РОЗРОБКА МЕТОДІВ РОЗРАХУНКУ НЕЛІНІЙНИХ КОЛИВАНЬ ТА ДОВГОВІЧНОСТІ ЛОПАТЕЙ ТА ЛОПАТОК ПАРОВИХ І ВІТРОВИХ ТУРБІН : РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ И ДОЛГОВЕЧНОСТИ ЛОПАСТЕЙ И ЛОПАТОК ПАРОВЫХ И ВЕТРОВЫХ ТУРБИН

Краткое описание

Міністерство освіти і науки України

Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут»

ШИРЯЄВА НАТАЛЯ ВОЛОДИМИРІВНА

УДК 539.3

РОЗРОБКА МЕТОДІВ РОЗРАХУНКУ НЕЛІНІЙНИХ КОЛИВАНЬ ТА

ДОВГОВІЧНОСТІ ЛОПАТЕЙ ТА ЛОПАТОК

ПАРОВИХ І ВІТРОВИХ ТУРБІН

Спеціальність 05.02.09 - динаміка та міцність машин

дисертація на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Харків – 2013

ЗМІСТ

ВСТУП	4
РОЗДІЛ 1 АНАЛІЗ МОДЕЛЕЙ, МЕТОДИ ДИСКРЕТИЗАЦІЇ ТА РОЗРАХУНКИ В ДОСЛІДЖЕННЯХ НЕЛІНІЙНИХ КОЛИВАНЬ СТРИЖНЕВИХ СИСТЕМ	9
1.1. Методи розв’язку задач о нелінійних коливаннях стрижневих систем	9
1.2. Огляд методів дискретизації континуальних систем	15
1.2.1. Метод Бубнова – Гальоркіна 1.2.2. Метод інерційних різноманіть, який засновано на методі Бубнова-Гальоркіна 1.2.3. Метод, заснований на рівняннях Лагранжа 1.2.4. Метод скінченних елементів 1.2.5. Метод скінченних різниць 1.2.6. Метод Рітца	15 16 17 18 19 19
1.3. Основні закономірності нелінійних динамічних процесів у конструктивних елементах машин	20
1.4. Можливості методу нормальних нелінійних форм коливань	21
1.5. Про підходи до дослідження нелінійних коливань стрижнів	24
1.6. Методи оцінки втомної довговічності елементів конструкцій	28
1.7. Постановка задачі дослідження	30
1.8. Висновки по розділу 1	32
РОЗДІЛ 2 МЕТОД РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧ О НЕЛІНІЙНИХ КОЛИВАННЯХ ЛОПАТЕЙ ТУРБІН	33
2.1. Геометрично нелінійне деформування стрижнів	33
2.2. Рівняння руху	46
2.3. Власні форми коливань та їхні властивості	56
2.4. Чисельне дослідження власних коливань	63
2.4.1. Закручений стрижень	63
2.4.2. Лопать вітрової турбіни	66
2.5 Висновки по розділу 2	71
РОЗДІЛ 3 ЧИСЕЛЬНО-АНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД РОЗРАХУНКУ НЕЛІНІЙНОЇ ДИНАМІКИ ЗАКРУЧЕНИХ СТРИЖНІВ	73
3.1. Отримання системи звичайних диференціальних рівнянь коливань	73
3.2. Розрахунок статичних переміщень закрученого стрижня	91
3.3. Рівняння коливань біля положення статичної рівноваги	96
3.4. Аналіз лінійних коливань закрученого стрижня	99
3.5 Висновки по розділу 3	101
РОЗДІЛ 4 МЕТОД НЕЛІНІЙНИХ НОРМАЛЬНИХ ФОРМ КОЛИВАНЬ ДЛЯ РОЗРАХУНКІВ КОЛИВАНЬ ЛОПАТЕЙ ТУРБІН	102
4.1. Рівняння руху системи	102
4.2. Аналіз інваріантних різноманіть	105
4.3. Рухи на інваріантному різноманітті	112
4.4. Чисельні розрахунки нелінійної динаміки закрученого стрижня	116
4.5. Аналіз коливань лопаті вітрової турбіни	118
4.6 Висновки по розділу 4	123
РОЗДІЛ 5 ОЦІНКИ РЕСУРСУ ЛОПАТОК ПАРОВИХ ТУРБІН	124
5.1. Метод оцінки ресурсу лопаток парових турбін	125
5.2. Аналіз напруженого стану при вимушених коливаннях лопаток парової турбіни К-300-240	131
5.2.1. Вільні нелінійні коливання лопатки	132
5.2.2. Вимушені коливання лопатки	136
5.2.3. Аналіз напруженого стану лопатки	138
5.3. Розрахунки втомної довговічності лопаток	143
5.4 Висновки по розділу 5	145
ВИСНОВКИ	146
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ	148
ДОДАТКИ	169

ВСТУП

Коливання, що виникають в різних елементах машин, механізмів та конструкцій, можуть при несприятливих обставинах викликати значні деформації та напруження, чи навіть їхнє руйнування. Вібраційні впливи  порушують задані закони руху транспортних засобів, машин, механізмів і систем керування, впливають на стійкість динамічних процесів, викликають відмови механічних систем. Дія вібрації може приводити до зміни внутрішньої структури матеріалу, умов тертя і зносу на поверхнях контакту деталей машин. Вібрації призводять до зниження несучої здатності елементів машин, механізмів і конструкцій, появі тріщин і втомних руйнувань.

