АНАЛІЗ ДИСКРЕТНИХ ФУНКЦІЙ ТА СИНТЕЗ ЛОГІЧНИХ СХЕМ У ШТУЧНОМУ НЕЙРОБАЗИСІ : АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ ФУНКЦИЙ И СИНТЕЗ ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ В ИСКУССТВЕННОМ НЕЙРОБАЗИСЕ

Краткое описание

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Державний вищий навчальний заклад
''Ужгородський національний університет''

На правах рукопису

ГЕЧЕ ФЕДІР ЕЛЕМИРОВИЧ

УДК 681.5+519.7

АНАЛІЗ ДИСКРЕТНИХ ФУНКЦІЙ ТА СИНТЕЗ ЛОГІЧНИХ СХЕМ
У ШТУЧНОМУ НЕЙРОБАЗИСІ

05.13.23 – системи та засоби штучного інтелекту

Дисертація на здобуття наукового ступеня
доктора технічних наук

Науковий консультант:
Грицик Володимир Володимирович,
чл.-кор. НАН України, д.т.н., професор,
заслужений діяч науки і техніки України

Ідентичність всіх примірників дисертації
ЗАСВІДЧУЮ:
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Батюк А.Є.

Ужгород – 2013

ЗМІСТ

ПЕРЕЛІК УМОВНИХ СКОРОЧЕНЬ ТА ПОЗНАЧЕНЬ 5
ВСТУП 6
РОЗДІЛ 1. НЕЙРОННІ ЕЛЕМЕНТИ ТА НЕЙРОМЕРЕЖЕВІ СХЕМИ НАД АЛГЕБРАЇЧНИМИ СТРУКТУРАМИ 20
1.1. Історичний розвиток методів синтезу нейроелементів з
пороговою функцією активізації 20
1.2. Багатозначні нейроелементи з дискретними та неперервними
функціями активації 29
1.3. Висновки до розділу 33
РОЗДІЛ 2. МАТРИЦІ ТОЛЕРАНТНОСТІ ТА БУЛЬОВІ
НЕЙРОФУНКЦІЇ 35
2.1. Матриці толерантності та їх основні властивості 35
2.2. Критерій зображення бульових векторів матрицями
толерантності 43
2.3. Необхідні умови зображення множин бульових векторів матрицями толерантності 48
2.4. Достатні умови зображення множин бульових векторів матрицями толерантності 66
2.5. Реалізація функцій алгебри логіки одним нейронним елементом 80
2.6. Синтез цілочислових нейронних елементів та двошарових
нейромереж із додатковими обмеженнями на їх вектори структур 105
2.7. Висновки до розділу 123
РОЗДІЛ 3. АЛГЕБРАЇЧНІ ВЛАСТИВОСТІ НЕЙРОФУНКЦІЙ ТА
ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ В ЗАДАЧАХ СИНТЕЗУ КОМБІНАЦІЙНИХ
СХЕМ ІЗ НЕЙРОННИХ ЕЛЕМЕНТІВ ТА СУМАТОРІВ ЗА МОДУЛЕМ 2 124
3.1. Синтез комбінаційних схем з одного нейронного елемента
та суматорів за модулем 2 124
3.2. Спектральні властивості бульових функцій, реалізовних комбінаційною схемою з одного нейронного елемента та суматорів за
модулем 2 130
3.3. Алгебраїчні властивості нейробазису бульових функцій 137
3.4. Висновки до розділу 142
РОЗДІЛ 4. МЕТОДИ СИНТЕЗУ НЕЙРОННИХ ЕЛЕМЕНТІВ ІЗ
УЗАГАЛЬНЕНОЮ ПОРОГОВОЮ ФУНКЦІЄЮ АКТИВАЦІЇ 143
4.1. Реалізація бульових функцій одним нейронним елементом із узагальненою пороговою функцією активації 143
4.2. Синтез нейронних елементів із узагальненою пороговою функцією активації 147
4.2.1. Метод апроксимації 148
4.2.2. Ітераційний метод синтезу НЕ 157
4.2.3. Метод матриць толерантності для синтезу НЕ 167
4.3. Реалізація бульових функцій на двопорогових нейронних елементах 170
4.4. Висновки до розділу 181
РОЗДІЛ 5. ДИСКРЕТНІ НЕЙРОФУНКЦІЇ ТА СИНТЕЗ БАГАТОЗНАЧНИХ НЕЙРОННИХ ЕЛЕМЕНТІВ НАД ПОЛЕМ
ГАЛУА 183
5.1. Спектральний аналіз дискретних функцій над полем Галуа 183
5.2. Реалізовність дискретних функцій одним НЕ над скінченним полем Галуа 189
5.3. Спектральний метод синтезу НЕ над полем Галуа 194
5.4. Інваріантні операції над дискретними нейрофункціями 199
5.5. Дискретні нейрофункції над полем Галуа відносно довільної системи характерів 205
5.6. Дискретні нейрофункції над полем комплексних чисел відносно довільної системи характерів 208
5.7. Спектральний метод синтезу двошарової нейромережі над полем Галуа 210
5.8. Висновки до розділу 216
РОЗДІЛ 6. ОБРОБЛЕННЯ І РОЗПІЗНАВАННЯ ДИСКРЕТНИХ
СИГНАЛІВ ТА ЗОБРАЖЕНЬ У НЕЙРОБАЗИСІ 217
6.1. Розпізнавальна схема бінарних сигналів та зображень у нейробазисі 217
6.2. Алгоритм синтезу розпізнавальної схеми у нейробазисі 224
6.3. Представлення двовимірни х бінарних зображень у нейробазисі 241
6.4. Представлення та розпізнавання двовимірних бінарних зображень у просторі інформаційних векторів 250
6.4.1. Метод розпізнавання двовимірних бінарних зображень на основі властивостей функціоналу 252
6.4.2. Ознакові відношення толерантності в задачах розпізнавання двовимірних бінарних зображень 258
6.5. Оброблення багатовимірних та багатоградаційних зображень у нейробазисі 263
6.6. Висновки до розділу 265
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ 266
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 269
ДОДАТОК А. РЕЗУЛЬТАТИ ПРОГРАМИ СИНТЕЗУ ОПТИМАЛЬНИХ ЦІЛОЧИСЛОВИХ НЕЙРОННИХ ЕЛЕМЕНТІВ 292
ДОДАТОК Б. РЕЗУЛЬТАТИ РОЗПІЗНАВАННЯ БІНАРНИХ ЗОБРАЖЕНЬ НЕЙРОМЕРЕЖЕЮ 296
ДОДАТОК В. АКТИ ВПРОВАДЖЕННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ ДОСЛІДЖЕННЯ 304

ПЕРЕЛІК УМОВНИХ СКОРОЧЕНЬ ТА ПОЗНАЧЕНЬ

скінченне поле Галуа;

стенінь елемента ;

кількість елементів скінченного поля F;

опукла оболонка множини А;

групове кільце групи G над полем K;

група автоморфізмів групового кільця KG;

фундаментальний ідеал групового кільця ;

ядро бульової функції ;

множина зведених ядер бульової функції .

