Теоретическое обоснование структуры и функций Блока моделирования рельефа в ГИС :

Краткое описание

Введение...2

Глава 1. Современное состояние и задачи создания и использования

ЦМР в ГИС и геоинформационном картографировании...6

1.1. Роль ЦМР в решении географических задач на базе ГИС. Способы представления рельефа земной поверхности в цифровой форме...8

1.2. Методы моделирования рельефа по данным в точках...11

1.2.1. Средневзвешенная интерполяция и метод Шепарда...14

1.2.2. Интерполяция и аппроксимация с помощью радиальных базисных функций, кригинг...16

1.2.3. Интерполяция на основе триангуляции...22

1.2.4. Интерполяция и аппроксимация на основе иерархических В-сплайнов...24

1.3. Методы моделирования рельефа по изолиниям...25

1.4. Визуализация цифровых моделей рельефа, использование в научных исследованиях и автоматизированной картографии...32

1.5. Программные средства моделирования и анализа рельефа...35

Глава 2. Новые алгоритмы и методики создания и использования цифровых моделей рельефа...38

2.1. Алгоритм создания ЦМР по горизонталям, оцифрованным с топографических карт...38

2.2. Вычисление координат изолиний по сеточной ЦМР...45

2.3. Автоматизированное создание карт градиентного поля...59

2.4. Автоматизированное создание карт линий тока...65

Глава 3. Функции и структура блока моделирования, отображения и анализа рельефа в ГИС, его использование в географических исследованиях и автоматизированной картографии...71

3.1. Функции и структура программного комплекса моделирования и анализа рельефа в ГИС...71

3.2. Методика и компьютерная технология создания карт с использованием светотеневой пластики...76

3.3. Программная реализация, использование в практических и учебных целях...86

Заключение...91

Список литературы...93

Приложения... 105
Введение

Введение

Успехи внедрения ГИС и геоинформационных методов в практику географических исследований связаны с развитием геоинформатики как науки, бурным развитием автоматизации в картографии и математико-картографического моделирования геосистем. Одна из составляющих этого научного направления - моделирование рельефа, его картографическая визуализация и анализ на основе созданных моделей.

Актуальность темы диссертационной работы обусловлена потребностью географических исследований в использовании данных о рельефе в цифровой форме в связи с возрастающей ролью геоинформационных технологий при решении различных задач, необходимостью повышения качества и эффективности методов создания и использования цифровых моделей рельефа (ЦМР), обеспечения достоверности создаваемых моделей.

Цель диссертации состоит в разработке и теоретическом обосновании структуры и функций блока ГИС, предназначенного для моделирования, отображения и анализа рельефа, а также его практического использования для обеспечения функций пространственного моделирования и анализа в ГИС.

Для достижения этой цели потребовалось решить следующие задачи: о выполнить сравнительный анализ и систематизировать методы создания, отображения и анализа цифровых моделей рельефа, применяемые в ГИС при решении географических задач;

а теоретически обосновать оптимальный выбор методов, разработать новые алгоритмы и практические способы их реализации в ГИС для:

• создания цифровых моделей рельефа по горизонталям, оцифрованным с топографических карт;

• эффективного вычисления координат изолиний по ЦМР на регулярной сетке;

. повышения достоверности определения по ЦМР производных мор-фометрических показателей (углы наклона, кривизна и др.) и качества автоматизированного картографирования линий тока и градиентного поля; а разработать и апробировать учебное и научно-исследовательское про-

граммное обеспечение блока моделирования и анализа рельефа в ГИС. Научная новизна работы заключается в следующем:

а выполнены теоретическое обобщение и систематизация методов создания и использования цифровых моделей рельефа, разработана структура и определены функции соответствующего блока ГИС;

а разработан новый алгоритм создания ЦМР по горизонталям, оцифрованным с топографических карт, обладающий высоким быстродействием, эффективностью, возможностью учитывать дополнительную информацию в виде объектов гидрографии и уникальной возможностью получать достоверные по высотам модели для любого типа рельефа, в том числе и практически плоского;

q разработана серия новых алгоритмов и методик их применения для:

• вычисления координат изолиний по сеточным ЦМР;

• вычисления производных показателей по ЦМР с заданной площадью осреднения;

. автоматизированного картографирования градиентного поля и линий тока;

а разработан и создан оригинальный ГИС-пакет моделирования, отображения и анализа рельефа для использования как в научно-исследовательских, так и в учебных целях.

