СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФРАГМЕНТАЦИИ ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ СРЕД ПРИ САМОПОДОБНОМ ЗАКОНЕ ДРОБЛЕНИЯ :

Краткое описание

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ
Научно-технологический концерн "Институт монокристаллов"
Институт монокристаллов
На правах рукописи
Бродский Роман Евгеньевич
УДК 519.216 : 536.75
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФРАГМЕНТАЦИИ
ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ СРЕД ПРИ САМОПОДОБНОМ
ЗАКОНЕ ДРОБЛЕНИЯ
01.04.02 – теоретическая физика
Диссертация на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Научный руководитель –
Вирченко Юрий Петрович,
доктор физико-математических наук,
старший научный сотрудник
Харьков – 2009

СОДЕРЖАНИЕ
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 4
ВВЕДЕНИЕ 8
РАЗДЕЛ 1. ПРОЦЕССЫ ФРАГМЕНТАЦИИ
ТВЕРДОТЕЛЬНОЙ СРЕДЫ 20
1.1. Возникновение статистической теории фрагментации и
её развитие на основе однопараметрического описания 20
1.2. Введение в статистическую теорию фрагментации 26
1.2.1. Системы фрагментации 26
1.2.2. Термодинамика систем фрагментации 28
1.2.3. Закон сохранения объёма 31
1.2.4. Вероятностно-геометрический подход 32
1.3. Однопараметрическое описание систем фрагментации 34
1.3.1. Однопараметрическое описание 34
1.3.2. Распределение по размерам 35
1.3.3. Кинетическое описание 36
1.3.4. Финальная плотность распределения 37
1.3.5. Условия сохранения объёма и энергии 38
1.4. Принципы построения динамики 41
1.4.1. Энергетическая шкала времени 41
1.4.2. Асимптотическая автономность 43
1.4.3. Медленная фрагментация 45
1.4.4. Каскадные процессы фрагментации 47
1.4.5. Понятие самоподобия фрагментации 47
Выводы к разделу 1 49
РАЗДЕЛ 2. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ КАСКАДНЫХ
ПРОЦЕССОВ ФРАГМЕНТАЦИИ С МАРКОВСКИМ УСЛОВИЕМ
ВЕТВЛЕНИЯ 50
2.1. Каскадный тип процесса фрагментации и его
вероятностное описание 50
2.1.1. Свойство каскадности кинетического процесса 503
2.1.2. Вероятностное описание каскадного процесса 51
2.2. Основное кинетическое уравнение каскадного
процесса фрагментации 67
Выводы к разделу 2 75
РАЗДЕЛ 3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФРАГМЕНТАЦИИ 77
3.1. Статистическая теория фрагментации с кинетическим
уравнением в пространстве размеров 77
3.2. Колмогоровский тип финального распределения 86
3.2.1. Масштабно инвариантный механизм дробления 86
3.2.2. Модель со степенной зависимостью 89
3.2.3. Общий случай 92
3.2.4. Закон А.Н.Колмогорова 94
3.3. Исследование основного кинетического уравнения в условиях
нарушения масштабной инвариатности процесса дробления 96
3.3.1. Уравнение для предельной плотности распределения 96
3.3.2. Анализ степенной модели 103
Выводы к разделу 3 106
РАЗДЕЛ 4. ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 107
4.1. Диффузионное приближение при кинетическом описании
медленной фрагментации 107
4.1.1. Уравнение Фоккера-Планка в теории фрагментации 107
4.1.2. Распределённая интенсивность рождения фрагментов 117
4.2. Колмогоровский режим процесса медленной фрагментации 121
4.3. Масштабно неинвариантные процессы медленной фрагментации 128
4.3.1. Уравнение для финальной плотности распределения 131
4.3.2. Исследование случая β = 2 135
Выводы к разделу 4 140
ВЫВОДЫ 142
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1454

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
a(r, t) коэффициент сноса в диффузионном уравнении
в пространстве размеров
b 2 (r, t) коэффициент диффузии в диффузионном уравнении
в пространстве размеров
c(r) интенсивность рождения фрагментов размера r
в единицу времени
Pr{·} оператор вычисления вероятности события {·}
M функционал математического ожидания
t временн´ая переменная
s временн´ая переменная в эффективной шкале времени
E энергетическая переменная
r переменная размера фрагмента
N(t) среднее полное число фрагментов в момент времени t
N(r, t) среднее число фрагментов с размерами, не превосходящими r
S переменная, обозначающая площадь поверхности
V переменная, обозначающая объём5
g(r, t) плотность распределения среднего числа фрагментов
по размерам r в момент времени t
f(r, t) плотность распределения вероятностей случайных размеров
r фрагментов в момент времени t
F(r, t) функция распределения вероятностей случайных размеров
r фрагментов в момент времени t
W внутренняя энергия системы фрагментов
Q(t) тепло, выделенное к моменту времени t
в результате произошедших в системе дроблений
γ(t) отношение ˙N(t)/N(t)
ρ(t) средний размер фрагментов системы в моменты времени t
² безразмерный малый параметр
K(r, r 0 ; t) мгновенная интенсивность образования фрагментов
в момент времени t, с размерами, лежащими в интервале
[r, r + dr) из фрагмента с размером r 0
r 0−1 K(r/r 0 ; t) мгновенная интенсивность образования фрагментов,
в момент времени t, с размерами, лежащими в интервале
[r, r + dr) из фрагмента с размером r 0 ,
в случае масштабной инвариантности процесса дробления6
r 0−1 K(r/r 0 ) мгновенная интенсивность в эффективном времени
образования фрагментов с размерами, лежащими
в интервале [r, r + dr) из фрагмента с размером r 0 ,
при наличии асимптотической автономности и
масштабной инвариантности дробления
µ(r, t) мгновенная интенсивность дроблений фрагментов
с размерами r
L[·] генератор сдвига во времени плотности распределения
числа фрагментов по размерам
λ(s) нормирующая функция размера r фрагмента,
зависящая от эффективного времени s
H[·; t] производящий функционал статистических
моментов ветвящегося случайного процесса в момент времени t7
В тексте используются следующие правила употребления шрифтов для
обозначения математических объектов.
