Многомасштабные методы синтеза и анализа изображений : Многомасштабные методи синтезу та аналізу зображень

Краткое описание

Оглавление
Введение
5

1 Основы многомасштабного представления информации 16

1.1 Структура вейвлет-разложения сигнала . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Преобразование Хаара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

1.3 Вейвлет-преобразования дискретных сигналов . . . . . . . . . 20

1.4 Вейвлет-преобразования конечных сигналов . . . . . . . . . . 23

1.5 Вейвлет-преобразования двумерных сигналов . . . . . . . . . 24

1.6 Древовидные структуры для представления вейвлет-преоб-

разований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 25

2 Адаптивное сеточное представление объектов, определен- ных на плоскости. Задача
реконструкции освещенности на плоскости
28
2.1 Двумерные сигналы и сеточное представление . . . . . . . . . 28

2.2 Использование вейвлет-анализа для построения адаптивных

сеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 29

2.2.1 Дерево узлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31

2.2.2 Альтернативный подход: дерево ячеек . . . . . . . . . 37

2.2.3 Примеры работы метода . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2

2.3 Многомасштабный анализ и реконструкция освещенности . . 41

2.3.1 Методы глобальной освещенности . . . . . . . . . . . . 41

2.3.2 Метод Монте-Карло трассировки лучей . . . . . . . . 43

2.3.3 Представление функции освещенности . . . . . . . . . 45

2.3.4 Вычисление значений освещенности . . . . . . . . . . . 46

2.4 Описание метода реконструкции освещенности . . . . . . . . 48

2.4.1 Начальное приближение функции освещенности . . . . 48

2.4.2 Структура преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4.3 Дерево преобразования и триангуляция . . . . . . . . . 51

2.4.4 Выбор фильтров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4.5 Примеры работы метода . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.5 Анализ результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55

3 Многомасштабное представление линий уровня 58

3.1 Описание задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 58

3.2 Построение последовательности управляющих точек . . . . . 59

3.3 Построение линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 64

3.3.1 Уточнение формулировки задачи . . . . . . . . . . . . 64

3.3.2 В-сплайновые кривые и вейвлеты . . . . . . . . . . . . 66

3.3.3 Реализация вейвлет-преобразования . . . . . . . . . . . 71

3.3.4 Преобразование управляющей последовательности . . 72

3.3.5 Сглаживание кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3.6 Масштабирование и отображение кривой . . . . . . . . 77

3.4 Реализация и анализ результатов . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4 Генерация текстур 82

3

4.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82

4.2 Описание модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 85

4.2.1 Базовый элемент и репликации . . . . . . . . . . . . . 86

4.2.2 Построение изображения из репликаций . . . . . . . . 87

4.2.3 Определение параметров модели . . . . . . . . . . . . . 89

4.2.4 Масштабирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 91

4.4 Управляющие маски слоев . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.5 Представление данных и особенности реализации . . . . . . . 99

4.6 Связь с теорией вейвлет-анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.7 Анализ результатов. Развитие задачи . . . . . . . . . . . . . . 104

Заключение 107

Иллюстрации 110

А Многомасштабный анализ и вейвлет-преобразования 118

А.1 Ортогональный многомасштабный анализ . . . . . . . . . . . 118

А.2 Неортогональный многомасштабный анализ . . . . . . . . . . 123

А.3 Вычисление вейвлет-преобразований . . . . . . . . . . . . . . 125

А.4 Двумерные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

А.5 Нормализация вейвлет-базисов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Список литературы 130

4

Введение

Повышение эффективности обработки информации является актуальной задачей компьютерной графики.
Требования к реалистичности генериру- емых изображений постоянно растут. Это приводит увеличению
объемов обрабатываемой информации, к усложнению алгоритмов обработки, и, как следствие, к
росту вычислительных затрат. В то же время, для многих приложений (например, игровых)
необходима очень высокая скорость об- работки графической информации. Рост производительности
оборудования решает эту проблему, как показывает практика, лишь отчасти.
Возможны следующие пути повышения эффективности обработки гра-

фической информации.