Практическая значимость результатов работы состоит в том, что они существенно повышают достоверность пространственного моделирования в ГИС, уровень автоматизации и эффективность географических исследований, требующих использования данных о рельефе, а также способствует обеспечению подготовки специалистов-географов, владеющих методами создания и использования цифровых моделей рельефа. Предложенные методические рекомендации облегчают практическое использование программного обеспечения, предназначенного для работы с цифровыми моделями рельефа.

Внедрение результатов работы. Выполненные исследования послужили основой для разработки методик и программного обеспечения для создания, отображения и анализа цифровых моделей рельефа, реализованных в работах лаборатории автоматизации кафедры картографии и геоинформатики Географического факультета МГУ по темам "Геоинформа-ционное картографирование" и "Картографирование геосистем на основе

интеграции геоинформатики, телекоммуникации и аэрокосмического зондирования" (№ гос. регистрации 01.2.00.108036), программе «Университеты России», грантам НШ-1217.2003.5, РФФИ N02-05-64037. Разработанное программное обеспечение и методики активно используются на географическом факультете МГУ и в других университетах России (Саратовском, Казанском и др.), а также в ряде институтов и организаций (Институт Геоэкологии РАН, Зарубежводстрой, ФГУП "НИИ ВОДГЕО", СГУ и др.) при выполнении научных и практических работ, а также при подготовке кандидатских и докторских диссертаций.

Методики и программное обеспечение внедрены при создании ГИС "Черное море" в рамках международной программы по спасению Черного моря (BSEP - Black Sea Environmental Programme).

Выполненные исследования внедрены в учебный процесс - на их основе подготовлен раздел учебника "Оформление карт. Компьютерный дизайн" и организован соответствующий практикум. Теоретические основы моделирования, включая новые алгоритмы, представленные в диссертационной работе, и методические рекомендации по созданию цифровых моделей рельефа используются в курсах "Высшая математика с основами программирования" и "Геоинформационное картографирование".

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались: на региональной конференции Географического союза стран Тихоокеанского региона, Китай, 1990; на международном симпозиуме "Environmental Change and GIS" (INSEG'91), Япония, 1991; на международной конференции "Europe in Transition", Чехия, 1994; на международной конференции ""GIS Frontiers in Business and Science", Чехия, 1996; на Всероссийской научно-практической конференции "Геоэкологическое картографирование", Москва, 1998; на международной конференции Inercarto-5 "ГИС для устойчивого развития территорий", Якутск, 1999.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 20 научных работ.

Объем и структура работы. Структура диссертационной работы определяется сформулированными выше задачами. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы, приложений. Материал работы изложен на 105 страницах машинописного текста, содержит 1 таблицу, 30 рисунков в тексте и 15 цветных рисунков в

приложении. Список литературы насчитывает 155 наименований, из них 104 на иностранных языках.

Работа выполнена в лаборатории автоматизации кафедры картографии и геоинформатики Географического факультета МГУ. Автор искренне благодарит научного руководителя, профессора кафедры картографии и геоинформатики И.К. Лурье, заведующего кафедрой, профессора A.M. Берлянта, профессора кафедры Б.А. Новаковского, профессора кафедры геоморфологии и палеогеографии Ю.Г. Симонова, всех сотрудников лаборатории и кафедры за содействие и помощь в работе.

Глава 1. Современное состояние и задачи создания и использования цмр в гис и геоинформационном картографировании

В истории развития методов моделирования и анализа рельефа на основе компьютерных технологий можно выделить два основных этапа. На первом из них (конец 50-х - начало 70-х) развитие методов шло по экстенсивному пути, в сторону количественного охвата. Основной целью было автоматизировать как можно больше картографических и исследовательских видов работ, выполнявшихся ранее вручную. Попытки уделить внимание качественной стороне разрабатываемых методов упирались в слабую материально-техническую базу (небольшие объемы памяти и низкое быстродействие компьютеров, несовершенные устройства ввода-вывода графической информации и др.). Например, в получившей широкую известность статье Шепарда [130] результаты работы предложенного им алгоритма иллюстрировались (см. Рис. 1) с помощью программы SY-МАР [135], разработанной специально для создания графических изображений на алфавитно-цифровом печатающем устройстве. Несмотря на многие недостатки, теоретические и практические основы большинства современных методов были заложены именно на этом первом этапе.

