Автоматический поиск натурального вывода в классической логике предикатов : Автоматичний пошук натурального виводу в класичній логіці предикатів

Краткое описание

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение...3

Глава 1. Автоматический поиск натурального вывода: история вопроса...9

§ 1.1. Натуральный вывод как тип логического вывода...9

§ 1,2. История создания систем автоматического поиска вывода...16

§ 1.3. Автоматический поиск вывода в натуральном исчислении...23

Глава 2. Анализ системы натурального вывода BMV...28

§2.1. Формулировка системы BMV...28

§2.2. Семантическая непротиворечивость системы BMV...35

Глава 3. Алгоритм поиска вывода в системе BMV...43

§3.1. Изменение формулировки системы BMV...43

§3 2. Унификация...47

§ 3.3. Правила поиска вывода в системе BMV...53

§ 3.4. Описание алгоритма поиска вывода в системе BMV...60

Глава 4. Анализ алгоритма поиска вывода в системе BMV...81

§ 4.1. Семантическая непротиворечивость алгоритма...81

§4.2. Свойства алгоритма...85

§4.3. Семантическая полнота алгоритма...96

Заключение...102

Литература...106

Введение

Введение

Актуальность темы исследования. Проблема поиска логического вывода традиционно считается одной из центральной тем логики. Бурное развитие данной проблематики в XX веке стимулировали, с одной стороны, фундаментальные работы Г. Генцена и Ж. Эрбрана и, с другой, появление ЭВМ. Возможность использования ЭВМ в процессе поиска логического вывода привела к появлению проблематики автоматического (машинного) поиска логического вывода.

В настоящее время определяющим фактором при предпочтении одной логической системы перед другой становится наличие (автоматической) процедуры поиска вывода. Такие процедуры существенным образом облегчают нахождение логического вывода и активно используются в педагогической работе.

В свою очередь, эти процедуры являются объектом исследования и постоянно сравниваются между собою по степени сложности (вычислительные затраты на поиск вывода), гибкости (возможность адаптации к нескольким логическим системам), удобства (понятный интерфейс, возможность поиска вывода как от посылок к заключению, так и от заключения к посылкам) и т.д.

В диссертационном исследовании тема автоматического поиска логического вывода ограничивается поиском вывода в натуральном исчислении типа Куайна в классической логике предикатов.

Натуральные системы типа Куайна, в отличие от натуральных исчислений типа Генцена, содержат прямое правило удаления квантора существования. Как следствие, в натуральных системах типа Куайна между посылками и заключением не всегда имеет место отношение логического следования.

Основное внимание авторы программ автоматического поиска натурального вывода обычно уделяют исчислениям типа Генцена. Непрямое правило удаления квантора существования в таких исчислениях предполагает построение дополнительного подвывода, гарантирующего наличие отношение логического следования между посылками и заключением. Поскольку построение дополнительного подвывода приводит к усложнению вывода, удобнее, по нашему мнению, пользоваться прямым правилом удаления квантора существования, т.е. искать вывод в исчислениях типа Куайна.

Степень разработанности проблемы. Долгое время исследования в области автоматического поиска логического вывода были сосредоточены на поиске вывода с помощью метода резолюции, секвенциальных и аналитико-табличных типов логического вывода.

Наличие свойства подформулъности (в выводе формулы используются только подформулы или отрицания подформул этой формулы), которое следует из теоремы Генцена об устранении сечения, существенно облегчает поиск вывода в данных исчислениях [Генцен].

С нашей точки зрения, перечисленные логические методы являются не более, чем методами проверки формул на общезначимость и выполнимость. В то же время, традиционно под логическим выводом подразумевается возможность выведения некоторой формулы из некоторого (возможно, пустого) множества посылок, что достигается только лишь в аксиоматических и натуральных исчислениях.

Исчисления последнего вида особенно интенсивно исследуются на предмет автоматического поиска в них вывода в конце 80-х - начале 90-х гг. XX века.

Так, Дж. Поллок [Pollock] предложил программу поиска натурального вывода OSCAR в классической логике предикатов (а также в некоторых неклассических логиках) с использованием сколемовских термов. Он показал, что OSCAR работает в 40 раз эффективнее программы OTTER [Pollock], основанной на методе резолюций. С другой стороны, круг логических проблем, которые решает OSCAR, шире, чем аналогичный круг для OTTER. Дж. Поллоком была выдвинута также гипотеза, что OSCAR обладает свойством семантической полноты, т.е. что OSCAR может найти вывод любой общезначимой формулы классической логики предикатов.