Актуальність теми. Забезпечення втомної міцності та довговічності лопаток та лопатей турбін потребує проведення фундаментальних та прикладних досліджень у галузі машинобудування. Нелінійні коливання при циклічних навантаженнях суттєво впливають на руйнівний стан елементів турбін за рахунок накопичення втомних пошкоджень при експлуатації, що призводить до зародження і розвитку макроскопічних тріщин, руйнуванню та втрати працездатності.

Аналіз існуючих методів розрахунку нелінійних коливань на підставі різних моделей деформування та методів оцінок довговічності, які враховують процеси втоми різних матеріалів лопаток та лопатей турбін показав, що ці методи находяться в стадії постійного вдосконалення. Спроби врахування впливу обертання турбін на коливання лопатей та лопаток, відсутність симетрії їхніх геометричних характеристик, а також значні амплітуди коливань відносяться до проблем нелінійних коливань та втоми, які сформульовані відносно недавно. Сучасні наукові дослідження пов’язані з побудовою моделей динаміки та оцінювання довговічності лопаток та лопатей турбін на підставі підходів, які засновані на прикладній механіці коливань та теорії континуальної пошкоджуваності. Таким чином, необхідність розробки ефективних та вдосконалення існуючих методів розрахунку нелінійних коливань закручених стрижневих систем з метою вивчення закономірностей динамічних процесів та оцінки ресурсу лопаток та лопатей турбін є актуальною науково-практичною задачею, яка визначила напрям дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано на кафедрі систем і процесів управління НТУ "ХПІ" у рамках завдань фундаментальних держбюджетних НДР МОН України "Створення методів аналізу нелінійної динаміки і повзучості деформованих тіл та дискретних систем" (№ Д.Р. 0106U001465) і "Створення методів аналізу нелінійних коливань елементів конструкцій та засобів їх гасіння" (№ Д.Р. 0106U005164), в яких здобувач була виконавцем окремих етапів.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є створення чисельно-аналітичних розрахункових методів оцінювання параметрів нелінійних коливань і ресурсу лопаток та лопатей турбін.

Для досягнення мети роботи поставлені наступні завдання:

1)       проаналізувати стан розробок у напрямку створення розрахункових методів оцінювання нелінійних коливань і ресурсу лопаток та лопатей турбін;

2)       створити уточнені континуальні моделі згинно-згинно-крутильних нелінійних коливань закручених стрижнів, центри тяжіння та жорсткості поперечних перетинів яких не співпадають;

3)                із застосуванням методу Бубнова-Гальоркіна розробити дискретні моделі для дослідження нелінійних коливань закручених стрижнів;

4)       отримати закономірності нелінійних коливань лопаток та лопатей турбін та провести їхній аналіз на основі дослідження динамічних моделей;

5)       на основі результатів дослідження коливань при геометрично нелінійному деформуванні стрижнів отримати розрахункові оцінки ресурсу робочих лопаток парової турбіни циліндру низького тиску.

Об'єкт дослідження – нелінійні коливання лопаток парових турбін й лопатей вітрових турбін та довговічність закручених лопаток турбомашин.

Предмет дослідження – закономірності динаміки й втомного руйнування лопатей та лопаток парових і вітрових турбін.

Методи дослідження. При виконанні дисертаційної роботи залучено сучасні варіаційні методи механіки, методи нелінійної динаміки. Метод Бубнова-Гальоркіна використано для виведення нелінійних диференціальних рівнянь руху закручених стрижнів. Для розрахунку амплітудно-частотної характеристики вимушених коливань робочої лопатки парової турбіни застосовано метод гармонійного балансу. Нелінійні коливання лопатей вітрової турбіни досліджувалися за допомогою методу багатьох масштабів та методу нелінійних нормальних форм Шоу-П’єра. Кількість циклів до руйнування для лопатки парової турбіни розраховано шляхом застосування методів континуальної механіки пошкоджуваності для оцінки тривалої міцності.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

¾   створено нові методи розв’язку прикладних задач аналізу нелінійних згинно-згинно-крутильних коливань закручених стрижнів, які обертаються, що є підґрунтям для уточненої оцінки втомної довговічності лопатей та лопаток парових і вітрових турбін;

¾   отримало подальший розвиток спільне застосування методу нелінійних нормальних форм коливань Шоу-П’єра та методу багатьох масштабів для розв’язку рівнянь згинно-згинно-крутильних коливань стрижневих моделей лопаток турбомашин;

¾   запропоновано новий підхід до оцінки ресурсу лопаток турбомашин, заснований на континуальній механіці пошкоджуваності;

¾   встановлено нові закономірності коливань і довговічності лопатей вітроенергетичних установок та лопаток турбомашин на основі дослідження їхньої динаміки при геометрично нелінійному деформуванні.