Первый путь — сокращение объемов данных. Описание объекта может содержать избыточную или
несущественную информацию, которую мож- но отбросить. Допустим, имеется сеточное представление
объекта — не- которого рельефного изображения на плоской поверхности (см. пример на с. 111).
Чтобы передать сложную структуру изображения, сетка должна быть достаточно мелкой (и,
следовательно, содержать большое число вер- шин и треугольников). Однако заметно, что выдерживать
постоянный шаг сетки для всего объекта не требуется. Мелкая сетка явно избыточна для за- дания
фрагмента плоскости. Некоторые участки изображения также можно

5

представить с помощью более крупных треугольников. Таким образом, объ- ект можно представить сеткой
с меньшим числом треугольников. Затраты на обработку такой сетки снижаются, также уменьшается
расход памяти для ее хранения.
Существенность информации может определяться не только особен- ностями объекта, но и
особенностями отображения объекта. Предполо- жим, что сетку из вышеприведенного примера
потребовалось отобразить в область малого размера. При этом может получиться, что реальный
размер некоторых треугольников сетки составит менее 1-2 пикселов. Очевидно, что в таком случае
имеет смысл использовать более крупную сетку.
Второй путь — поиск удобных для обработки представлений информа- ции. Например,
представлений, которые обеспечивают эффективную реа- лизацию таких упомянутых выше операций, как
сокращение общего объема данных и выбор информации, существенной для отображения объекта при
заданных условиях. Также желательно, чтобы одно представление могло использоваться для решения
сразу нескольких подзадач сложной много- этапной обработки объекта. В этом случае отсутствие
необходимости на каждом этапе преобразовывать объект в новое представление может упро- стить
общую процедуру обработки и повысить эффективность ее реализа- ции.
Третий путь — разработка более производительных алгоритмов обра- ботки информации. Повышение
производительности может достигаться разными методами, например, оптимизацией существующих
алгоритмов, применением более эффективных численных методов, распараллеливанием, аппаратной
поддержкой части вычислений и т.д. Очевидно, что разработ-

6

ка производительных алгоритмов тесно связана с поиском представлений информации,
обеспечивающих эффективную обработку.
Допустим теперь, что существует описание объекта в виде многослой- ной структуры, обладающей
следующим свойством: первый слой содержит информацию, достаточную для грубого (с низким
разрешением) приближе- ния объекта; при добавлении информации из каждого последующего слоя степень
детализации постепенно увеличивается, пока объект не будет вос- становлен полностью (то есть с
максимальным разрешением). Такое пред- ставление обладает целым рядом полезных свойств. Прежде
всего, оно по- зволяет выделить на изображении фрагменты, которые при переходе от слоя к
слою меняются либо слабо, либо, напротив, сильно. Слабые изме- нения свидетельствуют о том,
что данный фрагмент достаточно хорошо представим и с невысоким разрешением. Это позволяет
исключить ин- формацию, соответствующую такому фрагменту, из последующих слоев, и обеспечивает,
таким образом, сжатие информации, т.е. сокращение объ- емов данных. Сильные изменения,
наоборот, соответствуют фрагментам, которые требуется представлять с высоким разрешением, их
локализация позволяет выделять контуры изображения, мелкие детали и т.д. Много- слойное
представление открывает широкие возможности и для редактиро- вания объектов: вносить изменения
можно не в объект целиком, а либо в одно из приближений объекта, либо в детализирующие слои.
Иерархиче- ская структура позволяет эффективно отображать объект в зависимости от конкретных
условий (параметров графического устройства, расположе- ния объекта в сцене, положения
наблюдателя). Возможна демонстрация объекта с разрешением, возрастающим по мере получения
детализирую-