ВСТУП

Актуальність теми. Останні роки можна назвати періодом стрімкого розвитку технічних засобів та інформаційних технологій із високими показниками продуктивності, що призвело до створення та запровадження ефективніших методів оброблення та аналізу даних і до нових методів розв'язування складних прикладних задач. У зв'язку з цим спостерігається підвищений інтерес до нейроподібних структур, які знайшли широке застосування у різних галузях людської діяльності – розпізнавання образів, прогнозуванні, бізнесі, медицині, техніці [1-51]. Ефективне застосування нейроподібних структур для розв'язування практично важливих завдань у сферах:
– космонавтики – для оброблення аерокосмічної інформації;
– машинобудування – для проектування автоматичних систем керування;
– військової справи – для керування зброєю, виділення та розпізнавання об'єктів, оброблення звукових, радіолокаційних і телевізійних зображень;
– фінансової справи – для аналізу кредитних потоків, загального фінансового аналізу;
– передачі даних – для ущільнення даних, класифікації звукових та дискретних сигналів – стане можливим, якщо будуть розроблені практично придатні методи синтезу нейронних елементів (НЕ) та синтезу схем із них.
Значні ресурси, що інвестуються у створення програмного забезпечення і апаратної реалізації штучних нейромереж, а також широке застосування нейроподібних структур, свідчать про те, що проблема синтезу нейроелементів із різними функціями активації і побудова із них логічних схем є актуальною і практично важливою. Задача синтезу нейроподібних структур із дискретними функціями активації містить дві основні підзадачі:
– перша – перевірити, чи можна реалізувати дискретну функцію одним нейроелементом із вибраною функцією активації, і, якщо так, то як знайти вектор структури відповідного нейроелемента?;
– друга – якщо функція не реалізується одним нейроелементом із вибраною функцією активації, то як визначити конфігурацію (топологію) штучної нейромережі, що реалізує дану функцію, як досягти необхідну надійність функціонування мережі, як зменшити час навчання мережі т.д.?
Як перша, так і друга підзадача синтезу нейроподібних структур із різними функціями активації нейроелементів активно досліджувалися і для їх розв'язання розроблені різні методи, алгоритми та засоби технічної реалізації у працях відомих зарубіжних і вітчизняних вчених, зокрема: Ф.Розенблатта, М.Дертоузоса, Р.Віндера, С.Муроги, Т.Кохоненна, С.Пайперта, Р.Хеммінга, Д.Хопфілда, Є.Бутакова, Л.Іваськіва, Н.Айзенберга, М.Амосова, Т.Байдика, З.Рабіновича, А.Івахненка, Ю.Зайченка, В.Грицика, Є.Бодянського, О.Михальова, О.Рєзніка, Р.Ткаченка, В.Литвиненка, Ю.Романишина П.Тимощука та ін. Однак, серед відомих методів навчання нейронних елементів з дискретними функціями активації відсутні методи синтезу нейронних елементів над скінченним полем Галуа. Практична цінність цих елементів полягає в їхніх високих функціональних можливостях. Також не досліджені інваріантні операції над дискретними нейрофункціями над скінченним полем, і, якщо кількість входів нейроелементів із пороговою функцією активації перевищує число , то відомі методи спектрального аналізу, методи апроксимації й ітераційні методи є неефективними і практично неможливо їх застосувати при синтезі нейроподібних структур із цих елементів.
Отже, актуальною науково-прикладною проблемою є розроблення моделей та методів синтезу нейронних елементів над полем Галуа, дослідження властивостей дискретних функцій, реалізовних одним нейронним елементом над скінченним полем, синтез нейроелементів із узагальненими пороговими функціями активації, розробка методів синтезу логічних схем із нейроелементів з великим та надвеликим числом входів для класифікації та розпізнавання дискретних сигналів і зображень.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи відповідає науковим напрямам кафедри кібернетики і прикладної математики ДВНЗ “Ужгородський національний університет”. Основу дисертаційної роботи складають результати теоретичних і практичних досліджень, які були використані у таких науково-дослідних роботах:
– НДР “Розробка інформаційного і математичного забезпечень для інтелектуальних систем та систем прийняття рішень”, Ужгородський національний університет (№ 0110U006903) (2011-2012) – дисертантом розроблено метод синтезу розпізнавальної схеми у нейробазисі;
– НДР “Фундаментальні основи синтезу багатовимірних нейромереж на базі універсальних нейронних елементів та нейроподібних систем”. Договір № Ф7/383-2001, державна реєстрація № 010U002091 – дисертантом розроблено метод синтезу узагальнених нейронних елементів з пороговою функцією активації;
– Грант Українського науково-технологічного центру (УНТЦ) за проектною угодою №412 “Розробка інформаційних технологій функціонування, програмування і налаштування нейронних систем паралельної обробки сигналів” (1997-1998 р.) – дисертантом розроблено спектральний метод синтезу багатозначних нейронних елементів над полем Галуа.
Мета і завдання дослідження. Метою дисертації є розроблення ефективних методів перевірки реалізовності функцій алгебри логіки одним НЕ з пороговою функцією активації, синтезу цілочислових і оптимальних цілочислових НЕ, синтезу нейронних елементів із узагальненими пороговими функціями активації, перевірки реалізовності дискретних функцій одним НЕ над полем Галуа та синтезу логічних схем із цих елементів, синтезу нейроподібних структур для класифікації і розпізнавання образів, коли елементи класів закодовані бульовими векторами, а також представлення бінарних та багатоградаційних зображень у нейроподібному базисі та в просторі інформаційних векторів. Для досягнення поставленої у роботі мети необхідно вирішити такі задачі:
1. Проаналізувати існуючі моделі нейронних елементів з дискретними функціями активації та методи їх синтезу;
2. Розвинути теорію синтезу нейронних елементів з пороговими функціями активації на основі властивостей матриць толерантності;
3. Одержати критерій реалізовності бульових функцій одним НЕ з пороговою функцією активації на мові матриць толерантності;
4. Отримати ряд необхідних, достатніх умов реалізовності функцій алгебри логіки одним НЕ з пороговою функцією активації;
5. Розробити методи синтезу цілочислових та оптимально- цілочислових НЕ з пороговими функціями активацій;
6. Розробити метод синтезу комбінаційних схем із одного НЕ та суматорів за модулем 2;
7. Розробити методи синтезу НЕ з узагальненою пороговою функцією активації:
– метод апроксимації;
– ітераційний метод;
– метод матриць толерантності.
8. На мові матриць толерантності отримати критерій реалізовності бульових функцій на двопорогових нейронних елементах;
9. Отримати критерій реалізовності дискретних функцій одним НЕ над полем Галуа;
10. Розробити метод синтезу НЕ над полем Галуа;
11. Встановити інваріантні операції над дискретними функціями, які реалізуються одним НЕ над полем Галуа;
12. Отримати критерій реалізовності дискретних функцій одним НЕ відносно довільної системи характерів, як над полем Галуа, так і над полем комплексних чисел;
13. Розробити метод синтезу розпізнавальної схеми бінарних сигналів та зображень у нейроподібному базисі;
14. Розробити метод представлення двовимірних бінарних зображень у штучному нейробазисі;
15. Розробити методи представлення та розпізнавання двовимірних бінарних і багатоградаційних зображень у просторі інформаційних векторів.
Об'єкт дослідження – процеси синтезу нейронних елементів із пороговими та дискретними функціями активації, узагальнених і багатозначних нейронних елементів відносно довільної системи характерів груп, які є областями визначення досліджуваних функцій, синтезу логічних схем у штучному нейробазисі для класифікації і розпізнавання бінарних сигналів і зображень.
Предмет дослідження – методи перевірки реалізовності бульових та дискретних функцій одним НЕ, методи синтезу НЕ, методи представлення бінарних сигналів та зображень у нейроподібному базисі, а також методи їх розпізнавання.
Методи дослідження. Для розв’язання поставлених задач у дисертації використано: методи лінійної алгебри, теорії груп, теорії зображення груп, теорії групових кілець, теорії оптимізації, теорії спектрального аналізу дискретних функцій та синтезу комбінаційних схем, теорії штучних нейронних мереж, теорії розпізнавання образів, теорії алгоритмів.
Наукова новизна одержаних результатів. На основі виконаних теоретичних і експериментальних досліджень вирішено важливу науково-прикладну проблему синтезу цілочислових нейронних елементів із пороговою функцією активації, синтезу нейронних елементів над полем Галуа для реалізації дискретних функцій, навчання нейронних елементів відносно довільної системи характерiв груп, на яких задані дискретні функції, синтезу розпізнавальної схеми у нейроподібному базисі і розроблено метод представлення бінарних зображень у штучному нейробазисі та в просторі інформаційних векторів. При цьому отримано такі результати:
вперше :
– встановлено критерії зображення множин бульових векторів матрицями толерантності, що використовується при перевірці реалізовності бульових функцій одним НЕ з пороговою функцією активації;
– одержані необхідні умови реалізовності бульових функцій одним НЕ з пороговою функцією активації на мові матриць толерантності, що допускають просту програмну реалізацію;
– за допомогою зведених ядер бульових функцій та матриць толерантності отримано достатні умови реалізовності бульових функцій, які успішно використовуються при побудові нейроподібних структур для класифікації і розпізнавання бінарних сигналів та зображень;
– розроблено критерій реалізовності дискретних функцій одним нейронним елементом над полем Галуа;
– розроблено метод синтезу нейронних елементів над полем Галуа і досліджено властивості дискретних функцій, реалізовних на цих елементах;
– розроблено метод синтезу узагальнених нейронних елементів із дискретними функціями активацій;
– розроблено метод синтезу багатошарової нейромережі для розпізнавання двовимірних бінарних зображень, що базується на основі властивостей -фрагментів зображень;
– на основі властивостей матриць толерантності розроблено метод представлення бінарних зображень у штучному нейробазисі і метод їх розпізнавання у просторі інформаційних векторів;
отримали подальший розвиток:
– теорія синтезу нейронних елементів із пороговими функціями активації з використанням властивостей матриць толерантності, що дає можливість синтезувати НЕ з великим та надвеликим числом входів;
– спектральний метод синтезу багатозначних нейронних елементів відносно системи характерів груп, на яких задані дискретні функції, що призведе до збільшення числа функцій, які можуть бути реалізовані одним НЕ.
Практичне значення одержаних результатів. Розроблені моделі та методи синтезу нейронних елементів і нейроподібних структур дають змогу:
– перевірити реалізовність бульових функцій одним нейронним елементом із пороговою функцією активації і в тому випадку, коли відомі методи та алгоритми практично не можуть бути застосовані;
– синтезувати цілочислові нейроелементи з пороговою функцією активації, коли кількість входів цих елементів є великим або надвеликим числом;
– синтезувати цілочислові нейроелементи відносно довільної системи характерів груп, які є областями визначення бульових функцій;
– перевірити дискретні функції на реалізовність одним НЕ та синтезувати відповідні нейроелементи над полем Галуа;
– за рахунок встановлених інваріантних операцій над дискретними функціями, що реалізуються одним НЕ над полем Галуа, компактно задати класи дискретних нейрофункцій;
– побудувати нейромережу для класифікації і розпізнавання бінарних сигналів та зображень з надвеликим числом входів;
– на основі функціоналів ''схожості'' та ''відмінності'' -фрагментів бінарних зображень у просторі інформаційних векторів розробити методи зменшення обсягів пам’яті для зберігання бінарних зображень і час їх розпізнавання.
Реалізація і впровадження результатів роботи. Розроблено програмну реалізацію алгоритмів синтезу оптимальних цілочислових НЕ із пороговими функціями активацій, синтезу багатозначних НЕ над полем Галуа, синтезу нейромережі для класифікації та розпізнавання бінарних сигналів і бінарних зображень. Теоретичні і практичні результати дисертації використано за безпосередньою участю автора:
для вирішення задач класифікації, розпізнавання дискретних сигналів та зображень (Державний науково-дослідний інститут інформаційної інфраструктури);
в навчальному процесі Національного університету “Львівська політехніка” при підготовці лекційних, практичних і лабораторних занять з дисципліни “Методи та системи штучного інтелекту” і “Системи штучного інтелекту”;
в навчальному процесі державного вищого навчального закладу ''Ужгородський національний університет'' при підготовці лекційних, практичних і лабораторних занять з дисциплін “Нейронні мережі та їх застосування”, “Обробка даних у нейробазисі” ;
в навчальному процесі Закарпатського державного університету при підготовці лекційних, практичних і лабораторних занять з дисципліни “Нейронні системи”;
в навчальному процесі Львівського державного університету безпеки життєдіяльності при підготовці лекційних, практичних і лабораторних занять з дисципліни “Методи та засоби захисту інформації” і “Цифрові методи оброблення сигналів і зображень”.
Особистий внесок здобувача. У друкованих працях, опублікованих у співавторстві, автору дисертації належать: [53, 56, 63,66] – критерій та достатні умови реалізовності бульових функцій одним нейроелементом із пороговою функцією активації; [54, 67, 94 ] – критерій реалізовності бульових та багатозначних логічних функцій на узагальнених нейронних елементах; [55, 69, 71, 76, 77, 78, 79, 89, 90, 92, 93, 95] – постановка задач, наукове керівництво і методологія розв'язку проблем; [57, 81, 82, 83, 84] – метод представлення зображень в пороговому базисі і знаходження основних інваріантів зображень відносно групових перетворень рецепторного поля; [61, 62, 65, 72] – поняття багатозначних нейронних елементів над скінченним полем Галуа, метод синтезу цих елементів, критерій реалізовності дискретних функцій одним нейроелементом над полем комплексних чисел; [64, 75] – критерій реалізовності бульових функцій двопороговим нейронним елементом на мові матриць толерантності; [68, 70, 96] – метод обробки та алгоритм синтезу розпізнавальної схеми бінарних зображень; [73, 87] – метод представлення бінарних зображень у просторі інформаційних векторів; [80] – метод компресії двовимірних бінарних зображень; [86] – алгоритм розпізнавання зображень, що базується на властивостях ознакових відношень толерантності; [88] – вводиться поняття порогово оператора.
Апробація результатів дисертації. Основні наукові результати та положення дисертації доповідалися та обговорювалися на таких конференціях та семінарах: IV Всесоюзная школа-семинар ''Распараллеливание обработки информации'' (Львов, 1983); V Всесоюзная школа по оптической обработке информации (Киев, 1984); V Всесоюзная школа - семинар ''Распараллеливание обработки информации'' (Львов, 1985); II Всесоюзная конференция ''Автоматизированные системы обработки изображений'' (Львов, 1986); третья Всесоюзная конференция ''Математические методы распознавания образов'' (Львов, 1987); VII Всесоюзная школа-семинар ''Распараллеливание обработки информации'' (Львов, 1989); International Conference ''Information Technologies For Image Analysis and Pattern Recognition. ''ITIAPR90'' (Lviv, 1990); друга українська конференція з автоматичного керування ''Автоматика-95'' (Львів, 1995); Міжнародна конференція з управління ''Автоматика-2000'' (Львів, 2000); Міжнародна конференція з індуктивного моделювання ''ICIM-2002'' (Львів, 2002); Міжнародна школа-семінар ''Теорія прийняття рішень'' (Ужгород, 2002); International Conference on Computer Science and information Technologies ''CSIT'2007'' (Lviv, 2007); V Міжнародна школа-семінар ''Теорія прийняття рішень'' (Ужгород, 2010); VI Міжнародна школа-семінар ''Теорія прийняття рішень'' (Ужгород; 2012); Шоста міжнародна наукова конференція "Інтелектуальні системи прийняття рішень і проблеми обчислювального інтелекту "ISDMCI’2012" (Євпаторія, 2012); The fifth world congress "Aviation in the XXI-st century "AVIA’2012" (Kyiv, 2012).
Публікації. Результати дисертаційної роботи повною мірою відображені у 46 наукових працях, 23 публікації у фахових наукових виданнях України з технічних наук з яких 2 монографії, 1 авторське свідоцтво, 5 публікацій у наукових виданнях України з фізико-математичних наук, 18 публікацій в збірниках матеріалів конференцій.
Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел із 221 найменування та трьох додатків. Загальний обсяг дисертації становить 308 сторінок, в тому числі 268 сторінок основного тексту, ілюстрована 50 рисунками та 12 таблицями.
У першому розділі дисертаційної роботи на підставі аналізу літературних джерел та відомих теоретичних положень розглядаються шляхи підвищення ефективності перевірки належності бульових функцій до класу нейрофункцій (бульова нейрофункція – бульова функція, що реалізується одним НЕ з пороговою функцією активації). На основі здійсненого огляду встановлена проблема синтезу нейронних елементів з дискретними функціями активації, що містить дві базові задачі порогової логіки: задача перша – перевірка реалізовності функцій алгебри логіки одним нейроелементом із пороговою функцією активації та розробка методів синтезу нейроелементів із пороговими та дискретними функціями активації; задача друга – розробка методів синтезу нейромережевих схем із нейроелементів з пороговими і дискретними функціями активації для реалізації потрібного відображення, що виникає у процесі класифікації, розпізнаванні дискретних сигналів і зображень та в інших прикладних задачах. Проведений огляд методів та підходів щодо вирішення вищенаведених задач показав, що для розв'язування цих задач отримано багато цікавих і важливих результатів, але в повному обсязі жодна із цих задач ще не розв'язана.
У другому розділі вводиться поняття матриць толерантності і вивчаються їх основні властивості. Встановлено критерій зображення множин бульових векторів матрицями толерантності. Наводиться ряд необхідних, а також достатніх умов зображення множин бульових векторів матрицями толерантності, які можуть бути ефективно використані для перевірки реалізовності бульових функцій одним НЕ із пороговою функцією активації. Вводиться поняття ядра та множини зведених ядер бульових функцій. Показано, що бульова функція реалізується одним НЕ із пороговою функцією активації, якщо її ядро або одне із зведених ядер допускає зображення матрицями толерантності. На множині бульових векторів побудовані функціонали та пороговий оператор, які застосовуються при дослідженні властивостей зведених ядер бульових функцій. Доведено, що бульова функція реалізується одним НЕ із пороговою функцією активації, якщо хоча б одне її зведене ядро за допомогою цих функціоналів і порогового оператора можна звести до певного вигляду, тобто із елементів цього зведеного ядра можна побудувати матрицю з відповідною блочною структурою. По цій матриці знаходиться цілочисловий вектор структури НЕ, що реалізує задану бульову функцію. Отримано достатні умови реалізовності бульових функцій одним НЕ із пороговою функцією активації, які можуть бути успішно використані при синтезі нейроподібних структур для розв'язування задач класифікації і розпізнавання дискретних сигналів та зображень. У цьому же розділі розроблено метод синтезу оптимального цілочислового НЕ із пороговою функцією активації, а також метод синтезу двошарової нейромережі із цілочислових НЕ для реалізації довільної функції алгебри логіки.
У третьому розділі розглянуто питання про можливість перетворення ядра бульової функції, яка не реалізується одним НЕ із пороговою функцією активації, до ядра бульової нейрофункції. На основі цих перетворень розроблено метод синтезу комбінаційних схем із одного НЕ та суматорів за mod 2. Наведено критерій реалізовності бульових функцій на таких комбінаційних схемах. Встановлені ті перетворення у спектральній області бульових функцій, за допомогою яких на мові характеристичних векторів можна перевірити реалізовність функцій алгебри логіки комбінаційною схемою, що складається з одного НЕ та суматорів за mod 2. Вивчається питання про зв'язок між бульовими функціями та елементами певного групового кільця. Досліджено операції у груповому кільці, що відповідають інваріантним операціям над бульовими нейрофункціями. Показано, що стандартний базис фундаментального ідеалу певного групового кільця складається з елементів, які відповідають бульовим нейрофункціям.
Четвертий розділ присвячено розробці методів синтезу НЕ з узагальненою пороговою функцією активації, а також дослідженню властивостей функцій алгебри логіки, що реалізуються на двопорогових НЕ. На вхід НЕ з узагальненою пороговою функцією активації можуть подаватись як твірні групи характерів, що є областю визначення бульових функцій, так і довільні характери цієї групи. Вводиться поняття характеристичного вектора бульової функції відносно заданої системи характерів і на мові характеристичного вектора наводиться критерії реалізовності бульових функцій на узагальнених НЕ. У цьому розділі розроблено три методи синтезу НЕ з узагальненою пороговою функцією активації:
– метод апроксимації функціоналу, що побудовано за допомогою характеристичного вектора відносно заданої системи характерів;
– ітераційний метод;
– метод матриць толерантності.
Показано, що побудований функціонал є опуклим вниз і приймає невід'ємне значення. Якщо у точці мінімуму при заданому порядку апроксимації цей функціонал досягає значення нуль і при цьому на кожному елементі групи, на якій визначена бульова функція, зважена сума на вході НЕ не дорівнює нулю, то ця точка мінімуму може бути вектором структури НЕ, що реалізує задану бульову функцію. В ітераційному методі визначена область значення параметра ітерації при якому процес збігається, якщо бульова функція може бути реалізована одним НЕ з узагальненою функцією активації. Показано, що коли в області характеристичних векторів відносно заданої системи характерів настане граничний цикл і характеристичні вектори бульових функцій, які належать до цього циклу, задовольняють умову: лінійна комбінація різниць характеристичного вектора заданої функції і характеристичних векторів функцій, які побудовані у процесі ітерації відносно заданої системи характерів із невід'ємними коефіцієнтами дорівнюють нулю, хоча б при одному ненульовому значенні коефіцієнта, то функція алгебри логіки не реалізується одним узагальненим НЕ. У методі матриць толерантності будується ядро бульової функції відносно заданої системи характерів. Якщо ядро існує і допускає зображення матрицями толерантності, то функція реалізується одним узагальненим НЕ, а вектор структура цього елемента будується за відповідною матрицею толерантності. У цьому ж розділі на мові матриць толерантності встановлено критерій реалізовності бульових функцій одним двопороговим НЕ і досліджено основні властивості цих фукцій.
У п'ятому розділі вводиться поняття НЕ та дискретної нейрофункції над полем Галуа. Для перевірки реалізовності дискретних функцій одним НЕ над полем Галуа застосовуються методи спектрального аналізу. Отримано критерій належності дискретних функцій до класу нейрофункцій над скінченним полем. Розроблено спектральний метод синтезу НЕ над полем Галуа. У цьому ж розділі розроблено метод синтезу нейроелементів відносно довільної системи характерів груп, які є областями визначення досліджуваних дискретних функцій, над полем Галуа і над полем комплексних чисел.
Шостий розділ присвячено розробленню методів синтезу нейроподібних структур для класифікації та розпізнавання дискретних сигналів і зображень, представленню дискретних зображень у штучному нейробазисі, а також розробці методів розпізнавання дискретних сигналів, які базуються на властивостях ознакових відношень толерантності. У даному розділі розроблено метод синтезу нейромережевих схем для розпізнавання об'єктів, закодованих -вимірними бульовими векторами. Досліджується ефективність функціювання вказаної схеми залежно від індексів матриць толерантності, які використовуються при синтезі цих схем. Розроблено метод представлення бінарних двовимірних зображень у нейробазисі, що допускає ефективне кодування цих зображень своїми -фрагментами, і метод розпізнавання бінарних зображень, який використовує основні властивості функціоналів ''схожості'' та ''відмінності'' -фрагментів.

