Кривошеева Олеся Александровна. Ряды экспоненциальных многочленов : Кривошеєва Олеся Олександрівна. Ряди експоненційних многочленів

Краткое описание

Кривошеева Олеся Александровна. Ряды экспоненциальных многочленов: диссертация ... доктора Физико-математических наук: 01.01.01 / Кривошеева Олеся Александровна;[Место защиты: ФГАОУ ВО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»], 2018.- 174 с.

Введение к работе

Актуальность темы.ПустьА= {Лк,пк}к=1—последовательность различных комплексных чиселХки их кратностейпктакая, чтоХк+1 > Лк, к >1, и |Afc| -> оо,к-> оо. Диссертация посвящена изучению рядов экспоненциальных мономов и рядов экспоненциальных многочленов, т.е. рядов вида
оо,пк-1
afc,nzM*z. (1)
fc=l,n=0
УdmJemJ(z),(2)
m=lj'=l
где emJ- фиксированная линейная комбинация функций системы (Л) =[znex*z}U^'=i,
показателиАккоторой разбиты на группыUm,m >1. Линейная комбинацияemJформируется по точкамЛкгруппыUm.
Исследуются проблемы представления рядами (1) и (2) элементов подпространств аналитических функций инвариантных относительно оператора дифференцирования в выпуклых областях комплексной плоскости. Изучается также задача распределения особых точек сумм рядов (1) и (2) на границах их областей сходимости. Указанные исследования основаны на изучении областей и характера сходимости этих рядов, на исследовании различных характеристик последовательностей показателей рядов (1) и (2), на изучении взаимосвязей между этими характеристиками и их влияния на соотношение между областями сходимости рядов (1) и (2) и областями существования их сумм.
Тематика, связанная с рядами экспоненциальных мономов и их частными случаями -рядами экспонент (т.е. рядами вида (1), гдепк= 1,к >1), рядами Дирихле (т.е. рядами вида (1), гдепк= 1иАк-положительные числа) и рядами Тейлора имеет богатую историю. Их исследование берет свое начало в трудах Тейлора, Коши, Адамара, Абеля и Дирихле. Указанные выше задачи для таких рядов изучались в работах Ж. Валирона, Д. Полиа, С. Мандельбройта, В. Бернштейна, Л. Шварца, П. Мальявена, Б.Я. Левина, А.Ф. Леонтьева, И.Ф. Красичкова-Терновского, Ю.Ф. Коробейника, А.С. Кривошеева и многих других математиков.
Ряды экспоненциальных мономов (и более общих экспоненциальных многочленов) являются естественным обобщением рядов экспонент. Один из основных результатов теории таких рядов, ставший уже классическим, принадлежит А.Ф. Леонтьеву. Ему удалось доказать, что любую функцию, аналитическую в выпуклой области DcC, можно разложить в ряд экспонент с фиксированными показателямиЛк, к >1, при определенных условиях на эти показатели. Известно, что экспоненты (и только они) являются собственными функциями оператора дифференцирования. Поэтому задачу представления рядами экспонент можно рассматривать как задачу разложения по собственным функциям этого оператора.
В пространстве H(D) (функций аналитических в областиDс топологией равномерной сходимости на компактах изD)имеется большой запас собственных функций оператора дифференцирования (это все экспоненты). Поэтому существует много различных наборов
показателейЛк,при помощи которых удается получить представление всех функций из этого пространства посредством ряда экспонент. Если жеW-подпространство вH(D), инвариантное относительно оператора дифференцирования (например, пространство решений однородного уравнения свертки или их систем), то, как правило, только лишь собственных функций этого оператора (в этом случае имеется только счетный набор собственных функций) уже недостаточно для разложения всех функций из подпространстваW.
Однако, ситуация меняется, если наряду с собственными функциями рассматривать еще и присоединенные функции оператора дифференцирования вW-экспоненциальные мономы
zneAfeZjп=ііПк-^
гдепк- кратность собственного значенияЛк.Задача разложения функций из замкнутого инвариантного относительно оператора дифференцирования подпространстваWсH(D)по собственным и присоединенным функциям этого оператора (т.е. задача представления рядом (1)) называется проблемой фундаментального принципа. Такое название связано с тем, что в частном случае, когда инвариантное подпространство является пространством решений линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, возможность разложения произвольного решения по собственным и присоединенным функциям оператора дифференцирования называют фундаментальным принципом Л. Эйлера.
Если представление рядом (1) по каким-то причинам становится невозможным, то возникает задача представления рядом (2), т.е. проблема существования базиса в инвариантном подпространстве, построенного по собственным и присоединенным функциям оператора дифференцирования.
