исследуемые волны в отсутствии внешнего воздействия должны описываться нелинейно-дисперсионной теорией. Другими словами, на значительных расстояниях волна приближённо может рассматриваться как уединённая. А это в свою очередь означает, что в резонансном случае возможно усиление уединённой волны движущимся атмосферным возмущением, возникшим на более поздней стадии (при условии одномерности распространения). Вывод упрощённой математической модели взаимодействия уединённой волны с движущимися атмосферными возмущениями приведён в [2]. Таким образом, из приведённых рассуждений однозначно следует, что в реальных условиях явление генерации метеоцунами в форме уединённой волны представляется вполне возможным.

В целом, нелинейные эффекты всегда оказываются доминирующими при подходе поверхностных гравитационных волн к берегу и тогда уже любую волну можно приближённо рассматривать как уединённую.

Определение параметров, характерезующих зарождение и распространение метеоцунами, имеет огромное значение для попыток предсказания рассматриваемого явления, поскольку при набегании на берег такая волна представляет собой серьёзное стихийное бедствие. При этом опасности подвергаются жилые постройки, автострады, линии электропередачи, а также морские нефтедобывающие вышки, расположенные на шельфе, повреждение которых грозит экологической катастрофой в шельфовой зоне. Кроме того, при набегании цунами на берег, образуется обратный грязевой поток, стекающий в море и также

наносящий урон экологической обстановке прибрежной зоны.

С учётом практической важности проблемы метеоцунами возникла необходимость исследования процесса генерации и эволюции анемобарических уединённых волн в лабораторных условиях. Серия таких экспериментов была поставлена в работах [6] - [9]. С целью длительного наблюдения за генерируемой уединённой волной в [6] - [9] использовался кольцевой аэрогидроканал (описание экспериментальной установки приведено в Главе 2), и в результате многократных опытов были определены, в частности, критические параметры, характеризующие возможность зарождения уединённых волн. Одновременно с лабораторными исследованиями в [6] - [9] был проведён численный эксперимент по образованию и распространению уединённых волн в достаточно узком кольцевом канале (двумерная задача), возникающих под действием атмосферного возмущения. При проведении численного эксперимента предполагалось, что атмосферное возмущение представляет собой локализованную область переменного давления, распространяющуюся с постоянной скоростью, равной скорости длинных гравитационных волн (условие резонанса Праудмена). Эти численные расчёты явились первым шагом в большом численном исследовании уединённых волн, которому и посвящена настоящая диссертация, например численное решение конечно-разностным методом трёхмерной задачи о распространении уединённых волн в кольцевом канале произвольной ширины [10] - [12]. Лабораторные эксперименты во многом стимулировали дальнейшее численное моделирование уединённых волн, распространяющихся уже свободно (в отсутствии внешнего воздействия) и испытывающих нелинейные взаимодействия (столкновения) между собой [13], [14]. Этот вопрос подробно рассматривается в Главе 4.

В публикациях [10] - [12] численный эксперимент по моделированию анемобарических уединённых волн в кольцевом канале

проводился также и для случая флотирующей жидкости. Согласно С.А. Габову [15] под флотирующей жидкостью понимается жидкость, на поверхности которой плавают, не взаимодействующие между собой, весовые частицы некоторого вещества. Тем самым, можно рассматривать свободную поверхность такой жидкости как весомую с поверхностной плотностью распределения массы /л(х,у)0. В геофизике подобная

ситуация встречается при исследовании гравитационных волн в той части мирового океана, где некоторые области поверхности покрыты плавающей ледовой крошкой (например волны, вызываемые схождением снежной лавины с крутого скалистого берега). С флотирующей жидкостью приходится иметь дело при очистке или обогащении минерального сырья. До появления работ [10] — [12] влияние флотации (флотирующего вещества) на параметры генерируемых уединённых волн было исследовано в лабораторных условиях [16].