Список литературы

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вирішено актуальну науково-прикладну проблему синтезу НЕ з дискретними функціями активації і синтезу нейромереж із цих елементів, розвинуто новий науковий напрям – синтез нейроелементів із пороговими функціями активацій та синтез логічних схем із цих нейроелементів та суматорів за модулем 2 на мові матриць толерантності, синтез узагальнених нейроелементів з пороговими функціями активацій, синтез нейроелементів та узагальнених нейроелементів з дискретними функціями активацій, як над полем комплексних чисел , так і над полем Галуа, синтез багатошарової нейромережі на мові матриць толерантності для класифікації і розпізнавання дискретних сигналів та зображень.
У рамках цього наукового напрямку отримано такі основні наукові результати:
1. Вперше отримано критерії зображення множин бульових векторів матрицями толеранності, на основі якого розроблено ефективний метод перевірки реалізовності функцій алгебри логіки одним нейронним елементом з пороговою функцією активації.
2. Вперше на мові матриць толерантності одержано ряд ефективних необхідних, а також достатніх умов перевірки реалізовності функцій алгебри логіки одним НЕ з пороговою функцією активації.
3. Вперше на мові матриць толерантності розроблено метод синтезу цілочислових НЕ з пороговою функцією активації з великим та надвеликим числом входів, які можуть бути ефективно використані при синтезі нейромережевих схем для класифікації та розпізнавання бінарних сигналів і зображень.
4. Удосконалено метод синтезу оптимальних цілочислових НЕ з пороговою функцією активації на мові характеристичних векторів бульових функцій, що забезпечує покращення надійності функціонування нейронних елементів.
5. Вперше на мові матриць толерантності встановлено критерії реалізовності бульових функцій комбінаційною схемою, що складається з одного НЕ та суматорів за модулем 2 і показано, що синтез такої схеми, за допомогою певних перетворень у спектральній області бульових функцій, зводиться до синтезу одного НЕ.
6. Вперше на мові матриць толерантності отримано критерій реалізовності функцій алгебри логіки одним узагальненим НЕ з пороговою функцією активації і розроблено метод матриць толерантності синтезу цих нейроелементів, що дає можливість синтезу нейромережевих схем із НЕ та узагальнених НЕ.
7. Вперше на мові характеристичних векторів одержано критерій реалізовності бульових функцій одним узагальненим НЕ з пороговою функцією активації і розроблено метод апроксимації та ітераційний метод синтезу цих нейроелементів.
8. Вперше на мові матриць толерантності одержано критерій реалізовності бульових функцій одним двопороговим нейроелементом, на основі яких можна зменшити кількість НЕ у нейромережі, так як двопорогові НЕ мають більш великі функціональні можливості.
9. Вперше отримано критерій реалізовності дискретних функцій одним нейроелементом та одним узагальненим нейроелементом над скінченним полем Галуа і описані інваріантні операції над дискретними функціями, які реалізуються одним НЕ, а це дає можливість компактно задати класи дискретних нейрофункцій над полем Галуа.
10. Вперше розроблено спектральний метод синтезу узагальнених НЕ з дискретною функцією активації, як над полем Галуа, так і над полем комплексних чисел , що забепечує їх ефективне використання при синтезі нейромереж.
11. Вперше на мові матриць толерантності розроблено метод синтезу чотиришарової нейромережі для класифікації та розпізнавання бінарних сигналів та зображень
12. Вперше на мові матриць толерантності розроблено метод представлення дискретних зображень у нейробазисі і на його основі та властивостей ознакових відношень толерантності розроблено ефективний метод розпізнавання бінарних зображень у просторі інформфційних векторів.
Запропонований у дисертацій метод матриць толерантності для синтезу одного НЕ з пороговою функцією активації та синтезу схем із цих елементів може бути застосовано і в тому випадку, коли інші методи через велику кількість входів практично не можуть бути використанні.
Застосування нейроелементів над скінченним полем Галуа, а також узагальнених цілочислових нейроелементів із пороговими та дискретними функціями активації при побудові нейромережевих схем для реалізації потрібного відображення дозволяють суттєво покращити деякі параметри нейромережі, наприклад, зменшити кількість НЕ у мережі, за рахунок збільшення функціональних можливостей цих нейроелементів, збільшити надійність функціонування мережі за рахунок цілочислових НЕ і т.д.
На основі розробленого в дисертації методу розкладу бінарних та дискретних зображень на -фрагменти можна отримати ефективне представлення цих зображень у нейробазисі і у просторі інформаційних векторів, які, у свою чергу, створюють інформаційну базу для розробки різних методів розпізнавання дискретних зображень.
Вищенаведені результати складають теоретичну основу різних методів синтезу нейроелементів із дискретними функціями активації над алгебраїчними структурами та синтезу нейромережевих схем із цих елементів для розв'язування актуальних прикладних задач в області теорій прийняття рішень, в області обробки, передачі, класифікації та розпізнаванні дискретних сигналів та зображень.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Омату С. Нейроуправление и его приложения / С. Омату, М. Халид, Р. Юсоф. – М.: ИПРЖ, 2000. – 272 с.
2. Галушкин А. И. Теория нейронных сетей. Кн. 1 / под ред. А. И. Галушкина. – М.: ИПРЖ, 2000. – 416 с.
3. Галушкин А. И. Нейрокомпьютеры. Кн. 3 / общая ред. А. И. Галушкина – М.: ИПРЖ, 2000. – 532 с.
4. Комарцова Л. Г. Нейрокомпьютеры / Л. Г. Комарцова, А. В. Максимов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. – 318 с.
5. Фролов А. А. Нейронные модели ассоциативной памяти / А. А. Фролов, И. П. Муравьев. – М.: Наука, 1987. – 160 с.
6. Уоссерман Ф. Нейрокомпьютерная техника / Ф. Уоссерман. – М.: Мир, 1992. – 240 с.
7. Комашинский В. И. Нейронные сети и их применение в системе управления и связи / В. И. Комашинский, Д. А. Смирнов. – М.: Горячая линия-Телеком, 2002. – 96 с.
8. Минаев Ю. Методы и алгоритмы решения задач идентификации и прогнозирования в условиях неопределенности в нейросетевом логическом базисе / Ю. Минаев, О. Филимонова, Л. Бенамеур. – М.: Горячая линия-Телеком, 2005. – 205 с.
9. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс / С. Хайкин. – 2-е изд. – М.: Вильямс-Телеком, 2006. – 1104 с.
10. Бутаков Е. А. Методы синтеза релейных устройств из пороговых элементов / Е. А. Бутаков. – М.: Энергия, 1970. – 325 с.
11. Руденко О. Г. Штучні нейронні мережі/ О. Г. Руденко, Є. В. Бодянський. – Харків: Компанія СМІТ, 2006. – 404 с.
12. Бодянський Є. В. Нейро-фаззі моделі в системах штучного інтелекту / Є. В. Бодянський, Є. І. Кучеренко.– Харків: ХНУРЕ, 2006. – 196 с.
13. Бодянский Е. В. Гибридные нейро-фаззи модели и мультиагентные технологии в сложных системах / Е. В. Бодянский, В. Е. Кучеренко, Е. И. Кучеренко, А. И. Михалев, В. А. Филатов. – Днепропетровск: Системные технологии, 2008. – 403 с.
14. Bodyanskiy Ye. Autoassociative memory evolving system based on fuzzy basis functions/ Ye. Bodyanskiy, N.Teslenko // Scientific J. of Riga Technical University. Computer Science, Information Technology and Management Sci. – 2010. – № 44. – P. 9-14.
15. Bodyanskiy Ye. Adaptive neuro-fuzzy Kohonen network with variable fuzzifier/ Ye. Bodyanskiy, B. Kolchygin, I. Pliss // Int. J. Information Theories & Applications. – 2011. – 18. – № 3. – P. 215-223.
16. Bodyanskiy Ye. Evolving cascade neural network based on multidimensional Epanechnikov’s kernels and its learning algorithm/ Ye. Bodyanskiy, P. Grimm, N. Teslenko // Int. J. Information Technologies & Knowledge. – 2011. – 5. – № 1. – P. 25-30.
17. Bodyanskiy Ye. Matrix neuro-fuzzy self-organizing clustering network/ Ye. Bodyanskiy, V. Volkova, M. Skuratov // Scientific J. of Riga Technical University “Computer Science, Information Technology and Management Sci”. – 2011. – № 49. – P. 54-58.
18. Bodyanskiy Ye. Hybrid cascade neural network based on wavelet-neuron / Ye. Bodyanskiy, O. Kharchenko, O. Vynokurova // Int. J. “Information Theories & Applications”. – 2011. – 18. – № 4. – P. 335-343.
19. Bodyanskiy Ye. Hybrid type-2 wavelet-neuro-fuzzy network for prediction of business processes / Ye. Bodyanskiy, O. Vynokurova // Business Informatics. – 2011. – 21. – P. 9-21.
20. Бодянський Є. В. Адаптивні виявлення розладнань в об’єктах керування за допомогою штучних нейронних мереж/ Є. В. Бодянський, О. І. Михальов, І. П. Плісс. – Днепропетровск: Системные технологии, 2000. – 140 с.
21. Зайченко Ю. П. Нечіткі нейронні мережі і генетичні алгоритми в задачах макроекономічного прогнозування / Ю. П. Зайченко, Моамед Мухамед, Н. В. Шаповаленко // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2002. – № 4. – С. 20-30.
