НЕКОРЕКТНІ ЗАДАЧІ ВІДНОВЛЕННЯ ЕКОНОМІЧНОЇ ІНФОРМАЦІЇ ЗА УМОВ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ

Краткое описание

ЗМІСТ
ВСТУП 4
РОЗДІЛ 1. СТІЙКІСТЬ У СОЦІАЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИХ МОДЕЛЯХ 10
1.1. ІНФОРМАЦІЙНА КОНЦЕПЦІЯ РОЗВИТКУ ЕКОНОМІЧНОЇ СИСТЕМИ 12
1.2. ПРОБЛЕМА НЕВИЗНАЧЕНОСТІ В ЕКОНОМІЦІ 20
1.2.1. "Об’єктивна" та "суб’єктивна" невизначеність 21
1.2.2. Загальні принципи неточного виведення 29
1.2.3. Точкові та інтервальні міри неточності 31
1.3. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ НЕЧІТКИХ МНОЖИН ТА ЛІНГВІСТИЧНОГО ТЕРМУВАННЯ 32
1.3.1. Поняття нечіткої множини 34
1.3.2. Нечіткі числа та інтервали 35
1.3.3. Загальні принципи нечіткого моделювання 38
1.4. ПОНЯТТЯ КОРЕКТНОСТІ ТА НЕКОРЕКТНОСТІ В ЕКОНОМІЦІ ТА УПРАВЛІННІ 44
1.4.1. Регуляризація розв'язку некоректної задачі 47
1.4.1.1. Дробово-раціональний метод регуляризації 49
1.5. СТІЙКІСТЬ ЕКОНОМЕТРИЧНИХ ТА ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ 51
1.5.1. Дробово-раціональний метод стійкості 52
1.5.1.1. Приклад стійкої макроекономічної моделі 53
1.6. СТІЙКІСТЬ ТА ОБЕРНЕНИЙ ЗВ’ЯЗОК 55
1.7. ВТРАТА СТІЙКОСТІ РІВНОВАГИ (ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ БІФУРКАЦІЇ) 60
ВИСНОВКИ ДО РОЗДІЛУ 1 70
РОЗДІЛ 2. ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ КОЛЕКТИВНИХ
РІШЕНЬ ЗА УМОВ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ 74
2.1. ТЕОРІЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ ОСОБАМИ 78
2.2. НЕКООПЕРАТИВНА ПОВЕДІНКА ІЗОЛЬОВАНИХ ГРАВЦІВ 82
2.2.1. Домінуючі та недомінуючі стратегії 82
2.2.2. Осторожні та оптимальні стратегії 84
2.2.3. Гра двох осіб з нульовою сумою 86
2.3. ЗМІШАНІ СТРАТЕГІЇ 87
2.4. СТАТИСТИЧНІ ІГРИ 89
2.4.1. Моделювання ефективності витрат отримання інформації
за умов невизначеності 94

2.5. ІГРИ НА НЕЧІТКІЙ ВХІДНІЙ ІНФОРМАЦІЇ 96
2.5.1. Опис нечіткої гри 97
2.5.2. Максимальні гарантовані виграші 99
2.5.3. Антагоністичні ігри 101
2.6. МІРА НЕЧІТКОСТІ ПОВЕДІНКИ СИСТЕМИ ЯК МІРА КІЛЬКОСТІ ЕНТРОПІЇ 107
2.6.1. Ентропія поведінки системи та її кількісний вираз 107
2.6.1.1. Кількість ентропії за Шенноном 109
2.6.2. Міра нечіткості за Ягером (нечітка ентропія) 111
2.6.3. Моделювання економічного ризику та концепція гри і статистичних рішень за умов нечіткої вхідної інформації 115
2.6.3.1. Ентропія неперервних нечітких інтервалів 120
ВИСНОВКИ ДО РОЗДІЛУ 2 123
РОЗДІЛ 3. НЕЧІТКИЙ ПІДХІД ДО ПОТРЕБ ІНВЕСТУВАННЯ
НАЦІОНАЛЬНОЇ ЕКОНОМІКИ 127
3.1. ЕТАПИ РОЗВИТКУ ІНВЕСТИЦІЙНОЇ ТЕОРІЇ 127
3.2. МОДЕЛЬ ВИБОРУ ІНВЕСТИЦІЙНОГО ПРОЕКТУ З МНОЖИНИ
АЛЬТЕРНАТИВНИХ ВАРІАНТІВ 129
3.3. ТЕОРЕТИКО-ІГРОВА МОДЕЛЬ ВИБОРУ СТРУКТУРИ ПОРТФЕЛЯ ПРИ
ЗАДАНОМУ РОЗПОДІЛІ ЙМОВІРНОСТІ 132
3.4. АНАЛОГ МАТРИЧНОЇ ГРИ У НЕЧІТКОМУ ВАРІАНТІ 135
3.4.1 Нечітка матрична гра та її застосування до потреб інвестування
національної економіки 136
3.4.2 Гра із трапецієподібними функціями належності 137
3.4.3 Знаходження альтернатив матричної гри за ступенем
недомінованості 150
ВИСНОВКИ ДО РОЗДІЛУ 3 156
ВИСНОВКИ 160
ДОДАТКИ 165
ДОДАТОК А 165
ДОДАТОК Б 174
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 182

ВСТУП
Актуальність теми. Під час дослідження поведінки складних об’єктів або процесів в економіці потрібно застосовувати системний підхід, який характеризується розглядом можливих властивостей та взаємозв’язків, врахуванням якісних параметрів, притаманних об’єкту чи процесу. За такого підходу досліджувані властивості доволі часто суперечать одна одній, проте жодною з них не можна знехтувати, оскільки лише у своїй сукупності вони дають повне уявлення про об’єкт.
Дуже часто економічна інформація, якою володіє дослідник, дозволяє записати лише таку формальну модель, для якої за традиційних підходів немає і не може бути обґрунтованих обчислювальних алгоритмів.
Справа в тому, що найчастіше подібні моделі приводять до некоректної задачі, для якої відсутні теореми про існування розв’язку в будь-якому природному функціональному просторі і, що найважливіше, немає стійкості розв’язку залежно від вхідних параметрів задачі. Остання задача, зазвичай, дуже суттєва, оскільки, практично ідеально точних параметрів моделі ми ніколи не знаємо. Наприклад, в економіці виграш неминуче повинен бути нечітким, тобто неточним, не тільки тому, що залежить, по суті, від нечіткого результату, але також і тому, що його значення одержане через неоднозначну операцію, тобто внаслідок процедури оцінювання. Окрім цього, актуального значення набуває процес побудови науково обґрунтованих методів розв’язання некоректно поставлених задач для підвищення достовірності та якості інформації. Дуже важливими є некоректні задачі відновлення економічної інформації та оптимізації параметрів об’єктів і процесів за умов невизначеності.