Д. Пеллетье [Pelletier] предложил программу поиска натурального вывода Thinker в классической логике предикатов (а также в некоторых неклассических логиках) с предикатом равенства. Показывается, что Thinker решает 75 тестовых проблем для произвольного алгоритма поиска вывода в классической логике предикатов с предикатом равенства. Thinker не обладает свойством семантической полноты, поскольку количество переменных, которые используются в выводе, заранее ограничено.

У. Сиг вместе с Дж. Бернсом [Sieg], [Sieg & Byrnes] предложили программу автоматического поиска натурального вывода CMU PT в классической логике (авторы

также рассматривают возможность обобщения программы на неклассические логики). Специфика данного алгоритма состоит в том, что натуральный вывод строится не прямым, а косвенным образом. Сначала строится вывод в т.н. промежуточном исчислении, а затем показывается, каким образом можно преобразовать вывод в промежуточном исчислении в натуральный вывод. Авторы показывают, что CMU РТ обладает свойством семантической полноты.

Д. Ли [Li] предложил программу поиска натурального вывода ANDP в классической логике. Особенно подчеркивая прикладное значение ANDP, Д. Ли дает машинные доказательства некоторых известных проблем математической логики: проблемы остановки машины Тьюринга, проблемы зависимости некоторых аксиом в формализации проективной геометрии и др. Вопрос, обладает ли ANDP свойством семантической полноты, остается открытым.

В.А. Бочаров, А.Е. Болотов и А.Е. Горчаков [Болотов и др.] предложили алгоритм поиска натурального вывода Prover для классической логики предикатов. Спецификой Prover является поиск вывода в натуральных исчислениях типа Куайна с использованием абсолютно и относительно ограниченных переменных. В процессе поиска вывода Prover использует также сколемовские термы. Касаясь вопроса о семантической полноте для Prover, авторы предлагают пути решения данной проблемы. Однако доказательства данного факта для Prover предложено не было.

Группа исследователей под руководством Н.А. Шанина [Шанин и др.] предложила процедуру поиска натурального вывода типа Генцена в классической логике высказываний. Отличительной особенностью данной процедуры является поиск вывода в секвенциальном исчислении. Затем полученный вывод в секвенциальном исчислении перестраивается в натуральный вывод типа Генцена. Отмечая пионерский характер данной работы (она вышла в 1964 году), подчеркнем, что вопрос о семантической полноте процедуры авторами не ставился, поскольку в формулах, для которых требуется найти натуральный вывод, разрешается использовать не более трех пропозициональных переменных. В значительной степени на работы группы под руководством Н.А. Шанина опирается У. Сиг.

Цель и задачи исследования.

Целью диссертационного исследования является пересмотр алгоритма поиска натурального вывода типа Куайна в классической логике предикатов первого порядка,

предложенного В.А. Бочаровым, А.Е. Болотовым и А.Е. Горчаковым, и доказательство для этого алгоритма теорем о семантической непротиворечивости и семантической полноте.

Для достижения данной цели ставятся и решаются следующие задачи:

- Предложить доказательство теоремы о семантической непротиворечивости для натурального исчисления типа Куайна с механизмом использования в выводе абсолютно и относительно ограниченных переменных.

- Представить содержательное описание алгоритма поиска вывода в виде формальных правил поиска вывода.

- Опираясь на вышеупомянутый результат, доказать теорему о семантической непротиворечивости алгоритма поиска вывода в данном исчислении.

- Разработать представление линейного алгоритмического вывода в натуральных исчислениях типа Куайна в виде древовидной структуры, узлами которой являются не формулы вывода, а особенные конечные последовательности формул вывода (блоки), переход между которыми осуществляется с помощью формальных правил поиска вывода алгоритма.

- Показать с помощью представления алгоритмического вывода в виде древовидной структуры конечность ветвления в произвольном блоке.

- Обосновать возможность прямого (т.е. не с помощью промежуточных исчислений) доказательства теоремы о семантической полноте алгоритма поиска натурального вывода.

Методологические основы и источники исследования.