Практичне значення одержаних результатів для машинобудування полягає у розробці методів дослідження нелінійної динаміки лопатей вітроенергетичних установок та робочих лопаток турбомашин. Розроблено метод оцінки довговічності робочих лопаток потужної парової турбіни при багатоцикловому навантаженні, який може стати основою вдосконалення конструкцій існуючих та перспективних лопатей та лопаток енергетичних машин.

Результати дисертаційної роботи використані на ВАТ "Турбоатом" (м. Харків).

Особистий внесок здобувача. Усі основні теоретичні і практичні результати роботи отримані здобувачем особисто. Серед них: виведення системи диференціальних рівнянь у частинних похідних для розрахунку нелінійних коливань лопаті вітроенергетичної установки та лопатки турбомашини; проведення чисельного аналізу нелінійних коливань закручених стрижнів несиметричного поперечного перетину; розрахунок та аналіз поверхонь нелінійних нормальних форм коливань; аналіз поведінки елементів конструкцій при статичному та динамічному навантаженні; розробка методу оцінки довговічності лопаток турбомашин із урахуванням пошкоджень при нелінійних коливаннях.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи докладалися і обговорювалися на: 6-й Всеукраїнській студентській науковій конференції «Прикладна математика та інформатика» (Львів, 2003 р.), 8-й Міжнародній науково-технічній конференції ХНПК “ФЭД” (Харків, 2003), 1-й, 2-й та 3-й Міжнародних конференціях «NONLINEAR DYNAMICS» (Харків, 2004, 2007, 2010 рр.), 11-й Міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ, 2006 р.), Міжнародній конференції «Rvachev Conference – Актуальні проблеми прикладної математики і механіки» (Харків, 2006 р.), 14-й Міжнародній науковій конференції вчених України, Білорусі, Росії (Севастополь, 2006 р.), V-й міжвузівській науково-практичній конференції «Можливості використання методів механіки для розв’язання питань безпеки в умовах надзвичайних ситуацій» (Харків, 2006 р.), 9-й Міжнародній конференції «Dynamical systems theory and applications» (Лодзь, Польща, 2007 р.), 3-й Міжнародній науково-технічній конференції «Проблеми динаміки та міцності в газотурбобудуванні» (Київ, 2007 р.), Міжнародній конференції «Nonlinear Dynamics of Composite and Smart Structures, Euromech Colloquium 498» (Люблін, Польща, 2008 р.).

Публікації. Основні наукові положення та результати досліджень за темою дисертаційної роботи опубліковано у 21 науковій праці, серед яких 9 у наукових фахових виданнях України та 12 - у матеріалах конференцій.

Структура й обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків. Повний обсяг роботи складає 187 сторінок, з них 19 рисунків по тексту, 6 таблиць по тексту, 4 рисунки на 6 сторінках, 6 рисунків на 3 окремих сторінках, 210 найменувань використаних джерел на 21 сторінці, 5 додатків на 19 сторінках. 

Список литературы

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі створено нові методи для оцінювання нелінійних коливань і ресурсу лопаток енергетичних машин; розв’язано прикладні задачі коливань лопатей та лопаток вітрових та парових турбін.

1. Проведено аналіз існуючих сучасних моделей і розрахункових методів оцінювання нелінійних коливань і довговічності лопаток та лопатей турбін, який показав, що вони потребують подальшого розвитку.

2. Створено нові континуальні та дискретні моделі, що описують нелінійні коливання закручених стрижнів, центри тяжіння та жорсткості поперечних перетинів яких не співпадають, що дозволило одержати нелінійні диференціальні рівняння руху закручених стрижнів та запропонувати нові ефективні методи їх розв’язування, а саме: для розрахунку амплітудно-частотної характеристики вимушених коливань робочої лопатки парової турбіни застосовано метод гармонійного балансу; нелінійні коливання лопатей вітрової турбіни досліджувалися за допомогою методу багатьох масштабів та методу нелінійних нормальних форм Шоу-П’єра.

3. На підставі сумісного застосування методу нелінійних нормальних форм Шоу-П’єра та методу багатьох масштабів досліджено нелінійні коливання закручених стрижнів. Це дозволило ефективно досліджувати на аналітичному рівні скелетні криві у динамічних моделях закручених стрижнів великої розмірності.

4. Отримано закономірності та аналітичні співвідношення, що описують скелетні криві лопаті вітроенергетичної установки та лопатки турбіни, по яких встановлено режими коливань з жорсткими та м'якими скелетними кривими. Встановлено, що в першому випадку в моделі нелінійної поведінки переважають доданки, що описують нелінійну кривизну, а в другому – нелінійну інерційність.

5. Надано розрахункові оцінки кількості циклів до руйнування робочих лопаток циліндру низького тиску парової турбіни при вимушених нелінійних коливаннях на основі запропонованого методу сумісного застосування розв’язків задач нелінійних коливань для отримання еквівалентних напружень та інтегрування кінетичного рівняння втомної пошкоджуваності.

6. Результати порівняльного аналізу втомної довговічності лопаток, що виконані в роботі, отримані при цьому висновки та рекомендації використано у ВАТ "Турбоатом" (м. Харків).

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.       Ширяева Н.В. Нелинейные изгибно-продольные колебания вращающихся стержней / К.В. Аврамов, Н.В. Ширяева // Вісник Національного технічного університету “Харківський політехнічний інститут”. - Харків: НТУ “ХПІ”. – 2005. – № 47. – С. 180-184.

