ТЕОРІЯ ТА ШВИДКОДІЮЧІ АПАРАТНО-ПРОГРАМНІ ЗАСОБИ ІТЕРАЦІЙНИХ МЕТОДІВ ОБЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ : ТЕОРИЯ И БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИЕ АППАРАТНО-ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Краткое описание

Національний університет “Львівська політехніка”

На правах рукопису

МОРОЗ ЛЕОНІД ВАСИЛЬОВИЧ

УДК 681.3

ТЕОРІЯ ТА ШВИДКОДІЮЧІ АПАРАТНО-ПРОГРАМНІ ЗАСОБИ ІТЕРАЦІЙНИХ МЕТОДІВ ОБЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ

05.13.05 – комп’ютерні системи та компоненти

Дисертація на здобуття наукового ступеня
доктора технічних наук

Науковий консультант –
доктор технічних наук,
професор Дудикевич В.Б.

Ідентичність усіх примірників дисертації
ЗАСВІДЧУЮ:
Вчений секретар спеціалізованої
вченої ради /Я. Луцик/

Львів – 2013

Зміст

ВСТУП 8
Розділ 1 АНАЛІЗ ТЕОРІЇ ІТЕРАЦІЙНИХ МЕТОДІВ ОБЧИСЛЕННЯ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ 16
1.1. Вступні зауваження 16
1.2. Аналіз швидкодії та точності наближень елементарних функцій рядами многочленів 21
1.2.1. Табличні методи 21
1.2.2. Ряд Тейлора для деяких функцій. 22
1.2.3. Наближення поліномами Чебишова 25
1.2.4. Мінімаксні наближення. 25
1.2.5. Швидкодія та точність наближень методів дробово-раціонального наближення та ланцюгових дробів 29
1.3. Аналіз методів з використанням інтерполювання, табулювання та апроксимації 30
1.4. Ітераційні методи обчислення елементарних функцій на основі рекурентних рівнянь 34
1.4.1. Дослідження методу цифрового диференціального аналізатора 36
1.4.2. Особливості обчислення функцій методом CORDIC 46
1.4.3. Метод функціональних ітерацій як метод прискорених обчислень 64
Висновки першого розділу 76
РОЗДІЛ 2. РОЗВИТОК ТЕОРІЇ МЕТОДУ ЦИФРОВОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО АНАЛІЗАТОРА 78
2.1. Вступні зауваження 78
2.2. Дослідження методів розв’язування рекурентних рівнянь при дискретизації породжуючих диференціальних рівнянь у методі ЦДА 79
2.2.1. Метод розв’язування систем лінійних однорідних диференціальних рівнянь 79
2.2.2. Метод розв’язування систем лінійних рекурентних рівнянь 81
2.2.3. Однокрокові методи чисельного інтегрування диференціюваних рівнянь для ЦДА-методу 82
2.2.4. Розв’язування систем лінійних рекурентних рівнянь для одно крокових методів 89
2.2.5. Двокрокові методи чисельного інтегрування диференціюваних рівнянь для ЦДА-методу 95
2.2.6. Розв’язування систем лінійних рекурентних рівнянь для двокрокових методів 102
2.3. Метод ЦДА з однорозрядними приростами 109
2.3.1. Реалізація гібридного методу обчислень функцій на основі табличного методу та методу ЦДА зі сталим кроком 109
2.3.2. Старт-стопні режими роботи структур ЦДА як спосіб розширення їх функціональних можливостей 113
2.3.3. Реалізація способу підвищення точності обчислень шляхом вибору початкових умов за розробленим критерієм 115
2.4. Використання критерію оцінки точності при побудові гіперболічних функцій 131
Висновки другого розділу 148
РОЗДІЛ 3. РОЗВИТОК ТЕОРІЇ МЕТОДУ ПСЕВДОПОВОРОТУ ВЕКТОРА (МЕТОД CORDIC) 149
3.1. Вступні зауваження 149
3.2. Розроблення узагальненої теорія методу Волдера на основі однокрокових методів чисельного інтегрування зі змінним кроком 150
3.2.1. Випадок узагальнення класичного методу CORDIC з використанням однокрокового методу Ейлера 155
3.3. Реалізація методу обчислення елементарних функцій на основі одностороннього повороту вектора (асинхронні структури) 163
3.3.1. Алгоритм CORDIC обчислення ATAN 165
3.3.2. Обчислення гіперболічних функцій синуса та косинуса та показникових і логарифмічних функцій з довільною основою 181
3.3.3. Випадок методу CORDIC з використанням однокрокового вдосконаленого методу Ейлера (методу Хойна або методу Рунге-Кутта ІІ-го порядку). 186
3.3.4. Модифікований метод CORDIC на основі ітераційних формул вищих різних порядків (інших однокрокових формул чисельного інтегрування) 199
3.3.5. Спосіб підвищення точності обчислень. 204
3.4. Реалізація експоненціальних функції з допомогою ітераційних формул вищих порядків. 206
3.5. Теоретичні основи побудови високоточних CORDIC- пристроїв зі зменшеною кількістю ітерацій. 208
3.6. Створення гібридного методу прискореного обчислення елементарних функцій 213
3.6.1. Базові основи алгоритму. 213
Висновки третього розділу 224
РОЗДІЛ 4. РОЗВИТОК МЕТОДУ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ ІТЕРАЦІЙ 225
4.1. Розроблення методики формування аналітичних функцій перетворення для нелінійних рекурентних рівнянь з метою опису функціонування структур 225
4.1.1. Аналітичний розв’язок для формули Герона 227
4.1.2. Розв’язок рекурентного рівняння для обчислення оберненої величини 228
4.2. Розроблення загального підходу для лінеаризації методу функціональних ітерацій 231
4.2.1. Обчислення оберненої величини ітераційним методом з лінійною збіжністю 232
4.2.2. Алгоритм ділення Ньютона-Рафсона 240
4.3. Оптимізація вибору початкового наближення для підвищення швидкодії обчислень 241
4.3.1. Порівняння мінімаксної лінійної апроксимації початкового наближення та лінійної апроксимації з мінімізацією відносної похибки 241
4.3.2. Обчислення оберненої величини з поділом аргументу на субінтервали (Reciprocal – Subintervals) 243
4.3.3. Вибір сталого початкового наближення для мінімізації абсолютної похибки обчислень на кожній ітерації 244
4.3.4. Вибір лінійного початкового наближення для мінімізації абсолютної похибки обчислень на кожній ітерації 246
4.3.5. Мінімаксна апроксимація 249
4.3.6. Випадок квадратичного наближення 249
4.4. Розроблення способу адитивної корекції (сталого зміщення) для зменшення абсолютної похибки обчислень 253
Висновки четвертого розділу 260
РОЗДІЛ 5. ПРАКТИЧНА РЕАЛІЗАЦІЯ РОЗРОБЛЕНИХ АЛГОРИТМІВ 261
5.1. Рекурсивні цифрові квадратурні генератори 261
5.2. Конструкція рекурсивних цифрових квадратурних генераторів 261
5.2.1. Модифікований біквадрат 261
5.2.2. Двокрокова форма з обертанням 263
5.3. Властивості рекурсивного квадратурного генератора 265
5.3.1. Результати симуляції 266
5.4. Практична реалізація CORDIC методу та модифікованих його варіантів на процесорах архітектури IA32 (х86) 269
5.4.1. Класична реалізація CORDIC-методу 270
5.4.2. Застосування методу залишкового кута 270
5.4.3. Табличний метод прискорення алгоритму 272
5.4.4. Гібридний метод CORDIC 273
5.5. Визначення похибок алгоритмів 276
5.6. Порівняння швидкодії алгоритмів. 279
5.7. Аналіз швидкодії найбільш ефективних методів 282
5.8. Порівняння швидкодії і точності класичного та гібридного методів CORDIC на платформі IA32 із застосуванням методів їх оптимізації. 286
5.8.1. Гібридний метод 289
5.9. Мікроконтролерний синусно-косинусний обчислювач підвищеної швидкодії 291
5.9.1. Апаратні особливості та програмна реалізація 291
5.9.2. Метод одностороннього повороту 294
5.9.3. Метод залишкового множення 296
5.9.4. Порівняння на мікроконтролері 297
5.10. Реалізація методу CORDIC для обчислення функції арктангенса 298
5.10.1. Запропонований метод обчислення. 299
5.10.2. Вдосконалений метод обчислення. 300
5.10.3. Результати моделювання. 302
5.11. Результати імплементації на ПЛІС синусно-косинусних CORDIC процесорів. 304
5.12. Коловий інтерполятор 304
5.12.1. Запропонований алгоритм 305
Висновки п’ятого розділу 310
ВИСНОВКИ 311
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 313
ДОДАТКИ 351
Додаток А. Імітаційна модель синусно-косинусного обчислювача, збудованого за схемою ПЗП + класичний CORDIC (немодифікований) 351
Додаток Б. Імітаційна модель синусно-косинусного обчислювача, збудованого за схемою ПЗП + класичний CORDIC (модифікований Байков) 358
Додаток В. Програма для визначення кількості тактів процесора ІА32 365
Додаток Г. Акти впровадження 367

