Паранепротиборечибость и релевантность : Паранепротіборечібость і релевантність

Краткое описание

Введение

Глава 1. Паранепротиворечивые логики 0. Предисловие: закон непротиворечия

1.1 Предыстория

1.2 Классическая логика и основные паранепротиворечивые системы

1.2.1. Н.А. Колмогоров и И. Йохансон 1.2.1.1. Семантика

1.2.2. Логика Яськовского D2

1.2.3. Не истинностно-функциональные логики Н. да Косты С„

1.2.4. Паранепротиворечивая экстенсиональная логика Д.Батенса PI

1.2.5. Бивалентная (bivalence) семантика

1.3. Трехзначные паранепротиворечивые системы

1.3.1. Система Асеньо и Тамбурино

1.3.2. Система Розоноэра PCont

1.3.3. Максимальная логика Сетте Р1

1.3.4. Логика Арруды VI

1.3.4.1. Интерпретация VI в духе В.А. Смирнова

1.3.5. Логика Приста LP без modus ponens

1.3.6. Логика Д'Оттавиано J3

1.4. Соотношения паранепротиворечивых систем

1.4.1. J3, L3 и классическая логика С2

1.4.2. Р1 и VI

1.4.3. PCont, Сш и PI

1.4.4. PIL, инверсная логика Попова и VI

1.5. Некоторые выводы и проблемы

Глава 2. Паранепротиворечивость и релевантность. Проблема дуальности.

2.1. Современные определения паранепротиворечивых систем

2.2.1. Отрицание в паранепротиворечивых логиках

2.2.2. Свойства отрицания

2.3. Семантические истоки паранепротиворечивости

2.4. Релевантные логики как паранепротиворечивые

2.4.1. Сильные релевантные системы

2.4.2. Слабые релевантные системы

2.4.3. О соотношении терминов «релевантность» и «паранепротиворечивость»

2.5. Проблема дуальности Заключение Приложение Литература
Введение

Введение

Актуальность темы. На современном этапе развития научного знания логика оказалась востребованной в новой сфере научного знания — исследований в области компьютерных наук. Основанием актуальности работы в неклассических логиках является факт достаточно успешного практического применения неклассических логик в рамках различных проектов ведущих компьютерных компаний мира. Неклассические логики, а, в частности паранепротиворечивые и релевантные системы, представляют в этой связи особый интерес, поскольку применение их в компьютерных техноло- гиях открывает новые возможности в создании искусственного интеллекта.. Связано это, прежде всего с тем, что, в отличие от классической логики, которая взята за основу при создании современных языков программирования, исследуемые неклассические системы дают возможность работать с противоречивыми данными, что позволит в дальнейшем использовать программы, действующие по тому же принципу, что и человеческий мозг. Первым шагом к этому является всестороннее изучение существующих па-ранепротиворечивых систем и, по возможности, их оптимизация.

Помимо столь далеко идущих перспектив стоит отметить и популярную в мире тенденцию систематизации логик, попытки создания иерархии логических систем; и установления отношений между различными классами логик. Существует несколько различных методов систематизации логических систем, однако ни«один из них не является универсальным. Мы, пользуемся самым простым способом, не претендуя на всеохватность, — исходим из аксиом классической логики и путем некоторых модификаций получаем различные системы. Это дает большую наглядность и возможность установить взаимоотношения между системами. Такая парадигма до сих пор полностью не реализована и, таким образом, имеет научную ценность.

Паранепротиворечивые логики и их подкласс, релевантные системы, как формальные исчисления тщательно изучены на Западе. Но в русле традиций отечественной логической, науки, предполагающей не просто формальный результат, но ш философский анализ данного результата, представляется интересным дать содержательную характеристику понятий, па-ранепротиворечивости и релевантности.