• Для обозначения стандартных операторов, функционалов и т.д. , для
которых в математике имеются устоявшиеся аббревиатуры на основе букв
латинского алфавита, мы употребляем шрифт roman (например, символ
Pr – оператор вычисления вероятности и т.д.);
• для обозначения операторов, отображений, функционалов обознача-
ются прописные буквы шрифта sanserif – D, L, M, ...;
• для обозначения случайных объектов – событий, величин и т.д. исполь-
зуется знак тильда, который ставится над буквой, являющейся символом
этого объекта (например, er);
• описание упорядоченных наборов заключаются в угловые скобки h·i;
• точка, поставленная над буквой, всюду обозначает производную по
времени t.8

ВВЕДЕНИЕ
Под процессами фрагментации 1) в физике твёрдого тела понимают про-
цессы измельчения твердотельной среды под влиянием внешних условий и
внутренних взаимодействий. При этом под твердотельной средой понима-
ется набор не связанных друг с другом отдельных составляющих её мак-
роскопических компонент – фрагментов. Несмотря на несвязанность этих
компонент в каждый данный момент времени, их эволюция такова, что
они могут рассматриваться как единая физическая система. Кинетический
процесс измельчения состоит из многократно повторяющихся во времени
отдельных актов дробления 2) каждого из фрагментов среды настолько
быстро протекающих во времени, что их длительностью можно пренебречь.
В результате каждого акта дробления, который имеет место то ли по
причине воздействия фрагментов друг на друга (столкновения), то ли по
причине внешнего воздействия (удара), происходит распад фрагмента на
отдельные не связанные друг с другом части, геометрические характери-
стики (размеры) которых меньше соответствующих характеристик роди-
тельского фрагмента, так что суммарный объём вещества этих дочерних
фрагментов равен его объёму (или не превосходит его). (Требование сохра-
нения объёма можно заменить условием сохранения массы.) Вследствие
того, что у набора невзаимодействующих фрагментов в фиксированный
момент времени имеется, согласно определению процесса фрагментации,
общий родительский фрагмент, этот набор должен рассматриваться как
единая физическая система фрагментов. Описанный кинетический про-
цесс фрагментации твердотельной среды, состоящий из последовательных
актов дробления фрагментов, приводит к тому, что число фрагментов в
1 Здесь используется термин фрагментация для обозначения такого процесса, который назван в
работе [1] сильной фрагментацией.
2 Здесь мы употребляем термин "дробление"для обозначения физического процесса, который назван
в [1] слабой фрагментацией.9
системе увеличивается, а усреднённая по всей совокупности фрагментов
величина их размеров уменьшается.
Класс физических процессов фрагментации указанного типа довольно
широк. Они протекают либо по естественным причинам, либо в результате
технологической деятельности. Под данное выше определение подпадают
процессы, протекающие в широком спектре пространственных масштабов.
На мегамасштабах (астрономических) таковыми являются процессы дроб-
ления астероидов [2,3] и образование реголита [4] (своеобразной структуры
поверхности) планет под действием метеоритов в отсутствие у них атмо-
сферы. На масштабах, доступных непосредственному наблюдению, про-
цессами фрагментации являются: разрушение горных пород под влиянием
атмосферных воздействий и тектонической деятельности [5,6], образование
структуры залегания минералов в земной коре, технологическое измельче-
ние образцов твердотельных материалов [7,8]. На микромасштабах, малых
настолько, что они оказываются недоступными визуальному наблюдению,
но всё же настолько больших, что ещё имеет смысл говорить о каждом
фрагменте как об отдельной термодинамической системе, примерами фраг-
ментации служат процессы распада длинных полимерных цепей (деполи-
меризация) [9], в частности, разрушение белковых молекул при облучении
нейтронами, технологическое изготовление мелкодисперсных порошков.
Существенно, что в перечисленных примерах физические процессы со-
стоят из многократно повторяемых актов дробления. В диссертации по-
нятие "фрагментации"ограничивается этим условием. В отсутствие много-
кратной повторяемости актов дробления под определение понятия "фраг-
ментация"подпадают весьма разнообразные физические процессы распа-
да какой-либо системы на отдельные подсистемы, и, в этом случае, труд-
но ожидать наличия какого-либо общего теоретическое описание которых
весьма неопределённо. Таковыми являются, например, дробление тяжёлых
ядер при бомбардировке их быстрыми частицами или образование брызг
жидкости.10
Кроме перечисленных выше физических процессов, которые могут рас-
сматриваться как процессы фрагментации вследствие повторяемости ак-
тов дробления, под данное выше описание подпадают процессы, которые
не являются "твердотельными". Примером таких процессов является раз-
множение частиц в космических ливнях. В данной работе введенное здесь
понятие фрагментации применяется только для процессов с участием об-
разцов твёрдого тела.
Процессы фрагментации являются сильно неравновесными процессами
в физических системах многих тел такими, что каждое состояние системы
в фиксированный момент времени определяется большим количеством па-
раметров, имеющих, вообще говоря, случайные значения. По этой причине
такие процессы невозможно изучать традиционными методами статисти-
ческой физики. Такого рода физические процессы могут адекватно моде-
лироваться только на основе понятий теории вероятностей. Поэтому для
построения и исследования подходящих эволюционных моделей естествен-
но привлечь понятия и методы теории случайных процессов.
Теорию фрагментации в описанном выше смысле нужно рассматривать
как отдельный раздел статистической физики, который занимается пробле-
мой описания разнообразных процессов измельчения твердотельной сре-
ды на основе вероятностно-феноменологических методов исследования, то
есть на основе вероятностных моделей с учётом феноменологии каждого
конкретного проявления фрагментации. По этой причине, мы будем на-
зывать такую теорию статистической теорией фрагментации. Её целью
является разработка вероятностных моделей для описания процессов фраг-
ментации с небольшим набором экспериментально определяемых физиче-
ских параметров. Эти модели должны быть одинаково приспособлены для
описания физически различных процессов – от процесса дробления поли-
мерной молекулы под воздействием облучения до формирования реголита
планет и др.
Конструирование динамических моделей в рамках статистической тео-11
рии фрагментации не может опираться на какой-либо динамический прин-
цип аналогичный тому, который используется в неравновесной статистиче-
ской механике при выводе кинетических уравнений (см., например, [10]).
Это связано с тем, что каждый из фрагментов системы уже представля-
ет собой макроскопический объект со случайным строением. Кроме того,
сам физический механизм, на основе которого происходит каждый из ак-
тов дробления и вся их последовательность, которая определяет динамику
в каждой физической системе фрагментации, очень сложны и обладают
большой долей неопределённости. В каждой системе фрагментации после-
довательность дроблений, составляющих её динамику, специфичны именно
для этой системы. Для каждой данной системы задача построения под-
ходящей динамической модели обладает большой неопределённостью, что
характерно для всей статистической физики реального твёрдого тела. В
условиях большой неопределённости конструирование динамических мо-
делей фрагментации основывается только на общей феноменологической
картине динамики системы и опирается только на самые общие физиче-
ские принципы типа причинности и законов сохранения. В таком случае
имеется довольно обширный класс динамических моделей, которые уже
не содержат какой-то конечный набор феноменологических параметров, а
наоборот, его описание основано на математических конструкциях, кото-
рые содержат неизвестные функции. Таким образом, задача статистиче-
ской фрагментации заключается в определении всего класса адекватных
динамических моделей и их изучение. Окончательный выбор модели, под-
ходящей для моделирования данного процесса фрагментации, достигается
сравнением с экспериментом.