Вступ
Актуальність теми. Однією з важливих задач теорії сучасних методів обчислення функцій є обчислення елементарних функцій. Підвищення швидкодії та точності обчислення таких функцій є нагальною потребою для різноманітних областей науки та техніки, зокрема, таких як цифрова обробка сигналів, телекомунікація, телеметрія, автоматика, комп’ютерна графіка, робототехніка, навігація, криптографія, радіолокація, технічні та наукові дослідження і т.д.
Обчислення функцій може здійснюватися різноманітними методами, основними з яких є табличні, таблично-алгоритмічні, апроксимаційні та ітераційні. Теоретичні основи табличних методів обчислення функцій базуються на формуванні переглядових таблиць, у які записані значення аргументу та функції. Практична реалізація таких методів обмежується можливостями сучасних технологій. Так, для найпоширенішого у даний час 32 бітного аргументу необхідно сформувати таблицю значень функції, об’єм якої буде складати 17 Гбайтів, а для 64 бітного аргументу – 1,476∙1020 байтів, що значно перевищує можливості сучасних технологій. Враховуючи, що, наприклад, потреби сучасної криптології та шифрування даних складають 128, 256 та 512 бітів, використання у даній галузі табличних методів обчислення функцій є малоймовірним у найближчій перспективі.
Апроксимаційні методи обчислення функцій базуються на наближенні заданих залежностей функціями, які мають простіші структуру та програмну чи апаратну реалізацію (степеневі ряди, дробово-раціональні наближення, поліноми Чебишова, ланцюгові дроби, мінімаксні наближення тощо). Головним недоліком таких методів, що суттєво звужує область їхнього використання, є велике число елементарних операцій таких як множення та ділення, які складно реалізуються на програмному чи апаратному рівнях.
Шляхом поєднання табличних та апроксимаційних методів обчислення функцій було реалізовано таблично-апроксимаційний метод, головним недоліком якого залишається значний об’єм таблиць для різних ділянок апроксимації.
Методи послідовних наближень, що базуються на принципі стиснення відображень Банаха і описуються рекурентними рівняннями, формують множину ітераційних методів обчислення функцій. До цих методів можна віднести, зокрема, метод цифрового диференціального аналізатора (ЦДА), метод псевдоповороту вектора (метод CORDIC – Coordinate Rotation Digital Computer) та метод функціональних ітерацій.
К. Шеннон заклав теоретичні основи методу ЦДА, який базується на чисельному розв’язуванні породжуючих диференціальних рівнянь для даної функції. Головною перевагою даного методу є відносна простота структур обчислювачів та висока швидкодія оброблення аргументів, які представлені число-імпульсним кодом. Однак, у випадку обробки позиційних кодів та у багатьох інших випадках недостатніми є швидкодія структур ЦДА та точність обчислення через використання у відомих пристроях ЦДА однорозрядних приростів та низькоточних формул чисельного інтегрування.
Теоретичні основи методу CORDIC базуються на відомих та простих принципах двовимірної геометрії і були закладені Д. Волдером у середині минулого століття. Особлива привабливість методу полягає у тому, що за допомогою простих операцій зсуву та додавання можна обчислювати такі складні функції, як прямі і обернені тригонометричні та гіперболічні функції, логарифмічні та експоненціальні функції і т.д. Даний метод є широко вживаний при реалізації на таких ресурсно-обмежених платформах як мікроконтролери (МК) та програмовані логічні інтегральні схеми (ПЛІС), де, зазвичай, відсутні операції множення та ділення на операційному рівні. У той же час, оскільки метод CORDIC є методом обчислень з лінійною збіжністю, у багатьох випадках, забезпечуючи вищу, ніж у методі ЦДА, швидкодію, даний метод залишається достатньо повільним, що суттєво звужує область його можливого запровадження.
Метод функціональних ітерацій базується на ітераційній формулі Ньютона-Рафсона і широко використовується для обчислення таких функцій як добування квадратного кореня, оберненого квадратного кореня, ділення двох чисел, обчислення оберненої величини у сучасних процесорах (спеціалізованих та загального призначення). Маючи квадратичну збіжність, реалізація методу є доволі простою і вимагає малої кількості ітерацій. Однак, на даний час у методі функціональних ітерацій недостатньо вивчені питання підняття точності та підвищення швидкодії без значного ускладнення алгоритмів обчислень.
У зв’язку із вищенаведеним, вдосконалення та реалізація теорії ітераційних методів обчислення елементарних функцій, зокрема, методів цифрового диференціального аналізатора, псевдоповороту вектора (метод CORDIC) та функціональних ітерацій, як методів підвищеної швидкодії та точності, є актуальною проблемою, розв’язання якої має важливе значення як для науки, так і для виробництва, і сприяє вдосконаленню відомих і появі нових високоефективних засобів, систем і технологій автоматизації, вимірювань, збору та обробки інформації.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи відповідає науковому напряму кафедри безпеки інформаційних технологій «Розробка та вдосконалення ітераційних методів обчислення елементарних функцій для систем захисту інформації» та виконана у межах науково-дослідних робіт: (№ 0198U002350), (№ 0100U000482), (№ 0102U001206), (№ 0104U002296), (№ 0106U001343), (№0110U004687).
Науковий напрям. Розвиток теорії ітераційних методів обчислення елементарних функцій та створення програмно-апаратних засобів на їх основі.
Мета і задачі досліджень. Метою роботи є вдосконалення теорії ітераційних методів обчислення елементарних функцій, зокрема, методів цифрового диференціального аналізатора, псевдоповороту вектора (метод CORDIC) та функціональних ітерацій, як методів підвищеної швидкодії та точності та створення програмно-апаратних засобів на їх основі.
У відповідності до поставленої мети завданнями дослідження були:
• Аналіз принципів побудови існуючих ітераційних методів обчислення функцій, дослідження їх характеристик і синтезу їх структур.
• Порівняльний аналіз швидкодії та точності обчислень при використанні однорозрядних та багаторозрядних приростів у методі цифрового диференціального аналізатора зі сталим кроком.
• Порівняльний аналіз швидкодії та точності обчислень функцій при використанні формул чисельного інтегрування різних порядків.
• Порівняння результатів функціонування структур за допомогою диференціальних та рекурентних рівнянь, як способу адекватного опису функціонування методу цифрового диференціального аналізатора (ЦДА) зі сталим кроком.
• Розвиток теорії методу цифрового диференціального аналізатора зі сталим кроком, що базується на комплексному використанні багаторозрядних приростів, формул чисельного інтегрування високих порядків (одкрокових, двокрокових) та переході від опису функціонування структур диференціальними рівняннями до їх опису за допомогою рекурентних рівнянь, як способу підвищення швидкодії та точності обчислень.
• Дослідження швидкодії та точності обчислень функцій при використанні методу цифрового диференціального аналізатора зі сталим кроком та методу цифрового диференціального аналізатора зі змінним крокoм (методу псевдоповороту вектора (CORDIC)).
• Вивчення можливості використання додаткової пам’яті для прискорення обчислень функцій у методі CORDIC шляхом заміни початкових ітерацій.
• Дослідження швидкодії методу CORDIC при використанні додаткових помножувачів для заміни кінцевих ітерацій.
• Дослідження способів зменшення коефіцієнта деформації модуля вектора для методу CORDIC.