2.       Ширяева Н.В. Уравнения нелинейных изгибно-изгибно-крутильные колебаний вращающихся стержней произвольного поперечного сечения / К.В. Аврамов, К. Пьер, Н.В. Ширяева // Механіка та машинобудування. - Харків: НТУ “ХПІ”. – 2006. – № 1. – С. 8-19.

3.       Ширяева Н.В. Нелинейные свободные колебания вращающихся закрученных стержней / К.В. Аврамов, Ю.А. Ищук, Л.В. Розова, Н.В. Ширяева // Вісник Національного технічного університету “Харківський політехнічний інститут”. - Харків: НТУ “ХПІ”. – 2006. – № 21. – С. 7-14.

4.       Ширяева Н.В. Нелинейные нормальные фрмы колебаний системы с гироскопическими силами/ К.В. Аврамов, К. Пьер, Н.В. Ширяева // Доповіді Національної академії наук України. - Київ, НАН України. – 2006. – № 11 – С. 7-10.

5.       Ширяева Н.В. Оценка долговечности лопаток турбомашин с учетом повреждений при нелинейных колебаниях / К.В. Аврамов, Д.В. Бреславский, О.К. Морачковский, Н.В. Ширяева // Проблемы машиностроения. - Харків: ІПМАШ ім. А.М. Підгорного НАН України. - 2009. - Т.12, № 2. - С. 56-62.

6.       Ширяева Н.В. Нестационарные изгибно-изгибно-продольные колебания ракетоносителя с космическим аппаратом / К.В. Аврамов, В.А. Пирог, В.М. Федоров, Т.М. Пересадько, Н.В. Ширяева // Проблемы машиностроения. - Харків: ІПМАШ ім. А.М. Підгорного НАН України. - 2011. - Т.14, № 4. - С. 60-64.

7.       Ширяева Н.В. Численный анализ нелинейных колебаний лопасти ветровой энергетической установки / Н.В. Ширяева, К.В. Аврамов, Д.В Бреславский, О.С. Галас // Вісник Національного технічного університету “Харківський політехнічний інститут”. - Харків: НТУ “ХПІ”. – 2012. – № 9. – С. 10-16.

8.       Shyriaieva N. Flexural-flexural-torsional Nonlinear Vibrations of Pre-twisted Rotating Beams with Asymmetric Cross-sections / K. Avramov, C. Pierre, N. Shyriaieva // Journal of Vibration and Control. – USA: Sage Publications. – 2007. – Vol.13, N.4. – P.329-364.

9.       Shyriaieva N. V. Non-linear equations of flexural-flexural-torsional nonlinear oscillations of rotating beams with arbitrary cross section / K. Avramov, C. Pierre, N. Shyriaieva // Международный научный журнал «Прикладная механика». – Киев: Институт механики им.С.П.Тимошенко НАН Украины. –2008. – Т.44, № 5. – С.123-132.

10.  Ширяєва Н.В. Фізично-нелінійні коливання стержнів / Н.В. Ширяєва // Шоста Всеукраїнська студентська наукова конференція з прикладної математики та інформатики, 17-18 квітня, 2003р.: тези доп. - Львів, ЛНУ, 2003. - ­С. 69.

11.  Ширяєва Н.В. Ползучесть элементов конструкций при статическом и циклическом нагружении / Д.В. Бреславский, Д.В. Карабут, О.А. Уварова, Н.В. Ширяєва // 8-я Международная научно-техническая конференция, 9-10 декабря 2003г.: тезисы докл. - Харьков, ХНПК “ФЭД”, 2003. – С. 299-302.

12.  Shiryaeva N.V. Impact and nonlinear vibrations of beams and plates / D.V. Breslavsky, A.V. Onyshchenko // The International Conference Nonlinear Dynamics, September 14-16, 2004y: proc. –  Kharkiv, 2004. – Р. 44-47.

13.  Ширяева Н.В. Совместное применение теории нелинейных нормальных форм колебаний и асимптотических методов для моделирования механических систем / К.В. Аврамов, Ю.В. Михлин, К. Пьер, Н.В. Ширяева, О.С. Галас, И.Д. Бреславский // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 18-20 травня, Київ, 2006. – С. 15.

14.  Shyriaieva N. Flexural-flexural-torsional nonlinear oscillations of pre-twisted rotating beams with asymmetrical cross section / K.V. Avramov, C. Pierre, N. Shyriaieva, O. Galas // Міжнародна конференція “Актуальні проблеми прикладної математики та механіки”: тези доп. – Харків, 2006. – С. 105.

15.  Ширяева Н.В. Изгибно-изгибно-крутильные колебания закрученных вращающихся стержней переменного поперечного сечения/ К.В. Аврамов, Н.В. Ширяева, О.С. Галас // 14-та Міжнародна наукова конференція вчених України, Білорусі, Росії, 11-15 вересня, 2006р.: тези доп. – Севастополь, 2006. – С. 67-70.