Исследованию процессов фрагментации, как экспериментальному, так
и теоретическому, посвящена обширная литература. Подробному анали-
зу этих работ посвящён подраздел 1.2. Исторически первой теоретической
работой, выполненной согласно очерченной выше схемы, является работа
Колмогорова [11], в которой динамическое состояние системы фрагмента-12
ции описано сокращённым образом, характеризуя каждый фрагмент од-
ним параметром – обобщённым размером. В ней была сформулирована
при довольно общих предположениях простая динамическая модель в виде
марковской цепи, описывающая изменение функции распределения числа
фрагментов по размерам. Эта модель предсказывает общий вид этого рас-
пределения с точностью до неизвестного слагаемого, являющегося только
функцией времени. Исследование Колмогорова послужило неким эталоном
для последующих работ в этом направлении.
Диссертационная работа в значительной степени использует представ-
ления об описании фрагментации, положенным в основу этой классической
работы.
Актуальность темы. Процессы фрагментации широко распростране-
ны в природе и играют важную роль в различных технологических про-
цессах. Особенную значимость приобретают такого рода технологические
процессы в связи с развитием нанотехнологий. Значительные успехи в экс-
периментальном исследовании и технологическом применении процессов
фрагментации стимулируют большое количество теоретических исследо-
ваний в статистической теории фрагментации. В связи с этим, тема дис-
сертации представляется актуальной.
Связь работы с научными программами, планами, темами.
Диссертационная работа выполнена в отделе теории конденсированного
состояния вещества Института монокристаллов НАН Украины в рамках
тем: "Исследование эффектов нелинейности и хаотичности в конденсиро-
ванных средах"(2001-2003, номер гос. регистрации 0101U003489), "Исследо-
вание хаотизации в сложных композитных системах и аномальные кинети-
ческие явления"(2004-2006, номер гос. регистрации 0104U003918), "Иссле-
дование классических и квантовых свойств сложных нелинейных систем с
ветвлением"(2007-2009, номер гос. регистрации 0107U000855). В указанных
темах автор принимал участие в качестве исполнителя.13
Цель и задачи исследования. В диссертации поставлена следую-
щая цель. Построить статистическую теорию фрагментации твердотель-
ных сред на основе однопараметрического описания динамических состоя-
ний фрагментов в условиях самоподобного закона дробления фрагментов
и с учётом законов сохранения вещества и баланса энергии.
Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие
задачи.
1. Определить физические условия, при которых возможно описание
эволюции системы фрагментации на основе кинетического уравнения
для плотности распределения числа фрагментов по размерам. В рам-
ках однопараметрического описания, разработать последовательную
теоретико-вероятностную схему для описания динамики каскадных
процессов фрагментации и на основе этой схемы вывести основное ки-
нетическое уравнение, описывающее изменение во времени плотности
распределения числа фрагментов в пространстве размеров.
2. На основе полученного кинетического уравнения исследовать типы
асимптотического поведения плотности распределения числа фраг-
ментов по размерам при наличии самоподобия интенсивности дроб-
ления. Исследовать общий случай финального поведения системы
фрагментации при наличии масштабной инвариантности интенсивно-
сти дробления. Найти динамический режим, при котором реализуется
колмогоровский тип финального поведения.
3. Определить физические условия, при которых плотность распреде-
ления числа фрагментов по размерам может быть аппроксимирована
решениями диффузионного уравнения в пространстве размеров, кото-
рое является частным случаем общего кинетического уравнения. По-
лучить общий вид коэффициентов этого уравнения с учётом законов
сохранения вещества и энергии.14
4. В рамках диффузионного приближения, найти типы финального по-
ведения плотности распределения числа фрагментов по размерам в
случае масштабной инвариантности и в случае самоподобия эволюци-
онного уравнения.
Объект исследования настоящей работы – процесс эволюции стоха-
стической системы фрагментации твердотельной среды.
Предметом исследования являются финальные распределения чис-
ла фрагментов по размерам.
Методы исследования основаны на методах теории случайных про-
цессов и общих представлениях физики твердого тела. А именно, ис-
пользованы понятия и представления теории скачкообразных марковских
процессов и марковских ветвящихся процессов с континуумом типов ча-
стиц, метод вывода управляющего уравнения типа Колмогорова-Феллера
для указанного типа случайных процессов на основе уравнения Чепмена-
Колмогорова. Использована теория фон Риттингера энергетического ба-
ланса при дроблении образца твёрдого тела и базовые положения термоди-
намики. Кроме того, в работе существенно использовался преобразование
Меллина при решении и анализе кинетического уравнения фрагментации,
а также метод перевала при вычислении финальных распределений веро-
ятностей.
Научная новизна полученных результатов. В результате прове-
денного исследования получены следующие новые научные результаты.
1. Впервые построена теоретико-вероятностная модель, описывающая
каскадные кинетические процессы фрагментации. В рамках этой моде-
ли на основе однопараметрического описания состояний систем фраг-
ментации получено основное кинетическое уравнение, описывающее
эволюцию плотности распределения числа фрагментов по размерам.
2. Впервые определён класс возможных финальных плотностей распре-
деления числа фрагментов по размерам, учитывающих закон сохра-15
нения вещества, в условиях масштабно инвариантной интенсивно-
сти дробления при протекании процесса фрагментации в неизменных
внешних условиях. Выяснены физические условия, при которых реа-
лизуется финальный логарифмически нормальный закон распределе-
ния.
3. В условиях масштабной инвариантности при степенной аппроксима-
ции интенсивности дробления и неизменных внешних условиях про-
текания процесса фрагментации впервые вычислена финальная плот-
ность распределения по размерам фрагментов.
4. Впервые найден класс возможных финальных плотностей распределе-
ния числа фрагментов по размерам, учитывающих закон сохранения
вещества, при самоподобном нарушении масштабной инвариантности
интенсивности дробления фрагментов с положительным показателем
самоподобия и при неизменности внешних условий. Вычислены фи-
нальные плотности распределения при степенной аппроксимации ин-
тенсивности дробления.
5. Впервые найдены физические условия, при которых решения основ-
ного кинетического уравнения аппроксимируются решениями уравне-
ния диффузии и введено понятие о медленной фрагментации. В слу-
чае медленной фрагментации выделено два вида финального поведе-
ния плотности распределения числа фрагментов по размерам. Один из
них соответствует масштабно инвариантному диффузионному уравне-
нию. При этом реализуется логарифмически-нормальный финальный
закон распределения. Другой отвечает эволюционному процессу, обла-
дающему самоподобием с положительным показателем. В этом случае
вычислена финальная плотность распределения для показателя само-
подобия равного двум.16
Научное и практическое значение полученных результатов.
