Горбачев Экстремальные задачи теории функций и теории приближений и их приложения : Горбачов Екстремальні задачі теорії функцій і теорії наближень та їх застосування

Краткое описание

71:07-1/19
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УРАЛЬСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РАН
На правах рукописи УЛК 517.5

ГОРБАЧЕВ ДМИТРИЙ ВИКТОРОВИЧ
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ И ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
01.01.01 — математический анализ
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Екатеринбург — 2006

11 ДЕК 2005
России

Научный консультант, доктор физ.-матем. наук, профессор В. И. Иванов

ОГЛАВЛЕНИЕ
Обозначения З
Введение 5
Глава 1. Экстремальные задачи теории приближений 43
§ 1.1. Константа Джексона в Ьр на сфере 43
§ 1.2. Константа Джексона в Ьр на КРОСП 58
§ 1.3. Неравенство Джексона в пространстве ZP(Z") 66
§ 1.4. Константа Джексона в Li на гиперболоиде 73
§ 1.5. Приближение в L2 частичными интегралами Фурье 81
Глава 2. Задачи для целых функций экспоненциального сфериче¬ского типа 102
§ 2.1. Основные обозначения и вспомогательные результаты 102
§ 2.2. Экстремальные задачи типа Черныха-Логана 109
§ 2.3. Многомерная задача Турана 117
§ 2.4. Интегральная задача Дельсарта 123
1 § 2.5. Экстремальные задачи на полуоси с весом i2“+1 132
Глава 3. Экстремальные задачи для функций с малым носителем 136
§ 3.1. Экстремальная задача Турана для периодических функций 136
§ 3.2. Экстремальная задача Конягина для периодических функций .... 146 § 3.3. Интегральная задача Конягина и оценки [С, £)-констант Николь¬ского 150
Глава 4. Некоторые приложения экстремальных задач 173
§4.1. Оценки экстремальных расположений точек на торе и в простран¬стве 173
§4.2. Экстремальные задачи, связанные с оценками мощности кодов
и дизайнов 176
§ 4.3. Приложения одномерной задачи Турана 189
I Список литературы 194

Список литературы

Список литературы
1. Андреев Н.Н, Экстремальные задачи для периодических функций с малым носителем // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1997. № 1. С. 29-32.
2. Андреев Н.Н., Конягин С.В., Попов А. 10. Экстремальные задачи для функций с малым носителем // Матем. заметки. 1996. Т. 60, №3. С. 323-332; Письмо в редакцию // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 3. С. 479-479.
3. Арестов В.В., Бабенко А.Г. О схеме Дельсарта оценки контактных чи¬сел // Труды МИРАН. 1997. Т. 219. С. 44-73.
4. Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенства Джексона на сфере Ьч // Изв. вузов. Сер. Математика. 1995. Т. 399, №8. С. 13-20.
5. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. — М.: Наука, 1965.
6. Бабенко А. Г. О точной константе в неравенстве Джексона в L2 // Матем. заметки. 1986. Т. 39, №5. С. 651-664.
7. Бабенко А. Г. Неравенство Джексона для среднеквадратичных приближе¬ний периодических функций тригонометрическими полиномами на равно¬мерной сетке // Матем. заметки. 1988. Т. 43, №3. С. 460-472.
8. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2 функций на многомерной сфере // Матем. заметки. 1996. Т. 60, №3. С.333-355.
9. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для ^-приближе¬ний на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Изв. РАН. Сер. матем. 1998. Т. 68, № 6. С. 27-52.
10. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2(Rm) // Труды ИММ УрО РАН. 1998. Т. 5. С. 182-198.
11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Наука, 1987.
12. Бердышев В. И. О теореме Джексона в Ьр // Труды МИАН. 1967. Т. 88. С. 13-16.
13. Berdysheva Е.Е. An extremal problem for entire functions of exponential type with nonnegative mean value // East J. Approx. 1997. V. 3, №4. P. 393-402.
1 А. Бердышева Е.Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для це¬лых функций многих переменных // Матем. заметки. 1999. Т. 66, №3. С.336-350.
15. Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. — М.: Мир, 1981.
16. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. — М.: Наука, 1966.
17. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. — М.: Наука, 1966.
18. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. М: Наука, 1991.
19. Горбачев Д. В. Точные константы Джексона на группе SU(2) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1997. Т. 3, вып. 1. С. 14-27.
20. Горбачев Д. В. Неравенство Джексона в пространстве /P(Z") // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1998. Т.4, №3. С.44-50.
21. Горбачев Д. В. Точное неравенство Джексона в пространстве Lp на сфе¬ре // Матем. заметки. 1999. Т. 66, № 1. С. 50-62.
22. Горбачев Д. В. Приближение в частичными интегралами Фурье по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1999. Т. 5, вып. 1. С. 38-50.
23. Горбачев Д.В. Об оценках снизу мощностей дизайнов на проективных пространствах // Изв. ТулГУ. Сер. Информатика. 1999. Т. 5, вып. 3. С. 33-37.
24. Горбачев Д. В. Две экстремальные задачи для целых функций экспонен¬циального сферического типа // Труды Межд. школы С. Б. Стечкина по теории функций. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1999. С. 77-93.
25. Горбачев Д. В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциаль¬ного сферического типа // Матем. заметки. 2000. Т. 68, №2. С. 179-187.
26. Горбачев Д.В. Экстремальная задача для целых функций экспоненци¬ального сферического типа, связанная с оценкой Левенштейна плотности упаковки М" шарами // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 2000. Т. 6, вып. 1. С.71-78.
27. Горбачев Д. В. Экстремальная задача для периодических функций с носи¬телем в шаре // Матем. заметки. 2001. Т. 69, №3. С. 346-352.
28. Горбачев Д. В. Об одной экстремальной задаче для периодических функ¬ций с малым носителем // Матем. заметки. 2003. Т. 73, №5. С. 773-778.
29. Горбачев Д. В. Усиление нижней оценки Тайкова в неравенстве между С- и L-нормами для тригонометрических полиномов // Матем. заметки. 2003. Т. 74, №1. С. 132-134.
30. Горбачев Д. В., Иванов В. И. Одна экстремальная задача для многочленов, связанная с кодами и дизайнами на сфере // Изв. ТулГУ. Сер. Математи¬ка. 1998. Т. 4, вып. 1. С. 50-53.
31. Горбачев Д. В., Иванов В. И. Одна экстремальная задача для многочленов, связанная с кодами и дизайнами // Матем. заметки. 2000. Т. 67, №4. С. 508-513.
32. Горбачев Д.В., Маношина А.С. Экстремальная задача Турана для пе¬риодических функций с малым носителем // Чебышевский сб. Труды IV Межд. конф. «Современные проблемы теории чисел и ее приложения» (Тула, 2001). 2001. Т. 2. С. 31-40.
33. Горбачев Д. В., Маношина А. С. Экстремальная задача Турана для пе¬риодических функций с малым носителем и ее приложения // Матем. заметки. 2004. Т. 76, №5. С. 688-700.
34. Горбачев Д. В., Пискорж М. С. Точное неравенство Джексона в Li на гиперболоиде // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1998. Т. 4, вып. 1. С. 54-58.
35. Горбачев Д. В., Столярова О. А. Новые нижние оценки наилучшей кон¬станты в неравенстве между С- и L-нормами для тригонометрических полиномов // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 2004. Т. 10, вып. 1. С. 54-61.
36. Горбачев Д. В., Странковский С. А. Одна экстремальная задача для чет¬ных положительно определенных целых функций экспоненциального ти¬па // Матем. заметки. 2006. Т. 80 (в печати).
37. Дельсарт Ф. Алгебраический подход к схемам отношений теории кодиро¬вания. — М.: Мир, 1976.
38. Ибрагимов И.И., Насибов В.Г. Об оценке наилучшего приближения сум¬мируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени // ДАН СССР. 1970. Т. 194, №5. С. 1013-1016.
39. Иванов В.И. О приближении функций в пространствах Ьр // Матем. заметки. 1994. Т. 56, №2. С. 15-40.