16.  Ширяева Н.В. Модели изгибно-изгибно-крутильных колебаний лопастей вертолетов в аварийных ситуациях/ К.В. Аврамов, Н.В. Ширяева, О.С. Галас // V міжвузівська науково-практична конференція “Можливості використання методів механіки для розв’язання питань безпеки в умовах надзвичайних ситуацій”: тези доп. – Харків, 2006. – С. 10-11.

17.  Shyriaieva N. Nonlinear oscillations of pre-twisted rotating beams with asymmetrical cross section/ K. Avramov, C. Pierre, O. Morachkovski, N. Shyriaieva, O. Galas // 9^th Conference on Dynamical systems - Theory and Application: proc. - Lodz, 2007. – Р. 77-84.

18.  Shyriaieva N. Nonlinear flexural-flexural-torsional vibrations of rotating beams/ K. Avramov, C. Pierre, O. Morachkovski, N. Shyriaieva, O. Galas // Третя Міжнародна науково-технічна конференція “Проблеми динаміки і міцності в газотурбобудуванні”, 29 - 31 травня, 2007р.: тези доп. – Київ, 2007.                  – С. 221 - 223.

19.  Shyriaieva N. Flexural-flexural-torsional nonlinear vibrations of pre-twisted rotating beams with asymmetric cross section/ K.V. Avramov, O.K. Morachkovski, C. Pierre, O. Galas, N. Shyriaieva // The Second International Conference Nonlinear Dynamics, September 25-28, 2007y: proc. –  Kharkiv, 2007. – Р. 17-21.

20.  Shyriaieva Natalia. Flexural-flexural-torsional nonlinear vibrations of pre-twisted rotating beams / Konsantin V. Avramov, Oleg K. Morachkovski, Christophe Pierre, Oleg Galas, Natalia Shyriaieva // Nonlinear Dynamics of Composite and Smart Structures, Euromech Colloquium 498: proc. – Lublin, 2008. – P.76-81.

21.  Shyriaieva N. Nonlinear vibrations and long-term strength of turbine blades / D. Breslavsky, O. Morachkovsky, N. Shyriaieva // The Third International Conference Nonlinear Dynamics, September 22-24, 2010y: proc. – Kharkiv, 2010. – Р. 272-277.

                   22     Friedmann P.P. Aeroelastic Stability and Response Analysis of Large Horizontal–Axis Wind Turbines /P.P. Friedmann // Journal of Industrial Aerodynamics. – 1980. – № 5. – Р. 373-401.

                   23     Nayfeh A.H. Linear and nonlinear Structural Mechanics / A.H. Nayfeh, P.F. Pai. – New York: Wiley&Sons, 2002. – 870 р.

                   24     Timoshenko S.P. Vibration problems in Engineering. / S.P. Timoshenko, D.H. Young. – Van Nostrand Company, Third edition, 1955. – 444р.

                   25     Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем / А.П. Филиппов. - М.: «Машиностроение», 2-е издание, 1970. –376 с.

                   26     Воробьев Ю.С. Теория закрученных стержней / Ю.С. Воробьев, Б.Ф. Шорр. – Киев: Наук.думка, 1983. – 188 с.

                   27     Воробьев Ю.С. Колебания лопаточного аппарата турбомашин / Ю.С. Воробьев. –Киев: Наук.думка, 1988. – 224 с.

                   28     Воробьев Ю.С. Уточненные уравнения свободных колебаний вращающихся стержней / Ю.С. Воробьев // Рабочие процессы в турбомашинах и прочность их элементов/ Ю.С. Воробьев. – Киев: Наук.думка, 1965. – С. 11 – 27.

                   29     Шорр Б.Ф. Колебания закрученных стержнем / Б.Ф. Шорр // Изв. АН СССР, Механика и машиностроение. – 1961. – № 3. – С. 35-39.

                   30     Dzhanelidze G.Y. On the theory of thin and thin-walled rods. National advisory committee for Aeronautics Technical Memorandum 1309 / G.Y. Dzhanelidze. – Washington, 1951. – 18 р.

                   31     Hodges D.H. Nonlinear equations of motion for the elastic bending and torsion of twisted nonuniform rotor blades. NASA TN D-7818 / D.H. Hodges, E.H. Dowell. – Washington, D.C., 1974. – 60 р.

                   32     Crespo da Silva M.R.M. Nonlinear flexural-flexural-torsional dynamics of inextensional beams. I: Equations of motion / M.R.M. Crespo da Silva, C.C. Glynn // J. Struct. Mech. – 1978. – № 6(4). – Р. 437 - 448.

                   33     Crespo da Silva M.R.M. Nonlinear flexural-flexural-torsional dynamics of inextensional beams. II. Forced motions / M.R.M. Crespo da Silva, C.C. Glynn // J. Struct. Mech. – 1978. – № 6(4). –Р. 449 - 461.

                   34     Crespo da Silva M.R.M. A comprehensive analysis of the dynamics of a helicopter rotor blade / M.R.M. Crespo da Silva // Int. J. Solids Structures. – 1998. – Vol.35, № 7-8. – Р. 619 - 635.

                   35     Crespo da Silva M.R.M. Nonlinear flexural-flexural-torsional-extensional dynamics of beams. – I. Formulation / M.R.M. Crespo da Silva // Int. J. Solids Structures. – 1988. – Vol.24, № 12. – Р. 1225 - 1234.

