Распространение Волн в неоднородной двунфазной среде с учетом относительного движения и взаимодействия фаз :

Краткое описание

Содержание
ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение... 1

Глава 1 Описание волн в неоднородной гетерогенной среде 11

§1 Поиск универсальной формы волнового уравнения для среды с

дисперсией локальных свойств. ... 13

$2 Понижение порядка волнового уравнения... 24

§3 Метод решения дифференциального уравнения первого порядка для

волн в кусочно-однородной среде ... 29

Глава 2 Расчет волнового поля в кусочно-однородной эквивалентной среде. Первый класс прямых задач ... 35

§4 Горизонтально-однородная упругая среда. Алгоритм вычисления волнового сигнала в упругой плоскослоистой среде с частотной дисперсией

эффективных свойств... 36

§5 Горизонтально-однородная среда М.Л.Био. Алгоритм вычисления волнового сигнала в двухфазной плоскослоистой среде с динамическим взаимодействием фаз. ... ^8

§6 Обнаружение продуктивного слоя по данным волнового зондирования. 59

Глава 3 Спектральный метод решения волнового уравнения в среде с плавным изменением свойств. Второй класс прямых задач.

$7 Задание неоднородной среды в терминах гармонического анализа.

80

§8 Метод нормальных волн для макро-неоднородной среды. Волновое поле

в среде со сложным законом дисперсии... 87

§9 Инвариантное уравнение для одной произвольно выбранной нормальной волны и его решение. ... 95

Глава 4 Динамические задачи случайной микронеоднородной среды 99 §10 Эффективные динамические свойства случайно-неоднородной среды. ... ЮО

§11 Суммирование ряда Неймана для средней функции Грина и поиск эффективного оператора. ... ЮЗ

§12 Итоговые соотношения для расчета эффективных свойств в полном диапазоне частот. Сравнение с результатом лабораторного эксперимента

Заключение...

Приложение...

Литература... 139
Введение

Введение

Распространение волн традиционно является основой многих методов исследования недр, разведки месторождений нефти, газа, залегания грунтовых вод, а также инженерной сейсмики. Строение гетерогенной среды определяет её динамические свойства и поэтому обнаруживает себя в процессе распространения механических колебаний. Колебания в точках источников и приёмников можно рассматривать, соответственно, как входные и выходные сигналы, а среду - как некоторый пространственно распределенный преобразователь или канал, обладающий нетривиальной импульсной характеристикой, поскольку локальные свойства подобного канала, включая число колебательных степеней свободы, могут изменяться на его протяжении. Согласно определению, импульсная характеристика, является откликом среды на сингулярное возбуждение и позволяет однозначно рассчитать выходной сигнал по заданному сигналу источника, её спектральную плотность также называют передаточной функцией [Баскаков, 1988]. С точки зрения теории сигналов, импульсная характеристика исчерпывает весь объём данных, которые могут быть получены волновым просвечиванием при фиксированном положении источника и приемника. Описывая универсальное преобразование между входными и выходными сигналами, она содержит косвенную информацию о той внутренней структуре, которая определяет динамические свойства среды по отношению к данному типу колебаний. Здесь мы имеем дело с некорректной обратной задачей, требуется восстановить среду по импульсным характеристикам -сечениям полной функции Грина в точках источников и приемников. Искомая информация о среде является неполной, поэтому для её «расшифровки» или

интерпретации необходимо вначале ограничить многообразие всевозможных сред. Такое ограничение происходит при выборе модели среды, предполагается, что модель задается конечным числом независимых параметров. Относительно идеализированной постановки обратной задачи выбор модели априорен и диктуется некоторыми дополнительными сведениями. После выбора модели задача сводится к поиску значений свободных параметров, при которых сечения модельной функции Грина в точках источников и приемников максимально приближены к наблюдаемым импульсным характеристикам.