Полученные в диссертации результаты представляют теоретическое зна-
чение по следующим причинам:
а) в рамках общей задачи о полном описании класса возможных финаль-
ных плотностей распределений числа фрагментов по размерам найден вид
этих плотностей при наличии самоподобия интенсивности дробления;
б) разработана общая теоретико-вероятностная схема, в рамках которой
возможен логически последовательный вывод кинетических уравнений для
описания эволюции плотности распределения числа частиц для каскадных
процессов общего вида.
Полученные в работе результаты имеют практическое значение, так как
могут использоваться при обработке статистической информации, связан-
ной с фрагментацией в технологических процессах, например, при получе-
нии мелкодисперсных порошков в нанотехнологиях и др.
Личный вклад соискателя. Постановки задач и выбор метода иссле-
дования, как диссертации, так и каждой из совместно выполненных ра-
бот, принадлежат научному руководителю Вирченко Ю.П. Все основные
результаты диссертации получены диссертантом самостоятельно. Матери-
алы диссертации опубликованы в 8 статьях [12-19] и 6 тезисах конференций
[20-25] В этих работах автором лично сделано следующее. В статье [12] по-
лучено основное кинетическое уравнение и найдено его полное решение с
приведенной интенсивностью образования осколков. В работе [13] получе-
но кинетическое уравнение для случая постоянной интенсивности накач-
ки энергии, а также вид входящих в уравнение параметров. В статье [14]
на основе уравнений для распределения вероятностей, описывающих мар-
ковский каскадный процесс фрагментации, получено дифференциальное
уравнение для производящей функции в непрерывном времени и кинети-
ческое уравнение для плотности распределения числа фрагментов по раз-
мерам. В работе [15] получено уравнение для распределения вероятности
с помощью формализма производящего функционала, а в статье [16] были17
найдены условия реализации различных режимов фрагментации, исполь-
зуя это уравнение. В работе [17] получены уравнения для многочастичных
функций распределения. В статье [18] найдено кинетическое уравнение для
масштабно-инвариантной интенсивности образования осколков и получено
его решение при асимптотически больших временах. В работе [19] опреде-
лены функциональные параметры, входящие в уравнение медленной фраг-
ментации и получено финальное распределение числа фрагментов в случае
масштабной инвариантности.
Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации до-
кладывались и обсуждались на следующих конференциях:
1. Международная конференция "Колмогоров и современная математи-
ка"(Москва, 16-21 июня 2003г.)
2. 10-я Международная научная конференция имени академика
М.Кравчука (Киев, 13-15 мая 2004г.)
3. Международная научная конференция "Топологические и вариаци-
онные методы нелинейного анализа и их приложения", TBMHA-2005 (Во-
ронеж, 27-30 июня 2005г.)
4. VII-ая Международная конференция по математическому моделиро-
ванию (Феодосия, 6-10 сентября 2005г.)
5. 11-я Международная конференция имени академика М.Кравчука
(Киев, 18-20 мая 2006г.)
6. VIII-ая Международная конференция по математическому моделиро-
ванию (Феодосия, 5-9 сентября 2006г.)
7. Международная конференция "Квантовая электродинамика и стати-
стическая физика"QEDSP-2006 (Харьков, 19-23 сентября 2006г.)
8. Международная конференция памяти Ляпунова (Харьков, 20-26
июня, 2007г.)
Публикации. Результаты научных исследований опубликованы в 14
печатных работах, в том числе 8 статьях [12-19], три из которых, [12, 16,
17], опубликованы в журналах, являющихся специализированными жур-18
налами, отвечающих требованиям ВАК Украины, и в 6 тезисах докладов
в сборниках материалов конференций [20-25]
Структура и содержание работы. Диссертация представлена на 155
страницах и содержит введение, четыре раздела, выводы и список исполь-
зованных источников, который содержит 113 наименований на 11 страни-
цах.
Мы придерживаемся в работе единой для всего текста системы обозна-
чений. Принципы ее построения приводятся в отдельном списке.
Первый раздел носит вводный характер. В его первом подразделе даёт-
ся обзор научной литературы (стр. 20–26) по статистической теории фраг-
ментации в том числе в рамках традиционного подхода, разработанного
Колмогоровым. В следующих подразделах этого раздела даётся введение
в научную проблему, которая является темой диссертации: обсуждаются
физические аспекты процессов фрагментации как природных, так и тех-
нологических; приводится постановка задачи теории фрагментации, изу-
чению которой посвящена диссертация; вводятся необходимые понятия и
описывается математический аппарат, на основе которого эта задача реша-
ется.
Второй раздел диссертации посвящён построению теоретико-вероят-
ностной схемы для каскадных процессов фрагментации в рамках однопа-
раметрического описания и выводу основного кинетического уравнения,
использованного в последующих разделах.
В третьем разделе изучается кинетическое уравнение теории фрагмен-
тации в рамках однопараметрического описания. Используя гипотезу мас-
штабной инвариантности и конечности второго логарифмического момен-
та, получен закон Колмогорова для финального распределения по разме-
рам фрагментов с учётом законов сохранения вещества и энергии. Учёт
законов сохранения позволил получить динамическое уравнение для темпе-
ратуры системы фрагментов в процессе фрагментации. Подход к исследо-
ванию фрагментации на основе кинетического уравнения, развитый в этомразделе, применим и в случае отсутствия масштабной инвариантности ин-
тенсивности дробления. В предположении, что интенсивность переходов в
кинетическом уравнении обладает свойством самоподобия с произвольным
показателем, в этом разделе получены финальные законы распределения,
которые отличается от распределения Колмогорова.
В четвёртом разделе в рамках однопараметрического описания иссле-
дуется кинетика фрагментации на основе диффузионного уравнения для
плотности числа фрагментов в пространстве размеров. При этом суще-
ственными являются так называемое условие медленности процесса фраг-
ментации и учёт законов сохранения вещества и энергии. В рамках тако-
го подхода, получен явный вид финальной плотности распределения по
размерам фрагментов в предположении о самоподобии дробления. В част-
ности, найден новый тип финальной плотности, которая имеет степенную
асимптотику убывания в области больших размеров.