При решении поставленных задач автор опирался на современный аппарат символической логики. В диссертационной работе использовались формулировки систем натурального вывода, предложенные В.А.Бочаровым, Е.К. Войшвилло, Г. Генценом, Ф. Пеллетье, Дж. Поллоком, В.А. Смирновым и др.

В основе описанного в диссертационном исследовании алгоритма поиска вывода лежит алгоритм поиска вывода в классической логике предикатов, предложенный А.Е. Болотовым, В.А. Бочаровым и А.Е. Горчаковым. В процессе использования написанной этими авторами программы возникла необходимость модифицировать данный алгоритм, определенным образом упростить процедуру поиска натурального вывода и четко сформулировать процедуру унификации.

Научная новизна исследования.

В диссертационном исследовании предложен метод доказательства теоремы о семантической непротиворечивости для натурального исчисления типа Куайна. Показана гибкость данного метода, позволяющая применять его и к другим натуральным исчислениям этого типа, отличительными свойствами которых являются наличие прямого правила удаления квантора существования и использование в выводе абсолютно и относительно ограниченных переменных.

В процессе исследования получены следующие новые результаты, выносимые на защиту:

¦ Предложено оригинальное доказательство теоремы о семантической непротиворечивости для натурального исчисления типа Куайна с абсолютно и относительно ограниченными переменными.

¦ Модифицирован стандартный алгоритм унификации для временных переменных и сколемовских функций с целью работы с абсолютно и относительно ограниченными переменными.

¦ Предложено оригинальное представление алгоритмического вывода в виде древовидной структуры (поисковое дерево), узлами которого являются непустые, конечные последовательности формул (блоки).

¦ Обоснован прямой метод доказательства теоремы о семантической полноте алгоритма поиска натурального вывода. С помощью данного метода предлагается оригинальное доказательство теоремы о семантической полноте для алгоритма поиска натурального вывода в исчислениях типа Куайна.

¦ Предложено оригинальное доказательство теоремы о семантической полноте для системы натурального вывода типа Куайна, следующее из теоремы о семантической полноте для алгоритма поиска вывода в данной системе.

Практическая значимость. Разработанный алгоритм поиска натурального вывода в исчислениях типа Куайна может служить основой для создания компьютерных реализаций, которые, в свою очередь, могут использоваться в педагогической практике, облегчая усвоение основ дедукции.

Содержание диссертационного исследования может быть использован для разработки специального курса по автоматическому поиску логического вывода.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались на VI и VII Международных научных конференциях «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке» (Санкт-Петербург, 2000 и 2002), IV Международной конференции «Смирновские чтения» (Москва, 2003) и XII Международном конгрессе по логике, философии и методологии науки (Овьедо, 2003).

Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, 4-х глав: «Автоматический поиск натурального вывода: история вопроса», «Анализ системы натурального вывода BMV», «Алгоритм поиска вывода в системе BMV» и «Анализ алгоритма поиска вывода в системе BMV», Заключения и Литературы.

Глава 1. Автоматический поиск натурального вывода: история вопроса

§ 1.1. Натуральный вывод как тип логического вывода

Моментом появления натурального вывода (НВ) как одного из типов

логического вывода традиционно считается выход в 1934 году статьи Г. Генцена «Исследования логических выводов» [Генцен] и статьи С. Яськовского «Правила введения посылок в формальной логике» [Jaskowski].

В англоязычной литературе системы НВ называются «natural deduction». В отечественной литературе системы НВ иногда называются «естественным выводом».

Название таких систем указывает на ту черту, которая отличает НВ от других типов логического вывода: исчислений гильбертовского типа (аксиоматик) и исчислений секвенций. Системы НВ создавались с целью (насколько это возможно) имитировать рассуждения, которые характерны для человеческого мышления, решающего (прежде всего) математическую задачу.

Г. Генцен писал: «Я хотел прежде всего построить такой формализм, который был бы как можно ближе к применяющимся в действительности рассуждениям» [Генцен, с. 10]. Далее он определяет свою задачу более точно: «Мы хотим построить формализм, по возможности точно передающий логические заключения, которые в действительности встречаются в математических доказательствах» [Генцен, с. 17].

Созданию С. Яськовским систем НВ способствовало замечание Я. Лукасевича, что «математики строят свои доказательства, используя не аксиоматический метод, а иные способы рассуждения; главным образом, математики берут «произвольные посылки» и смотрят, что из этих посылок можно вывести» [Pelletier, с. 4].