Будучи основоположником теории нелинейных волн на поверхности флотирующей жидкости, С.А. Габов в своей монографии [15] указывает и на одну из первых публикаций, посвященных динамике флотирующей жидкости, которая дала мощный импульс к созданию общей теории -работу А.С. Питтерса [17] 1950 года.

В связи с вышеизложенным, в данной диссертации были поставлены следующие задачи.

1. Показать при помощи численных расчётов возможность образования в кольцевом канале уединённых волн, возбуждаемых атмосферными возмущениями и тем самым на качественном уровне подтвердить эффект, ранее обнаруженный в лабораторных условиях.

2. При проведении численного эксперимента изучить влияние флотации на параметры генерируемых уединённых волн и провести качественное

8

сравнение результатов вычислений с данными лабораторных наблюдений.

3. Численно исследовать процессы образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся в одном направлении и на встречных курсах в узком кольцевом канале и - на встречных курсах - в узком прямоугольном канале в отсутствии внешнего воздействия.

Краткое содержание диссертации

Первая глава диссертации посвящена обзору публикаций, затрагивающих вопросы численного (и частично — аналитического и лабораторного) исследования уединённых волн на поверхности жидкости.

Во второй главе проводится численный эксперимент по моделированию уединённых волн на поверхности идеальной несжимаемой флотирующей жидкости в достаточно узком кольцевом канале, возникающих под действием атмосферных возмущений. Первоначально приводится описание установки, на которой были выполнены лабораторные эксперименты и перечисляются основные результаты измерений. Далее приводится математическая постановка общей нелинейной задачи (трёхмерной), которая затем значительно упрощается рассмотрением канала настолько малой ширины, что изменениями зависимых переменных вдоль радиуса канала можно пренебречь. Тогда задача становится двумерной, и при выполнении условия мелкой воды [15] она сводится к неоднородной системе уравнений Буссинеска в новой форме при наличии флотации. Полученная система с нулевыми начальными и периодическими граничными условиями решается численно неполным методом Галёркина. Результаты расчётов на качественном уровне сравниваются с данными лабораторных наблюдений.

В третьей главе рассматривается объёмная (трёхмерная) задача о

распространении уединённых волн по поверхности идеальной несжимаемой флотирующей жидкости в кольцевом канале, генерируемых атмосферными возмущениями. В этом случае считается, что ширина канала конечна, и форма свободной поверхности жидкости, вообще говоря, может меняться вдоль радиуса канала (математическая модель, наиболее приближённая к лабораторным условиям). При выполнении условия мелкой воды общая нелинейная задача сводится к неоднородной системе уравнений Буссинеска в двумерном случае при наличии флотации. В свою очередь, из системы Буссинеска выводится одно нелинейное дифференциальное уравнение четвёртого порядка, для которого ставятся нулевые начальные и однородные граничные условия 2-го рода. Последнее уравнение с указанными дополнительными условиями решается численно конечно-разностным методом, и на основе полученных данных определяется форма свободной поверхности жидкости в канале. Результаты вычислений сравниваются (на качественном уровне) с результатами лабораторного эксперимента.

В четвёртой главе проводится численный эксперимент по моделированию процессов образования и взаимодействия уединённых волн в достаточно узких кольцевом и прямоугольных каналах в отсутствии внешнего воздействия (флотация не учитывается). Для исследования нелинейного взаимодействия (столкновения) уединённых волн (солитонов), движущихся друг за другом и на встречных курсах в отсутствии внешнего воздействия, используется уравнение Буссинеска, которое описывает поверхностные гравитационные волны на мелкой воде и длинные волны в одномерных нелинейных решётках [18] - [20]. В случае прямоугольного канала численный эксперимент позволил наблюдать отражение уединённых волн от торцевых стенок канала.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

10

Научная новизна диссертации заключается в следующем.

1. Впервые численно решена двумерная нелинейная задача о генерации уединённой волны движущейся областью переменного давления в узком кольцевом канале в приближении мелкой воды.

2. Решение указанной двумерной задачи приведено для случая флотирующей жидкости.