Список литературы

ВЫВОДЫ
В диссертационной работе в рамках общепринятого в статистической
теории фрагментации подхода А.Н.Колмогорова к исследованию систем
хрупких твердотельных сред, измельчающихся вследствие внешних воз-
действий, который основан на однопараметрическом описании состояния
каждой из систем, исследованы процессы фрагментации, у которых ме-
ханизм дробления фрагментов различных размеров обладает свойством
самоподобия. Полученные результаты являются обобщением результатов
классической работы А.Н.Колмогорова, в которой механизм дробления об-
ладал свойством масштабной инвариантности.
Построена теория фрагментации тведотельных сред в условиях само-
подобного закона дробления фрагментов, которая учитывает законы со-
хранения вещества и энергии. Основные результаты диссертации можно
сформулировать следующим образом.
1. Построена теоретико-вероятностная модель, описывающая каскадные
кинетические процессы фрагментации. В рамках этой модели, впервые по-
лучено кинетическое уравнение для плотности распределения числа фраг-
ментов по размерам с учётом сохранения их полного объёма, баланса энер-
гии, затрачиваемой на их дробление, и свойства асимптотической автоном-
ности динамики системы.
2. Впервые получено уравнение для изменения со временем температуры
системы фрагментов в предположении о её однородном распределении. В
основе этого вывода лежит тот факт, что кинетическое уравнение не может
иметь более одного сохраняющегося статистического момента плотности143
3. На основе найденного кинетического уравнения впервые получен це-
лый класс финальных плотностей распределения вероятностей по разме-
рам фрагментов для масштабно инвариантного закона дробления в усло-
виях сохранения полного объёма системы и адиабатическом поступлении
энергии в систему. Выявлены условия, налагаемые на закон дробления, при
которых, реализуется логарифмически нормальное распределение Колмо-
горова. В рамках описанного класса финальных плотностей, вычислена
финальная плотность распределения при степенной аппроксимации зако-
на дробления.
4. В условиях сохранения полного объёма системы, на основе кинетиче-
ского уравнения, впервые найден класс финальных плотностей распреде-
ления вероятностей по размерам фрагментов для самоподобного с положи-
тельным показателем закона дробления, при степенной его аппроксимации.
Этот класс распределений представляет собой обобщение класса законов
распределения Вейбулла, который был получен ранее как распределение
по размерам в теории фрагментации в работе [113].
5. Для описание процессов фрагментации специального типа введено
понятие о режиме медленной фрагментации. Показано, что для этого ди-
намического режима плотность распределения числа фрагментов по разме-
рам подчиняется линейному диффузионному уравнению с распределённым
самосогласованным источником, который определяется распределённой по
размерам интенсивностью рождения фрагментов. Показано, что, при реа-
лизации режима медленной фрагментации, имеется два качественно раз-
личных типа финальных плотностей распределения по размерам фрагмен-
тов, соответственно, когда интенсивность рождения фрагментов стремит-
ся к положительной величине при стремлении размера к нулю и, наоборот,
когда она в указанном случае, стремится к нулю. В первом случае, реализу-144
ется логарифмически нормальное финальное распределение вероятностей
по размерам фрагментов. Во втором случае, найдено финальное распреде-
ление вероятностей в случае инвариантного при преобразовании подобия
уравнения диффузии с показателем самоподобия, равным двум. Плотность
распределения в этом случае обладает степенной ∝ r −6 асимптотикой в об-
ласти больших размеров фрагментов.145

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Kuklina O.V. Experimental distributions of fragments in strong
fragmentation / O.V. Kuklina, V.V. Mozgin, A.V. Tur, V.V. Yanovskii
// Functional Materials. – 2001. – V.8. – №2. – P.233-239.
2. Donnison J.R. The distribution of asteroid diameters / J.R. Donnison,
R.A. Sugden // Mon. Not. R. Astron. Soc. – 1984. – V. 210. – P.673-682.
3. Hellyer B. The fragmentation of asteroids / B. Hellyer // Mon.Not.R.
Astr.Soc. – 1970. – V. 148. – P.383-390.
4. Fielder G. Disribution of craters on the lunar surface / G. Fielder //
Mon.Not.R. Astr. Soc. – 1965. – V.129. – P.351-361.
5. Gaudin A. Principles of Mineral Dressing / Gaudin A. – New York:
McGraw-Hill Book Company, Inc., 1944. – 189p.
6. Hansen S. Agglomerate erosion: A nonscaling solution to the
fragmentation equation / S. Hansen, J.M. Ottino // Phys. Rev. E.
– 1996. – V.53. – №4. –P.4209-4212.
7. Gilvarry J.J. Fracture of Brittle Solids. I. Distribution Function for
Fragment Size in Single Fracture (Theoretical) / J.J. Gilvarry // J.
Appl.Phys. – 1961. – V.32. – №3. – P. 391-399.
8. Machado R.F. Fragmentation-inactivation models with mass loss /
R.F. Machado, J.K. Leal da Silva // Phys.Rev.E. – 1995. – V.52. –
№6. – P.6037-6043.
9. Kimura T. Molecular Weight Distribution of Irradiated Polymers /
T. Kimura // J.Phys.Soc. (Japan). – 1962. – V.7. – №12. – P.1884-1890.
10. Ахиезер А.И. Методы статистической физики / А.И. Ахиезер,
С.В. Пелетминский – М.: Наука, 1977. – 368c.146
11. Колмогоров А.Н. О логарифмически-нормальном законе распре-
деления размеров частиц при дроблении / А.Н. Колмогоров // ДАН
СССР. – 1941. – Т.31. – №2. – C.99-101.
12. Virchenko Yu.P. Investigation of final stage of random fragmentation
process / Yu.P. Virchenko, R.E. Brodskii // Functional Materials. – 2003.
– V.10., №3. – P. 378-387.
13. Бродский Р.Е. Исследование модели Колмогорова фрагментации ма-
териала в условиях сохранения объёма и энергии / Р.Е. Бродский,
Ю.П. Вирченко // Вестник Херсонского НТУ. – 2005. – Т.22. – С.
69-72.
14. Вирченко Ю.П. Построение марковского случайного процесса фраг-
ментации в пространстве размеров / Р.Е.Бродский, Ю.П.Вирченко
// Вестник Херсонского НТУ. – 2006. – Т.25(2). – С. 111-115.
15. Brodskii R.E. The Kolmogorov equation in the stochastic fragmentation
theory and branching processes with infinite collection of particle types /
Yu.P.Virchenko, R.E.Brodskii // Absract and Applied Analysis. – 2006.
– Art.ID 36215. – P. 1-10.
16. Virchenko Yu.P. Investigation of the material fragmentation model with
the uniform scale subdivision energy distribution / Yu.P.Virchenko,
R.E.Brodskii // Functional Materials. – 2006. – V.13., №1. – P. 6-13.