Такой комплексный подход является, во-первых, достаточно обоснованным и, во-вторых, многообещающим, учитывая и теоретические моменты, и практические возможности применения паранепротиворечивых логик. В этой связи предпринятое в данной* диссертационной работе направление исследований приобретает дополнительную значимость.

Степень разработанности проблемы. И о релевантных, и о паранепротиворечивых логиках в мире существует огромное количество литературы. Классическими трудами по релевантным логикам являются монографии А. Андерсона и Н. Белнапа1, их же совместный труд с М. Данном , а на русском языке книги Е.К. Войшвилло* и Е.А. Сидоренко4. По паране-противоречивым логикам существует множество статей, в основном принадлежащих создателям и разработчикам той или иной системы. В обзорном виде паранепротиворечивые логики довольно полно представлены в англоязычном сборнике под редакцией Г. Приста, Р. Раутли и Дж. Нормана5. На русском языке имеется несколько статей6, частично это переводы зарубежных авторов, но нет ни одной работы, где бы систематически описывались паранепротиворечивые системы.

По ключевой для нас теме соотношения, релевантных и паранепротиворечивых систем имеются работы А. Аврона, где разработан семантиче-

1 A.R. Anderson, N. D. Belnap. Entailment: The logic of relevance and necessity. Vol. 1. Princeton, 1975.

2 A.R. Anderson, N. D. Belnap and J.M. Dunn. Entailment: The logic of relevance and necessity. Vol. 2. Princeton, 1992.

3 E. К. Войшвилло. Философские и методологические аспекты релевантной логики. М., 1988.

4 Е.А. Сидоренко. Релевантная логика. М., 2000.

5 G. Priest, R. Routley and J. Norman (eds.). Paraconsistent logic. Essays on the inconsistent. Munchen, 1989.

ский критерий для сравнения паранепротиворечивых и релевантных систем и где основной акцент сделан на дизъюнктивный силлогизм. Также попытки сравнить различные системы предпринимались Ж.-И. Безъю, Р. Бреди, F. Ресталом, но все они носили частный характер.

Научная новизна исследования. Как было отмечено, компаративистика неклассических логических систем является мало разработанной областью. Недостаток внимания, уделяемого паранепротиворечивым логикам, обусловлен некоторым скептицизмом, порожденным несовершенством большинства паранепротиворечивых систем, проявляющимся, прежде всего, в отсутствии необходимого свойства отрицания — контрапозиции. В связи с этим представляется заманчивая возможность реабилитировать па-ранепротиворечивые логики либо найдя» среди них системы, отвечающие требованиям, предъявляемым к логическим системам, либо построить новую паранепротиворечивую логику. Не желая: упускать из виду ни одну возможность, мы сначала рассматриваем те системы, которые изначально строились как паранепротиворечивые, затем подкласс паранепротиворечивых систем - релевантные логики, и, наконец, используем метод конструирования систем, который пока мало применяется — построение дуала некоторой системе. В нашем случае паранепротиворечивая логика получается как дуал суперинтуиционистской. И, как оказалось, такая система обладает некоторыми весьма интересными свойствами.

Цель и; задачи исследования. Основной целью диссертационного исследования является выявление критерия паранепротиворечивости, выработка принципов построения паранепротиворечивых систем, наиболее оптимальных для дальнейшего использования в логике и смежных областях.

6 Л. Т. Ишмуратов, Л. С. Карпенко и В. М. Попов. О паранепротиворечивой логике, Синтаксические и семантические исследования неэкстенсионапьных логик. М., 1989. С. 261-284.

Исходя из сказанного выше, одна из задач состоит в выявлении связей между релевантными и паранепротиворечивыми логиками. Кроме того, мы ставим перед собой задачу дать характеристику самим понятиям «пара-непротиворечивость» и «релевантность», а также установить отношения между ними.

Для реализации этого нам потребовалось решить следующие задачи:

провести систематический анализ паранепротиворечивых логик;

выявить наиболее общий критерий паранепротиворечивости;

продемонстрировать паранепротиворечивость релевантных логик;

дать философскую интерпретацию паранепротиворечивости и релевантности.