Задачу вважають коректно поставленою, якщо вона розв’язальна і стійка одночасно. Задачі, для яких не виконується одна з цих вимог, є некоректними.
Вперше поняття некоректності увів французький математик Ж. Адамар. Він висловив думку, що будь-яка математична задача, яка відповідає довільній фізичній чи технічній проблемі, повинна бути коректною. Але, очевидно, така точка зору не може бути перенесена на всі актуальні задачі. Це особливо стосується задач економіки, соціальної медицини, психології, задач розпізнавання образів, відновлення інформації тощо. До того ж, в практичних економічних задачах, часто-густо потрібно знайти розв’язок, який задовольняzє великій кількості суперечливих вимог. У такому випадку задачу можна розв’язати тільки шляхом вибору деякого компромісу – всі вимоги можуть бути задоволені не повністю, а лише до певної міри.
Прагнення розв’язувати аналітичні задачі економіки за умов невизначеності на засадах традиційних підходів змушує розглядати дві альтернативи. Перша – необхідність врахувати всі можливі чинники, що впливають на поведінку досліджуваного об’єкта. На жаль, через специфіку складних об’єктів, це є спроба “осягнути неосяжне”. Друга альтернатива – спрощення моделі в рамках традиційних методів, що неминуче призведе до неадекватності одержаних рішень внаслідок недостатньо повного врахування чинників невизначеності
Альтернативним способом моделювання і дослідження достатньо складних економічних систем є допущення нечіткості опису даних. Це твердження ґрунтується на принципі несумісності. Суть якого полягає в тому, що зі зростанням складності систем наша здатність робити точні та змістові твердження про їх поведінку падає до певної межі, за якою такі характеристики як точність і змістовність стають взаємовиключними. Тому абсолютно точний, кількісний аналіз реальних складних об’єктів економіки не дуже придатний при прийнятті рішень.
Збурення коефіцієнтів моделюючої системи може не просто трохи викривити реальний розв’язок, а мати більш серйозні наслідки. У цьому і полягає сутність некоректно поставленої задачі. Для її розв’язання необхідно застосовувати регуляризуючі алгоритми. Результати порівняння матема¬тичних теорій, з огляду можливості їх застосування, показали, що однією з найбільш ефективних, спрямованою на формалізацію та обробку невизна¬ченої інформації і багато в чому такої, що інтегрує вдалі підходи та методи, є теорія нечітких мір, зокрема, теорія нечітких множин. Вона дозволяє з єдиних позицій розглянути різні види невизначеності, надає можливість обліку семантичної модальності інформації та виявити протиріччя між точністю та невизначеністю. Ця математична теорія має високий рівень регуляризуючих властивостей, дозволяє врахувати найкращі досягнення та позитивні властивості інших теорій, а також одержати новий, якісно більш достовірний результат.
Вагомий внесок у висвітлення зазначених проблем зробили такі вчені: Бочарніков В.П., Вінер Н., Вітлінський В.В., Іванов В.К., Заде Л., Калман Р., Колмогоров А.Н., Лавретєв М.М., Ротштейн А.Т., Сугено М., Сявавко М.С., Тихонов А.Н., Філліпс Д., Фрідман В.М., Ягера Р.Р., та інші.
Сьогодні Fuzzy-технології, як технології обробки даних і розв’язання аналітичних задач за умов невизначеності, широко використовують у багатьох розвинутих країнах. В Україні намагання практичного впровадження Fuzzy-технологій часто наштовхуються на “стіну нерозуміння”. Спеціалісти-аналітики недооцінюють переваг застосування таких технологій для оброблення нечітких даних, якими багате реальне життя. У зв’язку з цим, важливим аспектом розвитку економічної науки в Україні, є розповсюдження знань у галузі Fuzzy-технологій.
Актуальність і практичне значених цих питань, потреба їх системного дослідження на сучасному етапі розвитку ринкової економіки в Україні, обумовили вибір теми дисертаційної роботи, її мету, завдання та структуру.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано відповідно до плану наукових досліджень кафедри інформаційних систем у менеджменті Львівського національного університету імені Івана Франка, зокрема в межах наукової теми: “Організація систем управління економіко-виробничими процесами засобами математичного моделювання” (державний реєстраційний номер 0102U006103).
Мета і завдання дослідження. Метою проведення дисертаційного дослідження є розвиток теоретико-методологічних підходів щодо впровадження в економіку нечіткого моделювання, розроблення методів розв’язання некоректних задач відновлення економічної інформації на основі багатокритеріальної оптимізації та теорії нечітких множин та мір, обґрунтування тактичних і стратегічних рішень в інвестиційній діяльності за умов мінливого ринкового середовища.
Для досягнення мети дослідження були поставлені такі завдання:
- дослідити наявні математичні моделі відновлення економічної інформації за умов невизначеності;
- провести аналіз наукових підходів у теорії нечітких множин стосовно регуляризації розв’язків некоректно поставлених задач економіки;
- розвинути та застосувати до задач економіко-математичного моделювання мероморфний метод регуляризації;
- розробити та застосувати дробово-раціональний метод дослідження стійкості задач економіки;
- дослідити способи нечіткого подання невизначених параметрів в інвестиційній діяльності підприємств;
- описати нові методи оцінювання невизначеності поведінки економічної системи через міру кількості ентропії;
- на засадах теорії нечітких множин розробити нову модель ігрових процесів;
- розробити метод відновлення інформації на засадах дефаззифікації нечіткої матричної гри у класичну задачу лінійного програмування.
Об’єктом дослідження є математичне забезпечення для розв’язування задач відновлення економічної інформації за умов невизначеності.
Предмет дослідження – методи розв’язання некоректно поставлених задач економіки за умов нечіткої вхідної інформації.
Методи дослідження. Для розв’язання поставлених задач використовуються методи економіко-математичного моделювання за умов нечіткої вхідної інформації, теорія нечітких множин, мір та множин лінгвістичних змінних, експертні методи, нечітке математичне програму¬вання, методи та моделі теорії ігор тощо.
Інформаційну базу дослідження становлять офіційні статистичні матеріали, аналітичні огляди, науково-аналітичні публікації вітчизняних і зарубіжних авторів, наукова монографічна література, публікації зарубіжних і вітчизняних учених у періодичних виданнях, матеріали міжнародних і всеукраїнських науково-практичних конференцій, веб-сайти, що містять статистичні матеріали за проблематикою дисертації.
Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному:
вперше:
- застосовано метод мероморфної регуляризації, який надає регуляризуючі властивості алгоритмам розв’язання задач математичного програмування;
- розроблено і впроваджено у практику економіко-математичного моделювання дробово-раціональний метод стійкості, ефективніший за метод стійкості Рауса-Гурвіца;
- створена модель нечіткої матричної гри та запропонований метод її розв’язання, який дозволяє одержати оптимальний, з певним суб’єктивним ризиком невиконання, розв’язок задач інвестування національної економіки України;
удосконалено:
- теоретико-методологічні основи нечіткого подання невизначених параметрів в інвестиційній діяльності підприємств;
- методи оцінювання невизначеної поведінки економічної системи через міру кількості ентропії;
отримали подальший розвиток:
- поняття стійкості та оберненого зв’язку через елементи теорії біфуркації;
- поняття міри впорядкованості економічної системи як міри кількості ентропії;
- принципи моделювання за умов нечіткої вхідної інформації.
Практичне значення одержаних результатів. Розроблений комплекс економіко-математичних моделей, а також запропоновані методики оцінювання невизначеності поведінки економічної системи, встановлення її стійкості із алгоритмами регуляризації некоректних задач і запропонований метод розв’язання нечіткої матричної гри, науково обґрунтовують та дають змогу якісно покращувати математичний інструментарій моделювання в економіці, зокрема, з’явилась можливість одержувати більш реальні для практики управлінські рішення інвестиційного проектування.
Основні теоретичні та аналітичні результати дисертаційної роботи були апробовані під час формування Стратегії економічного та соціального розвитку Волинської області до 2015р., а також щорічної Програми економічного і соціального розвитку Волинської області (довідка № 02-2/457 від 24.03.2008р.).
Основні висновки та практичні рекомендації роботи використовуються у навчальному процесі викладання нормативних курсів на факультеті комп’ютерних наук та інформаційних технологій і факультеті обліку та фінансів Луцького національного технічного університету, а саме: ”Дискретна математика”, ”Дослідження операцій”, ”Економічна інформатика”, ”Математичне програмування” (довідка № 678-15-25 від 31.03.2008р.).
Особистий внесок здобувача. Наукові результати, викладені в дисертації, отримані автором самостійно. З наукових праць, опублікованих у співавторстві, у дисертації використані лише ті ідеї та положення, які є результатом особистої роботи здобувача.
Апробація результатів. Результати наукового дослідження доповідались та обговорювались на всеукраїнських та міжнародних науково-практичних конференціях: 10-ій Міжнародній конференції по автоматичному управлінню “Автоматика – 2003” (м. Севастополь, 15-19 вересня 2003р.); 10-ій Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 13-15 травня 2004р.); ІІІ-ій Міжнародній науково-практичній конференції ”Динаміка наукових досліджень” (м. Дніпропетровськ, 21-30 червня 2004р.); Всеукраїнській науковій конференції ”Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (м. Львів, 21-23 вересня 2004р.); ХІІ-ій Всеукраїнській науковій конференції ”Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (м. Львів, 4-6 жовтня 2005р.); 11-ій Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 18-20 травня 2006р.); ХІІІ-ій Всеукраїнській науковій конференції "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики" (м. Львів, 3-5 жовтня 2006р.); Міжнародній науковій студентсько-аспірантській конференції “Нові обрії економічної науки” (м. Львів, 11-12 травня 2007р.); Міжнародній науковій конференції “Українська економічна наука: досягнення, проблеми, перспективи”. (м. Львів, 11-12 травня 2007р.).
Публікації. За результатами досліджень опубліковано 18 наукових праць, з них 5 – у наукових фахових виданнях з економіки, 4 – у наукових фахових виданнях з математики та 9 тез доповідей у матеріалах науково-практичних конференцій. Загальний обсяг публікацій 6,15 д.а., з них автору належить 5,03 д.а.
Структура й обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел (175) і двох додатків (17 с.). Основний зміст роботи викладено на 164 машинописних сторінках. Робота містить 8 таблиць і 14 рисунків.

Список литературы

ВИСНОВКИ
В економіці існують три класи моделей прийняття рішень: за умов визначеності, ризику та невизначеності. У дисертаційній роботі основна увага зосереджена на побудові математичних моделей за умов невизначеності, дослідження їх стійкості та регуляризації розв’язків некоректно поставлених економічних задач. Показано, що основним регуляризуючим методом дослідження задач економічної інформатики є теорія нечітких множин та мір.
Проведене дисертаційне дослідження дало підстави сформулювати такі висновки та пропозиції.
1. Аналіз методів вирішення економічних завдань показав, що стандартні підходи до моделювання діяльності його окремих підходів, та процесу взагалі, є неефективним за умов ринкової трансформації. За ринкових умов, у процесі реального використання моделей і методів класичної нормативної теорії прийняття рішень, проявилась їх низька адекватність реальним процесам, а відповідно і віддаленість від реальних потреб вироблених рішень. Це спричинило посилення уваги до підвищення рівня системності математичних моделей. Досягти цього, що підтверджене дисертаційним дослідженням, вдається завдяки уведенню в модель слабкоформалізованих і неформалізованих аспектів проблемних ситуацій, до яких належать:
- побудова і використання багатокритеріальних моделей вибору;
- введення нечітких описів на основі нечітких множин (розмивання процесу);
- введення лінгвістичних змінних для критеріїв та відношень;
- використання нечітких мір для “зняття” обтяжливого обмеження адитивності ймовірнісної міри і тим самим розширити їх можливості для моделювання реальних економічних процесів;
- використання певних операторів регуляризації некоректно поставлених економічних задач і таким чином стабілізувати розвиток економічних систем;
- одержання рішень на моделях із залученням експертних методів, які враховують досвід фахівців та менеджерів економічної системи (інтелектуалізація систем підтримки прийняття рішень).
2. При створені складних систем управління необхідним етапом є процес збору первинної інформації про стан економічного об’єкту чи процесу керування. Оскільки економіці притаманна невизначеність, вплив достовірності первинної інформації про стан економічного об’єкта, істотно зростає. Це вимагає мати в наявності потужні регуляризуючі алгоритми некоректно поставлених задач. У дисертаційній роботі показано, що для економічних досліджень найбільш вигідно використовувати дробово-раціональний метод регуляризації, стійкі методи теорії нечітких множин, мір та інтегралів так як детерміністичні закони економіки справедливі тільки для стійких систем, тобто для дуже обмеженого їх класу.
3. Крайній випадок нестійких систем – хаотичні системи, для яких опис у термінах траєкторій стає недостатнім, оскільки на початку, як завгодно близькі траєкторії згодом експоненціально розходяться.
У дисертації показано, що в цьому випадку слід звернутися або до ймовірнісного опису в термінах ансамблю можливих траєкторій, або нечіткого моделювання (розмивання оцінок). В останньому підході від ОПР не вимагається формувати миттєві ймовірнісні оцінки, а задавати розрахунковій коридор значень прогнозованих параметрів. Сфера проявів хаосу надзвичайно розширилась і включає в собе природні та штучні системи, зокрема соціально-економічні.