17. Brodskii R.E. Probabilistic description of Cascade Kinetic Processes
/ R.E.Brodskii, Yu.P.Virchenko // Problems of Atomic Scienece and
Technology. – 2007. – №3(2). – P. 343-347.
18. Бродский Р.Е. Исследование кинетического уравнения каскадной
теории фрагментации при нарушении самоподобия дробления /
Р.Е. Бродский // Scientific Bulletin of Belgorod State University.
Physics. Mathematics. – 2008. – №9(49), вып. 14 – P. 69-72.
19. Вирченко Ю.П. Финальные распределения вероятностей случайных
размеров при самоподобном механизме дробления / Ю.П.Вирченко,
Р.Е.Бродский // Scientific Bulletin of Belgorod State University.
Mathematics & Physics. – 2008. – №13(53), вып. 15 – P. 23-31.147
20. Virchenko Yu.P. Investigation of the Final Evolution of the
Random Fragmentation Processes / Yu.P.Virchenko, R.E.Brodskii //
”Kolmogorov and Contemporary Mathematics”. Abastracts. – June 16-
21, 2003. – Moscow. MSU. – P. 582.
21. Вирченко Ю.П. Исследование финального этапа случайного про-
цесса фрагментации при их самосогласованном взаимодействии /
Ю.П.Вирченко, Р.Е.Бродский // X Мiжнародна наукова конференцiя
iменi академiка М.Кравчука. Тезисы докладов. – 13-15 мая 2004. –
Киев. – С. 581.
22. Бродский Р.Е. Модель процесса фрагментации материала и физичес-
кие условия сохранения / Р.Е.Бродский, Ю.П.Вирченко // ”Тополо-
гические и вариационные методы нелинейного анализа и их прило-
жения” Материалы международной научной конференции TBMHA-
2005. – 2005. – Воронеж. – С. 24-27.
23. Вирченко Ю.П. Теоретико-вероятностная модель процессов фраг-
ментации. / Ю.П.Вирченко, Р.Е.Бродский // Одиннадцатая между-
народная конференция имени академика М.Кравчука. Тезисы докла-
дов. – 18-20 мая 2006. – Киев. – С. 687.
24. Brodskii R.E. Probabilistic dynamical model of fragmentation process in
size space. / R.E.Brodskii, Yu.P.Virchenko // Quantum electrodynamics
and statistical physics. QEDSP2006. Book of Abstracts. – September 19-
23, 2006. – Kharkov, Ukraine. – P. 147.
25. Brodskii R.Ye. Probabilistic description of cascade kinetic processes. /
R.Ye.Brodskii, Yu.P.Virchenko // Lyapunov Memorial Conference. Book
of Absracts. – June 24-30, 2007. – Kharkiv. – P. 20.
26. Mark J. Statistical theory of long molecules scisions / J. Mark, R. Simha
// Trans. Faraday. Soc. – 1940. – V.35. – P.611.
27. Montroll E.W. Size distributions of long molecules fragments /
E.W. Montroll, R. Simha // J. Chem. Phys. – 1940. – V.8. – P.721.
28. Зезин Р.Б. Статистический анализ распределения камней по данным
”Лунохода-1” / Р.Б. Зезин, П.А. Дубин // Природа. – 1971. – №11.
– C.9-11.148
29. Левин Б.Ю. Земля среди пыли и камней / Б.Ю. Левин, А.Н. Симо-
ненко // Природа. – 1973. – №4. – C. 7-16.
30. Baker L. Fracture and spall ejecta mass distribution: Lognormal and
multifractal distributions / L. Baker, A.J. Gianola, F. Allahdadi //
J.Appl.Phys. – 1992. – V.72. – №7. – P.2724-2731.
31. Bennet J.G. Broken coal / J.G. Bennet// J.Inst.Fuel. – 1936. – V.10. –
P.22-39.
32. Bonabeau E. Possible universality in the size distribution of fish schools /
E. Bonabeau, L. Dagorn // Phys.Rev. E. – 1995. – V.51. – №6. –
P.R5220-R5223.
33. Brown H. The density and mass distribution of meteoritic bodies in the
neighborhood of the Earth’s orbit / H. Brown // J. Geophys. Res. –
1960. – V.65 – №6. – P.1679-1683.
34. Ching E.S.C. Energy dependence of impact fragmentation of long glass
rods / E.S.C. Ching, S.L. Lui, K.Q. Xia // Physica A. – 2000. – V.287.
– P.83-90.
35. Van Dongen E. Stable statistical laws in the fragmentation theory /
E. Van Dongen // J.Stat.Phys. – 1984. – 37. – P.301-310.
36. Finn J.E. et al. Nuclear fragment mass yields from high-energy proton-
nucleus interactions / J.E. Finn // Phys. Rev.Lett. – 1982. – V.49. –
№18. – P.1321-1325.
37. Fujiwara A. Destruction of balistic bodies be high-velocity impact /
A. Fujiwara, G. Kamimoto, A. Tsukamoto // Icarus. – 1977. – V.31. –
P.277-288.
38. Gilvarry J.J. Fracture of Brittle Solids. II. Distribution Function for
Fragment Size in Single Fracture (Experimental) / J.J. Gilvarry //
J.Appl.Phys. – 1961. – V.32. – №3. – P.400-410.
39. Hartmann W.K. Terrestrial, lunar, and interplanetary rock
fragmentation / W.K. Hartmann // Icarus. – 1969. – V.10. – P.201-
213.149
40. Hawkins G.S. Asteroidal fragments / G.S. Hawkins // Astrophys.J. –
1960. – V.65. – №5. – P.318-321.
41. Hawkins G.S. The relation between asteroids, fireballs and meteorits /
G.S. Hawkins // Astronom.J. – 1959 . – V.64. – №1275. – P.450-454.
42. Ishii T. Fragmentaion of long thing glass rods / T. Ishii, M. Matsushita
// J.Phys.Soc. Japan. – 1992. – V.61. – №10. – P.3474-3477.
43. Kadono T. Fragment mass distribution of platekike objects / T. Kadono
// Phys.Rev.Lett. – 1997. – V.78. – №8.– P.1444-1447.
44. Kuiper G.P. Survey of asteroids / G.P. Kuiper, Y. Fugita, T. Gehrels,
I. Groeneveld, J. Kent, G. Van Biesbroeck, C.J. Van Houten //
Astrophys.J. Supplement. – 1958. – V.32. – №3. – P.289-427.
45. Куклина О.В. Экспериментальные исследования распределения
фрагментов при дроблении аморфных и кристаллических тел /
О.В. Куклина, В.В. Мозгин, А.В. Тур, В.В. Яновский // Материа-
лы 5-й Международной конференции ”Физические явления в твёрдых
телах”. – Харьков (Украина). – 2001. – C.89.
