Лыков Константин Владимирович. Теория экстраполяции для шкал типа Лебега и ее приложения

Краткое описание

Лыков Константин Владимирович. Теория экстраполяции для шкал типа Лебега и ее приложения: диссертация ... доктора Физико-математических наук: 01.01.01 / Лыков Константин Владимирович;[Место защиты: ФГАОУ ВО «Российский университет дружбы народов»], 2018.- 404 с.

Введение к работе

Актуальность темы.Диссертация посвящена теории экстраполяции пространств и операторов. В работе исследуются экстраполяционные свойства некоторых шкал банаховых пространств и приложения этих свойств к различным проблемам анализа. В большей части работы используется шкала пространств Lp[0,1]. Кроме этой шкалы рассматриваются шкалы пространств LP;g[0,1],р,классов Шаттена-фон НейманаSp,а также абстракт-
—*
ных пространств Лионса-ПетреAqa.В работе представлены экстраполяционные описания предельных для рассматриваемых шкал пространств, приведены доказательства полученных автором новых экстраполяционных теорем для линейных, сублинейных и произвольных операторов, а также описаны применения построенной теории в некоторых разделах анализа.
Отправной точкой теории экстраполяции принято считать работу японского математика Шигеки Яно1, опубликованную в 1951 году. В этой работе была доказана следующая экстраполяционная теорема, связывающая Lp-оценки на оператор прир >1 с оценками в более широких пространствах (специальный случай этого результата рассматривался ранее Титчмаршем и Марцинкевичем2'3).
Теорема Яно.Предположим, что оператор Т определен на пространствеLi[0,1]и принимает значения в множестве измеримых функций на[О,1],и пусть Т удовлетворяет условию сублинейности: для некоторого В >0и любых XjЄ Li[0,1]таких, что ряд Y^Liхз сходится вLi[0,1]справедливо неравенство
Tiy^Xj)(t)^В 2_,Txj(t) почти всюду на[0,1]. з=із=і
Предположим также, что оператор Т ограничен в Lp[0,1]для каждогорЄ (1,ро),Ро> 1,и
\T\L_^L^С(р—1)~', рЄ (1,_ро), (1)
для некоторых (3 >0и С > 0, не зависящих от р. Тогда
Т:L(logL)^ —> Li,
1Yano S. Notes on Fourier Analysis (XXIX): An extrapolation theorem // J. Math. Soc. Japan. - 1951. -V. 3. - No. 2. - P. 296-305.
2Titchmarsh E. C. Additional note on conjugate functions // J. London Math. Soc. - 1929. - V. 4. - No. 3 - P. 204-206.
3Marcinkiewicz J. Sur l’interpolation II // Studia Mathematica. - 1936. - V. 6. - No. 1. P. 67-81.
где пространствоLilogL)13состоит из всех измеримых на[0,1]функцийx(t)таких, что
і
II^IUfiogL)/3= /log'(e/t)x*(t) dt <оо о
(x*(t)означает непрерывную слева невозрастающую перестановку функцииx(t)).
В своей работе Яно показал, что оценки для многих важных операторов анализа (таких, как максимальный оператор Харди-Литлвуда, оператор перехода к сопряженной функции в гармоническом анализе и др., см. примеры операторов в4) в пространствах, близких кL(логарифмических пространствах Лоренца) могут быть получены из Lp-неравенств для этих операторов, в то время как до работы Яно оценки в шкале{Lp}и в пространствахLilogL)13получались независимо. Теорема Яно может также рассматриваться как обратное утверждение к хорошо теперь известным интерполяционным теоремам: оценки на нормы оператора в пространствахLpвлекут оценки в соответствующих предельных для этой шкалы пространствах. Поэтому теорема Яно называетсяэкстраполяционной теоремой.В классической монографии А. Зигмунда5представлена как теорема Яно, так и двойственный к ней результат, также иногда называмый теоремой Яно.
Теорема Зигмунда.Если оператор Т ограничен в Lp[0,1] для всех р > Ро и
\Т\т .т ^Ср''3ює(юо,оо), (2)
для некоторого (3 >0с константой С >0,не зависящей от р, то
Т: Loo-^Ехри,
где пространствоExpiv6состоит из всех измеримых функций x{t) таких, что
||ж||ЕL/3 =sup log-'P(e/t)x*(t) <оо.
Позже эти результаты неоднократно переоткрывались (см., например, работы И.Б. Симоненко6и В.И. Юдовича7), доказывались некоторые обоб-