Данная черта отличает НВ как от аксиоматического метода (вывод в гильбертовских исчислениях страдает громоздкостью и определенной искусственностью, не характерной для естественных рассуждений), так и от исчисления секвенций и непосредственно идущих от метода секвенций методов семантических и аналитических таблиц (для последних двух методов характерен поиск опровержения, а не доказательства).

Приведем цитаты, показывающие достоинства НВ перед другими типами логического вывода. «Естественный вывод гораздо более тонкий инструмент, чем семантические таблицы, обладающий большой аналитической силой и легко

модифицируемый» [Непейвода, с. 297]. «Наиболее удобным способом ее (логики предикатов - В.Ш.) задания является система натурального вывода» [Ивлев, с. 95]. «Для применения в качестве логического аппарата наиболее удобными (системами исчисления предикатов - В.Ш.) являются натуральные системы (системы натурального вывода)» [Войшвилло, с. 85].

Размышляя о преимуществах натурального вывода перед методом резолюции, Д. Пеллетье пишет: «Я предположил, что представление вывода в виде натурального на самом деле обладает значительными преимуществами с познавательной точкой зрения: такое максимально обобщенное представление позволяет студентам глубже проникнуть в структуру логических проблем» [Pelletier, с. 6].

Характеризуя гильбертовские исчисления, авторы [Смирнов и др., с. 21] пишут: «Сами способы построения и выводов в этих системах в значительной степени не соответствуют естественным способам рассуждений». Характеризуя секвенциальные и аналитико-табличные исчисления, эти же авторы пишут: «Сам стиль осуществления этих процедур во многом перестает носить «естественный» характер, т.е. перестает соответствовать обычным способам рассуждений» [Смирнов и др., с. 21].

«Логическая система может быть задана различными способами: аксиоматически, в виде табличного исчисления и т.д. Не все из них одинаково удобны для анализа выводов. Самые широкие возможности в этом плане открывают секвенциальные исчисления и системы натурального вывода» [Быстрое, с. 139].

«Во всех этих приемах (секвенциальные исчисления и метод резолюции — В.Ш.) процедура выведения одних положений из других или вообще не представлена, или осуществляется в таком виде, который весьма далек от того, что понималось под выводом в истории логики. И секвенции, и метод резолюции — это скорее алгоритмы проверки общезначимости утверждений, чем вывод. Все они строятся на основе чисто аналитических процедур, в то время как традиционное понятие вывода представляет собой метод синтеза доказуемого утверждения из имеющихся посылок» [Болотов и др., с. 172].

Из перечисленного можно сделать вывод, что НВ обладает определенными преимуществами перед другими типами логического вывода: удобство и простота, конгениальность естественным рассуждениям и др.

10

Что касается дедуктивной силы НВ, то, представляя НВ, Г. Генцен конструктивно показал, что в классической логике предикатов НВ дедуктивно эквивалентен исчислению секвенций и гильбертовскому исчислению, т.е. вывод некоторой формулы в одном исчислении можно перестроить в вывод этой же формулы в другом исчислении [Генцен].

Также отметим, что в нашем исследовании используются только системы НВ для классической логики. Поэтому рассмотрение НВ для неклассических логик выходит за рамки нашего исследования. Подробнее о системах НВ для неклассических логик см. [Basin et al].

Возможны различные классификации систем НВ [Pelletier], [Смирнов].

Например, Д. Пеллетье выделяет девять основных пунктов («nine choice points»), по которым можно классифицировать системы НВ. В то же время он признает, что «многообразие систем НВ делает весьма затруднительным выделение необходимых и достаточных признаков, которые позволили бы однозначно назвать некоторую логическую систему натуральным выводом» [Pelletier, с. 11].

Поскольку Д. Пеллетье не упоминает системы НВ, предложенные отечественными учеными, мы будем добавлять их в качестве примеров в соответствующие разделы классификации.

Первым основным пунктом является тип представления натурального вывода:

1) в виде дерева (Г. Генцен, Н.А. Шанин, Н.Н. Непейвода);

2) в виде линейного вывода (С. Яськовский, Ф. Фитч, В.А. Бочаров и В.И.Маркин), где подвыводы обозначаются некоторыми графическими объектами (скобками, квадратными скобками, линиями и др.);

3) в виде линейного вывода (С. Яськовский, У. Куайн), где подвыводы обозначаются различными (числовыми) префиксами;

4) в виде линейного вывода с множеством зависимостей (П. Суппес, Е.К. Войшвилло).