40. Иванов В.И., Рудомазина Ю.Д. О задаче Турана для периодических функций с неотрицательными коэффициентами Фурье и малым носите¬лем // Матем. заметки. 2005. Т. 77, №6. С. 941-945.
41. Иванов В.И., Смирнов О.И. О теореме Джексона в пространстве /г(2”) // Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 3. С. 390-405.
42. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lv. Тула: ТулГУ. 1995.
43. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона в пространствах L2 на метрических компактах // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1996. Т. 2, вып. 1. С. 93-118.
44. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона в пространстве £2(^2) // Труды МИРАН. 1997. Т. 219. С. 183-210.
45. Иванов В.И., Тюрюканов А.А. Константы Джексона в пространствах 1Р на конечных множествах // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 2000. Т. 6, вып. 1. С. 108-136.
46. Кабатянский Г. А., Левенштейн В.И. О границах для упаковок на сфере и в пространстве // Пробл. передачи информ. 1978. Т. 14, вып. 1. С. 3-25.
47. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, 1958.
48. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990; CONWAY J. Н., SLOANE N. J. A. Sphere Packings, Lattices and Groups, third edition. — N.Y.: Springer-Verlag, 1999.
49. Корнейчук Н.П. Точная константа в теореме Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145, № 3. С. 514-515.
50. Корнейчук П.П. Экстремальные задачи теории приближений. — М.: Нау¬ка, 1976.
51. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. — М.: Физматгиз, 1959.
52. Левенштейн В. И. О границах для упаковок в n-мерном евклидовом про¬странстве // ДАН СССР. 1979. Т. 245. С. 1299-1303.
53. Левенштейн В. И. Границы для упаковок метрических пространств и некоторые их приложения // Пробл. кибернетики. 1983. Т. 40. С. 43-110.
54. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. — М.: Гостехиздат, 1956.
55. Левитан Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига. — М.: Наука, 1973.
56. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. — М.: Наука, 1970.
57. Маношина А.С. Решение экстремальной проблемы Турана при помощи задачи линейного программирования // Изв. ТулГУ. Сер. Информатика. 2000. Т. 6, вып. 3. С. 113-116.
58. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 2. — М.: Наука,
1968.
59. Московский А.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Rn) и LPi(R+) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1997. Т. 3, вып. 1. С. 44-70.
60. Московский А.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Kn), LPt(Е+) 1 < р ^ 2 // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1998. Т. 4, вып. 1. С. 97-101.
61. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука,
1969.
62. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1977.
63. Петрова И. В. Некоторые вопросы теории іЛприближений на гиперболо¬иде // ДАН СССР. 1990. Т. 310, №2. С. 298.
64. Платонов С. С. Приближение на компактных симметрических простран¬ствах ранга 1 // Матем. сб. 1997. Т. 188, №5. С. 113-130.
65. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 2. М.: Наука, 1978.
66. Попов В. 10. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв. вузов. Математика. 1972. № 6. С. 65-73.
67. Попов В.Ю. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2 на гиперболоиде // Труды ИММ УрО РАН. 1997. Т. 5. С. 254-266.
68. Роджерс К. Укладки и покрытия. — М.: Мир, 1968.
69. Сеге Г. Ортогональные многочлены. — М.: Физматгиз, 1962.
70. Сидельников В.М. Об экстремальных многочленах, используемых при оценке мощности кода // Пробл. передачи информации. 1980. Т. 16, №3. С. 17-30.
71. Смирнов О. И. Константы Джексона в пространстве /2(2") // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1996. Т. 2, вып. 1. С. 191-219.
72. Справочник по специальным функциям // Под. ред. М. Абрамовица и И. Стиган. — М.: Наука, 1979.
73. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. — М.: Мир, 1974.
74. Стечкин С. Б. Одна экстремальная задача для тригонометрических рядов с неотрицательными коэффициентами // В кн. «Стечкин С. Б. Избранные труды: Математика». — М.: Наука, 1998. С. 244-245.
75. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1979.
76. Тайков Л.В. Один круг экстремальных задач для тригонометрических полиномов// УМН. 1965. Т. 20, №3. С. 205-211.