4. Засвідчено, що в економіці перехід на новий рівень розвитку (атрактор) здійснюється від безладдя (хаос) через нестійкість (точку біфуркації) до порядку. Таким чином, поблизу точки біфуркації випадкові флуктуації в змозі змінити траєкторію руху економічної системи. Стійка рівновага за неперервної зміни параметрів може стати нестійкою, а неперервний в часі процес – розривним. Ті значення, в яких положення рівноваги стає критичним, належать до числа біфуркаційних: в їх околі структура розв’язків змінюється. Отже зміна стійкості може відбуватися лише в точках біфуркації.
У роботі показано, як за допомогою керованості економічною системою, у певних випадках можна забезпечити бажану траєкторію розвитку. Такий підхід реалізовано через демпфірування довільного збурення початкового стану згідно вибору потрібного закону оберненого зв’язку вектора стану.
5. Вказано на принципову різницю математичних методів теорії нечітких множин, стосовно методів теорії ймовірностей оцінювання ризику. Найголовніше з них – це те, що відбувається заміна об’єктивного поняття – закону розподілу ймовірностей, на суб’єктивне поняття – функції належності. Звідси і слід очікувати наближення методів нечіткого моделювання до такого математичного апарату, який здатний моделювати інтелектуальну діяльність, тобто використовувати наступні дві унікальні властивості людського розуму, як здатність самонавчання та лінгвістичність.
Кінець минулого тисячоліття став знаменним, появою нового математичного поняття – нечіткої міри. Нечіткі міри забезпечують більш повне подання вхідних даних для моделювання реальних процесів із врахуванням модальності інформаційних одиниць. Застосування до розподілів нечітких мір операцій, властивих при обробці нечітких даних, зображених нечіткими множинами, не завжди призводить до адекватних результатів, оскільки не враховуються зміни модальності інформаційних одиниць, яких обробляють.
Отже, теорія нечітких мір надає більші можливості для моделювання реальних процесів, оскільки теорії ймовірностей та нечітких множин є частковим випадком теорії нечітких мір. Створюється новий математичний метод, який об’єднує процес моделювання статистичної та лінгвістичної невизначеності, переходячи на більш високий рівень використання модальності інформаційних одиниць.
6. Проведене оцінювання невизначеності поведінки економічної системи через міру кількості ентропії. Уведено поняття нечіткої ентропії. Новим є також поняття ентропії нечітких інтервалів. Остання форма є найкращою при використанні даних експертного опитування. Нечіткі параметри економічної моделі дозволяють апроксимувати нестаціонарні системи розмитими. Такий підхід знімає, в деякій мірі, гіпотезу стаціонарності таких характеристик активів, як сподівана норма прибутку, дисперсії тощо.
У роботі така процедура реалізується на засадах використання матричних ігор, в яких елементи виграшу є нечіткими множинами із трапецієподібною функцією належності. Це, крім нормативної методології ефективного вибору, підкреслює першорядне значення навчання, де оптимальність визначається і в термінах поведінки, і як якість, притаманна рішенню.
7. За аналогією із класичним випадком детермінованої матричної гри двох осіб сформульована нечітка матрична гра.
У роботі вперше показано, що розв’язання нечіткої матричної гри зводиться до розв’язання задачі нечіткого лінійного програмування із нечіткою функцією мети та комбінованою системою обмежень, в якій є і нечіткі обмеження і одна чітка рівність. Розглянуто випадки, коли нечітка функція мети має трапецієподібну та дзвоноподібну функцію належності.
Показано, що відшукання оптимального розв’язку нечіткої ігрової моделі із використанням гнучкої моделі нечіткого програмування дозволяє одержати оптимальний, з певним суб’єктивним ризиком невиконання, розв'язок. Він реальніший за стохастичний, більш придатний для людського сприйняття.
Перевага нечіткого моделювання полягає і в тому, що воно дозволяє обчислювати суб’єктивний ризик із урахуванням порушень задачі.
Для підтвердження вищесказаного проведена оцінка експортно-імпортної діяльності в Україні. Для цього використано дані платіжного балансу України за 1 квартал 2003-2006 р.р. Такий підхід дозволяє зреалізувати процес “розмивання” обчислюваного результату.
8. Виграш, в тому числі й матриця виграшу – це виражений кількісно результат, оцінений із врахуванням мети або системи переваг. Тому виграш неминуче повинен бути нечітким не тільки тому, що залежить від нечіткого результату, але також і тому, що його значення одержують через неоднозначну операцію оцінювання. Бажаний рівень вимог можна також трактувати як нечіткий, оскільки він опирається на невловимі прагнення особи, що приймає рішення. Цей рівень “пересіює” альтернативи, порівнюючи їх із результатом. Тому немає необхідності бути абсолютно точними, оскільки розглядувана мета і результат самі по собі є нечіткими.
Таким чином, нечіткість може дати ключ до поглибленого дослідження природи прийняття рішень. До того ж нечітка оцінка можливості зрозуміла, як суб’єктивне відображення внутрішніх обмежень об’єкта. Вона вимагає меншого рівня природної інформованості, аніж розподіл імовірності, і є більш перспективною при аналізі задач з яскраво вираженою невизначеністю ординарного характеру. Якщо додати до цього і те, що міра можливості є тільки частковим випадком нечітких мір, а є ще міри необхідності, довіри, правдоподібності та необізнаності, то слід очікувати у теорії нечіткого вибору великого майбуття, стосовно застосувань до потреб економіки.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Blin J.M. Fuzzy relations in group decision theory // Journal of Cybernetics. – 1977. – Vol. 4. – P. 17-22.
2. Blin J.M. Fuzzy sets and social choice // Blin J.M., Whinston A.B Journal of Cybernetics. –1974. – Vol.3. – P. 28-36.
3. Btzdek J.C. A fuzzy relation space for group decision theory // Btzdek J.C., Spillman R. Fuzzy sets and systems. – 1978. – Vol.1. – P. 255-268, – 1979. – Vol.2. – P. 5-14.
4. Dimitrov V. Social choice and self-organization under fuzzy management // Cybernetic. – 1977. – Vol.6. – P. 365-380.
5. Hatamard J. Sure les problems aux derives partielles et leur signification physique // Bull. Univ. Princeton. – 1902. –Vol.13. – P. 49-52.
6. Markowitz H.M. Portfolio Selection // Journal of Finance. – 1952. – 7(1). – March. – P. 77 – 91.
7. Markowitz H.M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. – N.Y.: John Wiley, 1959. – 129p.
8. Rommelfanger H. Fuzzy Decisions Support–Systems. Entscheiden bei Unscharfe. – Springer – Verlag. –1996.–309p.
9. Saaty T.L. Measuring the fuzziness of sets // Journal of Cybernetics. – 1974. – Vol. 4. – P. 53 – 61.
10. Shafer G.A. Mathematical Theory of Evidence // Princeton: Princeton Unix. Press. –1976. – 297p.
11. Sharpe W.F. A Simplified Model for Portfolio Analysis // Management Science. – 1963. –January. – P. 277-293.
12. Sugeno M. Fuzzy Measure and Fuzzy Integral // Transaction of the Society of Instrument and Control Engineers, Tokyo. – 1972. – Vol.8, №2. – P.218-226.