22. Зайченко Ю. П. Сравнительный анализ эффективности нечётких нейронных сетей в задачах прогнозирования в экономике и финансовой сфере / Ю. П. Зайченко, Ю. В. Келестин, Севаее Фатма // Системні дослідження та інформаційні технології. – К., 2006. – № 1. – С. 100-110.
23. Зайченко Ю. П. Исследование нечёткой нейронной сети ANFIS в задачах макроекономического прогнозирования / Ю. П. Зайченко, Севаее Фатма // Системні дослідження та інформаційні технології. – К. – 2005. – № 1. – С. 100-112.
24. Bodyanskiy Ye. The neofuzzy neural network structure optimization using GMDH for solving forecasting and classification problems / Ye. Bodyanskiy, Yu. Zaychenko, E. Pavlikovskaya, M. Samarina, Ye. Victorov // Proc. of IWIM. – 2009. – P. 77-89.
25. Згуровский М. З. Модели и методы принятия решений в нечётких условиях / М. З. Згуровский, Ю. П. Зайченко. – К.: Наукова думка, 2011. – 277 с.
26. Гібридні нейро-фазі моделі та мультіолентні технології у складних системах / Є. В. Бодянський, В. Є. Кучеренко, Є. І. Кучеренко, О. І. Михальов, В. А. Філатов // За ред. Є. В. Бодянського. – Дніпропетровськ: Системні технології, 2008. – 403 с.
27. Михальов О. І. Побудова IDS на основі штучної імунної мережі / О. І. Михальов, Ю. О. Каліберда // Системные технологи. Региональный межвузовский сборник научных работ. – Днепропетровск, 2010. – Выпуск 3 (68). – С. 106-110.
28. Романишин Ю. М. Особливості функціонування рекурентних нейронних мереж з різними моделями нейронів / Ю. М. Романишин, В. А. Павлиш, Р. О. Корж // Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г. Є. Пухова НАН України. – К., 2007. – Вип. 42. – С. 75-81.
29. Романишин Ю. М. Математичне та програмне забезпечення функціонування рекурентних нейронних мереж / Ю. М. Романишин // Вісник Національного університету “Львівська політехніка”. Інформаційні системи та мережі. – Львів, 2008. – № 621. – С. 211-220.
30. Романишин Ю. М. Застосування вейвлет-перетворень для масштабно-часового аналізу сигналів в нейронних структурах / Ю. М. Романишин, В. А. Павлиш, Р. О. Корж // Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г. Є. Пухова НАН України. – К., 2008. – Вип. 47. – С. 176-181.
31. Круглов В. В. Искусственные нейронные сети / В. В. Круглов, В. В. Борисов. – М.: Горячая линия-Телеком, 2002. – 382 с.
32. Ротштейн А. П. Идентификация нелинейных зависимостей нейронными сетями / А. П. Ротштейн, Ю. И. Митюшкин // Проблемы бионики. – К., 1998. – № 49. – С. 168-174.
33. Сетлак Г. Нейронные сети в интеллектуальных системах управления производством / Г. Сетлак // Искусственный интелект. – 2002. – № 3. – С. 428-438.
34. Тимощук П. В. Глобально стійка аналогова WTA нейронна схема обробки N сигналів / П. В Тимощук. // Вiсник Нацiонального унiверситету “Львiвська полiтехнiка”. Комп'ютерні системи проектування. Теорія і практика. – Львiв, 2006. – № 564. – С. 3-10.
35. Ткаченко Р. О. Акселератор для реалiзацiї штучних нейронних мереж на основi нейропарадигми "Функцiонал на множинi табличних функцiй" / Р. О. Ткаченко, I. Г. Цмоць // Збiрник наукових праць iнституту проблем моделювання в енергетицi ім. Г. Є. Пухова НАН України. – К., 1999. – Вип. 7. – С. 20-28.
36. Амосов Н. М. Нейрокомпьютеры и интеллектуальные роботы / Н. М. Амосов, Т. Н. Байдык, А. Д. Гольцев [и др.]: под ред. Амосова Н. М. – К.: Наукова думка, 1991. – 272 с.
37. Горбань А. Н. Нейронные сети на персональном компьютере / А. Н. Горбань. – Новосибирск: Наука, 1991. – 276 с.
38. Fukushima K. Neocognitron: A hierarchial neural network capable of visual pottern recognition / K. Fukushima // Neural Network. – 1988. – 1 – P. 119 130.
39. Ткаченко Р. О. Нейронно-таблична модель розпізнавання образів / Р. О. Ткаченко // Матеріали МНК ''Друкотехн-96''. – Львів, 1996. – С. 155-156.
40. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации / С. Осовский. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 345 с.
41. Ткаченко Р. О. Концепція застосування штучних нейронних мереж на основі моделі ФТФ / Р. О. Ткаченко // Український міжвідомчий науково- технічний збірник : Автоматизація виробничих процесів у машинобудуванні та приладобудуванні. – К., 1999. – № 4. – С. 3-7.
42. Бодянский Е. В. Многослойная самообучающаяся спайк-нейронная сеть / Е. В. Бодянский, А. И. Долотов // Бионика интеллекта. – 2007. – № 2 (67). – С. 21-26.
43. Bodyanskiy Ye. Computational intelligence techniques for data analysis // In ''Lecture Notes in Informatics.'' – Bonn: GI, 2005. – V. 72. – P. 15 36.
44. Ткаченко Р. О. Нейромережі для прогнозування циклічного типу / Р. О. Ткаченко І. Ю. Юрчак // Вісник ДУ ''Львівська політехніка''. Комп'ютерна інженерія та інформаційні технології. – Львів, 1998. – № 351. – С. 88-90.
45. Грицик В. В. Нейромережі технології прогнозування сонячної активності / В. В. Грицик, К. С. Войчишин, Р. О. Ткаченко, І. Ю. Юрчак // Доповіді НАН України. Кібернетика та обчислювальна техніка. – К, 1999. – № 4. – С. 79-85.
46. Рашкевич Ю. М. Часова трансформація мовних сигналів на основі нейронних мереж / Ю. М. Рашкевич, Р. О. Ткаченко, З. Я. Шпак // Матеріали НТК ''Укробраз-98''. – К., 1998. – С. 75-76.
47. Литвиненко В. І. Застосування нейронних мереж для рішення задачі дистанційного визначення концентрації хлорофілу в листах рослин/ В. І. Литвиненко, Б. І. Бідюк // Наукові праці: науково-методичний журнал “Комп’ютерні технології”. – Миколаїв: МДГУ ім. П. Могили, 2007. – Вип. 22. – Т. 35. – С. 116-126.
48. Литвиненко В. І. Методологія синтезу колективу радіально-базисних мереж для розв’язування задач класифікації за допомогою алгоритму клонального відбору / В. І. Литвиненко, А. О. Фефелов, О. О. Дідик // Наукові праці: науково-методичний журнал “Комп’ютерні технології”. – Миколаїв: МДГУ ім. П. Могили, 2009. – Вип. 93. – Т. 106. – С. 111-123.
49. Грицик В. Теоретичні і прикладні проблеми застосування штучних імунних систем / В. Грицик, В. Литвиненко, І. Цмиць, С. Стех // Інформаційні технології і системи. – Львів, 2003. – Т. 7. – № 1. – С. 7-45.
50. Литвиненко В. И. Применение модифицированных искусственных имунных сетей для решения задач гидроакустического обнаружения / В. И. Литвиненко, А. А. Дидык // Регіональний міжвузівський збірник наукових праць. Системні технології. – Дніпропетровськ, 2008. – Вип. 6 (59). – С. 99-115.
51. Бардачев Ю. Н. Синтез нечетких нейронных сетей с помощью иммунных алгоритмов для прогнозирования электрической нагрузки / Ю. Н. Бардачев, В. И. Литвиненко, О. В. Гринавцев та інш. // Збірник наукових праць Моделювання та керування станом еколого-економічних систем регіону. – 2006. – Вип. 3. – С. 47–68.
52. Гече Ф. Аналіз дискретних функцій та синтез логічних схем у нейробазисі: [Монографія] / Ф. Гече. – Ужгород: Видавництво В. Падяка, 2010. – 210 с.
53. Батюк А. Е. Синтез высокопроизводительных специали¬зированных структур для анализа и обработки изображений в пороговом базисе: Гл. 4 / А. Е. Батюк, В. В. Грицык, Ф. Э. Гече [и др.] // Параллельная обработка информации: монография. В 5 т. Т. 5 / [авт. коллектив]: ред.: Б. Н. Малиновский, В. В. Грицык. – К.: Наук. думка, 1990. – С. 319-363.
54. Грицик В. В. Реалiзацiя бульових та багатозначних логiчних функцiй на нейронних елементах / В. В. Грицик, Ф. Е. Гече // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. Кiбернетика та обчислювальна технiка. – К., 2004. – № 5. – С. 65-68.
55. Гече Ф. Е. Нейроннi елементи над кiльцем / Ф. Е. Гече, В. М. Коцовський // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. Кiбернетика та обчислювальна технiка. – К., 2004. – № 6. – С. 70-72.
56. Гече Ф. Э. Реализация функций алгебры логики на пороговых элементах / Ф. Э. Гече, В. П. Поливко, В. И. Роботишин // Кибернетика. – К., 1983. – № 6. – С. 62-67.
57. Гече Ф. Э. Представление и классификация изображений в пороговом базисе / Ф. Э. Гече, А. В. Ануфриев // Кибернетика. – К., 1990. – № 5. – С. 90-96.
58. Гече Ф. Э. Нейронные елементы над конечными полями / Ф. Э. Гече // Iнформацiйнi технологiї i системи. – Львiв, 1998. – Т.1. – № 1/2. – С. 100-104.
59. Гече Ф. Э. Реализация булевых функций на одном нейронном елементе и сумматорах по mod 2 / Ф. Э. Гече // Iнформацiйнi технологiї i системи. – Львiв, 1998. – Т.1. – № 1/2. – С. 105-109.
60. Гече Ф. Э. Обработка дискретных космических изображений в расширенном пороговом базисе / Ф. Э. Гече // Космiчна наука i технологiя. – К., 1998. – Т. 4. – № 4. – С. 67-73.
61. Гече Ф. Реалiзацiя дискретних функцiй на багатозначному нейронному елементi над полем Галуа / Ф. Гече, А. Батюк // Вiсник Нацiонального унiверситету “Львiвська полiтехнiка”. Комп'ютерна iнженерiя та iнформацiйнi технологiї. – Львiв, 2000. – № 413. – С. 112-117.
62. Гече Ф. Е. Критерiй реалiзованостi дискретних функцiй одним багатозначним нейронним елементом над полем комплексних чисел / Ф. Е. Гече, А. Є. Батюк // Iнформацiйнi технологiї i системи. – Львiв, 2001. – Т.4. – № 1-2. – С. 44-46.