• Розвиток теорії методу псевдоповороту вектора (CORDIC) шляхом поєднання методів цифрового диференціального аналізатора зі змінним кроком та гібридного способу обчислення, що забезпечує підвищення швидкодії та точності обчислень.
• Отримання розв’язків нелінійних рекурентних рівнянь, що описують алгоритми функціонування методу функціональних ітерацій.
• Підвищення швидкодії алгоритмів методу функціональних ітерацій шляхом вибору оптимальних початкових наближень.
• Вдосконалення теорії методу функціональних ітерацій, що базується на результатах розв’язування нелінійних рекурентних рівнянь, які дають аналітичні вирази похибок обчислень і є інструментом зменшення кількості ітерацій (підвищення швидкодії) та похибок.
• Реалізація розроблених алгоритмів з покращеними точнісними характеристиками, методів цифрового диференціального аналізатора зі сталим кроком, псевдоповороту вектора та функціональних ітерацій на апаратних платформах: мікроконтролери типу AVR ATmega16, процесори типу IA32 та програмовані логічні схеми (ПЛІС) Altera Stratix III.
• Створення нових швидкодіючих високоточних ЦДА-структур рекурсивних генераторів квадратурних сигналів та колових інтерполяторів спрощеної будови.
• Розроблення, на основі нових принципів організації CORDIC-структур, перетворювачів з покращеними метрологічними характеристиками, зокрема, адаптивних арктангенсних, ареа-тангенсних, експоненціальних, логарифмічних перетворювачів.
Об’єкт дослідження – процес функціонального перетворення інформації (обчислення функцій), що має форму число-імпульсного та позиційного коду.
Предмет дослідження – принципи, методи та засоби ітераційного обчислення функцій.
Методи досліджень. У роботі використані теоретичні основи інформаційно-вимірювальної техніки, основи функціонального аналізу, чисельних методів, методів наближення функцій, лінійної алгебри, комп’ютерної арифметики, методів синтезу цифрових автоматів. Результати теоретичних досліджень перевірялися шляхом імітаційного моделювання та за допомогою систем автоматизованого проектування ПЛІС.
Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:
1. Розвинуто теорію обчислення елементарних функцій ітераційним ЦДА-методом зі сталим кроком шляхом запровадження опису функціонування структур рекурентними рівняннями, розв’язки яких дозволяють оцінити методичні похибки отриманих результатів. Вперше отримано аналітичні розв’язки рекурентних лінійних рівнянь другого та четвертого порядків з комплексними коренями для однокрокових та двокрокових формул чисельного інтегрування.
2. Узагальнено класичний метод CORDIC та вперше створено теорію обчислення елементарних функцій гібридним методом CORDIC шляхом поєднання методів цифрового диференціального аналізатора зі змінним кроком та гібридного способу обчислення, а також створення нових ітераційних формул зі зменшеним коефіцієнтом деформації модуля вектора, що забезпечує підвищення швидкодії обчислень приблизно у два та більше рази при тій же точності .
3. Розвинуто теорію методу функціональних ітерацій, у якій вперше аналітично описано похибки лінійних та нелінійних ітераційних процесів, що дозволило створити спосіб адитивної корекції результатів обчислень на кожній ітерації, використання якого зменшує значення абсолютної похибки (від 2 до сотень тисяч разів у залежності від кількості ітерацій), а також запропоновано алгоритм вибору оптимальних початкових наближень, що підвищує швидкодію обчислень. Запропоновано структуру для обчислення обернених значень функції, що в два рази зменшує апаратні витрати на її реалізацію з одночасним підвищенням точності обчислень.
4. На основі розроблених алгоритмів ЦДА-методу зі сталим кроком вперше реалізовано цифровий генератор квадратурних сигналів та коловий інтерполятор спрощеної будови без методичної похибки.
5. Вперше запропоновано та реалізовано підхід для суттєвого розширення функціональних можливостей методу CORDIC, який дав можливість виконувати обчислення з базовими показниковими та логарифмічними функціями з довільною основою (не тільки основою ) без жодних апаратних ускладнень процесорів.
6. Вперше запропоновано гібридний спосіб побудови функціональних процесорів типу “поворот вектора”, у якому використано поєднання класичного та вільного від масштабування CORDIC-методів і множення на скоригований залишковий кут, завдяки чому підвищується швидкодія та спрощується структура процесорів за рахунок економії двох вихідних масштабуючих матричних помножувачів .
Практичне значення одержаних результатів.
1. Результати, одержані у дисертаційній роботі, дають можливість покращити метрологічні характеристики структур ітераційних обчислювачів елементарних функцій.
2. На основі розробленої теорії ЦДА-методу зі сталим кроком реалізовано цифровий генератор синусоїдальних сигналів для генерування квадратурних гармонічних сигналів методом прямого цифрового синтезу з можливістю оперативного керування частотою вихідних сигналів, що мають мінімальні амплітудні і фазові похибки та високу спектральну чистоту.
3. На основі розробленої теорії обчислення елементарних функцій гібридним методом CORDIC створено та досліджено структуру швидкодіючого цифрового конвеєрного обчислювача функцій синуса та косинуса.
4. На основі створеної теорії обчислення елементарних функцій гібридним методом CORDIC реалізовано гібридний обчислювач синуса та косинуса у мікроконтролерному варіанті.
5. Розроблена теорія обчислення елементарних функцій гібридним методом CORDIC дозволяє реалізувати прямі та обернені гіперболічні функції.
6. На основі запропонованого узагальнення класичного методу CORDIC в режимах «обертання» та «вектор» показано можливість побудови реконфігурованого обчислювача елементарних функцій з розширеними функціональними можливостями.
У відповідності до угоди між «НВПП «Спаринг-Віст Центр» (м. Львів) і кафедрою безпеки інформаційних технологій Національного університету «Львівська політехніка», при безпосередній участі автора, розроблені документація і прикладні програми, які були використані при створенні швидкодіючих апаратно-програмних засобів опрацювання імпульсних і цифрових сигналів для багатофункціональних пристроїв вимірювання параметрів іонізуючого випромінювання.
Матеріали дисертації використовувались в навчальному процесі кафедри безпеки інформаційних технологій Національного університету “Львівська політехніка” в курсі “Спеціалізовані методи обчислень для інформаційно-комунікаційних систем”, дипломному проектуванні, магістерських роботах та дослідженнях аспірантів.
Особистий внесок здобувача. Усі основні наукові результати отримано автором самостійно. У роботах, що опубліковані у співавторстві, дисертанту належать постановка задач, концепції та принципи побудови, основні математичні викладки, розробка математичних моделей і аналіз результатів.
Апробація та результати дисертації. Основні положення та результати виконаних у дисертації досліджень доповідались і обговорювались на 9 міжнародних і республіканських науково-технічних конференціях, симпозіумах і семінарах, зокрема TCSET’2000. – Lviv-Slavsko, Ukraine, 2009; ACSN-2009 – Lviv, Ukraine 2009; EWDTS-2012 – Kharkiv, Ukraine; IEEE International Conference on consumer Electronics.– Las-Vegas, USA, 2011.
Публікації результатів досліджень. За темою дисертації опубліковано монографію, 37 наукових праць, у тому числі 22 статті у фахових періодичних виданнях, отримано 9 Авторських свідоцтв на винаходи.
Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел з 387 найменувань і додатків, викладена на 342 сторінках друкованого тексту, містить 280 сторінок основного тексту, 100 рисунків, 92 таблиць.

