Ушкац Світлана Юріївна Конденсація та особливості віріальних розкладів в моделі ґраткового газу

Краткое описание

Ушкац Світлана Юріївна, молодший науковий співро­бітник Національного університету кораблебудування імені адмірала Макарова: «Конденсація та особливості віріаль- них розкладів в моделі ґраткового газу» (01.04.14 - тепло­фізика та молекулярна фізика). Спецрада Д 26.001.08 у Київському національному університеті імені Тараса Шев­ченка

Національний університет кораблебудування імені адмірала Макарова
Міністерство освіти і науки України
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Міністерство освіти і науки України
Кваліфікаційна наукова
праця на правах рукопису
Ушкац Світлана Юріївна
УДК 533.75; 536.71
ДИСЕРТАЦІЯ
КОНДЕНСАЦІЯ ТА ОСОБЛИВОСТІ ВІРІАЛЬНИХ РОЗКЛАДІВ
В МОДЕЛІ ҐРАТКОВОГО ГАЗУ
01.04.14 – теплофізика та молекулярна фізика
Подається на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук
Дисертація містить результати власних досліджень. Використання ідей,
результатів і текстів інших авторів мають посилання на відповідне джерело
_______________ С. Ю. Ушкац
Науковий керівник Мочалов Олександр Олександрович,
доктор технічних наук, професор
Київ – 2019

ЗМІСТ
Перелік умовних позначень .................................................................................. 17
Вступ .......................................................................................................................... 18
Розділ І Віріальні розклади в сучасній статистичні теорії ............................. 26
1.1. Існуючі форми віріальних розкладів та зв’язок між ними.................... 26
1.1.1. Віріальне рівняння стану та його інтерпретація ...................................... 26
1.1.2. Віріальний розклад за степенями тиску.................................................... 32
1.1.3. Розклади за степенями активності............................................................. 34
1.1.4. Розбіжність віріальних розкладів .............................................................. 39
1.2. Груповий розклад статистичної суми........................................................ 43
1.2.1. Статистична сума та рівняння стану......................................................... 43
1.2.2. Груповий розклад в термінах звідних інтегралів..................................... 44
1.2.3. Діаграми Майєра та незвідні інтеграли .................................................... 50
1.2.4. Обмеження віріального розкладу за степенями густини........................ 54
1.3. Сучасні досягнення на основі групового розкладу ................................. 57
1.3.1. Твірна функція в термінах незвідних інтегралів ..................................... 57
1.3.2. Обчислення звідних інтегралів високих порядків................................... 60
1.3.3. Апроксимації нескінченних віріальних серій .......................................... 66
1.4. Висновки до Розділу І.................................................................................... 73
Розділ ІІ Віріальні розклади для моделей ґраткового газу з симетрією
«частинка – дірка» ................................................................................................ 76
2.1. Модель ґраткового газу в статистичній механіці.................................... 76
2.1.1. Особливості моделі ґраткового газу ......................................................... 76
2.1.2. Рівняння стану найпростіших ґраткових газів......................................... 80
2.1.3. Задача Ізінга та її зв’язок з теорією фазових переходів .......................... 83
2.1.4. Двовимірний ґратковий газ і розв’язок Лі – Янга.................................... 85
2.2. Симетрія «частинка – дірка» в моделях ґраткового газу ...................... 88
2.2.1. Симетрія гамільтоніану та статистичної суми по відношенню до заміни
частинок на «дірки» ............................................................................................ 88
15
2.2.2. Віріальний розклад за степенями активності в щільних станах
ґраткового газу .................................................................................................... 92
2.2.3. Розклад тиску за степенями густини в щільних станах ґраткового
газу........................................................................................................................ 94
2.3. Конденсація ґраткового газу та її зв’язок з розбіжністю віріальних
розкладів за степенями активності ................................................................. 98
2.3.1. Симетрія особливих точок віріальних розкладів в моделі ґраткового
газу........................................................................................................................ 98
2.3.2. Симетрія ґраткового газу на вісі активності .......................................... 100
2.3.3. Асимптотика сверхкритичних розкладів за степенями активності ..... 103
2.3.4. Точний аналітичний вираз для радіусу збіжності субкритичних
розкладів за степенями активності.................................................................. 104
2.3.5. Асимптотика віріальних розкладів за степенями густини в точці
конденсації......................................................................................................... 106
2.3.6. Питання, що стосуються загальності отриманих результатів .............. 108
2.4. Висновки до Розділу ІІ ................................................................................ 114
Розділ ІІІ Розрахунок групових інтегралів для різних моделей ґраткового
газу.......................................................................................................................... 117
3.1. Специфіка визначення групових інтегралів в моделі ґраткового газу
............................................................................................................................... 117
3.1.1. Загальні особливості задачі обчислення віріальних коефіцієнтів ....... 117
3.1.2. Групові інтеграли ґраткового газу як точні температурні
залежності .......................................................................................................... 119
3.2. Особливості комп’ютерної реалізації розрахунків групових інтегралів
моделі ґраткового газу...................................................................................... 122
3.2.1. Алгоритм розрахунків незвідних інтегралів невисоких порядків ....... 122
3.2.2. Алгоритм Уітлі для інтегралів високих порядків та його
модифікація........................................................................................................ 124
3.2.3. Комп’ютерна реалізація багатопоточних обчислень ............................ 129
16
3.3. Результати обчислень для різних моделей ґраткового газу ................ 133
3.3.1. Звідні групові інтеграли різних ґраткових газів .................................... 133
3.3.2. Незвідні інтеграли (віріальні коефіцієнти) ґраткових газів.................. 135
3.3.3. Порівняння з розв’язком Лі – Янга ......................................................... 139
3.4. Висновки до Розділу ІІІ............................................................................... 143
Розділ ІV Дослідження асимптотики групових інтегралів та їх
апроксимація........................................................................................................ 145
4.1. Асимптотична поведінка групових інтегралів високих порядків..... 145
4.1.1. Схожість асимптотики звідних групових інтегралів для різних
статистичних моделей речовини ..................................................................... 145
4.1.2. Аналітична форма віріальних розкладів за степенями активності...... 149
4.2. Різні варіанти апроксимації звідних групових інтегралів................... 152
4.2.1. Апроксимація групових інтегралів на основі теореми
Коші – Адамара ................................................................................................. 152
4.2.2. Уточнення апроксимації групових інтегралів «середніх» порядків.... 156
4.3. Числові дослідження апроксимованих рівнянь стану
ґраткових газів................................................................................................... 159
4.3.1. Ізотерми ґраткового газу Лі – Янга ......................................................... 159
4.3.2. Критична температура ґраткового газу зі взаємодією між
найближчими сусідами..................................................................................... 162
4.3.3. Ізотерми складних моделей ґраткового газу.......................................... 165
4.4. Висновки до Розділу ІV............................................................................... 168
Висновки ................................................................................................................. 170
Список використаних джерел............................................................................. 172
Додатки.................................................................................................................... 182
Додаток А. Список публікацій здобувача за темою дисертації.................. 182
Додаток Б. Коефіцієнти віріального розкладу за степенями тиску.......... 185