63. Гече Ф. Про деякi критерiї пороговостi булевих функцiй / Ф. Гече, В. Коцовський, А. Батюк // Вiсник Нацiонального унiверситету “Львiвська полiтехнiка”. Комп'ютерна iнженерiя та iнформацiйнi технологiї. – Львiв, 2001. – № 433. – С. 160-165.
64. Гече Ф. Властивостi бульових функцiй реалiзовних на двопорогових елементах / Ф. Гече, А. Батюк, В. Коцовський // Вiсник Нацiонального унiверситету “Львiвська полiтехнiка”. Інформаційні системи та мережі. – Львiв, 2001. – № 438. – С. 22-25.
65. Гече Ф. Спектральний метод синтезу двокаскадної мережі з багатозначних нейронних елементів над скінченним полем Галуа / Ф. Е. Гече, А. Є. Батюк // Збiрник наукових праць iнституту проблем моделювання в енергетицi ім. Г. Є. Пухова НАН України. – К., 2002. – Вип. 16. – С. 196-201.
66. Гече Ф. Про будову ядра нейрофункцiї / Ф. Гече, А. Батюк // Технiчнi вiстi. – Львiв, 2002. – 1 (14), 2 (15). – С. 80-83.
67. Гече Ф. Е. Алгоритми навчання узагальнених нейронних елементiв вiдносно системи характерiв / Ф. Е. Гече, В. М. Коцовський, А. Є. Батюк // Збiрник наукових праць iнституту проблем моделювання в енергетицi ім. Г. Є. Пухова НАН України. – К., 2007. – Вип. 41. – С. 124-136.
68. Гече Ф. Бульовi нейрофункцiї i синтез розпiзнавального пристрою у нейробазисi / Ф. Гече, В. Коцовський, С. Ковальов, А. Батюк // Вiсник Нацiонального унiверситету “Львiвська полiтехнiка”. Комп'ютернi науки та iнформацiйнi технологiї. – Львiв, 2007. – № 598. – С. 44-50.
69. Коцовський В. Оцінки величини цілочислових коефіцієнтів двопорогових нейронних елементів / В. Коцовський, Ф. Гече, А. Батюк // Вісник Національного університету “Львiвська полiтехнiка”. Комп’ютерні науки та інформаційні технології. – Львів, 2011. – № 694. – С. 292-296.
70. Geche F. The recognition of discrete patterns and signals in the neural basis./ F. Geche., V. Kotsovsky, A. Batyuk // Вісник Національного університету “Львівська політехніка”. Комп`ютерні науки та інформаційні технології. – Львів, 2011. – № 719. – С. 269-277.
71. Коцовський В. Про поведінку алгоритму навчання перцептрона у несепарабельному випадку/ В. Коцовський, Ф. Гече, О. Міца, А. Батюк // Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових праць. – Дніпропетровськ, 2011. – Випуск 6 (77). – С. 61-76.
72. Hrytsyk V. V. The neural and neural-like networks: synthesis, realization, application and future / V. V. Hrytsyk, N. N. Aizenberg, R. A. Bun, O. V. Danyliuk, F. E. Geche, B. V. Kysil, B. Ya. Oleksiv, Yu. V. Opotiak, S. P. Striamts, R. O. Tkachenko, V. A. Valkovskii, K. S. Voichyshyn // Iнформацiйнi технологiї i системи. – Львiв, 1998. – Т.1. – № 1/2. – С. 15-55.
73. Авторское свидетельство 1236519 СССР МКИ G 06К9/68. Устройство для распознавания образов / А. Е. Батюк, В. В. Грицик, Ф. Э. Гече, А. Ю. Луцык, Р. М. Паленичка. – СССР. – №4820600/24; заявлено 01.03.90; опубл. 07.04.92. – Бюл. №13. – 3 с.
74. Гече Ф. Алгебраические свойства нейробазиса булевих функций / Ф. Е. Гече // Міжнародна конференція з управління “АВТОМАТИКА–2000”. – Львів, 2000. – ч. 1. – С.123-129.
75. Гече Ф. Е. Властивості класу двопорогових бульових функцій та оцінки числа його елементів / Ф. Е. Гече, В. М. Коцовський // Науковий вiсник УжНУ. Сер.: Математика i iнформатика. – Ужгород, 2011. – Вип. 22. –№ 2 – С. 38-49.
76. Гече Ф. Е. Про деякi властивостi бульових функцiй, якi реалiзуються на одному нейронному елементi / Ф. Е. Гече, В. М. Коцовський // Науковий вiсник УжДУ. Сер.: Математика. – Ужгород, 1999. – Вип. 4. – С. 25-29.
77. Гече Ф. Е. Модифiкацiя критерiїв пороговостi бульових функцiй на основi властивостей характерестичних векторiв / Ф. Е. Гече, В. М. Коцовський // Науковий вiсник УжДУ. Сер.: Математика. – Ужгород, 1999. – Вип. 5. – С. 16-21.
78. Гече Ф. Е. Задання предикатiв iз скiнченною областю визначення за допомогою багатопорогових нейронних елементiв / Ф. Е. Гече, В. М. Коцовський // Науковий вiсник УжНУ. Сер.: Математика i iнформатика. – Ужгород, 2001. – Вип. 6. – С. 32-37.
79. Гече Ф. Е. Оцiнка числа бульових функцiй, реалiзовних на нейронних елементах / Ф. Е. Гече, В. М. Коцовський // Науковий вiсник УжНУ. Сер.: Математика i iнформатика. – Ужгород, 2002. – Вип. 7. – С. 32 37.
80. Ануфриев А. В. Исследование алгоритма сжатия информации и формирования информативных признаков в задачах обработки изображений / А. В. Ануфриев, Ф. Э. Гече, В. П. Поливко // IV Всесоюзная школа-семинар “Распараллеливание обработки информации”. – Львов, 1983. – ч. II. – С. 147 149.
81. Гече Ф. Э. Некоторые аспекты комбинаторно-алгебраического подхода в задаче представления и анализа изображений / Ф. Э. Гече, В. П. Поливко, В. И. Роботишин // V Всесоюзная школа по оптической обработке информации. – К., 1984. – С. 198-200.
82. Гече Ф. Э. Инварианты изображений относительно групповых преобразований / Ф. Э. Гече, А. В. Ануфриев, В. П. Поливко // V Всесоюзная школа-семинар ''Распараллеливание обработки информации''. – Львов, 1985. – ч. III. – С. 64-66.
83. Ануфриев А. В. Линейная разделимость множеств / А. В. Ануфриев, Ф. Э. Гече, В. П. Поливко // V Всесоюзная школа-семинар ''Распараллеливание обработки информации''. – Львов, 1985. – ч. IV. – С. 73 74.
84. Гече Ф. Э. Представление дискретных изображений в линейно-разделимом базисе / Ф. Э. Гече // II Всесоюзная конференция ''Автоматизированные системы обработки изображений''. – М.: Наука, 1986. –С. 9-11.
85. Гече Ф. Э. Алгебраический анализ дискретных изображений / Ф. Э. Гече // Третья Всесоюзная конференция ''Математические методы распознавания образов''. – Львов, 1987. – ч. I. – С. 141-142.
86. Гече Ф. Э. Признаковые отношения толерантности в задачах распознавания изображений / Ф. Э. Гече, А. Е. Батюк. М. И. Добош // VII Всесоюзная школа-семинар ''Распараллеливание обработки информации''. – Львов, 1988. – С. 34-36.
87. Geche F. E. Organization of Computational process for Digital Image Representation by informational vectors / F. E. Geche, A. E. Batyuk // Theses reports in International Conference "Information Technologies in Analysis of Images and Images Recognition". – Lviv: PMI Ukr. Akad. of Sci., 1990. – P. 253 259.
88. Гече Ф. Э. Алгебраические свойства пороговых множеств / Ф. Э. Гече, А. Е. Батюк // Друга українська конференцiя з автоматичного керування ''Автоматика-95''. – Львiв, 1995. – С. 16-17.
89. Гече Ф. Е. Оцінка числа порогових бульових функцій / Ф. Е. Гече, В. М. Коцовський // Міжнародна школа-семинар ''Теорія прийняття рішень''. – Ужгород, 2002. – С. 24.
90. Гече Ф. Е. Задання предикатів за допомогою багатопорогових нейронних елементів / Ф. Е. Гече, В. М. Коцовський // Мiжнародна конференцiя з iндуктивного моделювання «IСIМ-2002».– Львiв, 2002. – Т. 4 5. – С. 132-136.
91. Гече Ф. Е. Про представлення множин бульових векторiв матрицями толерантностi / Ф. Е. Гече // Мiжнародна конференцiя з iндуктивного моделювання «IСIМ-2002».– Львiв, 2002. – Т. 4-5. – С. 255-260.
92. Гече Ф. Е. Про збіжність спектрального алгоритму навчання нейронних елементів / Ф. Е. Гече, В. М. Коцовський, С. А. Ковальов // Proceedings of the International Conference on Computer Science and Information Technologies ''CSIT 2007''. – Львів, 2007. – С. 67-69.
93. Гече Ф. Е. Двопорогово сепарабельні множини у -вимірному дійсному просторі / Ф. Е. Гече, В. М. Коцовський // V Міжнародна школа-семінар ''Теорія прийняття рішень''. – Ужгород, 2010. – С. 51-52.
94. Гече Ф. Е. Матриці толерантності і узагальнені нейронні елементи / Ф. Е. Гече, В. М. Коцовський // V Міжнародна школа-семінар ''Теорія прийняття рішень''. – Ужгород, 2010. – С. 53-54.
95. Коцовський В. Про поведінку алгоритму навчання перцептрона у несепарабельному випадку. / В. Коцовський, Ф. Гече, О. Міца, А. Батюк // ISDMCI'2012. Шоста міжнародна наукова конференція “Інтелектуальні системи прийняття рішень і проблеми обчислювального інтелекту”.– Євпаторія, 27-31 травня 2012 р. – Т. 2. – С. 12-14.
96. Geche F. The recognition of discrete patterns and signals in the neural basis / F. Geche, V. Kotsovsky, A. Batyuk, D. Shevchuk // The fifth world congress "Aviation in the XXI-st century". – K., September 25-27, 2012. – Vol. 1. – P. 1.5.1-1.5.19.
97. Гече Ф. Е. Представлення і розпізнавання бінарних зображень у просторі інформаційних векторів / Ф. Е. Гече // VI Міжнародна школа-семінар ''Теорія прийняття рішень''. – Ужгород, 1-6 жовтня 2012 р. – С. 53-54.
98. McCulloch W. S. A logical calculus of ideas immanent in nervous activity / W. S. McCulloch, W. Pitts // Bull. Mathematical Biophysics. – 1943. – vol 5. – P. 115-133.
99. McNaughton R. Truth Functions / R. McNaughton // IRE Trans. on Electronic Computers. – 1961. – EC – 10. – P. 1-6.
100. Muroga S. Theory of Majority Decision Elements / S. Muroga // J. Franklin Inst. – 1961. – 271. – P. 376-418.
101. Winder R. O. Single Stage Threshold Logic / R. O. Winder // AIEE Conference. Proc. Ann. Symp. Switching Circuil Theory and Logical Design. – 1960. – P. 321-332.
102. Paul M. C. Boolean Functions Realizable with Single Threshold Devices / M. C. Paul, E. J. McCluskey // Proc. IRE. – 1960. – 48. – P. 1335-1337.