Список литературы

ВИСНОВКИ

У дисертації наведено теоретичне узагальнення і нове вирішення важливої наукової проблеми підвищеної швидкодії та точності ітераційних методів обчислення елементарних функцій, що виявляється у вдосконаленні та розвитку методів цифрового диференціального аналізатора, псевдоповороту вектора та функціональних ітерацій. Вирішення даної проблеми дозволило створити нові алгоритми і структури обчислювачів підвищеної швидкодії та точності.
В ході виконання досліджень було отримано такі результати:
1. Розвинуто теорію обчислення елементарних функцій ітераційним ЦДА-методом зі сталим кроком шляхом запровадження опису функціонування структур рекурентними рівняннями, розв’язки яких дозволяють оцінити методичні похибки отриманих результатів та отримати розв’язки рекурентних лінійних рівнянь другого та четвертого порядків з комплексними коренями для однокрокових та двокрокових формул чисельного інтегрування. Отримані розв’язки дозволяють зменшити або усунути вплив методичних похибок обчислень.
2. На основі розробленої теорії ЦДА-методому зі сталим кроком реалізовано цифровий генератор синусоїдальних сигналів без методичної похибки для генерування квадратурних гармонічних сигналів методом прямого цифрового синтезу з можливістю оперативного керування частотою вихідних сигналів, що мають мінімальні амплітудні і фазові похибки та високу спектральну чистоту.
3. Узагальнено класичний метод CORDIC шляхом математичного опису функціонування методу у режимі «обертання» і «вектор», що дозволило отримати універсальні формули класичного методу CORDIC. Показана можливість побудови на цій основі реконфігурованого обчислювача елементарних функцій з розширеними функціональними можливостями.
4. Вперше створено теорію обчислення елементарних функцій гібридним методом CORDIC шляхом поєднання методів цифрового диференціального аналізатора зі змінним кроком, постійних запам’ятовуючих пристроїв та вихідних помножувачів. Розроблена теорія дозволяє реалізувати прямі та обернені тригонометричні, гіперболічні експоненціальні та показникові функції.
5. Запропоновано нові ітераційні формули методу CORDIC зі зменшеним коефіцієнтом деформації модуля вектора, що підвищує швидкодію та точність обчислень.
6. Запропоновано спосіб корекції коефіцієнта деформації модуля вектора для відомих та запропонованих ітераційних формул методу CORDIC.
7. На основі розробленої теорії обчислення елементарних функцій гібридним методом CORDIC створено та досліджено структуру швидкодіючого цифрового конвеєрного обчислювача функцій синуса та косинуса.
8. На основі створеної теорії обчислення елементарних функцій гібридним методом CORDIC вперше реалізовано гібридний обчислювач синуса та косинуса у мікроконтролерному та ПЛІС варіантах.
9. Вперше запропоновано та реалізовано підхід для розширення функціональних можливостей методу CORDIC за рахунок обчислення показникової та логарифмічної функцій.
10. Розвинуто теорію методу функціональних ітерацій, зокрема, вперше аналітично описано похибки перетворень, що дозволило створити спосіб сталого змішення результатів перетворень, використання якого зменшує значення абсолютної похибки (від 2 до сотень тисяч разів).
11. Запропоновано алгоритм вибору оптимальних початкових наближень для обчислення кореня квадратного, оберненої величини та оберненого кореня квадратного, що зменшує похибки обчислень і підвищує їх швидкодію.
12. Запропоновано структуру для обчислення обернених значень методом функціональних ітерацій, що у два рази зменшує апаратні витрати на її реалізацію.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Абрамсон И. Т. Методы вычисления элементарных функций на цифровых моделях. - Управляющие системы и машины [Текст] / И. Т. Абрамсон, Л. Я. Лапкин, В. Б. Смолов. – М. : 1978. – 85-90 с.
2. Алексенко А.Г. Перестраиваемые цифровые структуры на основе интегрирующих процессоров. [Текст] / А. Г. Алексенко, А. В. Каляев, В. И. Лукиенко, О. Б. Макаревич, В. Н. Мышляев. – М. : Радио и связь, 1982.
– 368 с.
3. Альберг Дж. Теория сплайнов и ее приложения. [Текст] / Дж. Альберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш : пер. с англ. – М. : Мир, 1972. – 320 с.
4. Аристов В. В. Интегро-алгоритмические вычисления. [Текст] / В. В. Аристов. – К. : Наукова думка, 1980. – 190 с.
5. Аристов В.В. Функциональные макрооперации. Основы итерационных алгоритмов. [Текст] / В. В. Аристов. –К.: Наукова думка, 1992. –280 с.
6. Армстронг Дж. Р. Моделирование цифровых систем на языке VHDL [Текст] / Дж. Р. Армстронг : пер. с англ. – М. : Мир, 1992. – 175 с.
7. Ахо А. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. [Текст] / А. Ахо, Дж. Хопкрофт, Дж. Ульман : пер. с анг. – М. : Мир, 1979. – 536 с.
8. Байков В .Д. Решение траекторных задач в микропроцессорныхсистемах ЧПУ. [Текст] / В. Д. Байков, С. Н. Вашкевич. – Л. : Машиностроение, 1986.
– 106 с.
9. Байков В. Д. Аппаратурная реализация элементарных функций в ЦВМ. [Текст] / В. Д. Байков, В. Б. Смолов. – Л. : Изд.ЖУ, 1975. – 96с.
10. Байков В. Д. Вычисление элементарных функций в ЭКВМ. [Текст] / В. Д. Байков, С. А. Селютин. – М. : Радио и связь, 1982. – С.28-33.
11. Байков В. Д. Специализированные процессоры: итерационные алгоритмы и структуры. [Текст] / В. Д. Байков, В. Б. Смолов – М. : Радио и связь, 1985. – 288 с.
12. Балашов Е. П. Высокопроизводительные специализированные процессоры для вычисления элементарных функций. [Текст] / Е. П. Балашов, А. И. Водяхо, Д. В. Пузанков, Ю. Г. Серегин, В. Б. Смолов, В. В. Шаляпин / / Электронное моделирование. – 1983. – № 4. – С.61-65.
13. Балашов Е. П. К вопросу применения сокращенных таблиц функций для построения высокопроизводительных однородных процессоров. [Текст] / Е. П. Балашов, В. Б. Смолов, А. А. Смагин, О. Г. Кокаев, В. Н. Уланов / / Управляющие системы и машины, 1975. – №3. – С. 99-102.
14. Баран Р.Д. Порівняльний аналіз способів розширення динамічного діапазону ЧІФП з додатним зворотним зв’язком / Р.Д. Баран, О.С. Вітер, В.М. Максимович, Л.В. Мороз // Вісник НУ “Львівська політехніка” “Автоматика, вимірювання та керування”. – 2004. –  500. – С. 88-94.
15. Баранов В. П. О погрешности цифро-частотного интегрирования [Текст] /В. П. Баранов/ / Автометрия. – 1981. – №2. – С. 100-103.
16. Бахвалов Н. С. Численные методы. [Текст] / Н. С. Бахвалов. – М. : г Наука, 1973 – 632 с.
17. Бахтиаров Г. Д. Алгоритм Волдера и его применение в вычислительной технике и цифровой обработке сигналов. [Текст] / Г. Д. Бахтиаров, Н. Л. Зиняков / / Зарубежная радиоэлектроника. – 1983. – JE3. – С. 3-23.
18. Башлаков Е. П. Вопросы развития структур малых ЦВМ с произвольной значностью используемой системой счисления. Кибернетика. [Текст] / Е. П. Башлаков, А. А. Ерема-Еременко, Ю. Л. Иваськиев, О. А. Старо-войтенко. – 1972. – С.74-78.
19. Бейкер Дж. Аппроксимации Паде. [Текст] / Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис – М. : Мир, 1986 – 502 с.
20. Бибило П. Н. Основы языка VHDL. [Текст] / П. Н. Бибило. – М. : Солон-Р, 2000 – 200 с.
21. Благовещенский Ю. В. Вычисление элементарных функций на ЭВМ. [Текст] / Ю. В. Благовещенский, Г. С. Теслер. – К. : Техника, 1977. – 208 с.
22. Борецький Т. Реалізація класичного та адаптивного CORDIC-методу на платформі ІА32 / Т. Борецький, Л. Мороз // Збірник наукових праць Української академії друкарства “Комп’ютерні технології друкарства”. – 2012. – № 28. – С. 123-32.
23. Боюн В. П. Динамическая теория информации. Основы и приложения. [Текст] / В. П. Боюн. – К. : Ин-т кибернетики им. В.М.Глушкова НАН Украины, 2001. – 326 с.
24. Браго Е. Н. Вопросы теории алгоритмических погрешностей двоичных умножителей. [Текст] / Е. Н. Браго, Н. З. Аронзон. – М., 1977. – Деп. В ВИНИТИ. – № 2970.
25. Браго Е. Н. Вопросы теории и построения локальных ИИС на основе функциональных цифровых преобразователей [Текст] : Автореф. дис. … д-ра техн. наук. – М., 1978. – 42 с.