3. Впервые численно решена трёхмерная нелинейная задача о генерации уединённой волны движущейся областью переменного давления в кольцевом канале произвольной ширины в приближении мелкой воды.

4. Трёхмерная задача решена для случая флотирующей жидкости.

5. Впервые поставлен численный эксперимент с уравнением Буссинеска по моделированию процессов образования и взаимодействия уединённых волн в достаточно узких кольцевом и прямоугольном каналах в отсутствии внешнего воздействия.

(а) Проведено численное исследование процессов образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся в одном направлении в узком кольцевом канале.

(б) Проведено численное исследование процессов образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся на встречных курсах в кольцевом и прямоугольном каналах малой ширины.

Результаты диссертации докладывались на научных конференциях Ломоносовские чтения (секция физики) в 2002 г. (два доклада) и в 2003 г., на VIII Всероссийском научном семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» в 2002 г., на научном семинаре по вычислительной математике и математической физике, проводимом на физическом факультете МГУ под руководством профессоров А.Г. Свешникова и А.С. Ильинского, в 2003 г., на научном семинаре кафедры физики моря и вод суши физического факультета МГУ в 2003 г.

Основные результаты диссертации изложены в публикациях [7]—[14], [16].

11

Глава 1. Обзор работ, посвященных численному

исследованию уединённых волн на поверхности жидкости, и

некоторые лабораторные эксперименты.

§ 1.1. Численное исследование уединённых волн в двумерном случае.

Первоначально обсудим наиболее известные публикации, касающиеся темы второй главы, в которых явление флотации не учитывается.

Т.Р. Акилас [21] рассмотрел двумерную нелинейную задачу о вынужденных волнах, распространяющихся по поверхности слоя жидкости постоянной глубины, неограниченного в горизонтальном направлении. Локальное атмосферное возмущение было задано в виде волны давления, бегущей со скоростью, близкой к скорости длинных гравитационных волн с0 (число Фруда по глубине F&1.0, что

соответствует резонансу). Автором построено асимптотическое решение соответствующей линеаризованной задачи и выведено вынужденное уравнение Кортевега — де Фриза (вКдФ), которое решено численно конечно-разностным методом. Численные расчёты показали, что впереди возмущения образуется цуг уединённых волн. Т.Й. By [22] поставил более общую задачу: в его работе, датированной тремя годами позже, наряду с атмосферным возмущением учитывалось внешнее воздействие, создаваемое искривлением (прогибом) донной поверхности. Оба вида возмущения — переменное давление и искривление дна - задавались в виде изолированных импульсов, движущихся со скоростями, близкими к критическим (.F~1.0), при этом искривление донной поверхности предполагалось малым. На основе численного решения выведенного вКдФ - уравнения (с учётом изменчивости рельефа дна) автор исследовал вопрос: каким образом заданное суммарное внешнее воздействие может периодически генерировать последовательность уединённых волн (солитонов), бегущих впереди возмущения со скоростями, большими с0, в

12

то время, как позади возмущения могут развиваться только слабо нелинейные и слабо диспергирующие волны. Позднее группа исследователей С.-Дж. Ли, Г.Т. Йатс и Т.Й. By [23] ввела в рассмотрение обобщённую систему уравнений Буссинеска, учитывающую аналогично [22], воздействие атмосферы (в виде переменного давления) и слабоменяющийся рельеф дна. Как и в [22], оба вида , возмущений двигались с одинаковыми околокритическими скоростями и имели форму изолированных импульсов. Результаты численного решения обобщённой системы сравнивались с результатами предыдущей работы [22] и с данными лабораторных исследований. При проведении численного эксперимента обнаружен эффект, описанный в [22]. Среди отечественных работ по тематике [21] - [23] следует выделить статьи Б.Е. Протопопова [24], [25], во многом инициированные публикациями [22], [23]. Для описания плоских движений жидкости в прямоугольном бассейне конечной длины в [24] применялись модель потенциального течения идеальной жидкости, свободная от ограничений на амплитуды и длины исследуемых волн, и приближение Буссинеска, не учитывающее искривление донной поверхности. Модель Буссинеска использовалась с целью оценки границ её применимости. Выполнив численные расчёты, автор получил тот же эффект периодической генерации волн солитонного типа, убегающих от возмущения вверх по потоку и по мере удаления выходящих на режим с постоянной (сверхкритической) скоростью без изменения своей формы. Вычисления проводились на таком временном интервале, чтобы первый образовавшийся солитон не успел заплеснуться на торцевую стенку бассейна. Одновременно в [24] показана зависимость частоты генерации солитонов, их амплитуд и волнового сопротивления от интенсивности внешнего воздействия, которое было задано в виде одиночной волны давления. В следующей своей работе [25] Протопопов провёл численный анализ зависимости основных характеристик