4Hardy G. H., Littlewood J. E. A maximal theorem with function-theoretic applications // Acta Mathematica. - 1930. - V. 48. - P. 81-116.
5Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т. 2. М.: Мир, 1965. - 538 с.
6Симоненко И. Б. Интерполяция и экстраполяция линейных операторов в пространствах Орлича // Матем. сб. - 1964. - Т. 63. - № 4. - С. 536-553.
7Юдович В. И. О некоторых оценках, связанных с интегральными операторами и решениями эллиптических уравнений // ДАН СССР. - 1961. - Т.138. - № 4. - С. 805-803.
щения и уточнения (см., например,8,9), но общей теории не было (ср. с развитием теории интерполяции от теорем Рисса-Торина и Марцинкевича до абстрактной теории). В конце 80-х начале 90-х годов в серии работ Б. Яверса и М. Мильмана были заложены основы общей (абстрактной) теории экстрапо-ляции10,11,12,13,14,15, которая изучает естественные предельные пространства, ассоциированные с различными интерполяционными шкалами, и допускающие распространение оценок на нормы соответствующих операторов. В этих работах было представлено много новых идей, перспективных связей с другими разделами анализа и интересных приложений. Следует сказать, что работы эти, имея фундаментальный характер, написаны "широкими мазками" и являются скорее программой для действий, чем законченным исследованием. В связи с этим "потребители" экстраполяционной теории зачастую вынуждены сами получать нужные им конкретные результаты. Отметим здесь результаты новосибирского математика А.Е. Мамонтова16,17,18,19,20,21, построившего на основе интегральных преобразований теорию экстраполяции пространств Орлича относительно шкалы Lpдля нужд дифференциальных уравнений
8Flett T. M. A note on some inequalities // Glasgow Mathematical Journal. 1958. V. 4. No. 1. P. 715.
9Kerman R. A. An integral extrapolation theorem with applications // Studia Mathematica. 1983. V. 76. No. 3. P. 183195.
10Jawerth B. Extrapolation theory and applications // in Conference at Special Year in Harmonic Analysis, MSRI, Berkeley, 1987.
11Jawerth B., Milman M. A theory of extrapolation spaces. First applications // C. R. Acad. Sci. Paris, Series I. 1989. V. 308. P. 175179.
12Jawerth B., Milman M. A theory of extrapolation spaces. Further applications // C. R. Acad. Sci. Paris, Series I. 1989. V. 309. P. 225229.
13Jawerth B., Milman M. Extrapolation Spaces with applications // Mem. of the Amer. Math. Soc. 1991. V. 89. No. 440. IV+82 pp.
14Jawerth B., Milman M. New Results and Applications of Extrapolation Theory // Interpolation spaces and related topics, Haifa, 1990. Israel Math. Conference Proc., 5. 1992. P. 81105.
15Milman M. Extrapolation and Optimal Decompositions with Applications to Analysis. Berlin: Springer-Verlag, 1994. 162 pp. (Lecture Notes in Math., V. 1580)
16Мамонтов А. E. Экстраполяция линейных операторов из Lpв пространства Орлича, порожденные быстро или медленно растущими N-функциями // Актуальные проблемы современной математики, Новосибирск, НГУ, 2. 1996. С. 95103.
17Мамонтов А. E. Шкалы пространств Lpи их связь с пространствами Орлича // Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ. 2006. Т. 6. В. 2. С. 3356.
18Мамонтов А. E. Интегральные представления и преобразования Nфункций, I // Сиб. матем. ж. 2006. Т. 47. № 1. С. 123145.
19Мамонтов А. E. Интегральные представления и преобразования Nфункций, II // Сиб. матем. ж. 2006. Т. 47. № 4. С. 811830.
20Mamontov A. E. Extrapolation from Lpinto Orlicz spaces via integral transforms of Young functions // Journal of Analysis and Applications. 2006. V. 4. No. 42. P. 77118.
21Мамонтов А. E. Глобальная разрешимость многомерных уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости, транспортное уравнение и пространства Орлича // Сиб. электрон. матем. изв. 2009. Т. 6. C. 120165.