Данная формулировка исходной задачи позволяет перейти к ряду прямых задач, которые, оставаясь неэлементарными, допускают возможность аналитического исследования, и могут выявить качественные признаки интересующего строения среды. А именно, выявить признаки наличия или отсутствия в составе многослойной среды двухфазного слоя, содержащего твердую и жидкую (газообразную) компоненту, а также признаки существования в каком-либо слое трещин, пор. Таким образом, речь идет о наблюдении волнового процесса в многослойной модели, в которой насыщение пор жидкостью и средний радиус поровых каналов а, следовательно, дисперсия и затухание волн, могут быть заданы уникальными в каждом слое. Размер поровых каналов показывает, насколько существенно движение жидкости влияет на общее волновое движение среды. Можно сказать, что радиус поровых каналов и вязкость заполняющей жидкости определяют число колебательных степеней свободы, которые активно вовлечены в волновой процесс [Славкин, 1997]. Следовательно, фактическое число степеней свободы также может изменяться при переходе от слоя к слою, на рисунке 1 изображены простейшие эквивалентные схемы такой слоистой среды. Нетривиальные динамические свойства сложно построенной среды, или, в более узком смысле,

частотные зависимости локальных свойств, составляют основу для возможности распознавания (детектирования) некоторого выделенного слоя в составе многослойной среды, по данным волнового зондирования.

Наблюдение и анализ эффектов дисперсии, затухания и перераспределения энергии по степеням свободы имеет больший практический интерес при вертикальном зондировании и профилировании, на рис.1 приведены эквивалентные схемы вертикально-неоднородной среды для различных свойств выделенного слоя. Такие задачи становятся актуальными при разведке месторождений нефти, газа или залегания грунтовых вод, когда требуется ответить на главный качественный вопрос о существовании продуктивного слоя и сделать возможные количественные оценки. В настоящее время для поиска нефтегазовых месторождений успешно применяется метод ПДС (Поглощение и Дисперсия Скорости), предложенный его авторами [Рапопорт, 1992 - 2000], [Ryjkov, 1994]. В 1992 - 2003 гг. авторы метода ПДС сделали 12 докладов на Всемирных (SEG, IGRC) и Европейских (EAGE) геофизических конференциях, что вызвало интерес специалистов и привлекло внимание к проблеме. Актуальным остаётся вопрос о виде уравнений, которые описывают распространение волн в среде насыщенной смесью газа и жидкости, находящимися в состоянии равновесия фаз.

Данная работа посвящена разработке метода вычисления волнового сигнала в сложно-построенной многослойной среде. Используется универсальная форма системы уравнений, которая учитывает частотную дисперсию свойств. Теоретическое решение задачи о волновом зондировании выявляет также частотную зависимость коэффициентов отражения на границе между слоями с различным насыщением и проницаемостью. Полные синтетические сейсмограммы получены для точно решаемой модели, заданной обобщёнными уравнениями Био, в том числе,

с учётом явлений «второй» вязкости. Метод позволяет вычислять сейсмограммы и наблюдать эффекты, вызванные наличием выделенного слоя, для различных видов уравнений и моделей среды. Сравнение синтетических и экспериментальных наблюдений позволит проверять гипотезы о поведении среды и сделать правильный выбор количественной теории. Последнее позволит извлечь наибольшую информацию из реальных данных сейсмических измерений, т.е. решить обратную задачу в рамках выбранной теории.

Таким образом, речь идет о нелучевом описании волн в макро- и микронеоднородной1 гетерогенной среде. Микро-неоднородность является случайной - это различные флуктуации свойств, трещины, поры, вкрапления других кристаллитов, насыщение пор жидкостью. Классификация неоднородностей по масштабу, как известно, связана с минимальной длиной волны, для которой неоднородная среда еще остается прозрачной, т.е. волна может распространяться с некоторым надкритическим затуханием. Все неоднородности, имеющие размер меньше минимальной длины волны, можно считать микроскопическими и учитывать с помощью теории эффективных свойств (ЭС) [Шермергор, 1977], [Shapiro, 1999]. В результате микронеоднородная среда заменяется эквивалентной средой, которая имеет нетривиальные дисперсионные свойства. А именно, свойства эквивалентной среды, например, плотность и тензор упругости, зависят от частоты и волнового вектора. Последнее позволяет наблюдать резонансные и диссипативные явления присущие реальной среде [Чесноков, 2001]. Именно ЭС являются наблюдаемыми в эксперименте. Зная ЭС на низкой частоте и имея общие сведения о составе композита, можно решить многие обратные задачи о структуре гетерогенной среды [Баюк, 1999].

1 Переходная длина, разделяющая масштабы на макро- и микроскопические это минимальная длина волны в сейсмическом диапазоне частот.