Методологической основой исследования является аппарат современной формальной логики и логической семантики, а также подходы, разрабатываемые в современной философии логики применительно к трактовке логического знания. Автор опирается на современные данные, относящиеся к паранепротиворечивым и релевантным логикам.

Основные положения, выносимые на защиту:

Дан структурно-аналитический обзор основных систем паранепро-тиворечивой логики.

В рамках этого подхода удалось выявить некоторые особенности соотношения паранепротиворечивых систем:.

показано, что логика Сетте является подсистемой логики VI А. Арруды;

логика Д'Оттавиано, на самом деле, есть не что иное, как расширение классической логики, содержащее достаточно унарных операторов, чтобы в ней можно было выразить все паранепротиворечивые системы;

и, наконец, было выяснено, что логика Д. Батенса PI является подсистемой Сга Н. да Косты.

- Был предложен новый вариант интерпретации логики А. Арруды в духе комбинированной логики событий и высказываний В:А. Смирнова.

При сравнении логик выделены некоторые специфические характеристические черты паранепротиворечивых логик, а именно:

выявлены основные свойства отрицания, характеризующие паране-противоречивые логики;

показаны возможности построения: паранепротиворечивых логик с минимальным отрицанием и отрицанием де Моргана (которые оказались не чем иным, как релевантными логиками);

проанализировано соотношение понятий «релевантность» и «пара-непротиворечивость»

Сформулирована: паранепротиворечивая^ система, являющаяся дуалом трехзначной логики Рейтинга. Последний результат представляет особый интерес в силу необычности свойств полученной системы.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по паранепротиворечивым логикам, они могут быть использованы также в научно-исследовательской' работе при построении классификации логик. Большое значение имеют полученные результаты и в педагогической практике при чтении курсов по неклассической, и; в частности, паранепротиво-речивой логике.

Апробация работы;

Основные положения, результаты и выводы диссертационного исследования были опубликованы автором в 3 научных работах (список всех работ прилагается), в том числе в журнале «Философские исследования», а также были представлены диссертантом в виде выступлений и докладов на следующих Всероссийских и Международных научных конференциях и научно-исследовательских семинарах: на II и IV Международных конференциях

«Смирновские чтения» (Москва, 1999 и 2003); на VI и VII Международных конференциях «Современная логика» (Санкт-Петербург, 2000 и 2002); на научной конференции «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ, 2000). Тезисы докладов и сообщений опубликованы. Текст диссертации обсуждался на заседании кафедры логики философского факультета МГУ им. М.В. Ломоносова 24 июня 2003 года и по результатам обсуждения был рекомендован к защите.

Глава 1. Паранепротиворечивые логики.

0. Предисловие: закон непротиворечия

И даже на данном этапе я предвижу время,

когда появятся математические исследования

исчислений, содержащие противоречия,

и люди будут вправе гордиться своим

освобождением от оков непротиворечивости.

Л. Витгенштейн7

На вопрос, что такое противоречие, нет единого ответа. Возможные мнения колеблются в диапазоне от утверждения, что противоречие есть единственный способ существования реальности, до убеждения, что противоречие как таковое не существует, есть только наше недостаточная осведомленность в каком-либо вопросе, либо же несовершенство языка. Но большинство исследователей интересует то, что они подразумевают под противоречием, а не само противоречие.