26. Бреслав И. З. Структура и точность кругового интерполятора с большим шагом интерполяции. Станки с ЧПУ, участки и автоматические линии на их основе: материалы семинара. [Текст] / И. З. Бреслав, И. И. Томашевская. – М. :МДНТП, 1974. – С. 96-102.
27. Будз Б. Д. Імітаційне моделювання число-імпульсних функціональних перетворювачів зі зрівноважуванням. [Текст] / Б. Д. Будз, В. Б. Дудикевич. / / Вісник Вінницького політехнічного інституту. – 2007. - №1(70). – с. 45-50.
28. Варга Е. С. Устройство для вычисления тригонометрических функций. [Текст] / Е. С. Варга. – А.с. 796850 СССР. – 3 с.
29. Васенкова А. А. Микропроцессорные БИС и микро-ЭВМ. Построение и применение. [Текст] / А. А. Васенкова. – М. : Сов.радио, 1980. – 279с.
30. Вигодський М. Я. Справочник по высшей математике. [Текст] / М. Я. Вигородський. – М. : Наука, 1965. – 872 с.
31. Виноградов И. М. Основы теории чисел. [Текст] / И. М. Виноградов. – М. : Наука, 1965. – 172 с.
32. Вітер О. С. Удосконалення число-імпульсних пристроїв для вимірювання і функціонального перетворення частотних і часових параметрів сигналів. [Текст]: Автореф. дис. к-та техн. наук. – Львів, 1999.– 19 с.
33. Владимирова Т. В. Матричная реализация гиперболических функций sht и cht. [Текст] / Т. В. Владимирова, А. И. Суейдан, Л. А. Шумилов : труды Второй научно- прикладной конференции (22-24 марта 1982). – София,1983. – С. 426-431.
34. Владимирова Т. В. Матричная реализация модифицированного метода Волдера для вычисления гиперболических функций. [Текст] / Т. В. Владимирова, Л. А. Шумилов : труды У1-ой научной конференции болгарских аспирантов, обучающихся в СССР, 15.06.1983. – М. – с.156-161.
35. Водяхо А. И. Функционально ориентированные процессоры. [Текст] / А. И. Водяхо, В. Б. Смолов, В. У. Плюснин, Д. В. Пузанков. – Л. : Машиностроение, 1988. – 224 с.
36. Воробель Р. А. Апроксимаційні методи реалізації експоненційних перетворень двовимірних сигналів. [Текст] / Р. А. Воробель, Я. В. Гапонюк, Б. О. Попов. / / Відбір і обробка інформації. – 1999. – №13(89). – С. 82-85.
37. Воробель Р. А. Функциональные преобразователи сигналов на основе кусочно-равномерных нелинейных сплайнов [Текст] : Автореф. дис. ... канд. техн. наук. – Львов, 1981. – 24с.
38. Воронов А. А. Цифровые аналоги для систем автоматического управления. [Текст] / А. А. Воронов. – М. : Изд-во АН СССР, 1960. – 196 с.
39. Гаврилюк М. А. Число-импульсный экспоненциональный преобразователь [Текст]/ М.А. Гаврилюк, Т.Г. Галамай, В.В. Древняк, Л.В. Мороз А.с. 1277099. СССР. МКИ G06F7/556 Опубл. 15.12.86, Бюл. № 46.
40. Гаврилюк М. А. Число-импульсный экспоненциональный преобразователь [Текст]/ М.А. Гаврилюк, Т.Г. Галамай, В.В. Древняк, Л.В. Мороз А.с. 1300492. СССР. МКИ G06F15/31 Опубл. 30.08.87, Бюл. № 12.
41. Гаврилюк М. А. Число-импульсный функциональный преобразователь. [Текст] / М. А. Гаврилюк, Л. В. Мороз. – А.c. СССР. – №1022160. – 1983.
42. Гаврилюк, М. А. Логарифмический преобразователь [Текст]/ М.А. Гаврилюк, Т.Г. Галамай, В.В. Древняк, Л.В. Мороз А.с. 1300492. СССР. МКИ G06F7/556 Опубл. 23.03.88, Бюл. № 11.
43. Галамай, Т. Г. Устройство для вычисления обратных тригонометрических функцій[Текст]/ Т.Г. Галамай, В.В. Древняк, Л.В. Мороз, М.А. Гаврилюк А.с. 1305672. СССР. МКИ G06F7/548 Опубл. 23.04.87, Бюл. № 15.
44. Галамай, Т. Г. Устройство для вычисления обратных тригонометрических функцій[Текст]/ Т.Г. Галамай, В.В. Древняк, Л.В. Мороз, М.А. Гаврилюк А.с. 1324027. СССР. МКИ G06F7/556 Опубл. 15.07.87, Бюл. № 26.
45. Галамай, Т. Г. Устройство для вычисления обратных тригонометрических функцій[Текст]/ Т.Г. Галамай, В.В. Древняк, Л.В. Мороз, М.А. Гаврилюк А.с. 1357955. СССР. МКИ G06F7/556 Опубл. 07.12.87, Бюл. № 45.
46. Галамай Т. Г. Устройство для вычисления обратных тригонометрических и гиперболических функций. [Текст] / Т. Г. Галамай, В. Б. Дудикевич, Р. А. Журавский, Л. В. Мороз. – А.с. 983709 СССР, МКИ G06F. – 3 с.
47. Галамай Т. Г. Устройство для вычисления обратных тригонометрических функций. [Текст] / Т. Г. Галамай, В. В. Древняк, В. Б. Дудикевич, Л. В. Мороз. – А.с. 1305672 СССР, МКИ G06F (СССР). – 4 с.
48. Галамай Т. Г. Функциональный преобразователь. [Текст] / Т. Г. Галамай, В. Б. Дудикевич, Л. В. Мороз. – А.с. 955040 СССР, МКИ G06F – 4 с.
49. Галамай Т. Г. Число-импульсное устройство для извлечения квадратного корня. [Текст] / Т. Г. Галамай, В. В. Древняк, В. Б. Дудикевич, Л. В. Мороз. – А.с. 1170452 СССР, МКИ G06F. – 4 с.
50. Гапонюк Я. В. Двовимірне функціональне перетворення сигналів з використанням мінімаксних наближень. [Текст]: Автореф. дис. … к-та техн. наук. – Львів, 2000.– 17 с.
51. Гапонюк Я. В. Методика синтезу цифро-частотних структур для відтворення функцій однієї змінної [Текст] / Я. В. Гапонюк. / / Відбір і обробка інформації. – 1997. – №11 (87). – с.64-67.
52. Гловацкая А.П. Методы и алгоритмы вычеслительной математики [Тескт] / Гловацкая А.П. // Учеб. пособие для вузов - М.:Радио и связь, 1999. - 408 с.
53. Горпенюк А. Я. Число-імпульсний функціональний блок широкодіапазонного цифрового частотоміра. [Текст] / А. Я. Горпенюк, В. Б. Дудикевич, А. Е. Лагун. / / Вісник НУ “Львівська політехніка”, Автоматика, вимірювання та керування. – 2004. – №500. – с.81-88.
54. Горпенюк А. Я. Експоненційний функціональний перетворювач покращеної точності. [Текст] / А. Я. Горпенюк, В. Б. Дудикевич, А. Е. Лагун. / / Вісник ДУ “Львівська політехніка”, Автоматика, вимірювання та керування. – 2000. – №389. – с.58-65.
55. Горпенюк А. Я. Імітаційне моделювання конвеєрних число-імпульсних функціональних перетворювачів. [Текст] / А. Я. Горпенюк, В. Б. Дудикевич, Н. М. Лужецька. / / Вісник Національного університету “Львівська політехніка” “Автоматика, вимірювання та керування”. – 2005. – № 530. – с. 66-75.
56. Горпенюк А. Я. Реверсивні число-імпульсні функціональні перетворювачі [Текст] : Автореф. дис. … к-та техн. наук. – Львів, 1997. – 18 с.
57. Горпенюк А. Я. Широкодіапазонний синусно-косинусний функціональний перетворювач. [Текст] / А. Я. Горпенюк, В. Б. Дудикевич, А. Е. Лагун. / / Вісник ДУ “Львівська політехніка”, Радіоелектроніка та телекомунікації. – 2000. – №387. – с.420-424.
58. Гоулд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов – M.: Сов. Радио, 1973.
59. Грицик Р.І. Стенд функціонального контролю ВІС / Р.І. Грицик, О.М. Воронов, Л.М. Кашперська, Л.М. Мороз // Вісник ДУ “Львівська політехніка” “Автоматика, вимірювання та керування”. – 1997. –  314. – 41-44.
60. Гук М. Ю. Аппаратные средства IBM PC [Текст] : Энциклопедия. СПб. : Питер, 1998. – 815 с.
61. Данчеев В. П. Организация структур и теория точности цифро-частотных вычислительных устройств. [Текст] : Автореф. дис. … д-ра техн. наук. – Москва, 1980. – 40 с.
62. Данчеев В. П. Развертывающие цифровые функциональные преобразователи: Гибкое использование памяти. [Текст] / В. П. Данчеев, К. К. Кинкладзе. – М. : Энергоатомиздат, 1990. – 120 с.
63. Данчеев В. П. Цифро-частотные вычислительные устройства. [Текст] / В. П. Данчеев. – М.: Энергия, 1976. – 176 с.
64. Демидович Б. П. Основы вычислительной математики. [Текст] / Б. П. Демидович, И. А. Марон. – М.: Наука, 1966. – 664 с.
65. Дригваль Г. П. Цифровые дифференциальные анализаторы. [Текст] / Г. П. Дригваль. – М. : Сов. Радио, 1970. – 456 с.
66. Дудикевич В.Б. Число-імпульсні функціональні перетворювачі з імпульсними зворотними зв’язками / В.Б. Дудикевич, В.М. Максимович, Л.В. Мороз / [Монографія]. Видавництво Львівської політехніки. – 2011. – 244 С.
67. Дудикевич В. Б. Логарифмический преобразователь. [Текст] / В, Б. Дудикевич, Л. В. Мороз. – 1037248. Опубл. В Б.И, 1983. – №31 – 23.08.1983.
68. Дудикевич В. Б. Використання обернено пропорційних перетворювачів із змінною розрядністю для вимірювання частоти. [Текст] / В. Б. Дудикевич, Р. Д. Баран, В. М. Максимович, Л. В. Мороз. / / Вісник ДУ “Львівська політехніка” - “Радіоелектроніка та телекомунікації”. – 2000. – №387. – С. 212-216.
69. Дудикевич В.Б. Дослідження похибок помножувача типу 4527 / В.Б Дудикевич, Л.В. Мороз // Вісник ДУ “Львівська політехніка”, “Контрольно-вимірювальна техніка”. – 1996. –  52. – С. 82-86.