Аналогично, двухфазная среда, состоящая из упругой проницаемой матрицы (скелета) и вязкой жидкости, описывается уравнениями М.А.Био [Biot, 1956,1962], где динамическое взаимодействие колеблющейся жидкости с матрицей описывается функцией частоты. В результате, среда Био обнаруживает частотную дисперсию скоростей и затухания волн и имеет большее число колебательных степеней свободы, по сравнению с обычной упругой средой. Наличие частотной дисперсии означает, что связь между напряжением и деформацией не локальна во времени, обычно такую связь задают сверткой, учитывающей предысторию деформации.

Если макро-неоднородностей в исходной среде нет, то полученные эффективные свойства не будут зависеть от координат и эквивалентная среда станет однородной. Если же в среде кроме микро-неоднородностей, существует еще макроскопическая неоднородность с масштабами больше минимальной длины волны, то в локальных свойствах, наряду с появлением дисперсии, сохранится зависимость от координат и эквивалентная среда останется неоднородной, но будет содержать только крупномасштабные неоднородности. Подчеркнем, что частотно-зависимые эффективные свойства есть не что иное, как учет микро-неоднородности или гетерогенного характера среды на малом масштабе длин. В конечном итоге, подлежащее решению волновое уравнение записывается для макро-неоднородной среды с дисперсией локальных свойств. Иначе говоря, коэффициенты волнового уравнения представляют собой операторы и задают свойства эквивалентной среды -эффективные свойства.

Мы рассмотрим два класса прямых задач о распространении волн и, соответственно, два метода решения волнового уравнения. Первый метод решения можно осуществить с помощью локализации неоднородности, если принять следующие тезисы, определяющие первый класс задач: (Главы 1,2)

- Эквивалентная среда кусочно-однородная, т.е. эффективные свойства изменяются в пространстве лишь в малой окрестности поверхностей границ.

— Решение ищется только для сечений функции Грина на границах раздела, а не для всего волнового поля. Для сечений выводится точное интегральное уравнение с пониженной кратностью интегрирования.

Если среда не кусочно-однородная, реализуется спектральный метод решения или метод нормальных волн со сложным законом дисперсии. Однако спектральный метод будет оправдан следующими условиями второго класса задач: (Глава 3)

- Эффективные свойства среды плавно изменяются в пространстве.

— Дисперсия любой нормальной волны имеет линейный коротковолновый предел. Компромисс между названными классами задач пока представляется

достижимым при переходе к трехмерному интегральному уравнению, в первом методе, или при увеличении размерности спектральной задачи, во втором методе.

Решение задач первого класса (Глава 2) позволяет наблюдать волновой процесс в многослойной модели, в которой насыщение пор жидкостью и средний радиус поровых каналов, а, следовательно, дисперсия и затухание волн, могут быть заданы уникальными в каждом слое. Полученные здесь результаты позволят выяснить, насколько разнообразны условия, при которых возможно осуществить детектирование продуктивного слоя по данным волнового просвечивания. В третьей главе строится спектральный метод решения волнового уравнения в среде с плавным изменением свойств (второй класс прямых задач). Решается задача о нахождении волнового поля в среде со сложным законом дисперсии. Используется метод нормальных волн для моделирования и исследования волновых процессов в сложно построенных средах с трехмерной неоднородностью. Так как спектральный подход позволяет представить возбуждение в неоднородной среде в виде суперпозиции

независимых нормальных волн, то задача сводится к поиску каждой отдельной нормальной волны. Каждая нормальная волна задается своим законом дисперсии. На основе принципа инвариантности относительно преобразований из группы Пуанкаре, получено скалярное уравнение для одной произвольно выбранной нормальной волны. Группа Пуанкаре рассматривается как группа асимптотической симметрии характеристик обобщённого волнового уравнения [Фущич, 1990]. Такая симметрия, в свою очередь, гарантирует выполнение принципа причинности в процессе распространения волн. Полученное уравнение является инвариантным обобщением уравнения Клейна-Гордона-Фока на случай сложного закона дисперсии. Найден вид решения полученного уравнения, позволяющий осуществить корректное численное моделирование.

Четвёртая глава посвящена решению задачи об определении эффективных динамических свойств случайно-неоднородной (в том числе гетерогенной) среды, при произвольной контрастности компонент или фаз. Достоверное теоретическое описание динамических свойств случайно-неоднородной, в том числе гетерогенной, среды становится важным для решения широкого класса прямых и обратных задач о распространении волн. Так, например, при спектральном анализе волновых (сейсмических) сигналов в резервуарах с преобладающей ориентацией трещин (включений) наблюдается частотно-зависимое расщепление поперечных волн и частотно-зависимое затухание волн всех типов поляризации.