7

щей информации. Такая операция (т.н. прогрессивная передача), полезна в случае, когда невозможно
моментально получить полностью описание объ- екта, например, при передаче по сети, или если
нужно получить изобра- жения большого числа объектов, не требуя их воспроизведения с высоким
разрешением, например, при просмотре результатов запросов к базам дан- ных с графической
информацией.
Таким образом, иерархическое представление позволяет обеспечить раз- ностороннюю обработку
объекта, включая сжатие данных и управление уровнем детализации. Кроме того, как будет
показано ниже, построение и обработка таких представлений может осуществляться с помощью
доста- точно простых и эффективных алгоритмов.
Иерархическое представление, обладающее подобными свойствами, в ли- тературе называют
многомасштабным. Примером конструкций, обеспечи- вающих многомасштабное представление информации,
служат пирамиды лапласианов и гауссианов, предложенные в [24]. Идеи, использованные при построении
этих пирамид, легли в основу теории вейвлет-анализа (или анализа всплесков)[2, 3, 11, 15, 25,
29, 45, 56, 73, 77] — инструмента, кото- рый активно используется в настоящее время для работы с
многомасштаб- ными представлениями данных самой различной структуры.
Вейвлет-анализ — это разложение сигнала по специальному базису. Базисные функции (вейвлеты)
получаются сдвигом и масштабированием (сжатием или растяжением) одной функции — порождающего
вейвлета. Как правило, вейвлетом является функция с компактным носителем, или функция, быстро
убывающая на бесконечности, среднее значение которой равно нулю.

8

Масштаб в вейвлет-анализе является в определенном смысле аналогом частоты в анализе Фурье. Однако
в отличие от анализа Фурье каждому значению масштаба вейвлет-анализа соответствует вообще
говоря беско- нечное количество сдвинутых друг относительно друга локализованных в пространстве
функций. Таким образом, вейвлет-анализ является частотно- пространственным, что принципиально
отличает его от строго частотного анализа Фурье.
Другим отличием является то, что в случае вейвлет-анализа в наибо- лее общей постановке не
конкретизируется не только сам порождающий вейвлет, но и то, какие именно его копии участвуют в
разложении. Отсю- да очевидно, что термин «вейвлет-преобразование» является обозначением целого
класса разложений. Анализ Фурье, как известно, является разложе- нием по фиксированной системе
функций.
Считается, что начало вейвлет-анализу было положено в работах А. Ха- ара еще в начале XX века
[40]. В дальнейшем предпринимались попытки создания иерархических базисов для решения различных
задач, но они не были объединены единой теорией и, следовательно, не имели единого под- хода.
В конце 80-х годов С. Малла вводит понятие многомасштабного ана- лиза [55], и определяет
общий подход для поиска различных вейвлет- базисов. Им же разрабатывается основной алгоритм
вычисления вейвлет- преобразований для дискретных сигналов, что открывает широкие воз- можности
для практической реализации метода. С этого момента теория и практика вейвлет-анализа начинают
активно развиваться. В 1992 году появляется классическая работа И. Добеши «Десять лекций
по вейвле-

9

там» [29] (в 2001 году издана на русском языке [3]). Эта книга, а также некоторые другие издания
(напр., [77]), посвящены строгому изложению теории вейвлет-анализа. Выходит в свет несколько
книг, в которых содер- жится подробное введение в вейвлет-анализ, а также рассматривается ши-
рокий круг прикладных задач [25, 26, 56]. В середине 90-х годов В. Свелденс предлагает новый метод
вычисления вейвлет-преобразований, названный лифтингом [30, 74], который несколько более
эффективен, чем классиче- ский алгоритм, предложенный Малла, и, кроме того, позволяет расширить
класс вейвлет-преобразований.
Являясь достаточно эффективным инструментом обработки сигналов различной природы,
вейвлет-анализ находит применение в математике, фи- зике, астрономии, медицине, радиоэлектронике и
других отраслях.
Наиболее распространенным примером применения вейвлет анализа в компьютерной графике и обработке
изображений является сжатие изобра- жений [15, 31, 57, 66, 68]. Во многих публикациях можно
встретить упоми- нание о том, что один из первых алгоритмов был разработан для сжатия
изображений отпечатков пальцев по заказу ФБР США, где и сейчас успеш- но используется.
Разработчики стандарта JPEG-2000 утверждают, что их алгоритм сжатия основан на
вейвлет-преобразовании.
Кроме этого вейвлеты применяются для обработки практически всех основных графических объектов:
кривых [25, 34], поверхностей [22, 32, 39,
53, 54], сплошных трехмерных тел [42]. Отдельно можно отметить примене- ние вейвлет-анализа в таких
сложных задачах графики, как моделирование освещенности методом излучательности [38].
Вейвлет-анализ находит применение и в задачах компьютерного зрения,