70. Дудыкевич В. Б. Логарифмический преобразователь, [Текст] / В. Б. Дудикевич, Л. В. Мороз. – А.с. СССР , №1037248, МКИ G06F. – 3 с.
71. Дудыкевич В. Б. Исследование погрешностей управляемых делителей частоты на базе накапливающих сумматоров. [Текст] / В. Б. Дудикевич, А. С. Витер. / / Контрольно измерительная техника. – Львов. – 1982. – Вып.32. – С. 3-7.
72. Дудыкевич В. Б. Специализированные периферийные процессоры для первичной обработки информации. [Текст] / В. Б. Дудикевич. / / Диагностика и коррекция погрешностей преобразователей технологической информации: Тез. докл. Респ. науч.-техн. конф. – Киев, 1989. – С. 108-109.
73. Дудыкевич В. Б. Число-импульсные измерительные преобразователи [Текст] : Автореф. дис. … д-ра техн. наук. Львов, 1991. – 36 с.
74. Евдокимов В. Ф. Параллельные вычислительные структуры на основе разрядных методов вычислений. [Текст] / В.Ф. Евдокимов, А. И. Стасюк. – К.: Наук. думка, 1987. – 312 с.
75. Евстигнеев В. Г. Недвоичная машинная арифметика и специализированные процессоры . [Текст] / под. ред. И. Я. Акушского. – М. : МИФИ СЕРВИС, 1992 – 266 с.
76. Ермаков Н. С. Разработка и исследование многофункциональных развертывающих цифровых преобразователей [Текст] : Автореф. дис. ... канд. техн. наук.. – М. : 1990. – 19с.
77. Захаров А. В. CORDIC-алгоритмы. Современное состояние и перспективы. [Текст] / А. В. Захаров, В. М. Хачумов. / /. Алгоритмы CORDIC. – Переславль-Залесский, 2004 – с. 353 372.
78. Зотов В. Ю. Проектирование цифровых устройств на основе ПЛИС фирмы XILINX в САПР WebPACK ISE. [Текст] / В. Ю. Зотов. – М. : Горячая линия - Телеком, 2003. – 624 с.
79. Каляев А. В. Многопроцессорные системы с программируемой архитектурой. [Текст] / А. В. Каляев. – М. : Радио и связь, 1984. – 240 с.
80. Каневский Е. А. Вычисление элементарных функций в настольных ЭКВМ. [Текст] / Е. А. Каневский. // Вычисление функций и алгебраических выражений. – М. : ЦЭМИ АН СССР, 1969. – С. 2- 64.
81. Карцев М. А. Арифметика цифровых машин. [Текст] / М. А. Карцев. – М. : Наука, 1969, – 576 с.
82. Карцев М. А. Архитектура цифрових вычислительных машин. – М. : Наука, 1978..
83. Карцев М. А. Выичслительные системы и синхронная арифметика. [Текст] / М. А. Карцев, В. А. Брик. – М. : Радио и связь, 1981. – 360с.
84. Кирианаки Н. В. Методы и устройства цифрового измерения низких и инфранизких частот. [Текст] / Н. В. Кирианаки, В. Б. Дудикевич. – Львов, “Вища школа”, изд-во при Львов. ун-те, 1975. – 188 с.
85. Кирианаки Н. В. Цифровые измерения частотно-временных параметров сигналов. [Текст] / Н. В. Кирианаки, Р. М. Гайдучок. – Львов, “Вища школа”, изд-во при Львов. ун-те, 1978. – 167 с.
86. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. [Текст] / Д. Кнут. / / Получисленные алгоритмы. – М. : Мир, 1977. – 720с.
87. Кожневская И. Теория обновления основных фондов и рекуррентные уравнения. [Текст] / Кожневская И. / / - Москва, Статистика,1971.
88. Коллатц Л. Теория приближений: чебышевские приближения и их приложения. [Текст] / Л. Коллатц, В. Крабе; пер. с нем.: Б.И. Голубова; под ред. С.Б. Стечкина. – М. : Наука, 1978. – 271 с.
89. Кондалёв А. И. Высокопроизводительные преобразователи форм информации. [Текст] / А. И. Кондалев, В. А. Романов, В. А. Фабричев. – Киев: Наукова думка, 1987. – 280 с.
90. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения. [Текст] / Н. П. Корнейчук. – М. : Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 352 с.
91. Корнійчук В. І. Основи комп’ютерної арифметики. [Текст] / В. І. Корнійчук, В. П. Тарасенко, О. В. Тарасенко-Клятченко. – К.:Корнійчук, - 2007, - 161 с.
92. Кошарновский А. Н. Разработка и исследование алгоритмов и процессоров вычисления значений элементарных функций. [Текст] : Автореф. дис. кандидата технических наук. – Москва, МИЭТ, 2000.
93. Кужий Л. И. Табличные процессоры с неравномерными интервалами. [Текст] / Л. И. Кужий, Б. Я. Попов, Я. И. Фет. / / Вычислительные системы, вып.90, 1981. – Новосибирск. – с.132-144.
94. Кун С. Матричные процессоры на СБИС. [Текст] / С. Кун. – М.: Мир, – 1991, – С. 672.
95. Лайонс Р. Цыфровая обработка сигналов. [Текст] / Лайонс Р.- М. Бином, -2006,- 653 с.
96. Лагун А. Е. Автоматизований структурний синтез число-імпульсних функціональних перетворювачів кодів. [Текст] / А. Е. Лагун // Вісник Державного університету “Львівська політехніка”, Автоматика, вимірювання та керування, 1999. – №366. – с.139-144.
97. Лапыгин Е. Д. Аппаратные методы ускорения вычисления некторых элементарных функций. [Текст] / Е. Д. Лапыгин. / / Вопросы радиоэлектроники. Сер.XII (Общетехническая) , 1965/ – вып.4. – с.3-14.
98. Линский B. C. Вычисление элементарных функций в автоматических цифровыхмашинах. . [Текст] / В. С. Ланский // Вычислительная математика. 1957. – №2. – с.90-119.
99. Люстерник Л. А. Вычисление элементарных функций. [Текст] / Л. А. Люстерник, О. А. Червоненко, А. Р. Янпольский. – М. : Физматгиз, 1963. – 247 с.
100. Лялин К. С. Исследование алгоритма множественного доступа с пространственным разделением каналов в системе с цифровой антенной решеткой. [Текст] / К. С. Лялин, В. И. Орешкин, Ж. В. Чиркунова. / / Изв. ВУЗов, "Электроника", №6. – М. : 2008г. – С.52-57.
101. Майоров С.А. Структура электронных вычислительных машин. [Текст] / С. А. Майоров, Г. И. Новиков. – Л. : Машиностроение, 1979. – 384 с.
102. Максимей И. В. Имитационное моделирование на ЭВМ. [Текст] / И. В. Максимей. – М.: Радио и связь, 1988. – 232 с.
103. Максимович В. М. Число-імпульсні функціональні перетворювачі з імпульсними зворотними зв’язками [Текст] : Автореф. дис. д-pа техн. наук. Львів, 2007. – 33 с.
104. Максимович В.М. Синтез число-імпульсних функціональних перетворювачів із змінною розрядністю, що працюють у двійково-десятковому коді / В.М. Максимович, Л.В. Мороз, О.І. Гарасимчук // Вісник НУ “Львівська політехніка” “Автоматика, вимірювання та керування”. – 2009. –  639. – С. 102-106.
105. Максимович В.М. Критерії метрологічної доцільності використання вимірювальних ЧІФП / В.М. Максимович, Л.В. Мороз, З.М. Стрілецький // Міжвідомчий збірник наукових праць. “Відбір і обробка інформації”. – 2008. – № 29. – С. 43-49.
106. Максимович В.М. Критерії метрологічної доцільності використання ЧІФП з урахуванням їх швидкодії / В.М. Максимович, Л.В. Мороз, З.М. Стрілецький // Збірник наукових праць Української академії друкарства Комп’ютерні технології друкарства. – 2008. – № 20. – С. 148-157.
107. Малиновский Б. Н. Введение в кибернетическую технику: Обработка физической информации. [Текст] / Малиновский Б. Н., Боюн В.П., Козлов Л.Г., Соловьев В.П. – Киев Наук. думка, 1973.
108. Малиновский Б. Н. Введение в кибернетическую технику: Параллельные структуры и методы. [Текст] / Б. Н. Малиновский, В.П. Боюн, Л.Г.Козлов; под ред. А. В. Палагина. – Киев: Наукова думка, 1989 – 245 c.
109. Марковский А. Д. Структура вычислительных систем с точки зрения точности и алгебраических критериев качества вычислений. [Текст] : Дис. канд. физ.-мат. на-ук. – М. – 1980. – 205 с.
110. Маханов А. А. Вопросы проектирования процессоров с микропрограммной реализацией элементарных функций. [Текст] : Дис. на соискание ученой степени к.т.н. – Л. : ЛЭТИ, 1975.
111. Мельник А.А. Конвейерное устройство для вычисления логарифмической и экспоненциальной функции / А.А. Мельник // Авторское свидетельство СССР № 662937, 1983
112. Мельник А.А. Устройство для реализации алгоритма Волдера / А.А. Мельник // Авторское свидетельство СССР № 813423, 1981
113. Мельников А. А. Обработка частотных и временных импульсных сигналов. [Текст] / А. А. Мельников, А. Г. Рыжевский, Е. Ф. Трифонов. – М. : Энергия, 1976. – 136 с.
114. Микитів Т.М. Використання методу CORDIC у біометричних системах доступу на основі аналізу відбитків пальців [Текст] / Микитів Т.М., Мороз Л.В. // Матеріали 1-ої міжнародної науково-технічної конференції “Захист інформації і безпека інформаційних систем” – Львів, 31 травня – 01 червня, 2012 р.– C.90-91