46. Marsili M. Interacting individuals leading to Zipf’s law / M. Marsili M.,
Y.-C. Zhang // Phys.Rev.Lett. – 1998. – V. 80. – №12. – P.2741-2744.
47. Marcus A. Comments on ”Disribution of craters on the lunar surface” /
A. Marcus // Mon.Not.R. Astr. Soc. – 1966. – V.134. – P.269-274.
48. Meibom A. Composite Power Laws in Shock Fragmentation /
A. Meibom, I. Balslev // Phys.Rev.Lett. – 1996. – V.76. – №14. – P.2492-
2494.
49. Oddershede L. Self-Organized Criticality in Fragmentating /
L. Oddershede, P. Dimon, J. Bohr // Phys.Rev.Lett. – 1993. – V.71.
– №19. – P.3107-3110. -3130
50. Sotolongo-Costa O. Scaling in drop distribution: an application in
combustion / O. Sotolongo-Costa, E. Lopez-Pages, F. Barreras-Toledo,
J. Martin-Antuna // Phys. Rev. E. – 1994. – V.49. – №5. – P. 4027-4030.150
51. Sotolongo-Costa O. Criticality in droplet fragmentatiion / O. Sotolongo-
Costa, Y. Moreno-Vega, J.J. Lloveras-Gonzales, J.C. Antoranz // Phys.
Rev. Lett. – 1996. – V.76. – №1. – P. 42-45.
52. Филиппов А.Ф. О распределении размеров частиц при дроблении /
А.Ф. Филиппов // Теория вероят. и её применен. – 1961. – Т.6. – №.
3. – P.299 - 318 с.
53. Blatz R. Statistical investigation of fragments of polymer molecules /
R. Blatz, J.N. Tobobsky // J. Phys. Chem. – 1945. – V.49. – P.77.
54. Jellinek A. Fragmentation theory of polymer molecules / A. Jellinek,
J. White // J. Polim. Sci. – 1951. – V.6. – P.745.
55. Saito K. Statistical distributions of splinter sizes. / K. Saito // J. Phys.
Soc. Japan. – 1958. – V.13. – P.198.
56. Charlesby A. Molecular-weight changes in the degradation of long-chain
polymeres / A. Charlesby // Proc.Roy.Soc.(London), Ser.A. – 1954. –
V.224. – P. 120-128.
57. Nanda T. Fragment statistics of large molecules splinters / T. Nanda,
K. Pathria // J. Chem. Phys. 1959. – V. 30. – P.27.
58. Amemija A. Further Investigation of the Non-Random Degradation of
Linear Chain Molecules. I / A. Amemija // J. Phys. Soc. Japan. – 1962.
– V.17. – №8. – P.1245-1261.
59. Amemija A. Further Investigation of the Non-Random Degradation of
Linear Chain Molecules. II / A. Amemija // J. Phys. Soc. Japan. –
1962. – V.17. – №11. – P.1694 - 1711.
60. Bak T.A. The viscosity of degrading polymer solutions / T.A. Bak,
K. Bak // Acta Chem Scand. – 1959. – V.13. – P.1997-2008.
61. Ballauff M. Degradation of chain molecules. 1. Exact solution of the
kinetics equations / M. Ballauff, B.A. Wolf // Macromolecules. – 1981.
– V.14. – P.654-658.
62. Basedow at al. Splinters statistics of polymer molecules. / Basedow at
al. // Macromolecules. – 1978. – V.11. – P.774.151
63. Cohen A. Statistical laws of polymer molecular fragments / A. Cohen,
N. Benedek // J. Phys. Chem. – 1982. – V. 86. – P.3696.
64. Englman R. Size-distribubution insudden breakage by the use of entropy
maximization / R. Englman, N. Rivier, Z. Jaeger // J.Appl.Phys.. –
1988. – V.63. – №9. – P.4766-4768.
65. Hassan M.K. Transition from random to ordered fractals in
fragmentation of particles in an open system / M.K. Hassan, J. Kurths
// Phys. Rev. E. – 2001. – V.64. – №1. – P.016119(1) - 016119(4).
66. Hayakawa Y. Impact fragmentation of an ideal brittle crystal /
Y. Hayakawa // Phys.Rev.B. – 1996. – V.53. – №22. – P.14828-14833.
67. Herrmann H.J. Transition from damage to fragmentation in collision of
solids / H.J. Herrmann // Phys.Rev. E. – 1999. – V.59. – №3. – P.2623-
2632.
68. Holian B.L. Fragmentation by molecular dynamics: The microscopic ”big
bang” / B.L. Holian, D.E. Grady // Phys.Rev.Lett.. – 1988. – V. 60. –
№14. – P. 1355-1358.
69. Grady D.E. Geometric statistics and dynamic fragmentation /
D.E. Grady, M.E. Kipp // J.Appl.Phys. – 1985. – V.58. – №3. – P.
1210-1222.
70. Вирченко Ю.П. Геометрические модели статистической теории
фрагментации / Ю.П. Вирченко, О.И. Шеремет // Теор. и мат.
физика. – 2001.– Т.128. – №2. – С.161-177.
71. Grady D.E. Particle size statistics in dynamic fragmentation /
D.E. Grady // J.Appl.Phys. – 1990. – V.68. – №12. – P.6099-6105.
72. Ziff R.M. The Kinetics of Cluster Fragmentation and
Depolymerization / R.M. Ziff, E.D. McGrady // J. Phys.A. – 1985. –
V.18. – P.3027-3037.
73. Ziff R.M. New Solutions of the Fragmentation Equation / R.M. Ziff //
J. Phys.A. – 1991. – V.24. – №12. – P.2821-2828.
74. Ziff R.M. An explicit solutions to a discrete fragmentation model /
R.M. Ziff // J.Phys. A. – 1992. – V.25. – P.2569-2576.152
75. Ziff R.M. Kinetics of polymer degradation / R.M. Ziff, E.D. McGrady
// Macromolecules. – 1986. – V.19. – №10. – P.2513-2576.
76. Ziff R.M. ”Shattering” Transition in Fragmentation / R.M. Ziff,
E.D. McGrady // Phys.Rev.Lett. – 1987. – V.58. – №9. – P.892 - 895.
77. Cheng Z. Scaling Theory of Fragmentation / Z. Cheng, S. Redner //
Phys.Rev.Lett. – 1988. – V.60. – №24. – P.2450-2453.
78. Сагдеев Р.З. Формирование и универсальные свойства распре-
делений по размерам в теории дробления / Р.З. Сагде-
ев,А.В. Тур,В.В. Яновский // ДАН СССР. – 1987. – Т.294. – №5.
– P.1105-1110.