Вторым основным пунктом является присутствие (Г. Генцен, У. Куайн, Е.К. Войшвилло) или отсутствие (С. Яськовский) в системе НВ некоторых аксиом наряду с правилами вывода.

Назовем систему НВ симметричной, если в ней для любого логического символа (связки или квантора) содержатся хотя бы одно правило введения и хотя бы

И

одно правило удаления (исключения). Тогда наличие (Г. Генцен, Н.Н. Непейвода, В.А. Бочаров и В.И. Маркин) или отсутствие (Д. Пеллетье, Е.К. Войшвилло, Дж. Поллок, A.M. Анисов) симметричности в системе НВ — это третий основной пункт.

Четвертый основной пункт (для пропозиционального исчисления) - количество непрямых правил вывода в системе НВ, где непрямое правило - это правило, требующее построения подвывода.

Обычным непрямым правилом является зв: если из посылки С выводима формула В, значит, можно построить вывод формулы С = В.

Например, Г. Генцен предложил следующее непрямое правило vH: из формулы A v В, подвывода С из посылки А и подвывода С из посылки В выводима формула С. Однако можно предложить прямое правило vH: из A v В, А э С, В э С выводима формула С, или из A v В, -iA выводима формула В.

Д. Пеллетье также отмечает, что прямые и непрямые правила можно вводить для других пропозициональных связок (например, -i, =).

Следующие основные пункты 5-9 касаются работы с переменными в системах НВ. Д. Пеллетье отмечает нетривиальность проблемы работы с переменными в системах НВ в сравнении с другими типами логического вывода.

Количество кванторов, которые используются в системах НВ, - это пятый основной пункт. Подавляющее большинство авторов используют и квантор общности, и квантор существования при формулировке своих систем НВ. Исключение составляет, например, С. Яськовский.

Шестой основной пункт - наличие прямого (У. Куайн, В.А. Бочаров и В.И. Маркин) или непрямого (Г. Генцен, Н.Н. Непейвода) правила удаления квантора существования.

Важнейшей характеристикой систем НВ с прямым правилом удаления 3 является тот факт, что в общем случае заключение такого натурального вывода логически не следует из посылок этого вывода.

В таких системах НВ появляется наряду с понятием вывода понятие завершенного вывода, т.е. вывода, в котором заключение логически следует из всех неисключенных посылок этого вывода. Далее мы подробнее остановимся именно на данном основном пункте.

12

В системах НВ формулировка правила VB предполагает наличие произвольной или новой, ранее не встречающейся в выводе переменной. Седьмой основной пункт -это различные способы, которые гарантируют, что переменная в формулировке правила VB является произвольной.

Например, в системе НВ, предложенной Н.Н. Непейводой, переменная считается произвольной только в том подвыводе, в котором к ней применено VB, и в этом подвыводе запрещено пользоваться формулами из других подвыводов, в которые данная переменная входит свободно.

В то же время, в системе НВ, предложенной В.А. Бочаровым и В.И. Маркиным, наличие произвольной переменной в формулировке правила VB задается неявным образом.

С одной стороны, данная переменная не обязательно новая, ранее не встречающаяся в выводе, с другой стороны, согласно понятию вывода в этой системе НВ, ни к одной переменной правило VB не может быть применено более одного раза, а значит, формулировка VB предполагает новую переменную.

Восьмым основным пунктом является разделение всех систем НВ на те, которые допускают вхождение свободных переменных в посылки и заключение выводов (У. Куайн, В.А. Бочаров и В.И. Маркин), и на те, которые не допускают посылок и заключений такого вида, т.е. посылки и заключения в таких системах могут быть только предложениями (В.А. Смирнов).

Дополнительно отметим, что возможна условная (В.А. Бочаров и В.И. Маркин) и универсальная (Д. Пеллетье) интерпретация свободных переменных.

Наконец, девятым основным пунктом является наличие (Дж. Поллок, В.А. Смирнов) или отсутствие (У. Куайн, В.А. Бочаров, В.И. Маркин) особых термов в формулировках кванторных правил.

Например, В.А. Смирнов формулирует кванторные правила VB, Зи с помощью е-термов, содержательно трактующихся как неопределенные дескрипции.