77. Тайков Л. В. О наилучшем приближении ядер Дирихле // Матем. заметки. 1993. Т. 53, №6. С. 116-121.
78. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические простран¬ства. — М.: Мир, 1964.
79. Хьюитт Э., Росс К. А. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1. — М.: Мир, 1975.
80. Хьюитт Э., Росс К. А. Абстрактный гармонический анализ. Т. 2. — М.: Мир, 1975.
81. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 71-74.
82. Черных Н.И. Неравенство Джексона в Ьр(0,2п) с точной константой // Труды МИАН. 1992. Т. 198. С. 232-241.
83. Юдин В. А. Многомерная теорема Джексона в L2 // Матем. заметки. 1981. Т. 29, №2. С. 309-315.
84. Юдин В. А. Упаковки шаров в евклидовом пространстве и экстремальные задачи для тригонометрических полиномов // Дискр. матем. 1989. Т. 1, №2. С. 155-158.
85. Юдин В. А. Две экстремальные задачи для тригонометрических полино¬мов // Матем. сб. 1996. Т. 187, № 11. С. 1721-1736.
86. Юдин В. А. Код и дизайн // Дискр. матем. 1997, вып. 2. С. 3-11.
87. Юдин В. А. Расположение точек на торе и экстремальные свойства поли¬номов // Труды МИРАН. 1997. Т. 219. С. 453-463.
88. Юдин В. А. Нижние оценки для сферических дизайнов // Изв. РАН. Сер. матем. 1997. Т. 61, №3. С. 213-223.
89. Arestov V. V., Babenko A.G. Continuity of the best constant in the Jackson inequality in L2 with respect to argument of modulus of continuity // Approx. Theory: A vol. dedic. B. Sendov. Sofia: DARBA, 2002. P. 13-23.
90. Arestov V. V., Berdysheva E.E. Turan’s problem for positive definite func¬tions with supports in a hexagon // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 2001. V. 1. P. S20-S29.
91. Babenko V., Kofanov V., Pichugov S. Comparison of Rearrangement and Kolmogorov-Nagy Type Inequalities for Periodic Functions // Approx. The¬ory: A volume dedicated to Blagovest Sendov (B. Bojanov, Ed.), DARBA, Sofia. 2002. P. 24-53.
92. Benedeck A., Panzone R. The spaces Lp with mixed norm // Duke Math. J. 1961. V. 28. P. 301-324.
93. Blichfeldt H.F. The minimum value of quadratic forms and the closest
packing of spheres // Math. Ann. 1929. V. 101. P. 605-608.
94. Blichfeldt H.F. The minimum values of positive quadratic forms in six, seven and eight variables // Math. Z. 1934. V. 39. P. 1-15.
95. Boas R.P., Кас M. Inequalities for Fourier transforms of positive functions // Duke Math. J. 1945. V. 12. P. 189-206.
96. Chernykh N.I., Arestov V. V. On the ^-approximation of periodic functions by trigonometric polinomials // Approximation and functions spaces. Proc. Inter. Conf. (Gdansk, 1979). — Amsterdam: North-Holland, 1981. P. 25-43.
97. Cohn H. New upper bounds on sphere packings II // Geom. Topol. 2002. V. 6. P. 329-353; 2001. arXiv: math.MG / 0110010.
98. Cohn H., Elkies N. New upper bounds on sphere packings I // Ann. Math.
2003. V. 157. P. 689-714; 2001. arXiv: math.MG / 0110009.
99. Cohn H., Kumar A. Optimality and uniqueness of the Leech lattice among lattices // 2004. arXiv: math.MG / 0403263.
100. Cohn H., Kumar A. The densest lattice in twenty-four dimensions // 2004. arXiv: math.MG / 0408174.
101. Cohn H., Kumar A. The densest lattice in twenty-four dimensions // Res. Announc. Amer. Math. Soc. 2004. V. 10. P. 58-67.