                   36     Gere J.M. Coupled Vibrations of Thin-Walled Beams of Open Cross Section / J.M. Gere, Y.K. Lin // Journal of Applied Mechanics, Trans. ASME. – 1958. – Vol. 25. – P. 373-378.

                   37     Di Egidio A. A Non-Linear Model for the Dynamics of Open Cross-Section Thin-Walled Beams – Part I: Formulation/ A. Di Egidio, A. Luongo, F. Vestroni // International Journal of Non-Linear Mechanics. – 2003. – № 38. – P. 1067-1081.

                   38     Sommers D.M. Design and experimental results for the S809 airfoil. NREL technical monitor / D.M.Sommers. – Airfoils, incorporated state college, Pensilvania, USA, 1997. – 24 p.

                   39     Hoogedoorn E. Aero-elastic behavior of a flexible blade for wind turbine application: A 2D computational study / E. Hoogedoorn, G.B. Jacobs, A. Beyene // Energy. – 2010. – Vol. 35. – P. 778 - 785.

                   40     Documaci E. An Exact Solution for Coupled Bending and Torsion Vibrations of Uniform Beams Having Single Cross-Section Symmetry / E. Documaci // Journal of Sound and Vibration. – 1987. – № 119(3). – P. 443-449.

                   41     Bishop R.E.D. On Coupled Bending and Torsional Vibration of Uniform Beams / R.E.D.Bishop, S.M.Cannon, S.Miao // Journal of Sound and Vibration. – 1989. –№ 131(3). –P. 457-464.

                   42     Yu W. On Timoshenko-Like Modeling of Initially Curved and Twisted Composite Beams / W.Yu, D.H.Hodges, V.Volovoi, C.E.S.Cesnic // Int.Journal of Solids and Structures. – 2002. – № 39. – P. 5101-5121.

                   43     Bishop R.E.D. A Note on the Dynamical Behaviour of Uniform Beams Having Open Channel Section / R.E.D.Bishop, W.G.Price, Zh.Xi-Cheng // Journal of Sound and Vibration. – 1985. – № 99(2). – P. 155-167.

                   44     Nayfeh A. H. Nonlinear Oscillations / A. H. Nayfeh, D. T. Mook. − New York: Wiley, 1988. − 655 p.

                   45     Bishop R.E.D. Coupled Bending and Twisting of a Timoshenko Beam / R.E.D.Bishop, W.G.Price. // Journal of Sound and Vibration. – 1977. – №50 (4). – P. 469-477.

                   46     Yaman Y. Forced Vibrations of Triply Coupled, Periodically and Elastically Supported, Finite, Open-Section Channels / Y.Yaman, .zdemir // Journal of Sound and Vibration. – 2002. – № 250(4). – P. 649-673.

                   47     Zhang N. Solitary Waves and Chaos in Nonlinear Visco-Elastic Rod / N.Zhang, G.Yang // European Journal of Mechanics A/Solids. – 2003. – № 22. – P. 917-923.

                   48     Crespo da Silva M. R. M. Non-Linear Non-Planar Resonant Oscillations in Fixed-Free Beams with Support Asymmetry / M. R. M. Crespo da Silva, C. C. Glynn// International Journal of Solids and Structures.- Pergamon. – 1979. – V. 15. – P. 209- 219.

                   49     Di Egidio A. A Non-Linear Model for the Dynamics of Open Cross-Section Thin-Walled Beams – Part II: Forced motion / A.Di Egidio, A.Luongo, F.Vestroni // International Journal of Non-Linear Mechanics. – 2003. – № 38. – P. 1083-1094.

                   50     Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем / В.В. Болотин.– М.: Гостехиздат, 1956. – 500 с.

                   51     Nayfeh A. H. Nonlinear analysis of the forced response of structural elements/ A. H. Nayfeh, D. T. Mook, S. Sridhar// Journal of the Acoustical Society of America. – American Acoustical Society. – 1974. −V. 55. − P. 281- 291.

                   52     Pramod Malatkar. Nonlinear Vibrations of Cantilever Beams and Plates. Phd Dissertation. Doctor of Philosophy in Engineering Mechanics. July 3, 2003 / Pramod Malatkar. – USA, 2003. – 132 p.

                   53     Вертолеты. Расчет и проектирование. Часть2. Колебания и динамическая прочность. Под ред. Миля. – М.: Изд. «Машиностроение», 1967. – 423 с.

                   54     Berdichevsky V.L. Dynamical Potential for Non-Linear Vibrations of Cantilevered Beams / V.L.Berdichevsky, W.W.Kim, A.Zbek // Journal of Sound and Vibration. – 1995. – № 179(1). – P. 151-164.

                   55     Foda Mosaad A. Influence of Shear Deformation and Rotary Inertia on Nonlinear Free Vibration of a Beam with Pinned Ends / Mosaad A. Foda. // Computers and Structures. – 1999. – № 71. – P. 663-770.

                   56     Abolghasemi M. Attractors of a Rotating Viscoelastic Beam / M. Abolghasemi, M.A.Jalali // International Journal of Non-Linear Mechanics. – 2003. – № 38. – P. 739-751.