79. Baumann G. Similarity solutions in fragmentation kinetics /
G. Baumann, M. Freyberder, W.G. Glockle, T.F. Nonnenmacher //
J.Phys. A. – 1991. – V.24. – P.5085-5096.
80. Ben-Naim E. Fragmentation with a Steady Source / E. Ben-Naim,
P.L. Krapivsky // J. Phys. D. – 1997. – V.107. – P.156.
81. Botet R. Fragmentation-inactivation binary model / R. Botet,
M. Ploszajczak // Phys. Rev. Lett. – 1992. – V.69. – №26. – P.3696-
3699.
82. Boyer D. Fluctuation-induced shattering transition in a multivariable
fragmentation model / D. Boyer, G. Tarjus, P. Viot // Phys.Rev E. –
1995. – V.51. – №2. – P.1043-1046.
83. Cheng Z. Kinetics of Fragmentation / Z. Cheng, S. Redner // J.Phys.A.
– 1990. – V.23. – №7. – P.1233-1258.
84. Epstein B. The mathematical description of certain breakage
mechanisms leading to the logarithmico-normal distribution /
B. Epstein // J.Franclin Inst. – 1947. – V.244. – №6. – P.471-477.
85. Ernst M.H. Fragmentation Kinetics / M.H. Ernst, G. Szamel //
J.Phys.A. – 1993. – V.26. – P.6085-6091.
86. Filipe J.A.N. Kinetics of Fragmentation-annihilation Processes /
J.A.N. Filipe, G.J. Rodgers // Phys. Rev.E. – 1996. – V.54. – №2. –
P.1290-1297.153
87. Krapivsky P.L. Scaling and Multiscaling in Models of Fragmentation /
P.L. Krapivsky, E. Ben-Naim // Phys.Rev. E. – 1994. – V.50. – №5. –
P.3502-3507.
88. Krapivsky P.L. Fragmentation with a Steady Source / P.L. Krapivsky,
E. Ben-Naim // Phys.Rev. A. – 2000. – V.48. – P.48-51.
89. Krapivsky P.L. Scale invariance and Lack of Self-Averaging in
Fragmentation / P.L. Krapivsky, I. Grosse, E. Ben-Naim // Phys.Rev.
E. – 2000. – V. 61. – P.R993-R996.
90. Lensu M. Distribution of the number of fragments in continuous
fragmentation / M. Lensu // J.Phys. A. – 1998. – V.31. – P.5705-5715.
91. Mekjian A.Z. Model of a fragmentation process and its power-law
behavior / A.Z. Mekjian // Phys.Rev. Lett. – 1990. – V.64. – №18.
– P.2125-2128.
92. Rodgers G.J. Fragmentation of particles with more then one degree of
freedom / G.J. Rodgers, M.K. Hassan // Phys.Rev. E. – 1994. – V.50.
– №5. – P.3458-3463.
93. Singh P. Kinetics of multidimensional fragmentation / P. Singh,
M.K. Hassan // Phys.Rev. E. – 1996. – V.53. – №4. – P.3134-3144.
94. Sotolongo-Costa O. Dimensional Crossover in Fragmentation /
O. Sotolongo-Costa, A.H. Rodriguez, G.J. Rodgers // Physica A. – 2000.
– V.286. – P.638-642.
95. Rodgers G.J. Stable distributions in fragmentation processes /
G.J. Rodgers, M.K. Hassan // Physica A. – 1996. – V.233. – P.19-30.
96. Thorn M. Seesselberg M. Fluctuations in discrete fragmentation
processes studied by stochastic simulations / M. Thorn, M.L. Broide
// Phys.Rev. E. – 1995. – V.51. – №5. – P.4089-4094.
97. Kuklina O.V. Fragmentation theory of objects with fractal surface /
O.V. Kuklina, A.V. Tur, V.V. Yanovskii // Functional Materials. – 2000.
– V.7. – №4(2). – P.753-762.154
98. Куклина О.В. Коллективная теория фрагментации / О.В. Куклина,
А.В. Тур, В.В. Яновский // Вiсник ХНУ, сер. Физика. – 2000. – №476.
– C.64-71.
99. Куклина О.В. Теория дробления объектов с фрактальной поверхнос-
тью / О.В. Куклина, А.В. Тур, В.В. Яновский // Вопросы атомной
науки и техники. – 2000. – №1. – C.238-242.
100. Treat R.P. On the similarity solutions of the fragmentation equation /
R.P. Treat // J.Phys. A. – 1997. – V. 30. – P.2519-2543.
101. Turcotte D.L. Fractals and fragmentation / D.L. Turcotte //
J.Geophys.Res. – 1986. – V. 91. –№B2. – P.1921-1926.
102. Федер Е. Фракталы / Е. Федер – М.: Мир, 1991. – 254с.
103. Treat R.P. Similarity Solutions of the Fragmentation with Volume
Change / R.P. Treat // J.Phys. A. – 1997. – V. 30. – P.7639-7658.
104. Virchenko Yu.P. Investigation of a one-dimensional model in statistical
theory of fragmentation / Yu.P. Virchenko, O.I. Sheremet // Доповiдi
НАН Укра¨ıни. – 2000. – №7. – C.82–86.
105. Matheron G. Random Sets and integral Geometry / G. Matheron – New
York: John Wiley & Sons., 1975. – 258p.
106. Чечулин Б.Б. Масштабный фактор и статистическая природа проч-
ности металлов / Б.Б. Чечулин – М.: Металлургиздат, 1963. – 120с.
107. Bharucha-Reid A.T. Elements of the Theory of Markov Processes and
Their Applications / A.T. Bharucha-Reid – New York: Mc Graw-Hill
Book Company, Inc., 1960. – 510p.
108. Landau L. The Cascade Theory of Electronic Showers / L. Landau,
G. Rumer // Proc. Roy. Soc. (London), ser.A. – 1938. – V.166. – P.213-
228.
109. Messel H. The Development of a Nucleon Cascade / H. Messel // in
J.G.Wilson (ed.) Progress in Cosmic Ray Physics. V.2. – Amsterdam:
North-Holland Publishing Company. – 1954. – P.135-216,110. Ахиезер И.А. Введение в теоретическую радиационную физику ме-
таллов и сплавов / И.А. Ахиезер, Л.Н. Давыдов – Киев: Наукова
Думка., 1985. – 144с.
111. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей / Б.В. Гнеденко – М.: На-
ука., 1969. – 155 с.
112. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменно-
го / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат – М.: Наука, 1987. – 436 с.
113. Brown W.K. Derivation of the Weibull distribution based on physical
principles and its connection to the Rosin-Rammler and lognormal
distributions / W.K. Brown, K.H. Wohletz // J. Appl. Phys. – 1995. –
V.78. – №4. – P.2758-2763.