В науке в целом ив логике в частности основным обоснованием правомерности существования противоречивых, но нетривиальных теорий является тот факт, что помимо мира событий и явлений существует еще мир наших знаний и восприятий, наконец, мир искусственного интеллекта, где противоречия далеко не всегда оказываются тотальными разрушителями. Р. Белнап в статье «Как нужно рассуждать компьютеру» писал:

«Именно в тех случаях, когда имеется возможность противоречия, мы хотим, чтобы компьютер был способен продолжать вести рассуждения разумным способом, даже если имеется скрытое или обнаруженное противоречие». [Белнап, 1981, с. 210]

Это же можно сказать и о паранепротиворечивых системах вообще. Если бы каждый раз, натыкаясь на противоречие, человеческий мозг переставал бы функционировать, мы были бы лишены большей части научных

7 [Wittgenstein, 1964]

10

открытий, сделанных на основании противоречивости предыдущих научных теорий (об этом говорил еще А. Энштейн).

Г. фон Вригт [1986] предполагал, что проблема противоречия тесно связана с проблемой времени: «...мир иногда должен описываться как существующий в определенном состоянии и вместе с тем существующий- в противоречащем состоянии» (с. 536). Он обратился к модальной? логике как исчислению, которое «должно непосредственно признать противоречия на уровне пропозициональной логики» (с. 537).

Методологическим обоснованием появления идеи паранепротиворе-чивости в начале XX в. явилось осознание того, что принцип непротиворечия не является универсальным.

Вопрос том, противоречив наш мир или нет, является весьма непростым (на это обращается внимание в статье [da Costa, Beziau and: Bueno, 1995, p.612]), тем не менее, на протяжении всей истории западной философии находились мыслители, которые настаивали на положительном ответе, начиная уже с досократиков, включая Гераклита. Конечно, наиболее яркой фигурой в этом отношении является Г. Гегель. В последнее время всё большее внимание привлекает онтология А. Мейнонга (1908), где утверждается существование противоречивых объектов, и всё чаще приводится высказывание Л. Витгенштейна (см. эпиграф). Признание того, что существуют истинные противоречия, т.е. имеются утверждения А такие, что вместе А и не-Л истинны, получило название концепции "диалетизма" (dialetheism). Термин введен в 1981 г. Г. Пристом- и Р. Раутли и сама концепция в последнее время усиленно развивается Пристом, одним из наиболее крупных специалистов в области паранепротиворечивых логик.

Наличие противоречивых, но* нетривиальных теорий и концепция диалетизма являются философской основой для изучения паранепротиво-речивости. Примерами таких теорий является наивная теория множеств с парадоксом Рассела, классическая теория истинности, порождающая семантические парадоксы типа "Лжец". Примеры противоречивых, но не-

п

тривиальных теорий можно найти в истории науки: аристотелевская теория движения, первоначальное исчисление бесконечно малых, теория атома Бора и т.д. Интересные примеры имеются в юриспруденции, в частности, различные билли о правах и тексты конституций. Противоречивой является теология (парадокс всемогущества). Также неоспоримым фактом является то, что большинство людей, не осознавая этого, имеют противоречивые убеждения (верования). Вообще, по-видимому, имеет веские основания тезис, что любая достаточно сложная и интересная философия будет противоречивой. Концепция диалетизма требует применения паране-противоречивых логик для рассуждения о противоречивой, но нетривиальной теории.

Итак, формула (А & —А) может быть истинной и, следовательно, закон непротиворечия —{А & —А) ложен. Но как это возможно в формальнологических теориях?

1.1. Предыстория

Мы укажем лишь узловые пункты возникновения идей паранепроти-воречивости. Отказ от закона неггротиворечия не является достижением XX века. Еще в древности некоторые мыслители, например Гераклит, не принимали существования этого закона. Сформулировал закон непротиворечия в наиболее известной его форме Аристотель: «Невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и.тому же в одном и том же отношении». [Аристотель. 1976. Т.1, 1005-в]

В логике закон непротиворечия выразим в двух формах:

1) неверно, что х есть Р и не есть Р,

2) неверно, что А и не-Л, т.е. -i(A& -i Л).

При этом, как мы увидим, закон непротиворечия может не действовать в каком-либо частном случае.