102. Delsarte Ph. Bounds for unrestricted codes by linear programming // Philips Res. Rep. 1972. V.2. P. 272-289.
103. Delsarte P., Goethals I. М., Seidel J.J. Spherical codes and design I I Geom. Dedicata. 1977. V. 6. P. 363-388.
104. Elkies N.D. Lattices, linear codes, and invariants, parth I // Notices of the AMS. 2000. V. 47, № 10. P. 1238-1245.
105. Fejer L. Uber trigonometrische Polynome // J. Reine Angew. Math. 1916. V. 146. P. 53-82.
106. Frappier C., Oliver P. A quadrature formula involving zeros of bessel func¬tions // Math, of Comp. 1993. V. 60, № 201. P. 303-316.
107. Gasper G. Linearization of the product of Jacobi polynomials. I // Canad. J. Math. 1970. V. 2, №1. P. 171-175.
108. Ghanem R.B., Frappier C. Explicit quadrature formulae for entire functions of exponential type // J. Approx. Th. 1998. V. 92. P. 267-279.
109. Gorbachev D. V. Integral problem of Konyagin and (C, L)-constants of Nikol¬skii // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 2005. Iss. 2. P. S117-S138.
110. Gorbachev D.V. Improvement Taykov’s lower bound in an inequation be¬tween C- and L-norms for trigonometric polynomials // 2002. arXiv: math.CA/0 211 291.
111. Gorbachev D. V., Manoshina A.S. Turan Extremum Problem for Periodic Function with Small Support // 2002. arXiv: math.CA/0 211 291.
112. Gorbachev D. VManoshina A.S. Relation between Turan extremum prob¬lem and van der Corput sets // 2003. arXiv: math.CA/0312320.
113. Grozev G.R., Rahman Q.I. A quadrature formulae with zeros of Bessel functions as nodes // Math. Comp. 1995. V. 64. P. 715-725.
114. Hales T. Sphere packing IV // 1998. arXiv: math.MG / 9811076.
115. Ivanov V.I., Gorbachev D. V., Rudomazina Yu.D. Some Extremal Problems for Periodic Functions with Conditions on Their Values and Fourier Coeffi¬cients // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 2005. Iss. 2. P. S139-S159.
116. Jackson D. Uber die Genauigkeit der Annaherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrischen Sum- men gegebener Ordnung: Diss. Gottingen, 1911.
117. Kolountzakis М., R^sz S. G. Turan’s extremal problem for positive definite functions on groups // arXiv: math.CA/0312218 vl 10 Dec 2003.
118. Konyagin S., Shparlinski I. Character sums with exponential functions and their applications. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.
119. Koornwinder T. The addition formula for Jacobi polynomials and spherical harmonics // SIAM J. Appl. Math. 1973. V. 25, № 2. P. 236-246.
120. Koornwinder T. Jacobi polynomials, II. An analytic proof of the product formula // SIAM J. Math. Anal. 1974. V. 5, № 1. P. 125-137.
121. Levenshtein V.I. Designs as maximum codes in polynomial metric spaces. Acta Appl. Math. 1992. V. 29. P. 1-82.
122. Levenshtein V.I. Universal bounds for codes and designs Ц In Handbook of Coding Theory, V.S. Pless and W.C. Huffman Eds. — Amsterdam: Elsevier, 1998.
123. Levenshtein V.I. On designs in compact metric spaces and a universal bound on their size // Discrete Math. 1998. V. 192. P. 251-271.
124. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions.
I. Eventually positive functions with zero integral functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. V. 14, № 2. P. 253-257.
125. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions.
II. Eventually negative functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. V. 14, №2. P. 253-257.
126. Milovanovid G.V., Mitrinovic D.S., Rassias Th.M. Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros. Singapore-New Jersey-London-Hong Kong: World Scientific Publ. Co., 1994.
127. Montgomery H.L. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994.
128. Potapov M.K. The operators of generalized translation in the approximation theory // Proc. of the II Math. Conf. in Pristina. Pristina, 1997. P. 27-36.
129. Zong C. Sphere Packings. — N.Y.: Springer-Verlag, 1999. applications. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.
130. Gautschiy W. Orthogonal Polynomials and Quadrature // Electronic Trans¬actions on Numerical Analysis. 1999. V. 9. P. 65-76.