                   57     Yu A.M. Explicit Solutions for Shearing and Radial Stresses in Curved Beams / A.M.Yu, G.N.Nie // Mechanics Research Communications. – 2005. – № 32. – P.323-331.

                   58     Trindade M.A. Karhunen-Loève Decomposition of Coupled Axial/Bending Vibrations of Beams Subject to Impacts / M.A.Trindade, C.Wolter, R.Sampaio // Journal of Sound and Vibration. – 2005. – № 279. – P.1015-1036.

                   59     Jun L, Hongxing H. Coupled Bending and Torsional Vibration of Nonsymmetrical Axially Loaded Thin-Walled Bernoulli-Euler Beams / L.Jun, L.Wanyou, Sh.Rongying, H.Hongxing // Mechanics Research Communications. – 2004. – № 31. – P.697-711.

                   60     Yardimoglu B. Finite Element Model for Vibration Analysis of Pre-Twisted Timoshenko Beam / B.Yardimoglu, T.Yildirim // Journal of Sound and Vibration. – 2004. –№ 273. – P.741-754.

                   61     Lacarbonara W. Modeling of Planar Nonshallow Prestressed Beams Towards Asymptotic Solutions / W.Lacarbonara, A.Paolone, H.Yabuno // Mechanical Research Communications. – 2004. – № 31. – P.301-310.

                   62     Katsikadelis J.T. Non-Linear Dynamic Analysis of Beams with Variables Stiffness / J.T.Katsikadelis, G.C.Tsiatas // Journal of Sound and Vibration. – 2004. – № 270. – P.847-863.

                   63     Naguleswaran S. Transverse Vibration and Stability of an Euler-Bernoulli Beam with Step Change in Cross-Section and in Axial Force / S. Naguleswaran // Journal of Sound and Vibration. – 2004. – № 270. – P.1045-1055.

                   64     Jun L. Coupled Bending and Torsional Vibration of Axially Loaded Bernoulli-Euler Beams Including Warping Effects / L.Jun, Sh.Rongying, H.Hongxing, J.Xianding // Applied Acoustics. – 2004. – № 65. – P.153-170.

                   65     A.Luongo. Non-Resonant Non-Planar Free Motions of Inextensional Non-Compact Beams / A.Luongo, G.Rega, F.Vestroni // Journal of Sound and Vibration. – 1989. – № 134 (1). – P.73-86.

                   66     Huang C.S. An Exact Solution for In-Plane Vibrations of an Arch Having Variable Curvature and Cross Section / C.S.Huang, Y.P.Tseng, A.W.Leissa, K.Y.Nieh // Int.J.Mech.Sci. – 1998. – Vol.40, № 11. – P.1159-1173.

                   67     Hodges D.H. On the Lateral Buckling of Uniform Slender Cantilever Beams / D.H.Hodges, D.A.Peters // Int.J.Solids Structures. – 1975. – Vol.11. – P.1269-1280.

                   68     Subrahmanyam K.B. Coupled Bending-Torsion Vibrations of Rotating Blades of Asymmetric Aerofoil Cross Section with Allowance for Shear Deflection and Rotary Inertia by Use of the Reissner Method / K.B.Subrahmanyam, V.Kulkarni, J.S.Rao // Journal of Sound and Vibration. – 1981. – № 75 (1). – P.17-36.

                   69     Cesnik C.E.S. On the Twist Performance of a Multiple-Cell Active Helicopter Blade / C.E.S.Cesnik, S.J.Shin // Smart Materials and Structures. – 2001. – № 10. – P.53-61.

                   70     Cesnik C.E.S. Dynamic Response of Active Twist Rotor Blades / C.E.S.Cesnik, S.J.Shin, M.L.Wilbur // Smart Materials and Structures. – 2001. – № 10. – P.62-76.

                   71     Moon F.C. Chaotic vibration of a beam with non-linear boundary conditions / F. C. Moon, S. W. Shaw // Int. J. Non-linear Mechanics. – 1983. – № 18 (6). – P. 465- 477.

                   72     Бабаков И.М. Теория колебаний: учеб.пособие / И.М. Бабаков. – 4-е изд., испр. –М.: Дрофа, 2004. – 591 с.

                   73     Вейц В.Л. Динамика машинных агрегатов с двигателями внутреннего сгорания / В.Л. Вейц, А. Е. Кочура. – Л.: Машиностроение, 1976. – 384 с.

                   74     Steindl A. Methods for dimensional reduction and their application in nonlinear dynamics / A. Steindl, H. Troger // International Journal of Solids and Structures. – 2001. – № 38. – P. 2131 - 2147.

                   75     Михлин С. Г. Прямые методы в математической физике / С.Г.Михлин. – М.: Госиздат. Тех.-теор. лит., 1950, – 428 c.

                   76     Meirovitch L. Fundamentals of Vibrations / L. Meirovitch.− McGraw–Hill High-Education, 1996. − 457 p.

                   77     Brunovsky P. Theory of invariant manifolds and its applications to differential equations. UTMS 93-41 / P. Brunovsky.: Dept. Math. Sci., University of Tokyo. –1993.

