Цуканова Аліса Олегівна Дослідження властивостей розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь нейтрального типу в гільбертових просторах

Краткое описание

Цуканова Аліса Олегівна, асистент кафедри диференціальних рівнянь, Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського». Назва дисертації: «Дослідження властивостей розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь нейтрального типу в гільбертових просторах». Шифр і назва спеціальності 01.01.02 «Диференціальні рівняння». Спецрада Д26.001.37 Київського національного університету імені Тараса Шевченка Міністерства освіти й науки України

Національний технічний університет України
«Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського»
Мiнiстерство освіти й науки України
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Мiнiстерство освіти й науки України
Кваліфікаційна наукова
праця на правах рукопису
ЦУКАНОВА АЛІСА ОЛЕГІВНА
УДК 517.9
ДИСЕРТАЦIЯ
ДОСЛІДЖЕННЯ ВЛАСТИВОСТЕЙ РОЗВ’ЯЗКІВ
СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПУ
В ГІЛЬБЕРТОВИХ ПРОСТОРАХ
01.01.02 «Диференціальні рівняння»
Подається на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук
Дисертація містить результати власних досліджень. Використання ідей, результатів i
текстів інших авторів мають посилання на відповідне джерело А. О. Цуканова
Науковий керівник:
Станжицький Олександр Миколайович
доктор фізико-математичних наук, професор
Київ – 2019

Зміст
Перелік умовних позначень та символів.................................................. 26
Вступ............................................................................................................... 29
1 Огляд літератури за темою дисертації ...................................................... 54
Висновки до розділу 1.................................................................................... 68
2 Початкова задача для стохастичних інтегро-диференціальних
рівнянь реакції-дифузії нейтрального типу в гільбертових
просторах....................................................................................................... 69
2.1. Основні означення й поняття ....................................................................... 69
2.2. Деякі допоміжні твердження ........................................................................ 72
2.3. Теорема існування єдиного розв’язку у ваговому гільбертовому
просторі........................................................................................................... 75
2.4. Теореми існування єдиного розв’язку в гільбертовому просторі
інтегрованих із квадратом функцій.............................................................. 89
2.5. Наслідки з теорем і приклад ....................................................................... 102
2.6. Властивості розв’язків ................................................................................ 108
Висновки до розділу 2................................................................................. 114
3 Теореми порівняння розв’язків початкових задач для
стохастичних інтегро-диференціальних рівнянь реакції-дифузії
нейтрального типу в гільбертовому просторі
2
( ) d
L ............................ 115
3.1. Постановка задачі........................................................................................ 115
3.2. Деякі допоміжні результати ....................................................................... 117
3.2.1. Допоміжні твердження ............................................................................... 117
3.2.2. Теореми існування й порівняння розв’язків початкових задач для
стохастичних інтегро-диференціальних рівнянь реакції-дифузії
нейтрального типу ...................................................................................... 118
25
3.3. Доведення основної теореми ...................................................................... 133
3.3.1. Теорема порівняння розв’язків апроксимуючої задачі зі
скінченновимірним вінерівським процесом і обмеженим оператором ... 133
3.3.2. Збіжність апроксимацій .............................................................................. 153
Висновки до розділу 3.................................................................................. 161
4 Асимптотична поведінка розв’язків початкових задач для
стохастичних функціонально-диференціальних рівнянь.
Інваріантна міра......................................................................................... 162
4.1. Теорема існування єдиного розв’язку початкової задачі в гільбертових
просторах..................................................................................................... 163
4.2. Властивості розв’язків ................................................................................. 169
4.3. Існування інваріантної міри......................................................................... 176
4.4. Коефіцієнтні умови існування обмежених розв’язків. Зв’язок з
інваріантною мірою .................................................................................... 182
Висновки до розділу 4................................................................................. 187
Висновки..................................................................................................... 188
Список використаних джерел ................................................................ 190
Додаток 1
Доведення результатів підрозділу 2.2...................................................... 213
1 Доведення леми 2.3 ..................................................................................... 213
2 Доведення леми 2.5 ...................................................................................... 213
3 Доведення леми 2.7 ..................................................................................... 215
4 Доведення леми 2.11 .................................................................................... 215
Додаток 2
Список опублікованих праць за темою дисертації .............................. 218
Відомості про апробацію результатів дисертації .................................. 222

Список литературы

Висновки
Дослідження процесів навколишнього світу в умовах невизначеності є однією
з найактуальніших задач сучасності. За умови, що невизначеність може бути описана за допомогою ймовірнісних методів, моделювання еволюції таких процесів приводить до задач для стохастичних диференціальних рівнянь. Моделі з урахуванням
післядії приводять до стохастичних функціонально-диференціальних еволюційних
рівнянь.
Дисертаційна робота продовжує розвиток теорії стохастичних функціональнодиференціальних рівнянь. Результати роботи, а також методика їх отримання, сприяють подальшому розвитку теорії стохастичних функціонально-диференціальних
рівнянь з частинними похідними. Отримані в дисертації результати мають як теоретичне значення для дослідження стохастичних функціонально-диференціальних
еволюційних рівнянь з частинними похідними, так і практичне застосування для дослідження реальних моделей фізичних, економічних і біологічних процесів. У роботі отримано наступні основні результати:
1) знайдено достатні умови існування і єдиності на
0  t T
м’якого розв’язку
    0
u t u t x T H ( , ) ( , ) ( ) : 0, 
    
початкової задачі для стохастичного інтегродиференціального рівняння реакції-дифузії нейтрального типу в необмеженій
області в термінах коефіцієнтів рівняння;
2) отримано достатні умови коректної розв’язності початкової задачі для стохастичного інтегро-диференціального рівняння реакції-дифузії нейтрального типу
в необмеженій області: існування, єдиності й неперервності за початковими даними її м’якого розв’язку
    2
( , ) ( , ) ( ) : 0, ( ) d
u t u t x T L      , – у термінах коефіцієнтів рівняння;
3) досліджено властивості марковості й фелеровості м’якого розв’язку з п. 2;
4) одержано аналог теореми порівняння м’яких розв’язків
( , ) i
u t       2
( , ) ( ) : 0, ( ) d
i     u t x T L , i 1, 2
, початкової задачі для двох рівнянь, кожне
з яких є частинним випадком рівняння з п. 2;
189
5) для початкової задачі для стохастичного функціонально-диференціального рівняння типу реакції-дифузії у спеціальних гільбертових просторах доведено існування розв’язку;
6) доведено неперервність відповідного розв’язку задачі з п. 5 за початковими даними у спеціальному гільбертовому просторі;
7) встановлено властивості марковості й фелеровості зазначеного розв’язку;
8) встановлено умови компактності напівгрупи
S t t ( ), 0  
операторів, пов’язаної із
рівнянням із п. 5;
9) знайдено достатні умови існування інваріантної міри у спеціальному гільбертовому просторі в термінах коефіцієнтів зазначеного рівняння;
10) отримано коефіцієнтні умови існування глобально обмеженого за ймовірністю
розв’язку задачі з п. 5