103. Elgot C. C. Truth Functions Realizable by Single Threshold Organs / C. C. Elgot // AIEE Confeence. Prac. Ann. Symp. Switching Circuil Theory and Logical Design. – 1960. – P. 225-245.
104. Elgot C. C. Two Open Problems in Threshold Logic / C. C. Elgot, S. Muroga // AIEE Conference. Proc. Ann. Symp. Switching Circuil Theory and Logical Design. – 1960. – P. 166.
105. Winder R. O. More About Threshold Logic / R. O. Winder // AIEE Conference. Proc. Ann. Symp. Switching Circuil Theory and Logical Design. – 1960. – P. 55-64.
106. Chow C. K. Boolean Functions Realizable with Single Threshold Devices / C. K. Chow // Proc. IRE. – 1961. – 39. – P. 370-371.
107. Sheng C. L. A Method for Testing and Realization of Threshold Functions / C. L. Sheng // IEEE Trans. on Electronic Computers. – 1964. – EC – 13. – P. 232-237.
108. Логинов В. И. Реализация логических функций на одном пороговом элементе / В. И. Логинов// Изв. АН СССР. Сер.: Техническая кибернетика. – М., 1966. – № 1. – С. 79-86.
109. Coates C. L. Linearly Separable Switching Functions / C. L. Coates, P. M. Lewis // J. Franklin Inst. – 1961. – 272. – P. 336-410.
110. Minnick R. C. Linear Input Logic / R. C. Minnick // IRE Trans. on Electronic Computers. – 1961. – EC – 10. – P. 6-16.
111. Akers S. B. Threshold Logic and Two-Person, Zero-Sum Games / S. B. Akers // Proc. Ann. Symp. Swithing Theory and Logical Design. – 1961. – P. 27-33.
112. Akers S. B. On the Algebraic Manipulation of Majority Logic / S. B. Akers // IRE Trans. on Electronic Computers. – 1961. – EC – 10. – P. 779.
113. Stram O. B. Arbitrary Boolean Functions of Variable Realizable in Terms of Threshold Devices / O. B. Stram // Proc. IRE. – 1961. – 49. – P. 210-220.
114. Stram O. B. The profile Technique for the Design of Threshold Device Logic / O. B. Stram // Proc. Ann. Symp. Switching Circuit Theory and Logical Design. – 1961. – P. 47-54.
115. Winder R. O. Treshold Logic in Artificial Intelligence / R. O. Winder // Artificial Intelligence AIEE Publication. – New York, 1963. – S-142. – P. 108 128.
116. Rozenblatt F. Two theorems of statistical separability in the perceptron / F. Rozenblatt // Proceedings of a Symposium on the Mechanization of Thought Processes. – London, 1959. – P. 421-456.
117. Семюэль А. Некоторые исследования возможности обучения машин на примере игры в шашки / А. Семюэль // Сб.: Вычислительные машины и мышление. – М.: Мир, 1967. – С. 71-110.
118. Gamba A. Further experiments with PAPA / A. Gamba, L. Gambertini, G. Palmieri, R. Sanna // Nouvo Cimento Suppl. –1961.– 20.– № 2.– P. 221-231.
119. Clark W. Generalization of pattern recognition in a self-organizing system / W. Clarck, B. Farley // Proceeding of the Western Joint Computer Conference. – 1955. – P. 85-111.
120. Аттли О. Машины условной вероятности / О. Аттли // сб.: Автоматы. – М., 1956. – С. 326-351.
121. Минский М. Персептроны / М. Минский, С. Пейперт.– М.: Мир, 1971. – 252 с.
122. Agmon S. The relaxation method for linear inequalities / S. Agmon // Canadien Journal of Mathematics. – 1954.– 6. – № 3. – P. 382-392.
123. Block H. The perceptron: a model for brain functioning / H. Block // Reviews of Modern Physic. – 1962. – 34. – № 1. – P. 123-135.
124. Selfridge O. Pattern recognition and learning / O. Selfridge // Proceedings of the Third London Symposium on Information Theory. – New York, 1956. – P. 345.
125. Lettvin J. What the frogs eye tells the frog’s brain / J. Lettvin, H. Maturana, W. McCulloch, W. Pitts // Proceedings of the IRE. – 1959. – 47. – P. 1940-1951.
126. Hubel D. Receptive fields of Single neurons in the cat’s striate cortex / D. Hubel, T. Wiesel // Journal of Physiology. – 1959.– 48. – P. 574-591.
127. Pitts W. How we know universals / W. Pitts, W. McCulloch // Bull. Math. Biophis.– 1947. – 9. – P. 127-147.
128. Bledsoe W. Pattern recognition and reading by machine / W. Bledsoe, I. Browning // Proceedings of the Eastern Joint Computer Conference. – 1959. – P. 225-232.
129. Робертс Л. Дж. Распознавание изображений при помощи приспосабливающихся систем / Л. Дж. Робертс // Кибернетический сб. – М., 1962. – № 4. – С. 212-218.
130. Розенблатт Ф. Обобщение восприятий по группам преобразований/ Ф. Розенблатт // Cб.: Самоорганизующиеся системы. – М.: Мир, 1964. – С. 65-112.
131. Myhill J. On the size of weights required for linear-input switching functions / J. Myhill, W. Kautz // IRE Trans. Elect. Comp. – 1961.– 10. – № 2. – P. 288-290.
132. Muroga S. Lower bounds on the number of threshold functions / S. Muroga, I. Toda // IEEE Trans. Elect. Comp. – 1966. – EC-15. – № 5. – P. 805 806.
133. Muroga S. Lower bounds on the number of threshold functions and maximum weight / S. Muroga // IEEE Trans. Elect. Comp. – 1965. – EC-14. – № 2. – P. 136-148.
134. Newell A. Report on a general problem-solving program / A. Newell, J. Shaw, H. Simon // Proceeding of International Conference on Information Processing. – UNESCO House. – 1959. – P. 256-264.
135. Вапник В. Н. Системы обучения распознаванию образов при помощи обобщенных портретов / В. Н. Вапник, А. Я. Лернер, А. Я. Червоненкис // Изв. АН СССР. Сер.: Техническая кибернетика. – М., 1965. – № 1. – С. 72-87.
136. Гендлер М. Б. Анализ условий надёжной реализуемости пороговых функций на реальных пороговых элементах / М. Б. Гендлер // Изв. АН СССР. Сер.: Техническая кибернетика. – М., 1965. – № 1. – С. 34-44.
137. Варшавский В. И. Функциональные возможности и синтез пороговых элементов / В. И. Варшавский // Доклады Академии наук СССР. – М., 1961. – Т. 139. – № 5. – С. 1071-1074.
138. Дертоузос М. Пороговая логика / М. Дертоузос. – М.: Мир, 1967. – 342 c.
139. Kaszerman P. A. Geometric Test – Synthesis Procedure for a Threshold Device / P. Kaszerman // Information and Control. – 1963. – 6. – P. 381-398.
140. Айзенберг Н. Н. Многозначные пороговые функции I. Булевые комплексно-пороговые функции и их обобщение / Н. Н. Айзенберг, Ю. А. Иваськив, Д. А. Поспелов, Г. Ф. Худяков // Кибернетика. – К., 1971. – № 4. – С. 44-51.
141. Widrow B. Adaptive Switching Circuits / B. Widrow, M. E. Hoff // Tech. Rep. № 1553-1, Stanford Electronics Laboratories, Stanford Univ, Stanford Calif. – 1960. – P. 217-225.
142. Coates C. L. A Realization for Threshold Gate Networks / C. L. Coates, P. M. Lewis // IEEE Trans. on Electronic Computers. – 1963. – EC-13.– P. 456 461.
143. Cohn M. Axiomatic Majority-Decision Logic / M. Cohn, R. Lindaman // IRE Trans. on Electronic Computers. – 1961. – EC – 10. – P. 17-21.
144. Rosenblatt F. Perceptron Simulation Experiments / F. Rosenblatt // Proc. IRE. – 1960. – 48. – P. 301-309.
145. Розенблатт Ф. Принципы нейродинамики. Перцептроны и теория механизмов мозга. – М.: Мир, 1965. – 480 с.
146. Rosenblatt F. The Perceptron: A probalistic model for information storage and organization in the brain / F. Rosenblatt // Phychological Review. – 1958. – Vol. 65. – P. 386-408.
147. Widrow B. Generalization and information storage in networks of adeline neurons / B. Widrow, M. Yovitz, G. Jacobi, G. Goldstein // Self-Organizing Systems. – Washington. DC: Spartan Books, 1962. – P. 435-461.
148. Айзенберг Н. Н. Об одном обобщении пороговых функций / Н. Н. Айзенберг, Ю. Л. Иваськив, Д. А. Поспелов // Доклады АН СССР. – М., 1971. – Т. 196. – № 6. – С. 1287-1290.
149. Блюмин С. Л. Пороговые многозначные функции / С. Л. Блюмин // Изв. АН СССР. Сер.: Техническая кибернетика. – М, 1972. – № 1. – С. 101 108.
150. Айзенберг Н. Н. Многозначная пороговая логика / Н. Н. Айзен–берг, Ю. Л. Иваськив. – К.: Наук. думка, 1977. – 145 с.
151. Айзенберг Н. Н. Многозначные пороговые функции II. Синтез многозначных пороговых елементов / Н. Н. Айзенберг, Ю. Л. Иваськив, Д. А. Поспелов, Г. Ф. Худяков // Кибернетика. – К., 1973. – № 1. – С. 53-66.
152. Aizenberg I. Complex-Valued Neural Networks with Multi-Valued Neurons / I. Aizenberg.– Berlin/Heidelberg: Springer, 2011. – 264 p.
153. Aizenberg I. A Modified Learning Algorithm for the Multilayer Neural Nework with Multi-Valued Neuron Based on the Complex OR Decomposition / I. Aizenberg, A. Luchano, S.Manetti // Soft Computing. – 2012.– Vol. 16.– № 4. – P. 563-575.
154. Aizenberg I. A Periodic Activation Function and a Modified Learning Algorithm for the Multi-Valued Neuron / I. Aizenberg// IEEE Transaction on Neural Networks. – 2010.– Vol. 21.– № 12.– P. 1939-1949.
155. Aizenberg I. Blur identification by Multilayer Neural Network based on Multi-Valued Neurons / I. Aizenberg, D. Paliy, J. Zurada, J. Astola // IEEE Transactions on Neural Networks. – 2008.–Vol. 19.– № 5 – P. 883-898.
156. Aizenberg I. Multilayer Feed-forward Neural Network based on Multi-Valued Neurons and a Backprapagation Learning Alghorithm/ I. Aizenberg, C. Moraga // Soft Computing. – 2007. – Vol. 11. – № 2. – P. 169-183.