Согласно первоначальному представлению, возможность постановки задачи об эффективных свойствах неоднородной среды диктуется тем классом задач, для которых исходная случайно-неоднородная среда (СНС) может быть заменена некоторой однородной эквивалентной средой, обладающей нетривиальными дисперсионными свойствами. Именно динамические свойства указанной

однородной среды представляют интерес для исследования и носят название «эффективные свойства», так как они описывают поведение исходной СНС при распространении волн.

В настоящее время хорошо разработанной и дающей согласие с экспериментальными наблюдениями является теория эффективных динамических свойств, для плоскослоистой СНС, [Shapiro, 1999].

Для слабоконтрастной трехмерной неоднородности справедливо парное корреляционное приближение [Шермергор, 1977]. Корреляционное приближение представляет собой асимптотику общего метода построения средней функции Грина и эффективного оператора, при малой относительной величине флуктуации локальных свойств СНС, т.е. при малой контрастности. Локальные свойства представляют собой случайные функции координат, следовательно, задание определенного вида или класса СНС возможно с помощью корреляционных функций, которые описывают статистическую связь между свойствами среды в различных точках пространства, а в общем случае, и в различные моменты времени.

С точки зрения общего метода, описание свойств СНС в теории упругости,

основано на определении эффективного оператора L , связывающего среднее поле смещений U, возбужденное произвольным источником, и среднюю 4-дивергенцию тензора напряжений и плотности импульса - LU, по формуле:

LU = LeffU

где L- волновой оператор для исходной СНС. Заметим, что в статическом случае результат действия волнового оператора на поле смещений может быть записан в виде трёхмерной дивергенции тензора напряжений.

Точное вычисление LelT, требует суммирования ряда с бесконечным числом слагаемых, которые исчерпывают все многоточечные корреляции в неоднородной среде. Таким образом, точное решение задачи об эффективных свойствах предполагает, что известны корреляционные функции всех порядков. В диссертационной работе рассмотрен способ задания общего вида п -точечной корреляционной функции, позволяющий суммировать названный ряд и найти эффективный оператор в аналитическом виде. Основные результаты четвёртой главы таковы:

— На основе общего определения выведено уравнение для эффективных динамических свойств микронеоднородной среды, в рамках теории упругости.

— Проведено суммирование ряда Дайсона для средней функции Грина случайно-неоднородной среды, в предположении о статистической однородности и факторизуемости многоточечных корреляционных функций.

— Найдено импульсное представление эффективного оператора исследуемой случайно-неоднородной среды. Эффективный оператор, согласно основному определению, связывает среднее поле смещений и среднюю дивергенцию тензора напряжений и плотности импульса.

— Исследованы дисперсионные ветви объемных волн в случайно-неоднородной среде (СНС). Получены зависимости скоростей и коэффициента затухания продольных и поперечных волн от частоты и направления, теоретические результаты согласуются с данными лабораторного эксперимента.

10

(я)

(б)

(б)

рис.1 Эквивалентные схемы вертикально-неоднородной среды:

а) с вьщеленным двухфазным слоем, в котором реализуется вязко-динамическое взаимодействие фаз,

б) с вьщеленным микронеоднородным слоем, который представляет собой композит с упругим взаимодействием компонент,

в) идеально-упругая слоистая среда, в которой слои различаются только толщиной, модулями упругости и плотностью.

11

Глава 1 Описание волн в неоднородной гетерогенной среде

Пусть

9?[a,s](x,/) = 0.

В простейшем случае, напряжение в произвольный момент времени t прямо пропорционально деформации в тот же момент времени, с некоторым постоянным коэффициентом - закон Гука для малых деформаций. Нетривиальной реологией обладает среда, в которой напряжение и деформация в произвольный момент времени t зависят от того, как они изменялись в предыдущий интервал времени: t'

c(x,t) - \dt' C(x;t-t')z{x,t'

Значение функции C(x;t-t') показывает насколько существенно влияние деформации в момент времени /', на величину напряжения в момент /.