13. Tobin J. The Theory of Portfolio Selection in F.H. Hahn and F.R.P. Brechling (edc.) // The Theory of Interest Rate. – London: Macmillan, 1965. – P. 3-51.
14. Von Neumann J. A Model of General Equilibrium // Review of Economic Studies.– 1945.– № 13.– P. 1–9.
15. Zadeh L.A. Fuzzy Sets // Inf. Contr. – 1965. – 8. – P.338-353.
16. Zadeh L.A. Decision-making in a fuzzy environment // Zadeh L.A., Bellman R.E. Managem. Sci. – 1970. – 17.– P. 141–164.
17. Аверкин А.Н. Нечёткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Аверкин А.Н., Батыршин А.З., Блишун А.Ф. Под ред. Д. А. Поспелова. – М.: Наука, 1986. – 312с.
18. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах.– М.: Высш. шк., 1986. – 320с.
19. Алиев Р.А. Управление производством при нечёткой исходной информации / Алиев Р.А., Церковный А.Э., Мамедова Г.А.– М.: Энергатомиздат, 1991.– 240с.
20. Альберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание.– М.: Наука, 1977.– 224с.
21. Альгин А.П. Риск и его роль в общественной жизни. – М.: Мысль, 1989. – 187с.
22. Арсенин В.Я. // Успехи математических наук: Конференция по некорректно поставленным задачам Арсенин В.Я., Винокуров В.А., Свешников А.Г. – Фрузе, 1979 г. – 1980, 35, Вып. 6.– С. 184-188.
23. Асаи К. Прикладные нечёткие системы / Пер. с япон. – М.: Мир, 1993.–386с.
24. Базыкан А.Д. и др. Бифуркационные диаграммы динамических систем на плоскости // Информационный материал.– Пущино, 1985.– 56с.
25. Бакушинский А.Б. О построении регуляризирующего алгоритма при случайных помехах // ДАН СССР. – Т.189, №2.
26. Бакушинский А.Б. Итеративные методы решения некорректных задач / Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 128с.
27. Бакушинский А.Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложение / Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. – М.: Изд.-во Моск. ун-та, 1989.– 199с.
28. Бекларян Л.А, Об одной линейной динамической модели производства // Бекларян Л.А, Петров А.А, Тер-Крикоров А.М. Экономика и математические методы, 1978. –Том. XIV, №2.– С. 312-325.
29. Бергстрам А. Построение и применение экономических моделей.– М.: Прогресс, 1970.–176с.
30. Берж К. Общая теория игр нескольких лиц.– М.: Физматгиз, 1961.
31. Бесконечные антагонистические игры // Под ред.. Воробьева Н.Н.– М.: Физматгиз, 1963.
32. Бланк И.А. Инвестиционный менеджмент. – К.: МП ”ИТЕМ лтд”: ”Юнайтед Лондон Трейд Лимитед”, 1995. – 448с.
33. Блекуэлл Д. Теория игр и статистических решений / Блекуэлл Д., Гиршик М.А.. – М.: ИЛ, 1958. – 318с.
34. Борисов А.Н. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной / Борисов А.Н., Алексеев А.В., Крумберг О.А. – Рига: Зинатне, 1982. – 256с.
35. Борисов А.Н. Обработка нечёткой информации в системах принятия решений. – М.: Радио и связь, 1989. – 304с.
36. Бочарников В.П. Fuzzy-технология: Математические основы. Практика моделирования в экономике.– Санкт-Петербург: “Наука” РАН, 2000.–328с.
37. Бочарников В.П. Fuzzy Technology: основы моделирования и решения экспертно-аналитических задач / Бочарников В.П., Свешников С.В. – К.: Эльга, Ника-Центр, 2003.– 296с.
38. Бочарников В.П. Прогнозные расчеты и анализ рисков на Fuzzy for Excel / Бочарников В.П., Свешников С.В., Возняк С.Н. – Санкт-Петербург: ”Наука” РАН, 2000.– 159с.
39. Васин А.А. Модели процессов с несколькими участниками.– М.: Издательство МГУ, 1983.
40. Вентцель Е.С. Исследование операций, задачи, принципы, методология.– М.: Наука, 1980.– 208с.
41. Верлань А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие / Верлань А.Ф., Сизиков В.С. – К.: Наукова думка, 1986.–543с.
42. Верченко П.І. Ієрархічна модель підтримки прийняття рішень в умовах невизначеності // Моделювання та інформаційні системи в економіці. – К.: КНЕУ, 2000. – Вип.64. – С.125 – 134.
43. Вилкас Э. Й. Оптимальность в играх и решениях. – М.: Наука. 1990. – 256с.
44. Вінчерський М.П. Економіко-математичний аналіз міжгалузевого балансу на основі апроксимації Паде // Вінчерський М.П., Сявавко М.С. Регіональна економіка.– Львів, 1997.– № 3.– С. 89-101.
45. Вітлінський В.В. Алгоритм підтримки процесів прийняття рішень на базі нечітких оцінок // Машинна обробка інформації. – К.: КДЕУ, 1995. – Вип.56. – С.99 – 106.
46. Вітлінський В.В. Аналіз та моделювання ризику проектів. – К.: КДЕУ, 1995. – 17с.
47. Вітлінський В.В. Врахування ризику та інфляції в моделюванні інвестиційних проектів. – К.: КДЕУ, 1995. – 11с.
48. Вітлінський В.В. Економічний ризик: ігрові моделі / В.В. Вітлінський, П.І. Верченко, А.В. Сігал, Я.С. Наконечний. Навч. посібник. За ред. д-ра екон. наук, проф. В.В. Вітлінського. – К.: КНЕУ, 2002.–446с.
49. Вітлінський В.В. Оцінка інвестиційних проектів з урахуванням ризику. – К.: КДЕУ, 1995. – 14с.
50. Вовк В.М. Математичні методи дослідження операцій в економіко-виробничих системах: Монографія. – Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2007.–584с.
51. Вовк С. Концепція гри і статистичних рішень в аграрному секторі при нечіткій вхідній інформації // Вовк С., Сявавко М. Міжнародна науково-практична конференція, присвячена пам’яті професора Євгена Храпливого. Теорія і практика розвитку агропромислового комплексу – Львів, Львівський держагроуніверситет, 1999.– С.26-27.
52. Вопросы кибернетики. Проблемы искусственного интеллекта. – Вып.61. – М.: АН СССР, 1980.
53. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков.– М.: Наука, 1985.–213с.