13

исследуемого процесса от ключевых параметров: скорости движения, амплитуды и эффективной длины локализованной области переменного давления. Последний параметр автор определил как отношение суммарного давления на поверхность жидкости к амплитуде волны давления.

Нелинейные волны на поверхности флотирующей жидкости исследованы значительно меньше. Кроме упомянутой публикации Питтерса [17] и монографии С.А. Габова [15] отметим работы С.А. Габова в соавторстве с М.Б. Тверским [26], [27]. В обеих работах рассматривалась плоская (двумерная) задача, и использовался аналитический метод исследования нелинейных операторных уравнений. В [26] получены значения параметров, характеризующих установившиеся нелинейные волны конечной амплитуды на поверхности флотирующей жидкости и приведены приближённые формулы для профиля волн. Публикация [27] посвящена исследованию задачи о периодических волнах на поверхности флотирующей жидкости, вызванных переменным внешним давлением. Цель последней работы - доказательство существования при определённых условиях такого стационарного течения флотирующей жидкости при наличии на её поверхности переменного, периодически распределённого, давления, при котором на свободной поверхности образуются стоячие волны. Это — обобщение на случай флотирующей жидкости результатов работы Я.И. Секерж-Зеньковича [28].

§ 1.2. Численное исследование уединённых волн в трёхмерном случае и некоторые лабораторные эксперименты.

При постановке пространственных задач исследователи рассматривают волновые движения жидкости в неограниченных областях: либо на всей горизонтальной плоскости, либо в канале бесконечной длины ( глубина слоя в обоих случаях конечна ). Причём работ, посвященных

14

изучению нелинейных волн в трёхмерном случае при наличии флотации вообще нет. По этой причине мы рассмотрим публикации, в которых область, заполненная жидкостью, не ограничена хотя бы в одном направлении, а флотация отсутствует (исключение составит одна работа чисто экспериментального характера).

Р.С. Эртекин, B.C. Вебстер и Й.Ф. Вехаузен [29] рассмотрели прямоугольный канал постоянной глубины и ширины (ось симметрии -ось Ох), над поверхностью которого в положительном направлении оси Ох с постоянной скоростью бежала волна давления. Профиль такого возмущения представлял собой изолированный импульс в обоих горизонтальных направлениях. Для описания движений жидкости в канале авторы использовали уравнения Грина - Нагди, численное решение которых конечно-разностным методом показало, что при достаточно сильном внешнем воздействии впереди возмущения образуются трёхмерные волны солитонного типа, движущиеся быстрее возмущения. Чуть позже аналогичный эффект получили С. Катсис и Т.Р. Акилас [30], проведя численные расчёты для специально выведенного вынужденного уравнения Кадомцева — Петвиашвили (вКП). В процессе исследования авторы показали, что в том случае, когда распределение давления в форме одиночного импульса ( узко направленного в поперечном направлении относительно оси канала) движется с околокритической скоростью волновой отклик на свободной поверхности описывается вКП-уравнением.