Начало второго этапа можно условно отнести к концу 70-х годов, когда оснащение компьютерами приобрело массовый характер и стали появляться относительно недорогие персональные компьютеры и рабочие станции. В это время довольно быстро произошла смена ориентации в разработках с количественной на качественную, интенсивную. Особенно бурное развитие в этом направлении происходило в 90-е годы. Это стало возможным благодаря техническому прорыву, приведшему к созданию недорогих и мощных компьютеров, а также высококачественных графических устройств.

Тенденция к качественному совершенствованию сохраняется и сейчас. Что-то принципиально новое появляется, в основном, в области анализа ЦМР. Такое смещение акцентов происходит благодаря широкому внедрению геоинформационных технологий в географические исследования. Развитие остальных двух аспектов, моделирования и визуализации, стиму-

лируется, как правило, появлением новых методов анализа и повышением качества цифровых картографических данных.

Так, например, появление и широкое внедрение методов гидрологического анализа (выделение водотоков и бассейнов, расчет индекса аккумуляции и т.д.) поставило перед исследователями задачу разработки мето-

LEVcL 12 3 4

• ••¦••••• ********* ооооооооо ооооооооо •ж

... ********* 000000000 H0QO0O0OO ВВВВВВВВВ

symbols ...1... ****г**** оооозооио цоооаоово ваввьвввв

... ********* ооооооооо евооооиоо ишип

... ********* ооооооооо еоооооооо авшвваааа

i ********************************** ., I********************************** ..

************************************ a I************************************

_ +•»••—•7—~——*

...I

6-

1******************************************* ...•..•...•.•...•••••

, ... ¦¦¦¦¦ ¦¦¦¦¦-••¦I ¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦ ¦¦¦ I

000000I

00000000GQ000I OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOI

¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦ 0000000000000000000000000000000*

!¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦ 0000 JUGOjGOuOQOOGGGGOO 0000000000000 I I ¦¦¦¦¦¦¦¦•¦•¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦•¦•¦•¦•¦¦* OOOOOOOOOCOOOOOOOOOOOOOOOOUOOO вв1

IOOC +¦»+¦¦*¦++++¦¦ GGOOGGGGGGOGGGOOGJGGOGOOOOOGOO вввввввввввI

iUuuOOOOUOG OOGGOOCJGUGGUGGUUGOGGGGOOOGQOGJ 8ввввв**)вв«вИвв9I

3U00(jUUU0uUU00odU0000O0000UtJ0Uu00JGLia00O00000u00G00OO "

iOuObbuGOJbUuuuuuuuoouuouuoaojLouooGooGO iooucoguuouGjguoggocuouogouucugooggoguoliijOgoogijo iujouuouoOuuojooououooooouOojouuoouoooooooooco eetibeeeeeeeeeeeee i

lOOUuGGUouGOGOOUUGGOGUGGObGOOOGGGOOUOGJOOGOOO вЙввв^вйввНвНвёв UIIIIIHII ¦UbUGUUUoOGJGGGGuGGuOJOJuGUGGGOUOOJGUOGGGGUU ввв III

UGOOGOOGacaGGGG

¦UbUGUUUoOGJGGGGuGGuOJOJuGUGGGOUOOJGUOGGGGUU евОвевтЮвевввв IIIIIII1IIIII«

3- UGOGbOouUUGGiJGuJuiJJGOGGOGOUGGOGacadGUOGGG в€вввввввввви ПШШИИНШ

iugoojguuuljjgggjgoggoouoocgggouoguiJgCjOogg во о иий^в^ввеав ininiiBimiiiii

lGGGUUOGGGOJGGGOOGGOGJGGGGOGJOJJOGOOOJOU вЬнвиввоввв^Нв IIIIIIIIIHIUUIIII iJGOUOOOGODGGGUGO вЙввввввввв IMUHIIHIIUIIIIII

UUIIUIIIHIUI1III4

iOGUGuOGuoUGGGaoGGujOGGoGGGGGOoouo вввьвевввв шшккшш11ваввшаавшшавв1 ijuGGGGGuGuuGGuuGJJUGOO3JGGGooociGuGGU aeewwfaOOdOtioa ¦вааиааааааввваынаажа! iOoouooojOooaGOOOOOOoooooo б в1

iGGuuGGU aeOO ¦ааавваажа! iOoojuooojOuuooauuuLtGuOOOOOOoooouoooo в^наыоооёьоеб вавввваававввававваавва1 2- lObGuOuojGGJGtJuGjGGijuGGUGOGGGOGOOGOO в^евиаоойоввв вввааавваввввввваававваа! ¦GGGGGUuGOGUGGGaGGOUGOGGOuGOooooGGGO евоиоовнъьъьв вввваввааввавввваввввава4