54. Герасимчук О.Б. Дробово-раціональний метод відшукання нормального розв’язку вироджених систем звичайних лінійних диференціальних рівнянь та їхнього континуального аналогу // Вісник Львівського університету. Серія Прикл. математика та інформатика.–Вип. 8.– Львів, 2004.– С. 3-13.
55. Герасимчук О.Б. Класичні та некласичні методи опису динамічних систем в економіці // Науковий вісник: Зб. наук.-техн. праць.– Вип. 17.1.–Львів: НЛТУ України, 2007.– С.186-193.
56. Герасимчук О.Б. Матричні ігри двох осіб з розмитою вхідною інформацією в економіці // Вісник Львівської державної фінансової академії. Економічні науки.– №12.– Львів, 2007.– С.277-284.
57. Герасимчук О.Б. Мероморфно-регуляризуючий алгоритм відновлення зображень за їх проекціями // Волинський математичний вісник. Серія Прикл. математика.– Вип. 10(1).– Рівне, 2003.– С. 46-52.
58. Герасимчук О.Б. Моделі теорії ігор за умов нечіткої вхідної інформації// Сучасні проблеми прикл. математики та інформатики. ХІІІ Всеукраїнська наукова конференція, Львів, 3-5 жовтня 2006р.– С.41.
59. Герасимчук О.Б. Нечітка матрична гра та її застосування до потреб інвестування національної економіки // Матеріали Міжнародної наукової студентсько-аспірантської конференції “Нові обрії економічної науки”. – Львів, 11-12 травня 2007р.– С.40-41.
60. Герасимчук О.Б. Проблеми невизначеності в економіці // Економічні науки: Зб. наук. праць. Серія Економічна теорія та економічна історія.–Вип. 3(11).–Луцьк, 2006.– С.43-50.
61. Герасимчук О.Б. Регуляризація розв’язків безмежних ігрових задач // Проблеми раціонального використання соціально-економічного та природно-ресурсного потенціалу регіону: Зб. наук. праць. Серія: Зайнятість та соціальна інфраструктура.– Вип. ХІІ, №3.– Рівне, 2006.– С. 34-44.
62. Герасимчук О.Б. Нормальний розв’язок інтегрального рівняння першого роду зі слабкою особливістю // Герасимчук О.Б., Рибицька О.М. Математичні методи та фізико-механічні поля.– 2005. – Т. 48, №2. – С.43-52.
63. Герасимчук О.Б. Стійкість та обернений зв’язок у соціально-економічних системах // ХХІІ науково-технічна конференція профе¬сорсько-викладацького складу, Луцьк, жовтень 2007.– С. 72-73.
64. Герасимчук О.Б. Управління інвестиційною діяльністю в Україні на засадах нечіткої вхідної інформації // Вісник Львівського університету. Серія економічна. – Вип. 37(1).– Львів, 2007.– С.277-284.
65. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. – М.: Наука, 1978.– 126с.
66. Глибовець М.М. Штучний інтелект / Глибовець М.М., Отецький О.В. – К.: Вид. дім “МК Академія”, 2002.– 366с.
67. Глівенко С.В. Економічне прогнозування / Глівенко С.В., Соколов М.О., Теліженко О.М. Навчальний посібник – 2-ге вид., перероб. та доп. – Суми: Видавництво ”Університетська книга”, 2001.– 207с.
68. Глушков В.М. Аналитические исследования одного класса динамических систем / Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко Ю.П. Кибернетика, 1980, № 2.– С. 1-12.
69. Глушков В.М. Моделирование оптимизации распределения рабочих мест между отраслями производства групп А и Б. / Глушков В.М., Иванов В.В. – Кибернетика, 1977, № 6.– С. 117-131.
70. Глушков В.М. О средствах моделирования развивающихся систем / Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М..– Киев, 1988.– 58с.– (Препринт / АН УССР, Ин-т кибернетики; № 80-37).
71. Глушков В.М. Об одном классе динамических макроэкономических моделей // Управляющие системы и машины. –1977, №2.– С. 3-6.
72. Гюнгард М.М. Проблемы узнавания.– М.: Наука, 1967.– 320с.
73. Данфорд Н. Линейные операторы (общая теория) / Данфорд Н., Шварц Дж.– М.: ИЛ., 1962.– 896с.
74. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения.– М.: Мир, 1974.–496с.
75. Джоунс У. Непрерывные дроби / Джоунс У., Трон В.– М.: Мир, 1985.– 414с.
76. Дрейпер Н. Прикладной регрессионный анализ. Книга 1, Книга 2 / Дрейпер Н., Смит С.– М.: Финансы и статистика, 1986.
77. Дуб Д. Вероятностные процессы.– М.: ИЛ, 1958.– 605с.
78. Дуда Р. Распознавание образов и анализ сценариев / Дуда Р., Харт П. – М.: Мир, 1976.
79. Дюбин Г.Н. Введение в прикладную теорию игр / Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. – М.: Наука, 1981.–336с.
80. Ермольев Ю.М. Математические методы исследования операций / Киев: Выща школа, 1979.– 312с.
81. Жуковин В.Е. Многокритериальные задачи принятия решений при неопределённости // Методы принятия решений в условиях неопределённости. – Рига: РПИ, 1980. – С.63-68.
82. Забрейко П.П. Интегральные уравнения – М: Наука, 1968.– 448с.
83. Зайченко Ю.П. Исследование операций. Нечёткая оптимизация: Учебное пособие.– К.: Выща школа, 1991.– 191с.
84. Захаров К.В. и др. Логистика, эффективность и риски ВЭО.– К.: ИНЭКС, 2000.– 237с.
85. Иванов В.К. Теория линейных некорректных задач и её приложения / Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. – М.: Наука, 1978.– 206с.
86. Искусственный интеллект: Справочник: в 3-х т. – М.: Радио и связь, 1990.
87. Исследование операций в экономике Учебное пособие для вузов / Кремер Н.Ш., Прутко Б.А., Тришин И.М. Фридман М.Н. Под. ред. проф. Кремера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ, 2006.– 407с.
88. Итеративные методы в теории игр и программировании / Беленький В.З., Волконский В.А. и др. – М.: Наука, 1974.– 270с.
89. Канторович Л.В. Однопродуктовая динамическая модель экономики, учитывающая изменение структуры фондов при наличии технического прогресса // Канторович Л.В., Жиянов В.И. ДАН СССР, 1973. – 211, №6.– С.1280-1283.
90. Кардаш В.А. Конфликты и компромиссы в рыночной экономике.– М.: Наука, 2006.– 248с.
91. Кириченко Н.Ф. Псевдообращение матриц и их рекурентность в задачах моделирования и управления // Проблемы управления и информатики.– 1995, № 1.– С.114-128.
92. Ковальчук К.Ф. Интеллектуальная поддержка принятия экономических решений. – Донецк: ИЭП НАН Украины. 1996. – 244с.