10

распознавание и классификации образов [44, 76].

В 1996 году выходит книга Дж. Столнитза и др. «Вейвлеты в компью- терной графике. Теория и
приложения» [73], в которой, кроме необходи- мого введения в теорию, описываются наиболее
характерные приложения вейвлет-анализа в графике, а также содержится большой библиографиче- ский
список.
Вейвлет-анализ является не единственной альтернативой анализу Фу- рье. Примерами могут служить
разложения по базисам Габора [36] и Эр- мита [58, 59]. Базис Габора фактически является
вейвлет-базисом, однако не существует многомасштабного анализа для такого базиса и, как
следствие, для вычисления разложения по этому базису не применимы быстрые алго- ритмы
вейвлет-преобразований. Базис Эрмита является ортонормирован- ным, его структура близка к
тригонометрическому базису (каждому уров- ню разрешения или частоте соответствует только одна
базисная функция), однако базисные функции имеют пространственную локализацию. Оба ба- зиса
применяются в различных задачах обработки сигналов.
В настоящее время вейвлет-анализу уделяется все больше внимания и в отечественных исследованиях,
однако, пока этот аппарат еще не получил широкого распространения. Возможно, это связано с
недостатком литера- туры по основам вейвлет-анализа, она выходит небольшими тиражами и не
всегда доступна [11, 15]. Переводы трудов зарубежных авторов стали появляться совсем недавно
[3, 20].
Тем не менее, появляются работы как теоретического плана [10, 51, 78], так и посвященные
различным прикладным задачам [4, 9, 18] (см. также списки публикаций отечественных авторов в [3,
20]).

11

Что касается компьютерной графики и обработки изображений, то оте- чественных работ в этой
области весьма мало, и посвящены они, в основ- ном, сжатию изображений [7, 16]. Из других
задач можно упомянуть работу об использовании вейвлетов для решения уравнения излучательности
[8].
Кроме того, следует отметить работы по обработке изображений с помо- щью базиса Эрмита [48], а
также оригинальный алгоритм сжатия изобра- жений, который основан на иерархическом, но не
вейвлетном представлении данных [43].

Цель работы

Разработка многомасштабных методов анализа и синтеза графических объ- ектов разной структуры.
Изучение возможностей адаптации этих методов и реализующих их алгоритмов к особенностям
конкретных задач и требова- ниям приложений. Осуществление с помощью указанных методов процессов
многоэтапной обработки графической информации.

Научная новизна работы

В работе рассмотрены новые способы решения нескольких задач компью- терной графики, основанные
на многомасштабном представлении информа- ции. Предложен метод адаптивной триангуляции на основе
дерева вейвлет- преобразований и его модификация для решения задачи расчета и предста- вления
освещенности. Предложено применение B-сплайнового вейвлет-пре- образования для обработки и
отображения линий уровня. Предложена мо- дель описания стохастических текстур, близкая по
структуре к разложению сигнала по вейвлет-базису.

12

Новым является комплексный подход к применению многомасштабных методов для задач, требующих
многоэтапной обработки информации. Пред- лагается использовать одно и то же представление для
решения возможно большего числа подзадач. Такой подход упрощает общую процедуру обра- ботки и
повышает эффективность ее реализации. Кроме того, становится возможным расширять функциональные
возможности метода, внося в него минимум дополнений.
Дополнительно можно отметить, что в процессе разработки модели тек- стур была сделана заявка на
новое, «функциональное» расширение вейвлет- преобразования. (Однако изучение свойств,
возможностей, способов реали- зации и класса приложений такого расширения является предметом
само- стоятельного исследования).