                   78     Guckenheimer J. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanic and physics / J. Guckenheimer // Bulletin of the AMS (N.S.). – 1989. – Vol.21, № 1 – P. 196-198.

                   79     Marion M. Nonlinear Galerkin Methods / M.Marion, R.Temam // SIAM J.Numer.Anal. – 1989. – Vol.26, № 5. – P. 1139-1157.

                   80     Robinson J.C. Finite-dimensional behavior in dissipative partial differential equations / Robinson J.C. // CHAOS.– 1995. – № 5 (1). – P. 330-345.

                   81     Foale S. Numerical Dimension-Reduction Methods for Non-Linear Shell Vibrations/ S.Foale, J.M.T.Thompson, F.A.McRobie // Journal of Sound and Vibration. – 1998. – № 215 (3). – P. 527-545.

                   82     Laing C.R. The Post-Processed Galerkin Method Applied to Nonlinear Shell Vibrations / C.R.Laing, A.McRobie, J.M.T.Thompson // Dynamics and Stability of Systems. – 1999. – Vol.14, № 2. – P.163-181.

                   83     Rega G. Dimension Reduction of Dynamical Systems: Methods, Models, Applications / G.Rega, H.Troger // Nonlinear Dynamics. – 2005. – № 41.               – P. 1 – 15.

                   84     Don Jones A. Attractive Invariant Manifolds under Approximation. Inertial Manifolds / Don A.Jones, A.M.Stuart // Journal of Differential Equations. – 1995. – № 123. – P. 588-637.

                   85     Jolly M.S. Approximate Inertial Manifolds for the Kuramoto-Sivashinsky Equation: Analysis and Computations / M.S.Jolly, I.G.Kevrekidis, E.S.Titi // Physica D. – 1990. – № 44. – P. 38-60.

                   86     Chueshov I.D. On a Construction of Approximate Inertial Manifolds for Second Order in Time Evolution Equations / I.D.Chueshov // Nonlinear Analysis, Theory, Methods&Applications. – 1996. – Vol.26, № 5. – P. 1007-1021.

                   87     Garcia-Archilla B. Postprocessing the Galerkin Method: A Novel Approach to Approximate Inertial Manifolds / B.Garcia-Archilla, J.Novo, E.S.Titi // SIAM J.Numer.Anal. –1998. – Vol.35, № 3. –P. 941-972.

                   88     Don Jones A. On the Effectiveness of the Approximate Inertial Manifold – a Computational Study / Don A.Jones, L.G.Margolin, E.S.Titi // Theoretical and Computational Fluid Dynamics. – 1995. – № 7. – P. 243-260.

                   89     Pellicano F. Linear and nonlinear dynamics of a circular cylindrical shell connected to a rigid disk / F. Pellicano, K.V. Avramov // Communications in Nonlinear Sciences and Numerical Simulations. –2007. – Vol. 12, № 4.                  – P. 496-518.

                   90     Аврамов К.В. Динамическая неустойчивость цилиндрической оболочки с диском на конце / К.В. Аврамов, Ф. Пелликано // Доповіді Національної академії наук України. – Київ, НАН України, 2006. – № 5.         – С. 41-46.

                   91     Amabili M. A. Comparison of Shell Theories for Large-Amplitude Vibration of Circular Cylindrical Shells: Lagrangian Approach / M. A. Amabili // Journal of Sound and Vibration. Academic Press. – 2003.– № 264.                         – P. 1091 – 1125.

                   92     Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. – М.: Мир., 1977. – 349 с.

                   93     Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов / Л.А. Розин. –Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. – 232 с.

                   94     Apiwattanalunggarn P. Finite-Element-Based Nonlinear Modal Reduction of a Rotating Beam with Large-Amplitude Motion / P.Apiwattanalunggarn, S,W,Shaw, C,Pierre and D.Jiang // Journal of Vibration and Control. –2003. – № 9 (3). – P. 235-263.

                   95     Vielsack P. Lateral Bending Vibrations of a Beam with Small Pretwist / P.Vielsack // Engineering Structures. – 2000. – № 22. – P. 691-698.

                   96     Mei C. Coupled Vibrations of Thin Walled Beams of Open Cross Section Using the Finite Element Method / C.Mei // International Journal of Mechanical Science. – 1970. – № 12. – P. 883-891.

                   97     Mota Soares C.A. Finite Element Dynamic Analysis of Structures Based on the Vlasov Beam Theory / C.A.Mota Soares, J.E.Barradas Cardoso // International Symposium on Numerical Analysis of the Dynamics of Ship Structures (ATMA, Paris). – Paris, 1979. – P. 557-571.

                   98     Gu Jian-Xin. A Refined Finite Element Formulation for Flexural and Torsional Buckling of Beam-Columns with Finite Rotations / Jian-Xin Gu, Siu-Lai Chan // Engineering Structures. – 2005. – № 27. – P. 749-759.

                   99     Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. – Москва, «Мир», 1986. – 318 с.

                100  Subrahmanyam K.B. Finite Difference Analysis of Torsional Vibrations of Pretwisted, Rotating, Cantilever Beams with Effects of Warping / K.B.Subrahmanyam, K.R.V.Kaza // Journal of Sound and Vibration. – 1985. –    № 99(2). – P. 213-224.

                101