Для рядов (1) и (2), как и в теории рядов экспонент (и, в частности, для степенных рядов и рядов Дирихле) первоочередными являются задачи описания классов областей сходимости (это включает в себя задачу о продолжении сходимости) и характер сходимости рядов, а также восстановление области сходимости по коэффициентам ряда. В теории степенных рядов первые две задачи решаются при помощи теоремы Абеля, а последняя задача - при помощи теоремы Коши-Адамара. Для рядов Дирихле имеется аналог теоремы Абеля, в котором утверждается, что сходимость ряда Дирихле в одной точкеz0влечет за собой его сходимость в полуплоскости {zЄС: Rez < Rez0} . Если при этом величина<т(Л) равна нулю, то эта сходимость будет абсолютной и равномерной в любой полуплоскости {zЄ (С: Rez < Rez0-є}.
Кроме того, для рядов Дирихле имеется полный аналог теоремы Коши-Адамара (Валирон, 1924 г.), в котором при условии<т(Л) = 0 вычисляется расстояние от начала координат до граничной прямой полуплоскости сходимости. В случае рядов экспонент полный аналог теоремы Абеля отсутствует. Имеется результат (Е. Хилле, 1924 г.) о том, что множество точек абсолютной сходимости ряда экспонент выпукло. Причем на компактных подмножествах внутренности этого множества ряд сходится равномерно. При условии<т(Л) = 0 простая и абсолютная сходимость ряда экспонент в выпуклой области равносильны. Кроме этого для рядов экспонент известен также (Г.Л. Лунц, 1942 г.) аналог теоремы Коши-Адамара. В ней дается описание области сходимости ряда экспонент, которая получается как пересечение некоторого семейства полуплоскостей. При этом приводится формула для расстояний от начала координат до граничных прямых этих полуплоскостей.
Пусть/) - выпуклая область и Л ={Ак,пк}.СимволомW(A,D)обозначим замыкание в пространстве H(D) линейной оболочки системы (Л). Если (Л) не полна в пространствеH(D),тоW(A,D)является нетривиальным (=H(D),{0}) замкнутым подпространством вH(D).Из определения вытекает, что оно инвариантно относительно оператора дифференцирования. При этом система (Л) - это набор собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования вW(A,D).
ПустьWсH(D)—нетривиальное замкнутое подпространство инвариантное относительно оператора дифференцирования, иА= {Лк,пк}-его кратный спектр. Он является не более чем счетным множеством с единственной предельной точкой оо. В случае, когда спектр конечен, оно совпадает с пространством решений линейного однородного дифференциального уравнения конечного порядка с постоянными коэффициентами. Более общим примером инвариантного подпространства служит множество решений уравнения свертки /x(flf(z + w)) = 0 (или системы таких уравнений), гдеу.- линейный непрерывный функционал на пространстве H(D). Частными случаями уравнения свертки являются линейные дифференциальные, разностные, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами конечного и бесконечного порядков, а также некоторые виды интегральных уравнений.
Основной задачей в теории инвариантных подпространств является проблема фундаментального принципа. Первым шагом на пути к представлению (1) является решение проблемы спектрального синтеза, т.е. выяснение условий, при которых система (Л) полна в подпространствеW(другими словами, когдаW= W(A,D),где Л- кратный спектрW). Проблему фундаментального принципа, естественно, имеет смысл рассматривать лишь для инвариантных подпространств, допускающих спектральный синтез, т.е. для подпространств вида VK(Л,Я).
В 1947 г. Л. Шварц доказал, что любое замкнутое инвариантное подпространствоWс Я(С) допускает спектральный синтез. Известно также (И.Ф. Красичков-Терновский, 1971 г.), что пространство решений однородного уравнения свертки всегда допускает спектральный синтез. Пространства решений систем однородных уравнений свертки и более общие инвариантные подпространства уже не всегда допускают спектральный синтез. Однако, имеются простые достаточные условия, а также критерий допустимости спектрального синтеза и в этом случае (И.Ф. Красичков-Терновский, 1972 г.). Первый результат, обобщающий фундаментальный принцип Л. Эйлера на случай уравнений свертки был получен Ж. Валироном в 1929 г. Он касается представления целых решений однородного дифференциального уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. Этот результат получил дальнейшее развитие в работах Л. Шварца, А.О. Гельфонда, Д.Ж. Диксона, А.Ф. Леонтьева и др. К концу 40-х годов прошлого столетия была замечена тесная связь между проблемой фундаментального принципа и проблемой интерполяции в пространствах целых функций экспоненциального типа. Оказалось, что они двойственные. Первый, кто использовал разрешимость интерполяционной задачи для разложения решений уравнения свертки в ряды экспонент, был, по-видимому, А.Ф. Леонтьев. Вслед за ним указанная связь использовалась уже систематически. Проблема интерполяции в пространствах целых функций сама по себе представляет значительный интерес и имеет богатую историю. Вопросами интерполирования в классах целых функций конечного порядка занимались многие математики. Отметим