93. Козелецкий Ю. Психологическая теория решений. – М.: Прогресс, 1979. – 504с.
94. Кононенко А.Ф. Принятие решений в условиях неопределённости / Кононенко А.Ф., Холезов А.Д., Чумаков В.В. – М.: ВЦ АН СССР, 1991. – 197с.
95. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств: Пер. с франц. – М.: Радио и связь, 1982.– 432с.
96. Красс И.А. Математические модели экономической динамики / Под. Ред. И.А. Полетаева.– М.: Сов. Радио, 1976.– 280с.
97. Крушевский А.В. Теория игр.– К.: Вища школа, 1977.
98. Кудрявцев Е.М. Исследование операций в задачах, алгоритмах и программах. – М.: Радио и связь. 1984. – 184с.
99. Кузнецов Ю.Н. Математическое программирование / Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. – М.: Высш. Шк., 1980.– 280с.
100. Кузьмин В.Б. О выборе на основе нечётких предпочтений // Принятие решений в условиях нестатической неопределённости.– Рига: РПИ, 1982. С.13-18.
101. Кузьмин В.Б. Построение групповых решений в пространствах чётких и нечётких бинарных отношений.– М.: Наука, 1982.– 168с.
102. Леонтьев В.И. Исследование структуры американской экономики. – М.: Госстатиздат, 1958.– 132с.
103. Льюис Р.Д. Игры и решения / Льюис Р.Д., Райфа Х.– М: ИЛ, 1961.– 642с.
104. Макогон Ю.В. Основи наукових досліджень в економіці. Навч. посібник/ Макогон Ю.В., Пилипенко В.В..– Донецьк: Альфа-прес, 2007.– 144с.
105. Маркин Б.Г. Проблемы группового выбора.– М.: Наука, 1974.– 256с.
106. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды.– М.: Наука,–320с.
107. Матвійчук А.В. Аналіз і управління економічним ризиком.– К.: Центр навчальної літератури, 2005.– 224с.
108. Математические методы анализа экономики.– М.: Изд.-во Моск. Ун-та, 1983.– 152с.
109. Математические методы оптимизации и структурирования систем. – Калинин: КГУ, 1979.
110. Мелихов А.Н. Ситуационные советующие системы с нечёткой логикой / Мелихов А.Н., Бернштейн Л.С., Коровин С.Я.– М.: Наука, 1990.– 312с.
111. Месарович М. Общая теория систем: математические основы / Месарович М., Такахара Я. – М.: Мир, 1972.
112. Моделирование развивающихся систем / Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. и др. – М.: Наука, 1983.– 350с.
113. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректных задач.– М.: Изд.-во МГУ, 1974.– 360с.
114. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики.– М.: Мир, 1985.–200с.
115. Назин А.В. Адаптивный выбор вариантов / Назин А.В., Позняк А.С. – М.: Наука, 1986.– 288с.
116. Нейман Дж. Теория игр и экономическое поведение / Нейман Дж., Моргенштерн О.–: ИЛ, 1960.– 708с.
117. Нечёткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. / Под. ред. Д.А. Поспелова.– М: Наука, 1986.– 396с.
118. Нечёткие множества и теория возможностей. Последние достижения / Под ред. Р.Р. Ягера. – М.: Радио и связь, 1986. – 408с.
119. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика.– Мир, 1972.– 519с.
120. Никайдо Х. Заметка о бескоалиционных выпуклых играх // Никайдо Х., Исода К. Бесконечные антагонистические игры.– М.: Физматгиз, 1963.– С.449-458.
121. Нэш Дж. Бескоалиционные игры // Матричные игры.– М.: Физматгиз, 1961.– С.53-69.
122. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях.– М.: Наука, 1979.– 296с.
123. Орловский С.А. Игры в нечётко определённой обстановке.– ЖВМ и МФ, 1976, № 16, С.1427-1435.
124. Орловский С.А. Проблемы принятия решения при нечёткой исходной информации.– М.: Наука, 1981.–208с.
125. Партхасаратхи Т. Некоторые вопросы теории игр двух лиц / Партхасаратхи Т., Рачхаван Т. – М.: Мир, 1974.– 295с.
126. Пестель Э. За пределами роста. – М.: Прогресс, 1988. – 238с.

127. Петров А.А. Системный анализ развивающейся экономики/ Петров А.А., Поспелов И.Г. – Изд.-во АН СССР. Техн. кибернетика. I.– 1979, №5, С. 13-25; II.–1979, №6, С. 12-24; III.–1980, №1, С.12-21; IV.–1980, №2, С. 10-25; V.– 1980, №3, С. 10-20.
128. Платіжний баланс України. Щоквартальне аналітично-статистичне видання Національного банку України.–Режим доступу: http://www.bank.gov.ua/Publication/Of_vydan/BALANS – дані платіжного балансу за 2000–2007 р.р. – PB_2000.pdf, PB_2001.pdf, PB_2002.pdf, PB_2003.pdf, PB_2004.pdf, PB_2005.pdf, PB_2006.pdf, PB_2007.pdf.
129. Позиционные игры // Под ред. Воробьева Н.Н., Врублевской И.Н.– М.: Физматгиз, 1967.
130. Поспелов Д.А. Логико-лингвистические модели в системах управления. – М.: Энергоатомиздат, 1981.– 232с.
131. Пригожин И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой / Пригожин И., Стенгерс И. – М.: Прогресс, 1986.– 431с.
132. Пупков К.А. Функциональные ряды в теории нелинейных систем / Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко А.С. – М.: Наука, 1976. – 148с.
133. Райс Т. Финансовые инвестиции и риск / Райс Т., Койли Б. Пер. с англ. – К.: Торгово-издат. Бюро BHV, 1995. – 592с.
134. Реутов А.П. Системная модель как отношение системных качеств – упорядоченности, надежности и эффективности // Реутов А.П., Савченко Р.Г, Суслов Р.М. Вопросы кибернетики (управление развитием систем). Под. ред. А.П.Реутова, Р.М.Суслова.– М., 1979.– С5-34.
135. Рибицька О. Принципи гнучкого урахування переваги у випадку нечіткої вхідної інформації // Вісник Львівського університету. Серія економічна, 2007, № 37(2).– С.268-277.
136. Рибицька О. Стійкість економетричних та екологічних моделей / Додаток I до книги Снітицького В., Сявавка М., Сохнича А. Землекористування та екологія: системи підтримки прийняття рішень. – Львів: Українські технології, 2002.– 518-558с.
137. Рибицька О.М. Дробово-аналітичний метод розв’язування лінійних функціональних рівнянь: Автореферат дис. … канд.. ф.-м. наук. – Львів, 1995. – 21с.