12

В 1906 г. Дж. Гусик предположил, что силлогистика может существовать и без закона непротиворечия, тем более что в силлогистике Аристотеля нет такого закона в явном виде.

В 1910 г. выходит прекрасная работа Я. Лукасевича о принципе непротиворечия у Аристотеля (см. [Lukasiewicz, 1971]). Согласно Лукасеви-чу, у Аристотеля не было твердой уверенности в абсолютной значимости принципа непротиворечия. Более того, Лукасевич детально анализирует аргументы,. сформулированные Аристотелем в поддержку принципа непротиворечия, и показывает, что они неудовлетворительны.

В это же время идейное обоснование паранепротиворечивым системам дал русский ученый Н.А.Васильев (см. [Васильев, 1989]). Н.А. Васильев, приват-доцент Казанского университета, в 1910 г. публикует в трудах Казанского университета статью, посвященную возможности построения неаристотелевской силлогистики. В статье «Воображаемая (неаристотелева) логика» Васильев обосновывает возможность существования такой логики. Законы силлогистики не всегда тождественны законам мышления, примером тому служит закон непротиворечия. Этот закон имеет две различных интерпретации:

1) «Невозможно утверждать, что одно и то же суждение является одновременно истинным и ложным».

Закон непротиворечия в такой формулировке нельзя отбросить, так как «исчезает всякая логика, поскольку тогда нет различия между истиной и ложью».

2) «Невозможно одновременно утверждать и отрицать что-либо» (с. 124).

Н.А. Васильев строит воображаемую логику, отбрасывая¦¦ закон непротиворечия в его втором значении. Как он сам пишет в тезисах, «в явном виде высказываются: одновременно утверждения и отрицания, т.е. устраняются именно эмпирические законы нашего мира; но никогда не исчезнет первое значение этого закона, ..., т.е. никогда не устраняются законы на-

13

шего мышления» (с. 125). Таким образом, Васильев принимает закон исключенного четвертого [S либо есть Р, либо не есть Р, либо то и другое вместе]. Однако остается требование двузначности суждений. По аналогии-с геометрией Лобачевского, который допускает существование третьего вида линий, Васильев вводит в силлогистику третий вид суждений, а именно противоречивые: (S есть Р и не-Р).

Подчеркнем, что огромную роль в пропаганде идей Н.А. Васильева сыграла статья В.А. Смирнова [1962], а затем изданный им сборник трудов Н.А. Васильева [1989] с обстоятельным предисловием и реконструкцией; логических идей Н.А. Васильева. На Западе исследованием и реконструкцией идей Н.А. Васильева много занималась бразильская школа логиков (см. [Арруда 19778, 1984] и [Puga and da Costa, 1988]).

1.2. Классическая логика и основные паранепротиворечивые системы

Само понятие «паранепротиворечивый» тесно связано с законом непротиворечия, с понятием противоречия и, главное, с понятием отрицания. В классической логике мы принимаем стандартную формулировку противоречия: А & —А. Говорят, что теория (множество формул, замкнутых относительно правил вывода) непротиворечива (относительно.классической логики), если ни для какого Л она не содержит А и —А. Это отражает классическое семантическое допущение, что ни для какого Л не может быть, чтобы вместе А и —А были истинны. Однако в паранепротиворечивых логиках А & -лА не обязательно является противоречием. Все дело в том, как мы определим отрицание. Более подробно мы к этому вопросу вернемся во второй главе, а здесь мы рассмотрим различные подходы к построению наиболее интересных паранепротиворечивых систем (мы будем обозначать их далее PL). Несмотря на кажущееся разнообразие системРЬ, во-первых,

14

далеко не все системы удовлетворяют критериям паранепротиворечивости. А из тех логик, паранепротиворечивость которых не вызывает сомнения, многие являются не чем иным, как независимо построенными формализа-циями одной и той же системы.