IGGGuGoUGUGJUGGJOGGGGGGGJoGGGGGGOGG вв ¦

iogoggogggooggogggGqgoggg

IOGGGGGGOGG вэЧв«внв и1Д1УТТ11И

iogoggogggoogggoggguGugqggogoggggog ьъьвеьььвпвъвв ваваавааавваавввшаквввЕви iaOGGGuGGOoaGGGoGOOGOGGOOGGOGO въвввввв вввваааааааааввввававваав!

ваввввавввввавввввввааава!

500GGOGGGGGUG0G0GuuGGJGJ0O000Gu0G0 QeetWHUOUCJOJOt) ___ ______

1- lOGGCouGuuooUJGuGGGGGJGGGGUGGGOOO оииоаоноаавэвав ввввававаавввввваавававна1 IGuObGGGOGоjuuoooooooooooooooooou «aetjbuoooooooo аваававввввааааввввввававвI

- —- -... ¦¦¦-------------------"----------- IIIUUUIUI1U111II1HI1

u авваававааа

OoUGOOuOOGGOoOGGOGUGGGGG ооиоооойоаооооооо аяжякжвааавааавааааввавВ'! iggggggojGuGjgoguGggguoojgggoogg eeeuotjoeooooGOOoo ваааввааввахавввжажшввжа1 lUGOOGGUGJGGGGGOuuoGCGOGOGGO eacjuououtJQooooea вваавававвааааавввваваава! lpOGGGGGGuaoouuOGuo ввввв€1вв«^вбвоо008 ваававааввааввввававаавв1 igogogjogjguuguliggcjgouoggogooq еооодооооиоооооиооо ваавававаавваввваавввва!

* l ' Z * 3 * * ' 5 * 6 * ' *

Рис. 1. Изображение, созданное на алфавитно-цифрововом печатающем устройстве программой SYMAP [135] (пример взят из статьи Шепарда [130]).

дов создания гидрологически корректных ЦМР, поскольку существовавшие на тот момент методы не позволяли получать модели необходимого для их анализа качества. Эта задача остается актуальной и в настоящее время, универсального метода, пригодного для любого типа рельефа, не создано до сих пор.

Важность ЦМР для современных геоинформационных методов исследований подчеркивает и тот факт, что во многих странах, наряду с цифровыми географическими данными, создаются национальные банки данных цифровых моделей рельефа, поддерживаемые на государственном уровне. Существуют и глобальные цифровые модели, покрывающие всю территорию Земли, например, модель SRTM, созданная в результате обработки данных радиолокационной съемки комплексом SRTM с корабля-челнока "Индевор" в полете STS-99 (февраль 2000 г.) [155]. Такие модели хранятся в сеточной форме, легко доступны, в частности, через интернет, и имеют невысокую стоимость либо бесплатны.

Анализ литературных источников, в том числе отчетов университетов и крупных научно-производственных лабораторий и фирм, позволяет сделать еще один вывод. Появляющиеся новые методы моделирования или постобработки моделей с целью улучшения их качества в первую очередь используются производителями ЦМР, государственными и частными, и в коммерческие ГИС, за некоторыми исключениями (программа ANUDEM [151], на основе которой создан модуль TOPOGRID ГИС АгсЛпго; методы постобработки ЦМР с целью повышения гидрологической корректности [79, 119], использованные для улучшения качества ЦМР национального банка данных США), включаются с большим запозданием или не включаются вовсе.

1.1. Роль ЦМР в решении географических задач на базе ГИС. Способы представления рельефа земной поверхности в цифровой форме.

Рельеф земной поверхности играет важнейшую роль при решении широкого круга географических задач (картографическая визуализация [41], картометрический и морфометрический анализ [6, 25, 29, 41, 42, 43, 26], гидрологический анализ [114], моделирование климата [20], геоэкологические исследования [18, 44] и т.д.). Широкое внедрение ГИС и геоинформационных технологий в географические исследования предполагает

использование данных о рельефе в цифровой форме — в виде цифровых моделей рельефа.