115. Микитів Т.М. Мікроконтроллерний синусно-косинусний обчислювач підвищеної швидкодії / У.М. Микитів, Л.В. Мороз // Вісник НУ “Львівська політехніка” “Автоматика, вимірювання та керування”. – 2011. – 695. – С. 69-74.
116. Мороз Л.В. Число-імпульсні моделі нелінійних функціональних залежностей[Текст] / Мороз Л.В., Стахів М.Ю., Стрілецький З.М. // Наукові праці I Міжнародної конференції “Друкотехн – ’2005” – Львів 2005 – C. 188-197
117. Мороз Л.В. Корекція похибок число-імпульсних функціональних перетворювачів [Текст] / Мороз Л.В., Стахів М.Ю., Стахів Р.І. // Наукові праці ІІ Міжнародної науково-практичної конференції “Сучасні наукові дослідження - 2006” – Дніпропетровськ, 20-28 лютого 2006 р. – C 34 - 38.
118. Мороз Л. Апроксимація арктангенса / Л. Мороз, Ю. Голінко // Збірник наукових праць “Комп’ютерні технології друкарства” – 2009. – № 22. – С. 36-45.
119. Мороз Л. В. Измерительные число-импульсные функциональные преобразователи с улучшенными метрологическими характеристиками [Текст] : Автореф. дис. … к-та техн. наук. – Киев, 1984. – 22 с.
120. Мороз Л. В. Похибки двійкового число-імпульсного помножувача. [Текст] / Л. В. Мороз, М. Ю. Стахів // Вісник НУ„ЛП” „Автоматика, вимірювання та керування”. – 2005. – №530, – с. 13-22.
121. Мороз Л.В. Адаптивний CORDIC–метод обчислення деяких функцій / Л.В. Мороз // Збірник наукових праць Української академії друкарства “Комп’ютерні технології друкарства”. – 2010. – № 24. – С. 101-106.
122. Мороз Л.В. Аналіз шляхів покращення метрологічних характеристик число-імпульсних помножувачів / Л.В. Мороз, З.М. Стрілецький, М.Ю. Стахів // Збірник наукових праць Української академії друкарства Комп’ютерні технології друкарства. – 2002. – № 7. – С. 175-180.
123. Мороз Л.В. Використання методу CORDIC у біометричних системах доступу на основі аналізу відбитків пальців / Мороз Л.В., Микитів Т.М. / Науково-технічних журнал «Сучасний захист інформації» – 2012. – № 4, С.25-30.
124. Мороз Л.В. Дослідження модифікацій синусно-косинусних CORDIC алгоритмів на мікроконтролері AVR. [Текст] / Л. В. Мороз, Т. М. Микитів // Матеріали IV Міжнародної конференції молодих вчених CSE-2010. – 2010, – C. 218 – 219.
125. Мороз Л.В. Ітераційні формули для CORDIC-методу / Л.В. Мороз // Збірник наукових праць Української академії друкарства “Комп’ютерні технології друкарства”. – 2012. – № 28. – С. 101-111-120.
126. Мороз Л.В. Комплекс для налагоджування апаратури і програмного забезпечення інформаційно-керуючих систем / Л.В. Мороз, Р.І. Грицик, В.А. Канінський, О.М. Воронов // Вісник ДУ “Львівська політехніка” “Автоматика, вимірювання та керування”. – 1997. – 314. – С. 45-50.
127. Мороз Л.В. Метод дослідження характеристик цифрових синусно-косинусних генераторів / Л.В. Мороз // Міжвідомчий збірник наукових праць “Відбір і обробка інформації”. – 2012. – № 36(112). – С. 84-90.
128. Мухопад Ю. Ф. Проектирование специализированных микропроцессорных вычислителей. [Текст] / Ю. Ф. Мухопад. – Новосибирск : Наука, 1981. – 161 с.
129. Мэтьюз Джон Г. Numerical Methods: Using MATLAB", Third Edition. [Текст] / Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк. – Изд-во "Вильяме", 2001. – стр. 720
130. Мячев A. A. Персональные ЭВМ и микроЭВМ. Основы организации. Справочник. [Текст] / А. А. Мячев, В. Н. Степанков. – М. : Радио и связь, 1991. – 320 с.
131. Неслуховский К. С. Цифровые дифференциальные анализаторы. [Текст] / К. С. Неслуховский. – М. : Машиностроение, 1968, – 261 с.
132. Оберман Р.М. Счет и счетчики. [Текст] / Р.М. Оберман: пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1984. – 176 с.
133. Оранский А. М. Аппаратные методы в цифровой вычислительной технике. [Текст] / А. М. Оранский. – Минск : Изд.ЕСУ, 1977. – 208с.
134. Орешкин В. И. Оценка степени влияния дестабилизирующих факторов на характеристики цифровой антенной решетки. [Текст] : Дис. на соискание степени кандидата технических наук. – Москва, МИЭТ, 2009.
135. Орнатский П. П. Автоматические измерения и приборы. [Текст] / П. П. Орнатский. – К.: Вища шк., 1986. – 504 с.
136. Ортега Дж. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Ортега Дж., У. Пул // М.: "Наука", 1986 - 288 с
137. Осипов. А. Обработка сигналов на цифровых процессорах. Линейно-аппроксимирующий метод. [Текст] / Л. А. Осипов. – М.: Горячая линия - Телеком, 2001. — 112 с.
138. Отенко В. І. Число-імпульсні функціональні перетворювачі для систем керування. [Текст] : Автореф. дис. … канд. техн. наук.– Львів, 1998.– 18 с.
139. Палагин А. В. Мини-ЭBМ. Принципы построения и проектирования. [Текст] / А. В. Палагин, В. А. Иванов, А. Ф. Кургаев, В. П. Денисенко. – Киев: Наукова думка, 1975. – 200 с.
140. Палагин А.В. Реконфигурируемые вычислительные системы: Основы и приложения. [Текст] / А. В. Палагин. – К.: Просвіта, 2006. – 280 с.
141. Паламарюк Г. О. Об исследовании основных статистических характеристик выходного сигнала блока. [Текст] / Г. О. Паламарюк, Н. И. Котов. / / “Электронное моделирование”. – 1985, т.7. – №1. – с.52-56.
142. Паламарюк Г.О. Разработка и исследование средств частотно-импульсной вычислительной техники для реализации аппаратных методов воспроизведения математических операций: [Текст] : Автореф. дис. д-ра техн. наук. – Л., 1980. – 29 с.
143. Пантелеев С. В. Оптимизация алгоритмов обработки цифровой информации [Текст] / С. В. Пантелеев, С. Н. Данилин, А. В. Яковлев // 3-я Международная конференция DSPA - 2000.
144. Пархуць Л.Т. Число-імпульсний апроксиматор з каналом корекції / Л.Т. Пархуць, З.М. Стрілецький, Л.В. Мороз, Р.В. Сеньків // Вісник ДУ “Львівська політехніка” “Автоматика, вимірювання та керування”. – 1999. – № 366. – С. 123-127.
145. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. [Текст] / С. Пашковский. – М.:Наука. – 1983. – 384 с.
146. Пєтух А. М. Дослідження дискретизованих імпульсних потоків в інформаційно-вимірювальних системах. [Текст] : Автореф. дис. д-ра техн. наук. – Вінниця, – 1994. – 35 с.
147. Писарский А. В. К вопросу сходимости методов "цифра за цифрой" вычисления элементарных функций. [Текст] / А. В. Писарский, А. Ф. Кургаев, А. Ф. Палагин // Кибернетика. – 1974. – № 4. – С.147-149.
148. Попов Б. А. Вычисление функций на ЭВМ. Справочник. [Текст] / Б. А. Попов, Г. С. Теслер. – Киев: Наукова думка, – 1984. – 600 с.
149. Попов Б. А. Приближение функций для технических приложений. [Текст] / Б. А. Попов, Г. С. Теслер. – Киев: Наукова думка, – 1980. – 352 с.
150. Поспелов Д. А. Арифметические основы вычислительных машин дискретного действия [Текст] / А. Д. Поспелов. – М.: Высшая школа, – 1970. – 380 с.
151. Пузанков Д. В. Организация и проектирование функционально-ориентированных процессоров с регулярной структурой. [Текст] / Диссертация на соискание ученой степени д.т.н. В. Д. Пузанкова, – Л. :ЛЭТИ, – 1981.
152. Рабинер Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов. [Текст] / Л. Рабинер, Б. Гоулд. // Пер. с англ. М.: Мир, – 1978. – 848 с.
153. Рабинович З. Л. Типовые операции в вычислительных машинах. [Текст] / З. Л. Рабинович, В. А. Раманаускас. – Киев: Техника, – 1980. – 264 с.
154. Редкозубов С. А. Статистические методы прогнозирования в АСУ. [Текст] / С. А. Редкозубов, – М.: Энергоиздат, – 1981. – 151 с.
155. Ремез Р. Я. Основы численных методов чебышевского приближения. [Текст] / Р. Я. Ремез. – Киев: Наукова думка, – 1969. – 623 с.
156. Руфицкий М. В. Адаптивное дискретное косинусное преобразование [Текст] / М. В. Руфицкий, А. Слик, А. К. Филиппов // Материалы пятой международной научно-технической конференции «Перспективные технологии в средствах передачи информации», – Владимир: Связьоценка, – 2003. – С. 214-216.
157. Савельев А. Я. Арифметические и логические основы цифровых автоматов. [Текст] / А. Я. Савельев. – М.: Высшая школа, – 1980. – 255 с.
158. Самофалов К. Г. Цифровые электронные вычислительные машины. [Текст] / К. Г. Самофалов, В. И. Корнейчук, В. П. Тарасенко. – Киев: Вища школа. Головное изд-во, – 1983. – 455 с.