Особое внимание мы обратим на деление всех систем НВ в зависимости от того, принимается ли в них прямое или непрямое правило удаления (исключения) квантора существования, и отметим классификацию систем НВ, предложенную В.А. Смирновым.

13

В данной классификации система НВ, названная NC, с непрямым правилом удаления 3 называется системой НВ первого типа. Второй тип систем НВ (в качестве примера предлагается система NeC) содержит в множестве своих правил прямое правило удаления 3. Ниже мы подробно проанализируем систему NeC.

В оригинальной системе, предложенной Г. Генценом, имеется непрямое правило удаления 3: из формулы ЗхА(х) выводима формула С, если формула С выводима из А(а), где а - новая, ранее не встречавшаяся в выводе константа. Таким образом, чтобы получить по такому правилу формулу С из формулы ЗхА(х), необходимо построить вспомогательный вывод (он называется подвыводом) формулы С из формулы А(а). Только после построения такого подвывода можно утверждать, что из формулы ЭхА(х) выводима формула С.

По-видимому, первым, кто обратил внимание на неудобство применения этого правила и кто предложил альтернативный вариант удаления 3, был У. Куайн [Quine]. В статье «On natural deduction» он сформулировал прямое правило удаления 3: из формулы ЗхА(х) выводима формула А(у), где у - переменная, которая в алфавитном порядке не предшествует ни одной переменной, свободно входящей в ЭхА(х).

Формулировка данного правила предполагает наличие некоторого упорядочения всех переменных из алфавита языка классической логики предикатов. Фактически речь идет о линейном порядке, заданном на множестве переменных языка. У. Куайн показывает, что именно такой порядок гарантирует непротиворечивость и полноту предложенной им системы НВ.

Однако подход У. Куайна не является единственным. Например, В.А. Смирнов в системе NeC предлагает следующую формулировку прямого правила удаления 3: из формулы ЭхА(х) следует формула А(ехА(х)), где бхА(х) — это е-терм, содержательно трактующийся как неопределенная дескрипция вида «некоторые х, обладающие свойством А» [Смирнов].

Поскольку е-термы не являются термами классической логики предикатов, то система NeC не эквивалентна системе NC (системе НВ с непрямым правилом удаления 3, предложенной В.А. Смирновым там же): все, что доказуемо в NC, доказуемо в NeC, но обратное неверно.

14

Однако для NeC можно доказать теорему Гильберта об устранении е-термов: если в NeC можно из (возможно, пустого) множества посылок Г вывести А и Г, А не содержат s-термы, то А следует из Г в NC [Смирнов, с. 228], [Мендельсон, с. 111-112].

В.А. Бочаров и В.И. Маркин предлагают вводить абсолютно ограниченные и относительно ограниченные переменных в выводе. Тогда правило удаления 3 запишется следующим образом: из формулы ЗхА(х, zi,..., zn) выводима формула А(у, zi,..., zn), при этом переменная у становится абсолютно ограниченной в выводе переменной, а все переменные zi,..., zn — относительно ограниченными в выводе переменными (zi,..., zn суть все свободные переменные из ЭхА(х)).

При этом требуется, чтобы ни одна переменная не была абсолютно ограничена в выводе более одного раза и чтобы ни одна переменная не ограничивала сама себя (непосредственно, т.е. у не входит в zi,..., zn, или по транзитивности, т.е. если х ограничивает у и у ограничивает х, то х ограничивает х). Во второй главе нашей работы показывается, что такой подход гарантирует непротиворечивость этой системы НВ.

Мы подробно останавливаемся на системах НВ с прямым правилом удаления 3, поскольку система BMV (Bocharov, Markin, Voishvillo), алгоритм поиска вывода в которой является предметом нашей работы, - система НВ именно такого типа.

С другой стороны, мы останавливаемся подробно на работе с переменными в системах НВ с непрямым правилом удаления 3, т.к. существуют примеры систем НВ, не корректно работающие с переменными.

В англоязычной литературе известна серия публикаций 60-70-х гг. XX века в «The Journal of Symbolic Logic» по поводу системы НВ, предложенной И. Копи (I. Copi). И. Копи публиковал не являющиеся семантически непротиворечивыми системы НВ с прямым правилом удаления 3 [Copi]. Семантическая противоречивость предлагаемых И. Копи систем НВ была установлена Д. Калишем (D. Kalish) [Kalish].