Список литературы

ВИСНОВКИ
У дисертаційній роботі проведено аналітичні й числові дослідження
особливостей поведінки різних віріальних розкладів (як за степенями густини в
термінах незвідних групових інтегралів, так і за степенями активності в
термінах звідних інтегралів) для відомої статистичної моделі ґраткового газу та
зв’язку між цими особливостями і фізичним процесом конденсації. Головні
висновки та результати проведених досліджень полягають у наступному:
1. Встановлено, що віріальному розкладу за степенями густини з певним
набором відомих віріальних коефіцієнтів (тобто, незвідних групових
інтегралів) в теорії повинні строго відповідати лише нескінченні розклади
за степенями тиску або степенями активності, і, відповідно, область
застосовності розкладу за степенями густини (навіть у випадках, коли цей
розклад є скінченним і завжди збіжним) завжди обмежена радіусом
збіжності нескінченних розкладів за степенями активності.
2. Вперше отримано простий, але загальний, аналітичний зв’язок між
параметрами конкретної моделі ґраткового газу та радіусом збіжності
відповідних субкритичних віріальних розкладів за степенями активності.
3. Без використання кількісної інформації стосовно певних наборів звідних
або незвідних групових інтегралів строго доведено рівність тиску в
симетричних розкладах, як за степенями активності, так і за степенями
густини, в точках нуля їх ізотермічного модуля пружності, які в точності
відповідають зазначеному вище радіусу збіжності, що, своєю чергою,
відповідає ознакам конденсації, тобто, визначає цей радіус збіжності як
активність фазового переходу ґраткових газів.
4. Отримані таким чином аналітичні співвідношення цілком узгоджуються з
результатами інших сучасних теоретичних досліджень процесу
конденсації в різних статистичних моделях речовини (і не лише ґраткових
газів), так само, як і з існуючими даними по ґратковим газам (зокрема, з
точним розв’язком Лі – Янга для фазового переходу двовимірної моделі
171
ґраткового газу), і додатково підтверджують повну адекватність розкладу
Майєрів для статистичної суми зі сталими груповими інтегралами,
принаймні, до точки конденсації досліджуваних систем.
5. З метою розширити можливості практичного використання отриманих
теоретичних результатів була розроблена нова методика визначення
групових інтегралів ґраткових газів у вигляді точних функціональних
залежностей від температури.
6. Для розрахунків групових інтегралів високих порядків була запропонована
модифікація відомого алгоритму генерації незвідних схем інтегрування з
урахуванням специфіки моделі ґраткового газу, яка суттєво спрощує цей
алгоритм і робить можливою його практичну реалізацію в багатопоточних
обчисленнях.
7. Для кількох моделей ґраткового газу різної геометрії та вимірності з
різними потенціалами міжмолекулярної взаємодії були отримані точні
температурні залежності незвідних групових інтегралів до шостого
порядку (звідних інтегралів – до сьомого).
8. Досліджено асимптотичну поведінку звідних групових інтегралів різних
моделей речовини з ростом їх порядку та встановлено, що ця поведінка в
точності відповідає теоремі Коші – Адамара, що, своєю чергою, відкриває
нові можливості визначення віріального ряду в області дуже високих
порядків.
9. Запропоновано загальну апроксимацію групових інтегралів високих
порядків для різних моделей ґраткового газу, яка, не лише на якісному, але
й на кількісному рівні адекватно описує субкритичну поведінку таких
систем від газоподібних станів до конденсованих, включаючи область
фазового переходу.