Одно из наиболее общих определений цифровой модели рельефа дано С.Н. Сербенюком в работе [30]. "Под ЦМР любого поля будем понимать определенную форму представления исходных данных и способ их структурного описания, позволяющего вычислять (восстанавливать) значения поля в заданной области путем интерполирования". Речь в этом определении идет о любых так называемых "географических полях", как реальных, так и абстрактных, "для которых независимыми переменными являются пространственные координаты, а в качестве зависимых переменных служат исследуемые количественные показатели". Рельеф земной поверхности является частным случаем такого географического поля, где зависимой переменной выступает высота. В этой же работе приводится разбиение ЦМР геополей на группы в зависимости от формы представления исходных данных: "1) с регулярным расположением точек на прямоугольных, треугольных или гексагональных сетках; 2) с нерегулярным представлением точек по структурным линиям, профилям, центрам площадей, локальным точкам, случайным сеткам и т.д.; 3) с изолинейным (уровен-ным) заданием точек, расположенных равномерно на изолиниях или же с учетом сложности их рисунка".

Хотя процитированное определение является довольно общим, охватывает, в том числе, многомерные поля как скалярного, так и векторного типа, оно требует некоторого расширения понятия географического поля, поскольку такое определение не включает в себя большое множество полей, на анализе которых основываются весьма широкий класс задач в географических исследованиях. Речь идет о случаях, когда в качестве независимых переменных выступают не только пространственные координаты, но и другие количественные показатели, в том числе и время [11, 12, 99].

Для визуализации и анализа геополей на основе цифровых моделей зачастую необходимо быстро, в режиме реального времени, находить значение показателя в произвольной точке области определения. Однако не всякая форма представления исходных данных и способ их структурного описания, о которых идет речь в определении, позволяют восстанавливать значения быстро. Поэтому на практике используются такие формы хранения исходных данных, дискретных по своей природе, которые позволяют

путем простых интерполяционных процедур восстанавливать значения непрерывного поля в произвольной точке в режиме реального времени.

Этот факт находит отражение в более современных определениях. Так, например, в толковом словаре основных терминов геоинформатики под ред. Берлянта A.M. и Кошкарева А.В. [14], цифровая модель рельефа определяется как "средство цифрового представления 3-мерных пространственных объектов (поверхностей, рельефов) в виде трехмерных данных как совокупности высотных отметок или отметок глубин и иных значений аппликат в узлах регулярной сети с образованием матрицы высот, нерегулярной треугольной сети (TIN) или как совокупность записей горизонталей (изогипс, изобат) или иных изолиний". В зарубежных источниках общепринято несколько более широкое определение ЦМР как совокупности ячеек, покрывающих область определения, и способа восстановления значений в этих ячейках. В такое определение вписываются и триангуляционное, и сеточное, и изолинейное представления.

Для анализа на основе численных методов наиболее удобны две формы представления: в виде значений в узлах регулярной сетки (сеточные модели) и в виде значений в узлах нерегулярной треугольной сети (триангуляционные модели). Изолинейную форму представления использовать напрямую для визуализации (за исключением способа изолиний, причем только с уже имеющимся шагом сечений) и анализа затруднительно. Область определения в первых двух случаях разбивается на множество прямоугольных или треугольных ячеек, что позволяет легко восстанавливать значения высот в произвольной точке путем интерполяции, а также находить производные показатели и выполнять численный анализ. Наиболее простым и употребительным способом интерполяции для треугольных ячеек является линейная функция двух переменных f(x,y) = a00 + alox + aQly, коэффициенты которой однозначно определяются по значениям высот в вершинах треугольника. Для прямоугольных ячеек аналогичным свойством обладает билинейная функция f{x,y) = a00 + а]Ох + а01у + аиху. Для редких сеток с большими расстояниями между узлами для восстановления значений показателя иногда употребляют и более сложные функции, для построения которых привлекаются значения в соседних ячейках [52, 53, 69]. Однако чаще всего такие

10

способы используются для сгущения сетки с последующим использованием более простых способов. Каждая из указанных выше форм имеет свои достоинства и недостатки, однако триангуляционные модели применяются в основном для крупных масштабов, поскольку позволяют встраивать в свою структуру границы естественных и искусственных объектов, в то время как сеточные, несмотря на некоторую избыточность данных по сравнению с триангуляционными моделями, для любых.

1.2. Методы моделирования рельефа по данным в точках.