Не является семантически непротиворечивой система НВ, предложенная Е.К. Войшвилло [Войшвилло]. В этой системе доказывается, например, формула 3y(VxA(x, x) гз VzA(y, z)). Данная формула ложна, если в качестве А взять отношение равенства на множестве натуральных чисел.

15

§ 1.2. История создания систем автоматического поиска вывода

В данном параграфе мы даем краткий обзор истории создания систем

автоматического поиска вывода. Поскольку неотъемлемой частью создания таких систем является наличие программируемых электронно-вычислительных устройств, в начале данного параграфа приводятся некоторые факты из истории создания ЭВМ.

Отметим, что системы автоматического поиска натурального вывода в данном параграфе не рассматриваются. Такие системы будут подробно рассмотрены в следующем параграфе данной главы.

Пионером создания вычислительных логических машин (именно логических, т.е. работающих с текстами, а не с цифрами) считается средневековый мыслитель Р. Луллий.

Создавая такую машину, Р. Луллий опирался на средневековое представление о науке. Считалось, что во всякой области знания имеется небольшое число исходных понятий, с помощью которых выражаются бесспорные, самоочевидные положения, не нуждающиеся в обосновании. Из комбинаций исходных понятий и представлений возникает знание. В обладании этими комбинациями и тем, что из них вытекает, заключается подлинная мудрость. Таким образом, логическая машина должна была служить инструментом для порождения таких комбинаций.

Построенные Р. Луллием многочисленные модели такой машины не заменяли деятельность человека. Человек был необходим для интерпретации понятийных комбинаций и получения, таким образом, окончательного знания. Отметим, что в своих машинах Р. Луллию удалось реализовать одну из важнейших функций вычислительных машин - перебор вариантов.

В 1834 году Ч. Бэббидж сконструировал цифровое счетное устройство. Особенностью этой машины была способность выполнять инструкции, считываемые с перфокарт. В 1842 году А. Лавлейс сделала описание работы аналитической машины Бэббиджа и составила первую программу для нее.

В дальнейшем стали создаваться машины, совершенствующие модель Бэббиджа. В 1855 году Дж. и Э. Шутц, базируясь на работах Ч. Бэббиджа, построили свою механическую вычислительную машину. В 1869 году У.С. Джевонс, используя результаты Дж. Буля, построил усовершенствованную модель этой машины. В 1896

16

году Г. Холлерит создал первую электромеханическую вычислительную машину и основал фирму, которая впоследствии превратилась в корпорацию IBM.

Промежуток времени между двумя мировыми войнами считается сегодня периодом рождения первого компьютера. В 1927 году в Массачусетском технологическом институте был изобретен аналоговый компьютер. В 1937 году Дж. Стибитц построил первую вычислительную машину на основе двоичной системы счисления.

В 1938-41 гг. К, Цузе предложил несколько моделей (Zl, Z2 и Z3) своей механической программируемой цифровой машины. Модель Z1 иногда называют первым в мире компьютером. В 1942 году в Университете штата Айова Дж. Атанасов и К. Берри создают первый в США электронный цифровой компьютер.

В России созданием «умных» машин занимались П.Д. Хрущов и А.Н. Щукарев. Создание вычислительных машин активно велось в советское время.

Появление первого компьютера открыло путь для развития хмеханизируемых исчислений. В 50-е годы XX века были созданы две компьютерные программы, которые заложили два основных направления в области автоматического поиска доказательства.

Первая программа была создана М. Дэвисом на ламповом компьютере "Johniac". Эта программа могла доказать, что сумма двух четных чисел является четным числом — первое в истории доказательство математического утверждения, генерированное компьютером.

Вторая программа, которая могла доказывать ряд предложений из "Principia Mathematica" Б. Рассела и А.Н. Уайтхеда, была создана А. Невелом, Дж. К. Шоу и Г. Саймоном. Эта программа ориентировалась на человеческий способ рассуждений, пытаясь симулировать общие эвристические подходы и психологические моменты мышления.

В 1956 году результаты этой работы были доложены на конференции в Дартмаунте, которую считают местом рождения нового раздела компьютеристики — исследований по искусственному интеллекту. На этой конференции разгорелась дискуссия: необходимо ли пытаться реализовывать на вычислительных машинах процедуры вывода, формулируемые математической логикой, или, следуя А. Невелу, Дж. К. Шоу и Г. Саймону, симулировать человеческие эвристики.

17

Список литературы