Десятерик Олександра Олександрiвна Будова варiантiв напiвгруп : Десятерик Александра Александровна Строение вариантов полугрупп Desyaterik Oleksandra Oleksandrivna Structure of variants of semigroups

Краткое описание

Десятерик Олександра Олександрiвна УДК 512.53 ДИСЕРТАЦIЯ Будова варiантiв напiвгруп 01.01.06 — алгебра i теорiя чисел фiзико-математичнi науки Подається на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук Дисертацiя мiстить результати власних дослiджень. Використання iдей, результатiв i текстiв iнших авторiв мають посилання на вiдповiдне джерело О. О. Десятерик Науковий керiвник Ганюшкiн Олександр Григорович кандидат фiзико-математичних наук, доцент Київ 2021

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка Мiнiстерство освiти i науки України Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка Мiнiстерство освiти i науки України Квалiфiкацiйна наукова праця на правах рукопису Десятерик Олександра Олександрiвна УДК 512.53 ДИСЕРТАЦIЯ Будова варiантiв напiвгруп 01.01.06 — алгебра i теорiя чисел фiзико-математичнi науки Подається на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук Дисертацiя мiстить результати власних дослiджень. Використання iдей, результатiв i текстiв iнших авторiв мають посилання на вiдповiдне джерело О. О. Десятерик Науковий керiвник Ганюшкiн Олександр Григорович кандидат фiзико-математичних наук, доцент Київ 2021

ЗМIСТ Вступ 13 Роздiл 1. Огляд лiтератури 19 1.1. Огляд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Роздiл 2. Допомiжнi вiдомостi 27 2.1. Варiанти напiвгрупи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Матричнi напiвгрупи Рiса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3. Рiзнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4. Решiтки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5. Вiнцевий добуток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Висновки до 2 роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Роздiл 3. Варiанти напiвгруп 33 3.1. Скiнченнi напiвгрупи усi варiанти яких попарно iзоморфнi . . . 33 3.2. Варiанти напiвгрупи Рiса матричного типу . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1. Варiанти напiвгрупи Рiса над тривiальною групою з нулем 43 3.2.2. Напiвгрупа Брандта з 5 елементiв . . . . . . . . . . . . . 44 3.3. Напiвгрупи, якi не є варiантом жодної напiвгрупи . . . . . . . . 49 3.3.1. Скiнченнi напiвгрупи Брандта . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3.2. Iдеал I1 напiвгрупи ISn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4. Варiанти прямокутних в’язок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Висновки до 3 роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Роздiл 4. Варiанти решiток i напiврешiток 65 4.1. Варiанти скiнченних нижнiх напiврешiток . . . . . . . . . . . . 65 4.1.1. Критерiй iзоморфностi варiантiв . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1.2. Варiанти деяких решiток . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2. Варiанти комутативних в’язок з нулем . . . . . . . . . . . . . . . 74 10 4.2.1. Основна теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2.2. Варiанти деяких конкретних комутативних в’язок з нулем 77 4.3. Варiанти решiтки розбиттiв злiченної множини . . . . . . . . . . 81 4.4. Вiльна дистрибутивна решiтка рангу 3 . . . . . . . . . . . . . . 91 Висновки до 4 роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Роздiл 5. Групи автоморфiзмiв варiантiв 106 5.1. Група автоморфiзмiв варiанту булеану скiнченної множини . . . 106 5.2. Група автоморфiзмiв решiтки пiдпросторiв . . . . . . . . . . . . 108 5.3. Група автоморфiзмiв варiанта решiтки розбиттiв скiнченної множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Висновки до 5 роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Висновки 123 Список використаних джерел 126 Додатки 132

ЗМIСТ Вступ 13 Роздiл 1. Огляд лiтератури 19 1.1. Огляд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Роздiл 2. Допомiжнi вiдомостi 27 2.1. Варiанти напiвгрупи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Матричнi напiвгрупи Рiса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3. Рiзнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4. Решiтки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5. Вiнцевий добуток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Висновки до 2 роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Роздiл 3. Варiанти напiвгруп 33 3.1. Скiнченнi напiвгрупи усi варiанти яких попарно iзоморфнi . . . 33 3.2. Варiанти напiвгрупи Рiса матричного типу . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1. Варiанти напiвгрупи Рiса над тривiальною групою з нулем 43 3.2.2. Напiвгрупа Брандта з 5 елементiв . . . . . . . . . . . . . 44 3.3. Напiвгрупи, якi не є варiантом жодної напiвгрупи . . . . . . . . 49 3.3.1. Скiнченнi напiвгрупи Брандта . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3.2. Iдеал I1 напiвгрупи ISn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4. Варiанти прямокутних в’язок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Висновки до 3 роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Роздiл 4. Варiанти решiток i напiврешiток 65 4.1. Варiанти скiнченних нижнiх напiврешiток . . . . . . . . . . . . 65 4.1.1. Критерiй iзоморфностi варiантiв . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1.2. Варiанти деяких решiток . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2. Варiанти комутативних в’язок з нулем . . . . . . . . . . . . . . . 74 10 4.2.1. Основна теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2.2. Варiанти деяких конкретних комутативних в’язок з нулем 77 4.3. Варiанти решiтки розбиттiв злiченної множини . . . . . . . . . . 81 4.4. Вiльна дистрибутивна решiтка рангу 3 . . . . . . . . . . . . . . 91 Висновки до 4 роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Роздiл 5. Групи автоморфiзмiв варiантiв 106 5.1. Група автоморфiзмiв варiанту булеану скiнченної множини . . . 106 5.2. Група автоморфiзмiв решiтки пiдпросторiв . . . . . . . . . . . . 108 5.3. Група автоморфiзмiв варiанта решiтки розбиттiв скiнченної множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Висновки до 5 роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Висновки 123 Список використаних джерел 126 Додатки 132