Анализируемые в данном разделе методы используются для моделирования рельефа в том случае, когда значения высот известны только в некоторых точках (в дальнейшем — опорные точки), расположенных, в общем случае, нерегулярно. Обычно такого рода исходные данные получаются после проведения полевых съемок (нивелирование, тахеометрическая съемка, съемка с использованием приемников спутникового позиционирования и т.д.), либо фотограмметрическим способом по стереоснимкам [31]. В отличие от рельефа земной поверхности, для большинства других географических полей исходные данные в такой форме встречаются чаще всего (точки опробования в экологических исследованиях, точки привязки показателя при построении абстрактных полей и т.д.).

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения: и - количество опорных точек; xityt - плановые прямоугольные координаты

опорных точек; zt - значения высот в опорных точках; pt = (х(,у() - опорные точки как геометрические объекты (векторы) на плоскости, индекс i пробегает все целые значения от 1 до п\ р = (х, у) - произвольная точка области определения ЦМР; /(р) = /(* у) - модельная функция. Задача моделирования сводится к описанию конструктивного способа восстановления значения показателя (высоты) f(x, у) в произвольной точке (х, у) области моделирования, основанного на данных в опорных точках, либо в аналитическом виде, либо в виде некоторого алгоритма, задающего последовательность операций для вычисления значения показателя.

В математике известно довольно большое количество методов моделирования по данным в точках, многие из них рассматриваются в обзорах [24, 39, 54, 73, 114, 139]. Подробно остановимся только на тех из них, ко-

11

торые чаще всего встречаются в программных пакетах по моделированию, либо являются наиболее подходящими для моделирования именно рельефа. Для каждого метода приводится не только его формальное математическое описание, но и выводы о его достоинствах и недостатках при моделировании рельефа, основанные как на теоретических свойствах модельной функции, так и на численных экспериментах.

Для большей наглядности работа анализируемых алгоритмов будет проиллюстрирована на данных, полученных фотограмметрическим способом, для тестового участка, представляющего собой часть склона горы Айкуайвенчорр (Хибины). На Рис. 2 показан вид на тестовый участок со стороны учебной базы Географического факультета в Хибинах.

Стереопара снимков, полученных с помощью наземной фототеодолитной съемки, оцифрована по регулярной прямоугольной сетке точек с использованием системы "Стерео", созданной на кафедре картографии и

Рис. 2. Тестовый участок. Вид со стороны учебной базы Географического факультета МГУ в Хибинах.

12

геоинформатики географического факультета МГУ [31, 32].

Плановое положение опорных точек и граница прямоугольного участка, который является областью определения цифровой модели, показаны на Рис. 3. Значения высот в опорных точках варьируются от 355 до 909 метров; участок моделирования имеет размеры 950 на 1200 метров. Следует отметить, что несмотря на строго регулярное расположение точек цифрования на снимке, опорные точки расположены нерегулярно, отклонения от регулярной сетки зависят от угла съемки и геометрической формы поверхности. Кроме того, существуют целые области, невидимые из точки съемки, где опорные точки вообще отсутствуют. Такая ситуация является характерной для наземной фотосъемки и оправдывает применение этих

к а к а " 1 к .

•"•¦ к ..»' • "

а" . • » ""

"" " V * а " "" ""«" ' "к » к • "

" \" " / - " """ -." "" /" "

•¦.."-•.- .- - - -."-"" „¦ - " . .

» • к _ к „ а. • _ к к- . .

к ¦ к а

к .к"."

* и, а а" ¦ •

а " " "

к ** к «I

"" » " " - ."•*.•¦'.

" ¦ " а к

•¦ __«« а"а«а*к,

. . В %"" "." "а" " - """ X" а """"""""- к ,

"к "" "а "" » \ "к ." » "" */.*""" Щ.1 * "" а ' '

- « % а"» .*.».«.# . - , ". ••?».. а. . " " " '

. ш я * " к к" а" *а«к |'и ¦

¦ ..¦•*.-".•¦¦„.¦ .*- .- л ..-.---¦¦

• ш . •' " .'"к" ¦ _ *' " ' тв » • . я. .

к . . к

.«¦ • • ...

Рис. 3. Тестовый участок. Плановое положение опорных точек и границы участка моделирования.

13

данных в качестве тестовых для иллюстрации работы методов моделирования. Ситуация с данными полевой съемки будет рассмотрена отдельно, при анализе метода моделирования на основе триангуляции.