12

Разложим деформацию в ряд Тейлора по переменной времени в момент / :

где введено обозначение р для оператора производной по времени:

~Tp

,t) = C(x;p)e(x,t)

В результате, вычисляя напряжение, получим: o(x,t)= \dt'C{x;t-t')QTp \T=t_te(x,t)= \dxC{x;x)e

-oo \0

Таким образом, напряжение является образом дифференциального оператора:

оо

C(x;p)=jdxC(x;x)e~rp, о

действующего на функцию деформации. Оператор С(х; р) задает локальные

свойства среды в точке х, но он содержит производные по времени. Следовательно, локальные свойства зависят от динамики среды. Иначе говоря, среда обнаруживает дисперсию локальных свойств. При описании поля деформации в терминах гармонического анализа говорят о частотной зависимости локальных свойств (зависимость от частоты колебаний точек среды). Любую интегрируемую функцию

времени q(x,t) можно представить суперпозицией собственных функций е~1С0/ оператора р, далее будем записывать представление Фурье в операторном виде:

где собственные функции оператора производной удовлетворяют уравнению:

13

§1 Поиск универсальной формы волнового уравнения для среды с дисперсией локальных свойств.

Простейшее дифференциальное волновое уравнение для описания механических волн содержит всего два коэффициента, которые задают свойства среды - плотность р(х) и модуль упругости С(х):

(Ы) ^ Ч CW \ Ht)

(Ы) Р^ТТ тЧ CW^ \ Hx,t)

где по повторяющимся индексам проводится суммирование. Функция f(x,/) задает плотность силы источника возбуждающего волну. Уравнение (l.l) описывает скалярную волну u(x,t) в неоднородной среде, например волну давления в газе или в невязкой сжимаемой жидкости. В твердой упругой среде появляются сдвиговые напряжения, а волна описывается векторным полем u(x,t) = {ui(x,t)} смещения точек среды. Таким образом, модуль упругости С(х) в твердом теле заменяется тензором четвертого ранга. Волновое уравнение приобретает вид, наиболее часто используемый в геофизике

(1.2) (5'ipW^ " |^m^]

Благодаря тензорному характеру модулей упругости, уравнение (1.2) позволяет ввести в рассмотрение анизотропию среды. Уравнение (1.2) может быть записано в более общей форме, если для частных производных по времени / и по координатам пространства х-, использовать унифицированные обозначения

dt J дх-.

14 Тогда для коэффициентов уравнения - компонент тензора упругости и плотности -

можно ввести единое обозначение, а именно, тензор четвертого ранга CyV(x), в котором верхние индексы пробегают значения jx,v = 0,1,2,3, а нижние индексы i,j = 1,2,3, где 3 - число компонент волнового поля. Уравнение (1.2) является частным случаем более общего уравнения вида:

если отличные от нуля компоненты расширенного тензора С jjv (х) таковы:

(1.4)

Моделирование реальных сред требует учитывать влияние случайной микронеоднородности локальных свойств на распространение волн. Как уже отмечалось во введении, названная задача решается на основе теории эффективных параметров.

В результате исходный расширенный тензор C-jv(x), имеющий флуктуационную

составляющую, заменяется эффективным тензором. Эффективный тензор обнаруживает частотную дисперсию и описывает локальные свойства эквивалентной среды, которая уже не является микронеоднородной, но её свойства зависят от частоты. Последнее означает, что в пространственно-временном

представлении эффективный тензор представляет собой оператор CyV(x;3),

содержащий производные по времени, кроме того, макро-неоднородность в пространстве сохранится. Итак, для макро-неоднородной эквивалентной среды с дисперсией локальных свойств можно записать волновое уравнение в универсальной форме: •3 ) аа^\\ С-

15 Заметим, что переход от скалярного уравнения (1.1) к векторному уравнению (1.2)

связан с фактическим увеличением числа колебательных степеней свободы, названное число отвечает числу компонент волнового поля.

Следующей, в порядке возрастания сложности, является гетерогенная двухфазная среда состоящая из твердой упругой матрицы (скелета) и вязкой жидкости. Благодаря вязкости и давлению, жидкость взаимодействует с твердой матрицей, но она не замкнута в порах, так как матрица проницаема для жидкости. Такая модель нефтеносной породы и соответствующие уравнения движения предложены М.А.Био в 1956 году. Наиболее сложившийся вид системы уравнений Био содержится в работе [Biot, 1962], эта система такова

p = 0; rc = pii+pfw

w=-(VP-- "ч ' д

(1.5)

где

- u(x,t) вектор смещения точек матрицы (скелета),

- w(x,/) = ^(u -u) среднее смещение жидкости относительно матрицы, т.е.

u (x,t) абсолютное смещение жидкости,

- ф пористость матрицы (скелета),

- «Ту =Сук1