Язык. Мы не выйдем за пределы языка пропозициональной логики. Расширение на предикатный случай затруднений не вызывает, тем более, что главная проблематика возникает именно на пропозициональном уровне.

Если отдельно не оговорено, буквы

р, q, r,pu ... - символы пропозициональных переменных;

А, В, С, А/,...- знаки формул.

Логические связки - конъюнкция &, дизъюнкция v, отрицание -i (~~) и импликация z (-)9. Для отрицания разница в обозначениях бывает принципиальна. Нижний индекс для логической связки обозначает специфичность связки именно для данной системы.

Определение формулы стандартное.

Приведем вначале аксиомы С. Клини [1957, с.77] для классической логики, поскольку большинство систем в дальнейшем мы сможем получить, лишь варьируя эти аксиомы. Ala. Az Alb. (Л

А2.

В

A3. Az(Bz(A&B)) А4а. (А&В)=А

8 Имеется перевод на русский язык в [Смирнов (ред), 1989а].

9 Так как различие в употреблении логических символов и знаков метаязыка в дальнейшем будет видно из контекста, мы не будем вводить специальные знаки для последних.

15

A4b. (A&B)idB A5a. Azd(AvB)

A6. (A z Q z ((5d Q id (AvBz Q)

A7. (Azd B)zd ((Az -ii?) z —iA) - приведение к абсурду

А8. -.-.Л = А А8а. A v -Л*

Если схему аксиом /45 заменить аксиомой -u4 id (Л з ?), то получим интуиционистскую логику Н.

Обратим внимание, что аксиомы AlanAJb с правилом modus ponens составляют импликативный фрагмент Н, а прибавление к ним А 1с дает импликативный фрагмент классической логики.

1.2.1. Н.А. Колмогоров и И. Йохансон

Исторически первую формальную систему паранепротиворечивой логики (и этот факт совершенно неизвестен на Западе) построил Н.А. Колмогоров в своей знаменитой статье «О принципе tertium non datur» [Колмогоров, 1925]. В этой статье Колмогоров принимает предпринятую Э. Брауэром критику традиционной логики, при этом обнаруживая в последней еще один уязвимый, но обойденный критикой Брауэра логический принцип, а именно, закон Дунса Скота

-лА гэ (A z В).

Как указывает Колмогоров, эта аксиома «не имеет и не может иметь интуитивных оснований как утверждающая нечто о последствиях невоз-

* Таких аксиом у Клини нет, поскольку они не являются независимыми, но мы их используем для боль-

16

можного». Таким образом, рождение первой паранепротиворечивой системы логики (импликативно-негативной) следует датировать 1925 г.

В 1936 г. И. Йохансон [Johansson, 1936] независимо от А.Н. Колмогорова строит минимальную интуиционистскую логику J за счет отбрасывания из интуиционистской логики Гейтинга Н аксиомы -л А z (Л = В), что позволяет ее рассматривать как паранепротиворечивую.

Для этой системы существуют две аксиоматизации. Первая, как уже было сказано, является модификацией системы Гейтинга. К. Сегерберг [Segerberg, 1968] показал, что логика Н аксиоматизируется посредством расширения позитивного фрагмента Н добавлением аксиомы

где -L есть константа, интерпретируемая как «ложь», и отрицание вводится по определению

-,A = Azd1.

Тогда J можно аксиоматизировать, отбрасывая аксиому с константой из аксиоматизации Сегерберга.

При таком определении остаются общезначимыми аксиома приведения к абсурду

(А =В)z((A z-Л)z-А)-

и аксиома введения двойного отрицания A z —i—A. В этой логике выводима слабая контрапозиция {A id —В) zd(B~z —А), но не (—& zdA)zd (—Aid В).

1.2.1.1. Семантика

Для логики Йохансон построена семантика Крипке [Segerberg, 1968]. Модель , где R - транзитивное и рефлексивное отношение на множестве W,

шей наглядности при построении паранепротиворечивых систем.

17

Список литературы