Список литературы

ВИСНОВКИ Дисертацiйна робота присвячена дослiдженню будови варiантiв напiвгруп, також велика увага придiлена дослiдженню їх груп автоморфiзмiв. У роботi дослiджено будову варiантiв матричних напiвгруп Рiса над групою з нулем. Розглянуто регулярнi варiанти таких напiвгруп та дослiджено їх попарну iзоморфнiстью. Окрему увагу придiлено матричним напiвгрупам Рiса над тривiальною групою з нулем. Також розглянуто напiвгрупу Брандта, яка iзоморфна матричнiй напiвгрупi Рiса з одиничною сендвiч матрицею. Дослiдженi випадки, коли напiвгрупа Брандта не є варiантом жодної iншої напiвгрупи. Розглянуто варiанти прямокутних в’язок та прямокутних в’язок з приєднаною одиницею (нулем). Значна увага придiлена дослiдженню варiантiв решiток та напiврешiток: розглянуто варiанти скiнченних нижнiх напiврешiток та нескiнченних комутитивних в’язок з нулем. Отримано критерiї попарної iзоморфностi варiантiв для скiнченних нижнiх напiврешiток та нескiнченних комутитивних в’язок з нулем. Цi критерiї застосовано до деяких конкретних напiвгруп. Зокрема описанi попарно iзоморфнi варiанти скiнченного ланцюга, булеана множини, решiтки пiдпросторiв векторного простору, решiтки розбиттiв не бiльш нiж злiченної множини. Також критерiй застосовано до вiльної дистрибутивної решiтки рангу 3. Оскiльки одним зi шляхiв опису властивостей напiвгрупи є характеризацiя її групи автоморфiзмiв у роботi дослiджено групи автоморфiзмiв деяких варiантiв. Отримана характеризацiя груп автоморфiзмiв варiантiв булеану скiнченної множини, решiтки пiдпросторiв скiнченно вимiрного векторного простору 122 та решiтки розбиттiв скiнченної множини. У дисертацiйнiй роботi вперше одержанi новi теоретичнi результати з теорiї напiвгруп. Основними науковими результатами дисертацiї є наступнi: − встановлено критерiй iзоморфностi варiантiв комутативних в’язок з нулем; − встановлено критерiй iзоморфностi варiантiв решiтки розбиттiв злiченної множини; − доведено попарну iзоморфнiсть всiх регулярних варiантiв матричної напiвгрупи Рiса M0 (G; n, m; P), отримано критерiй регулярностi варiанта напiвгрупи Рiса та критерiй iзоморфностi варiантiв матричної напiвгрупи Рiса над тривiальною групою з нулем; − доведено, що скiнченна напiвгрупа Брандта не є варiантом жодної напiвгрупи; − дослiджено групи автоморфiзмiв варiанту булеану скiнченної множини, доведено, що дана група автоморфiзмiв iзоморфна вiнцевому добутку двох симетричних груп пiдстановок, перша з яких дiє на пiдмножинах; також дослiджено групи автоморфiзмiв варiантiв решiтки пiдпросторiв n-вимiрного векторного простору над полем Fq, доведено їх iзоморфнiсть узагальненому вiнцевому добутку, першим множником якого є вiнцевий добуток груп автоморфiзмiв решiток пiдпросторiв, а другий визначається деякою множиною симетричних груп; − дослiджено групи автоморфiзмiв варiанту решiтки розбиттiв скiнченної множини. Для дослiдження використовувалися сучаснi методи абстрактної теорiї напiвгруп та комбiнаторного аналiзу. Отриманi у дисертацiйнiй роботi результати мають теоретичний характер та можуть бути застосованi в теорiї напiвгруп. 123 Оскiльки отримано критерiї iзоморфностi варiантiв для деяких класiв напiвгруп, то вони можуть далi застосовуватися для дослiдження iзоморфностi варiантiв представникiв цих класiв. Деякi приклади такого застосування наводяться у дисертацiйнiй робртi. Очевидно, що таке застосування в багатьох випадках не є очевидним, якщо на метi ставиться отримання необхiдних i достатнiх умов iзоморфностi варiантiв, записаних у термiнах саме варiантiв дослiджуваної напiвгрупи, як у випадку дослiдження варiантiв решiтки розбиттiв злiченної множини.