157. Aizenberg I. Complex Valued Neural Networks: Theories and Applications – A. Hiros. Ed. / I. Aizenberg // A Book Review. IEEE Transactions on Neural Networks.– 2006.– Vol. 17. – № 2. – P. 534.
158. Aizenberg I. Temporal Classification of Drosophila Segmentation Gene Expression Patterns by the Multi-Valued Neural Recognition Method / I. Aizenberg, E. Myasnikova, M. Samsonova, J. Reinitz // Mathematical Biosciences. – 2002. – Vol. 176(1). – P. 145-159.
159. Aizenberg I. Cellular Neural Networks and Computational intelligence in Medical image Processing / I. Aizenberg, N. Aizenberg, J. Hiltner, C. Moraga, E. Meyer zu Bexten // Image and Vision Computing. – 2001. – Vol. 19.– P. 177 183.
160. Aizenberg I. N. Processing of noisy and small-detailed gray scale images using cellular neural networks/ I. N. Aizenberg // Journal of Electronic Imaging. – 1997.– Vol. 6.– № 3.– P. 272-285.
161. Aizenberg I. Impulsive Noise Removal using Threshold Boolean Filtering based on the impulse Detecting Functions / I. Aizenberg, C. Butakoff, D. Poliy // IEEE Signal Processing Letters. – 2005. – Vol. 12.– № 1.– P. 63-66.
162. Aizenberg I. Effective Impulse Detectors Based on Rank-Order Criteria / I. Aizenberg, C. Butakoff // IEEE Signal Processing Letters. – 2004.– Vol. 11.– № 3.– P. 363-366.
163. Aizenberg I. Superresolution and Supersampling by Spectrum Extrapolation / I. Aizenberg, C. Butakoff // Pattern Recognition and Image Analysis. – 2004. – Vol. 14.– № 3. – P. 370-379.
164. Aizenberg I. Image Processing Using Cellular Neural Networks Based on Multi-Valued an Universal Binary Neurons / I. Aizenberg, C. Butakoff // Journal of VLSI Signal Processing Systems for Signal, Image and Video Technology.– 2002. – Vol. 32. – P. 169-188.
165. Aizenberg I. Median in Spatial and Frequency Domain Filtering / I. Aizenberg, C. Butakoff. // SPIE’s International Technical Groups Newletters on Electronic Imaging. – 2002. – Vol. 12. – № 2. – P. 4.
166. Aizenberg I. Intelligent detection of Impuls Noise using Multilayer Neural Network with Multi-Valued Neurons / I. Aizenberg, G. Wallace // SPIE Proceedings. – 2012. – Vol. 8295. – P. 8295OS-1-8295OS-12.
167. Aizenberg I. Recognition of Blurred Images Using Multilayer Neural Network Based on Multi-Valued Neurons / I. Aizenberg, S. Alexander, J. Jackson // Proceeding of the 41 st IEEE International Symposium on Multiple-Valued Logic (ISMVL-2011), IEEE Computer Society Press. – 2011. – P. 282-287.
168. Zurada J. Learning in Networks: Complex-valued Neurons, Pruning and Rule Extraction / J. Zurada, I. Aizenberg, M. Mazurowski // Proceedings of the 4th IEEE International Conference on Intelligent Systems (IS-2008). – Varna, 2008. – Vol. 1.– P. 15-20.
169. Aizenberg I. Effective Detection and Elimination of Impulsive Noise with a Minimal Image Smoothing / I. Aizenberg, J.Astola, C. Butakoff, K. Egiazarian, D. Raliy // Proceedings of IEEE International Conference on Image Processing (ICIP’2003). – 2003. – Vol. 3. – P. 357-360.
170. Лабунец В. Г. Гармонический анализ булевых функций и функций -значной логики над конечными полями / В. Г. Лабунец, О. П. Ситников // Изв. АН СССР. Сер.: Техническая кибернетика. – М., 1975. – № 1. – С. 141 148.
171. Залманзон Л. А. Преобразование Фурье, Уолша, Хаара и их применение / Л. А. Залманзон. – М.: Наука, 1989. – 493 с.
172. Ярославский Л. П. Введение в цифровую обработку изображений / Л. П. Ярославский. – М.: Советское радио, 1979. – 312 с.
173. Карповский М. Г. Спектральные методы анализа и синтеза дискретных устройств / М. Г. Карповский, Э. С. Москалев. – М.: Энергия, 1973. – 139 с.
174. Голубов Б. И. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения / Б. И. Голубов, А. В. Ефимов, В. А. Скворцов. – М.: Наука, 1987. – 343 с.
175. Хармут Х. Передача информации ортогональнымы функциями / Х. Хармут. – М.: Связь, 1975. – 267 с.
176. Трахтман А. М. Основы теории дискретных сигналов на конечних интервалах / А. М. Трахтман, В. А. Трахтман. – М.: Сов. Радио, 1975. – 177 с.
177. Аратюнян Ф. Г. О единственности рядов по системам Хаара и Уолша / Ф. Г. Аратюнян, А. А. Талалян // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. – 1964. – Т. 28. – № 6. – С. 1391-1408.
178. Жуков Д. М. Эквивалентность одномерного и двумерного преобразования Крестенсона–Леви / Д. М. Жуков // Методи цифровой обработки изображений. – М.: МИЭТ, 1982. – С. 65-70.
179. Chen S. Non-linear system identification using neural networks / S. Chen, S. Billing, P. Grant // International Journal of control. – 1990. – vol. 51. –
P. 1191-1214.
180. Kohonen T. An introduction to neural computing / T. Kohonen // Neural Networks. – 1998. – vol. 1. – P. 3-16.
181. Lui H. C. Analysis of decision contour of neural network with sigmoidal noulinearity / H. C. Lui // International Joint Conference on Neural Networks. – Washington. – 1990. –Vol. 1. – P. 655-659.
182. Mhaskar H. N. Neural Networks for optimal approximation of smooth and analytic functions / H. N. Mhaskar // Neural Computation. – 1996. – Vol. 8. – P. 1731-1742.
183. Mhaskar H. N. Approximation by superposition of sigmoidal and radial basis functions / H. N. Mhaskar, C. A. Michelli // Avances in Aplied Mathematics. – 1992. – Vol. 13. – P. 350-373.
184. Park J. Universal approximation using radial-basis-function networks / J. Park, I. W. Sandberg // Neural Computation. – 1991. – Vol. 3. – P. 246-257.
185. Renals S. Radial basis function network for speech pattern classification / S. Renals // Electronics Letters. – 1989. – Vol. 25. – P. 437-439.
186. Chen S. Orthogonal least squares learning algorithm for radial basis function networks / S. Chen // IEEE Trans. Neural Networks. – 1991. – Vol. 2. – P. 302-309.
187. Анил К. Введение в искусственные нейронные сети / К. Анил // Открытые системы. – 1997. – № 4. – С. 16-24.
188. Cybenko G. Approximation by superpositions of a sigmoidal function / G. Cybenko // Mathematics of Conrol, Signals and Systems. – 1989. – 2 (4). – P. 303-314.
189. Ткаченко Р. О. Нейронні мережі з нелінійними синаптичними зв'язками / Р. О. Ткаченко // Вісник ДУ "Львівська політехніка". Комп'ютерні системи проектування. Теорія і практика. – Львів, 1999. – № 373. – С. 20-22.
190. Грицик В. В. Нейромережні технології прогнозування сонячної активності / В. В. Грицик, К. С. Войчишин, Р. О. Ткаченко, І. Ю. Юрчак // Доповіді НАН України. – 1999. – № 6. – С. 79-85.
191. Медведев В. С. Нейронные сети. MATLAB. / В. С. Медведев, В. Г. Потемкин. – М.: Диалог – Мифи, 2002. – 498 с.
192. Bodyanskiy Ye. Adaptive quadratic radial basis function network for time series forecasting / Ye. Bodyanskiy, O. Chaplanov, V. Kolodyazhniy, P. Otto // Proc. East West Fuzzy Call. Zittan / Gorlitz: HS. – 2002. – P. 164-172.
193. Бодянский Е. В. МГУА-нейронная сеть на составных -нейронах с активационными функциями типа многомерных ядер Епанечникова / Е. В. Бодянский, И. П. Плисс, Н. А. Тесленко // Праці V школи-семінару ''Теория прийняття рішень''. – Ужгород, 2010. – С. 27-28.
194. Лейхтвейс К. Выпуклые множества / К. Лейхтвейс. – М.: Наука, 1985. – 335 с.
195. Карманов В. Г. Математическое программирование / В. Г. Карма–нов. – М.: Наука, 1986. – 285 с.
196. Яджима С. Нижняя оценка числа пороговых функций / С. Яджима, Т. Ибараки // Кибернитический сборник: новая серия. – М.: Мир, 1969. – Вып. 6. – С. 72-81.
197. Muroga M. Theory of majority decision elements / M. Muroga, I. Toda, S. Takasu // J. Franklin Institute. – 1961. – Vol. 261/5. – P. 376-418.
198. Кертис Ч. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр / Ч. Кертис, И. Райнер. – М.: Наука, 1969. – 667 с.
199. Курош А. Г. Теория групп / А. Г. Курош. – М.: Наука, 1967. – 648 с.
200. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра / Б. Л. Ван дер Варден. – М.: Наука, 1979. – 623 с.
201. Кострикин А. И. Введение в алгебру/ А. И. Кострикин. – М.: Наука, 1977. – 495 с.
202. Постников М. М. Теория Галуа / М. М. Постников. – М.: Физматгиз, 1963. – 218 с.
203. Берлекемп Э. Алгебраическая теория кодирования / Э. Берлекемп. – М.: Мир, 1971. – 477 с.
204. Кузьмин И. В. Основы теории информации и кодирования / И. В. Кузьмин, В. А. Кедрус. – К.: Вища школа, 1977. – 278 с.
205. Кларк Дж. Кодирование с исправлением ошибок в системах цифровой связи / Дж. Кларк, Дж. Кейн мл. – М.: Радио и связь, 1987. – 391 с.
206. Eichner L. Homomorphe Darstellungen endlicher Automaten in linearen Automaten / L. Eichner. – EIK. – 1973. – T. 9. – № 10. – P. 67-76.
207. Журавлев Ю. И. Об алгебраическом подходе к решению задач разпознавания или классификации / Ю. И. Журавлев // Cб.: Проблемы кибернетики. – М.: Наука, 1978. – Вып. 33. – С. 5-68.
208. Прэтт У. Цифровая обработка изображений / У. Прэтт. – М.: Мир, 1982. – Т. 1. – 480 с.
209. Ту Дж. Принципы разпознавания образов / Дж. Ту, Р. Гонсалес. – М.: Мир, 1978. – 411 с.
210. Аркадьев А. Г. Обучение машины распознаванию образов / А. Г. Аркадьев. – М.: Наука, 1964. – 110