159. Селютин С. А. Исследование методов выполнения сложных математических операций в вычислительных структурах на БИС. [Текст] / Дис. на соискание ученой степени к.т.н. – Л.:ЛЭТИ, – 1980.
160. Cігов Б. О.Підвищення точності роботи цифрового інтегратора, побудованого на основі дільника частоти [Текст] / Б. О. Сігов. – Київ, „Автоматика”. – 1963. – № 1. – С. 39-53.
161. Скоробогатько В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. [Текст] / В. Я. Скоробогатько. – М.: Наука, – 1983. – 311 с.
162. Смолов В. Б. Время-импульсные вычислительные устройства. [Текст] / В. Б. Смолов, Е. П. Угрюмов, А. Б.Артамонов, [и др.]. – М.: Радио и связь. – 1983. – 288 с.
163. Смолов В. Б. Специализированные ЦВМ: Учебник для вузов [Текст] / В. Б. Смолов, В. В. Барашенков [и др.]. – М.: Высшая школа, – 1981. – 279 с.
164. Смолов В. Б. Функциональные преобразователи информации. [Текст] / В. Б. Смолов. – Л.: Энергоиздат, Ленинградское отд., – 1981. – 248с.
165. Соловьев В. В. Проектирование цифровых систем на основе программируемых логических интегральных схем. [Текст] / В. В. Соловьев. – М.: Горячая линия — Телеком, – 2001. – 636 с.
166. Стахів М. Ю. Дослідження похибок структур цифрових синусно-косинусних генераторів [Текст] / М. Ю. Стахів, Л. В. Мороз, Р. І. Стахів // Комп’ютерні технології друкарства. – Львів, – 2008, – № 20. – С.160-169.
167. Стахів М. Ю.Цифровий синусно-косинусний генератор. Методи та прилади контролю якості. [Текст] / М. Ю. Стахів, Л. В. Мороз, Н. С. Кожан. – 2007, – №19. – С.76-82.
168. Стахів М. Ю. Дослідження похибок двійково-десяткових помножувачів та дільників [Текст] / М. Ю. Стахів, Л. В. Мороз // Комп’ютерні технології друкарства. – Львів, 2006. – № 15. – С.208-216.
169. Стахів М. Ю. Корекція похибок число-імпульсних функціональних перетворювачів [Текст] / М. Ю. Стахів, Л. В. Мороз, Р. І. Стахів // ІІ Міжнародна науково-практична конференція “Сучасні наукові дослідження – ‘2006”, – 2006 р. – С.34-38.
170. Стахів М. Ю. Число-імпульсні моделі нелінійних функціональних залежностей [Текст] / М. Ю. Стахів, Л. В. Мороз, З. М. Стрілецький // Комп’ютерні технології друкарства, – Львів. – 2005. – № 13. – С.188-197.
171. Стешенко В. Б. ПЛИС фирмы «Altera»: элементная база, система проектирования и языки описания аппаратуры. [Текст] / В. Б. Стешенко. – М.: Издательский дом «Додэка-ХХ1», – 2002. – 576 с.
172. Стрилецкий З. М. Измерительные нелинейно-аппроксимирующие цифро-частотные функциональные преобразователи. [Текст] / Автореф. дис. канд. техн. наук. З. М. Стрилецкого. – Киев, – 1987. – 16 с.
173. Темников Ф.Е., Афонин В.А., Дмитриев В.И. Теоретические основы инфрмационной техники. – М.: Энергия, 1979.
174. Тентиева С. М. Исследование применения знакоразрядной системы счисления в матричных вычислительных устройствах. [Текст] / Диссертация на соискание ученой степени к.т.н. С. М. Тентиева. – Л.:ЛЭТИ, – 1978.
175. Теслер Г. С. Новая кибернетика. [Текст] / Г. С. Теслер. – К.: Логос. – 2004. – 404 с.
176. Трауб Д. Итерационные методы решения уравнений.. [Текст] / Трауб Д. // М.: Мир, 1983.
177. Фет Я.И. Массовая обработка информации в специализированных однородных процессорах. – Новосибирск: Наука, 1976.
178. Филиппов А. К. Базовые принципы построения комплементарных вычислительных устройств [Текст] / А. К. Филиппов// Электроника, информатика и управление: Сборник научных трудов преподавателей, сотрудников и аспирантов, – Вып. 5. – Владимир: ВлГУ, – 2004. – С. 4-8.
179. Филиппов А. К. Выбор метода вычисления функций для аппаратной реализации в ЭВС [Текст] / А. К. Филиппов // Проектирование и технология электронных средств. – 2004. – №1. – С. 31-35.
180. Филиппов А. К. Построение поведенческой модели устройства вычисления функций синус и косинус [Текст] / А. К. Филиппов // Электроника, информатика и управление: Сборник научных трудов преподавателей, сотрудников и аспирантов, – Вып. 3 – Владимир: ВлГУ, – 2002. – С. 70-74.
181. Филиппов А. К. Уменьшение интервала изменения аргумента для прямых тригонометрических функций [Текст] / А. К. Филиппов // Электроника, информатика и управление: Сборник научных трудов преподавателей, сотрудников, аспирантов, – Вып. 3 – Владимир: ВлГУ, – 2003. – С. 94-100.
182. Флоренсов А. Н. Таблично-алгоритмическая организация вычисления элементарных функций в ЦВМ. [Текст] / Авт. дис. на соискание ученой степени к.т.н. А. Н. Флоренсова. – Новосибирск, – 1981.
183. Чекушкин В. В.Способ и усройство вычисления квадратного корня. [Текст] / В. В.Чекушкин, А.А.Аверьянов, Богатов А.Д. //Патент РФ RU 2438160. – 27.12.2011, БИ №16.
184. Шауман А. М. Основы машинной арифметики. [Текст] / А. М. Шауман. – Л.: Изд.ЛГУ, – 1979. – 312с.
185. Шеннон К. Работы по теории информации в кибернетике. [Текст] / К. Шеннон [Пер. с англ.]. – 1963, – 829 с.
186. Шилейко А. В. Цифровые модели. [Текст] / А. В. Шилейко. – М.: Энергия, – 1964. – 111 с.
187. Штеттер Х. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. [Текст] / Х.Штеттер [Пер. с англ.]. – 1978, – 462 с.
188. Abu-El-Haija. A Digital Incremental Oscillator of Sinusoidal Waveforms In DPCM. [Text] / Abu-El-Haija, Al-Ibrahim // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. AE 2-22, – № 5, September, – 1986, – pp. 545-553.
189. Aggarwal S. Area-Time Efficient Scaling-Free CORDIC Using Generalized Micro-Rotation Selection. [Text] / Supriya Aggarwal, Pramod K. Meher, K. Khare // IEEE transactions on very large scale integration (vlsi) sistems. – vol. 20, – №.8, – August 2012, – pp. 1542– 1546.
190. Aggarwal S. Design techniques targeting low-area-power-delay product in hyperbolic CORDIC algorithm. [Text] / S. Aggarwal, K. Khare // The Computer Journal. – vol. 55. - № 5, - 2012, - pp. 616 – 628.
191. Aggarwal S. FPGA implementation of area–time efficient CORDIC processor dedicated to compute exponentials in neural networks. [Text] / S. Aggarwal, K. Khare // Int. J. Signal and Imaging Systems Engineering. – vol. 3, – № 4, – 2010, – pp. 255 – 260.
192. Aggarwal S. Hardware efficient architecture for generating sine/Cosine Waves. [Text] / S. Aggarwal, K. Khare // 25th International Conference on VLSI Design. – 2012, – pp. 57 – 61.
193. Aggarwal S. Leading one detection hyperbolic CORDIC with enhanced range of convergence. [Text] / S. Aggarwal, K. Khare // J Sign Process Syst. – vol. 70, – №1, – 2013, pp. 49 – 57.
194. Aggarwal S. Redesigned-Scale-Free CORDIC Algorithm Based FPGA Implementation of Window Functions to Minimize Area and Latency. [Text] / S. Aggarwal, K. Khare // International Journal of Reconfigurable Computing Volume 2012, Article ID 185784. – 2012, – pp. 1–8.
195. Aggarwal S. Scale-free hyperbolic CORDIC processor and its application to waveform generation. [Text] / S. Aggarwal, P. K. Meher, S. Member, K. Khare // IEEE Transactions on circuits and systems – vol. 60, – № 2, February 2013, – pp. 314 – 326.
196. Agrawal D. P. High-speed arithmetic Arrays. [Text] / D. P. Agrawal. – IEEE Transactions on Computers, – 1979, – vol. C-28, – March, – p.245-254.
197. Allie M. A Root of Less Evil [Text] / Allie M.Y., Lyons R. // IEEE Signal Processing Magazine. – March 2005, – pp. 93-96.
198. American National Standards Institute and Institute of Electrical and Electronic Engineers. IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic. ANSI/IEEE Standard, – Std 754-1985, – New York, – 1985.
199. Andraka R. A survey of CORDIC algorithms for FPGA based computers. [Text] / R. Andraka // Proceedings of the 1998 ACM/SIGDA sixth international symposium on Field Programmable Gate Arrays, – 1998, – p. 191-200.
200. ANSI Standard X3.159-1989. Programming Language C, – 1999.
201. ANSI/IEEE Std 1076-1987. IEEE Standard VHDL Language Reference Manual, New York: IEEE publication No. – SHI 1957.
202. ANSI/IEEE Std 1076-1993. IEEE Standard VHDL Language Reference Manual, New York: IEEE publication No. – SHI 6840.
203. Antelo E. High performance rotation architectures based on the radix-4 CORDIC algorithm. [Text] / E. Antelo, J. Villalba, J. D. Bruguera, E. L. Zapata // IEEE