138. Рибицька О.М. Математичні аспекти відновлення інформації / Рибицька О.М., Сявавко М.С. – Львів: Растр – 7, 2008. – 320с.
139. Рогальський Ф.Б. Математические методы анализа экономических систем: Книга 1 / Рогальський Ф.Б., Курилович Я.Є., Цокуренко О.О.– К.: ”Наукова думка”, 2001. – 435с.
140. Ротштейн А.П. Интеллектуальные технологии интенсификации: нечеткие множества, генетические алгоритмы, нейронные сети.– Винница: «Инверци- Винница», 1999.– 320с
141. Севастьянов П.В. Оценка финансовых параметров и риска инвестиций с позиций теории нечетких множеств. Надежные программы // Севастьянов П.В., Севастьянов Д.П..–1997.–№1.– С.10-18.
142. Смирнов А.Д. Динамическая модель межотраслевого баланса.– М.: МИНХ им. Т.В.Плеханова, 1994.– 98с.
143. Снітинський В. Землекористування та екологія: системи підтримки прийняття рішень / Снітинський В., Сявавко М., Сохнич А. – Львів: Українські технології, 2002.– 582 с.
144. Справочник проектировщика систем автоматизации управления производством / Под. ред. Силянского Г. Л.– М.: Машиностроение, 1976.– 600с.
145. Сявавко М. Застосування нечітких мір та інтегралів для розв’язання слабко структурованих задач економіки // Вісник Львівського університету. Серія економічна, 2007.–№ 37(1).– С.46-58.
146. Сявавко М. Математичне моделювання за умов невизначеності / Сявавко М., Рибицька О.– Львів: Українські технології, 2000.– 320с.
147. Сявавко М.С. Ітелектуалізована інформаційна система ”Нечіткий експерт”.– Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2007.– 320с.
148. Сявавко М.С. Мероморфна регуляризація некоректних задач// Сявавко М.С., Герасимчук О.Б. Математичні студії: Праці Львівського математичного товариства. – 2007. – Т.27, №2.– С.174-188.
149. Сявавко М.С. Мероморфна регуляризація розв’язку неперервних антагоністичних ігор // Сявавко М.С., Герасимчук О.Б. 10-та міжнародна конференція по автоматичному управлінню. Автоматика-2003, Севастополь, 15-19 вересня 2003р.– Т.1.– С. 95-96.
150. Сявавко М.С. Основи економічної інформатики. Навчальний посібник / Сявавко М.С., Пасічник Т.В.– Львів: ”Магнолія Плюс”, 2006.– 236с.
151. Сявавко М.С. Економіко-математичне моделювання у прийнятті управлінських рішень // Сявавко М.С., Сохнич А.Я., Тібілова Л.М. Економіка АПК, 2005. – №3(125).– С.13-18.
152. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. – М.: Наука, 1979. – 285с.
153. Тихонов А.Н. Об устойчивом методе решения задачи линейного программирования с приближенными данными // Тихонов А.Н., Рпотин А.А., Агаян Г.М. ДАН СССР, 1983. – Т. 272, № 5.– С. 1058-1063.
154. Тихонов А.Н. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация/ Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. – М.: Наука, 1983.– 200с.
155. Трухаев Р.И. Модели принятия решений в условиях неопределенности.– М.: Наука, 1981.– 258с.
156. Федотов А.М. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных.– Новосибирск: Наука, 1982.– 190с.
157. Философская энциклопедия / Воробьев Н.Н..– Том 5.– М.: Наука, 1970.– С. 208-210.
158. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений.– М.: Наука, 1978.– 352с.
159. Христиановский В.В. Экономический риск и методы его измерения / Христиановский В.В., Щербина В.П., Полшков Ю.Н. – Донецк: ДонНУ, 1999.– 250с.
160. Хэссард Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / Хэссард Б, Казаринов Н., Вэн И. Пер. с англ.– М.: Мир, 1985.–280с., ил.
161. Черкасов В.В. Проблемы в управленческой деятельности: Моногр. – М.: Рефл-бук; К.: ”Ваклер”, 1999. – 288с.
162. Шапиро Д.И. Расплывчатые интегральные игры // Методы и системы принятия решений. – Рига: РПИ, 1979, С.57-63.
163. Шеннон К. Математическая теория связи // Работы по теории информации и кибернетике, пер. с. анг. М.: 1963. – С.243 - 332.
164. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении: Учебник / В.Н. Кухарев, В.И. Салли, А.М. Эрперт.– К.: Выща школа, 1991.– 331с.
165. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, И.В. Орлова и др.; Под ред. В.В.Федосеева.– 2-е изд., перер. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.– 304с.
166. Эмпирическое предсказание и распознавание образов (Вычислительные системы). – Вып.76, 1978.
167. Юдин Д.Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. – М.: Сов. радио, 1974. – 400с.
168. Юринець В. Модель прогнозування прийняття управлінських рішень в інвестиційній діяльності підприємств // Юринець В., Савчук В. Вісник Львівського університету. Серія економічна. – 2007. – Вип. 37(1). – С.73-77.
169. Юринець В.Є. Оптимальне використання ресурсів за умов невизначеності // Юринець В.Є., Васьків О.М. Вісник Львів. державної фінансової академії, Економічні науки, 2006, №10. – С.365-371.
170. Юринець В.Є. Моделювання розподілу трудових ресурсів в умовах невизначеного ринку праці // Юринець В.Є., Вовчук Н.І., Жмуркевич А.Є., Злупко Т.С. Зб. Наукових праць “Трудовий потенціал України і його реалізація в умовах невизначеного ринку праці”, Львів, ЛДУ, 1997. – С. 256-259.
171. Юринець В.Є. Вибір стратегії залучення інвестицій підприємствами // Юринець В.Є., Жмуркевич А.Є. Вісн. Львів. ун-ту “Україна на шляху до ринку”, Серія економічна, 1998, вип. 28. – С. 161-162.
172. Юринець В.Є. Моделювання вибору стратегії залучення інвестицій підприємствами // Юринець В.Є., Жмуркевич А.Є., Бочан І.О. Зб.: “Реформа фінансово-кредитної системи перехідної економіки”, Луцьк, Волинський у-т, 1997. – С. 123-126.
173. Юринець В.Є. Оптимальне планування в умовах невизначеності // Юринець В.Є., Майовець Є.Й., Демецкі А. Наук. зб. “Доходи та заощадження в умовах трансформації економіки України”. Спецвипуск 10.– Львів: Інтереко, 2002. – C.200-203.
174. Юринець В.Є. Теоретико-ігрова модель аналізу господарської діяльності виробників сільськогосподарської продукції // Юринець В.Є., Мельник Н.Б. Зб.: “Фінансові аналітичні інструменти реформування економічної системи України”.– 2001, вип.7. – С. 344-348.
175. Ястремський О.І. Основи теорії економічного ризику.– К.: Либідь, 1997. – 236с.