В работах [31], [33] - [35] исследовались трёхмерные поверхностные волны в отсутствии внешнего воздействия. М.Ф. Гобби, Дж.Т. Кирби и Г. Вай [31] вывели систему уравнений Буссинеска, учитывающую члены, пропорциональные квадрату параметра дисперсии, который определяется

/7

(см., например, Дж. Уизем [32]) как /3 = -—, где hQ - уровень

л

А невозмущённой свободной поверхности, Я - характерная длина волны.

15

При этом в [31] предполагалось, что слой жидкости неограничен в горизонтальных направлениях. Ю.А. Дроздова [33] предложила вывод новой формы двумерного нелинейного уравнения для нулевого члена разложения потенциала скоростей в ряд по степеням z с учётом слабой неровности дна. На основе полученного уравнения в работе [33] изучалось влияние искривления донной поверхности на распространение уединённой волны в цилиндрическом горизонтальном канале с неизменным поперечным сечением. Г. Педерсен и В. Гьевик [34] затронули проблему наката уединённых волн на относительно крутой берег (с углом наклона

сс20 ), бегущих в осесимметричном канале с переменным поперечным сечением. С этой целью они вывели нелинейное уравнение для волн в канале малой глубины, учитывающее изменение площади поперечного сечения канала. Далее авторы представили результаты численных расчётов возвышения свободной поверхности и высоты наката уединённых волн на берег в случае прямоугольного поперечного сечения. П.Д. Вайдман и Р. Цахем [35] выполнили экспериментальное и численное исследование поверхностных уединённых волн, обладающих осевой симметрией. В результате лабораторных экспериментов было установлено, что изолированное возмущение превращается в осесимметричную уединённую

-2/3

волну с медленно меняющейся по закону г ' амплитудой, где г - длина радиус-ветора, проведённого из точки источника возмущения. Численный эксперимент в работе проводился с цилиндрическим уравнением КдФ, впервые выведенным С. Мэксоном и Дж. Вичелли [36] для описания волн различной природы, которое затем получил Дж.У. Майлс [37] конкретно для случая гравитационных волн на поверхности жидкости.

П. Ченг, У.К. Мел вилл и Дж.У. Майлс [38] провели ряд лабораторных экспериментов по распространению уединённых волн в каналах с переменным поперечным сечением в отсутствии внешнего воздействия. В

16

случае канала постоянной глубины им удалось измерить нарастание амплитуды уединённой волны, бегущей в канале, ширина которого уменьшается и, наоборот - падение амплитуды волны, движущейся в расширяющемся канале. Не менее интересные опыты поставлены Н.К. Шелковниковым, О.А. Живогиной и СВ. Селиверстовым в упомянутой выше работе [6] для случая кольцевого канала постоянной ширины. Здесь уединённая волна возбуждалась при постоянном внешнем воздействии, которое создавалось полем ветра над поверхностью канала. Лабораторные эксперименты показали качественное совпадение процесса взаимодействия генерируемых уединённых волн с результатами численного эксперимента с уравнением КдФ по моделированию уединённых волн в плазме, проведённого М. Крускалом и Н. Забуски [39].

§ 1.3. Численное и аналитическое исследование процессов образования, взаимодействия и отражения уединённых волн от препятствий в отсутствии внешнего воздействия.

Обзор публикаций по теме четвёртой главы начнём с упомянутой классической работы М. Крускала и Н. Забуски [39]. Поставив периодическое граничное условие и задав начальное возмущение в виде косинусоидальной волны, они наблюдали эволюцию начального возмущения и дальнейший его распад на группу уединённых волн (солитонов) различной амплитуды, движущихся в одном направлении (по окружности) со скоростями, прямо пропорциональными амплитудам. По характеру взаимодействия уединённых волн авторы назвали такие волны солитонами, подчёркивая их частицеподобные свойства при столкновениях. В результате численного эксперимента было замечено, что по прошествии определённого промежутка времени импульсы снова начинали собираться вместе, и, в конце концов, профиль начального возмущения почти полностью восстанавливался. Далее вновь происходил

17

Список литературы