1.2.1. Средневзвешенная интерполяция и метод Шепарда.

Метод средневзвешенной интерполяции восходит к Гауссу и является одним из самых простых математически. Значение модельной функции в точке вычисляется как взвешенная сумма значений в опорных точках:

w

(р)=р-р,

-к

(1)

(=1

к\ - степень весовой функции. Веса каждой точки положительны и меньше или равны единице, а их сумма тождественно равна единице. Наиболее употребителен случай к=2, в зарубежной литературе его принято называть методом обратных взвешенных расстояний (IDW - Inverse Distance Weighted). Благодаря своей простоте, метод реализован практически во всех блоках ГИС и специализированных программах по моделированию.

Рис. 4. Тестовый участок. Поверхность, построенная методом средневзвешенной интерполяции.

14

Недостатками метода в форме (1) являются его глобальность (функция зависит от значений во всех опорных точках) и равенство нулю частных производных модельной функции в опорных точках (в этих точках функция имеет локальные максимумы и минимумы, см. Рис. 4). Это означает, с одной стороны, низкую вычислительную эффективность, а с другой стороны, неспособность метода к адекватному отражению производных характеристик моделируемой поверхности, в частности, градиента. К достоинствам метода можно отнести то, что значения модельной функции не выходят за пределы значений в опорных точках. Для некоторых геополей такое свойство может быть решающим при выборе метода моделирования, в частности, при создании карт уровня радиационного загрязнения территорий по точечным замерам. Метод также легко может быть обобщен на случай многих переменных. Из-за свойственных методу недостатков он совершенно не годится для моделирования рельефа, за исключением случая, когда при большом количестве опорных точек построенная ЦМР используется для вычисления интегральных показателей, например, при оценке объемов выработки в открытых карьерах. Дифференциальные же характеристики модельной поверхности неудовлетворительны.

Шепардом [130] были предложены способы устранения этих недостатков. Для локализации метода предлагалось использовать весовые функции с компактным носителем, а для интерполяции производных использовать в формуле (1) не значения в опорных точках, а линейные функции, локализованные в этих точках, принимающие те же значения и аппроксимирующие градиент. Там же был предложен и способ вычисления коэффициентов таких функций, и способ организации данных для быстрого поиска ближайших точек. Такая модификация средневзвешенной интерполяции получила в дальнейшем название метода Шепарда, вышло довольно много работ, в частности [56, 80], посвященных дальнейшему усовершенствованию этого подхода, среди которых можно выделить вклад Ренки [121, 122, 123]. Обобщая все предложенные варианты, модельную функцию в методе Шепарда можно представить в виде

(2)

15

где Qi (p) - функции, локализованные в *-й опорной точке (это могут быть

алгебраические полиномы степени от 1 до 3, тригонометрические полиномы первой или второй степени, или некоторые другие функции). Весовые функции с компактным носителем могут иметь вид, например, следующий:

\Rt —rt если г,-

Rtrt

trt

О если г,. /?,.

(3)

где R( - радиус влияния 1-й опорной точки.

Во многих программах локализация метода Шепарда выполняется не с помощью весовых функций специального вида (3), а просто путем отбора для формулы (2) точек, попавших в круг заданного радиуса, или заданного количества, ближайших к искомой точке. Это приводит к формально разрывной модельной функции (набор точек и значений, участвующих в суммировании, может меняться при переходе к соседнему узлу сетки) и может приводить к заметным скачкам значений построенной модели.

Описанные выше усовершенствования позволяют существенно улучшить качество моделирования. Несмотря на это, метод Шепарда, как правило, проигрывает методу радиальной интерполяции и кригингу.

1.2.2. Интерполяция и аппроксимация с помощью радиальных базисных функций, кригинг.

Метод радиальных функций объединяет целую группу методов, которые изначально развивались самостоятельно и позднее были объединены под одним названием, когда было замечено, что решение многих задач приводит к их математической формулировке в одной и той же форме. Модельная функция ищется в виде:

где R{r) - функция одной переменной, называемая радиальной, a Pk (p) -

полином степени к. Из формулы (4) видно, что значение в искомой точке зависит только от расстояний до опорных точек, но не от направления, в котором они находятся.

Условия интерполяции f{xi,yi)=zi и дополнительное требование точности интерполяционной схемы на полиномах степени к, приводят к

16

Список литературы