Практическая значимость

Разработаны и доведены до реализации методы решения нескольких ак- туальных задач компьютерной
графики. Реализованные алгоритмы удо- влетворяют требованиям и ограничениям, которые были
сформулированы при постановке задач. В частности, алгоритм генерации и нанесения тек- стур
разрабатывался с учетом возможной аппаратной реализации в графи- ческих ускорителях. Метод
построения изолиний внедрен в программный продукт, разработанный для геологических расчетов.

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертации докладывались на конференциях по компьютерной графике и
машинному зрению «ГрафиКон’97», «Графи-

13

Кон’99», «ГрафиКон’2000», семинаре по компьютерной графике и обработ- ке изображений Ю.М.
Баяковского (ф-т ВМиК МГУ), объединенном семи- наре ИПМ им. М.В. Келдыша РАН и МГТУ им. Н.Э.
Баумана и опубли- кованы в работах [13, 14, 62, 63, 64].

Структура диссертации

Диссертация состоит из четырех глав и приложения.

Первая глава содержит краткое описание аппарата вейвлет-преобразо- ваний одно- и двумерных
дискретных сигналов, который применяется при решении задач, рассматриваемых в последующих
главах.
Во второй главе описывается алгоритм построения адаптивных тре- угольных сеток для
представления графических объектов, параметризуе- мых на плоскости. Алгоритм основан на
древовидной структуре многомас- штабного анализа информации. Рассматривается модификация этого
алго- ритма для приложения — реконструкции функции освещенности по дан- ным, полученным с
помощью прямой трассировки лучей методом Монте- Карло.
В третьей главе обсуждается применение вейвлет-анализа для решения задачи построения линий
уровня (изолиний) на плоскости, рассматривают- ся вопросы сглаживания линий, масштабирования и
вывода на графическое устройство с заданными характеристиками.
В четвертой главе рассматривается многомасштабная модель для описания некоторого класса
стохастических текстур. С помощью этой модели возможно создание как реалистических, так и
«абстрактных» изображений-текстур. Алгоритмы, основанные на представленной модели,

14
обеспечивают генерацию и нанесение текстур в реальном времени и допус-

кают аппаратную реализацию.

В заключении формулируются основные результаты работы.

Приложение содержит справочную информацию по основам теории вейвлет-анализа — многомасштабному
анализу и вейвлет-преобразованиям непрерывных сигналов.

Благодарности

Автор выражает благодарность научному руководителю Ю.М. Баяковско- му, а также Л.И.
Левковичу-Маслюку (ИПМ им. М.В. Келдыша РАН) за сотрудничество и помощь в работе, А.В.
Черницкому (OAO «ВНИИ- нефть») за поддержку проекта по обработке линий уровня, компанию Intel
Techologies, Inc. за поддержку проекта по генерации текстур.
15

Список литературы

Заключение

1 Экспериментально обнаружено, что при распространении ли- нейно поляризованного света по оптическому волокну спи- ральной формы угол поворота торца волокна (выделенного сечения) совпадает с углом поворота плоскости поляризации при изменении кручения траектории волокна.

2 Экспериментально обнаружен поворот спекл-картины света, прошедшего через оптическое волокно спиральной формы, при изменении топологической оптической активности. Угол пово- рота линейно связан с изменением величины телесного угла, вырезаемого касательной к траектории волокна на единичной сфере в пространстве касательных.

3 Экспериментально обнаружено, что угол поворота спекл- картины на выходе волокна при оптическом эффекте Магнуса зависит от радиуса спекл-картины или, что то же самое, от угла вхождения света в оптическое волокно. Показано, что эта зависимость хорошо согласуется с ранее предсказанной.

4 Теоретически и экспериментально показана возможность фор-

мирования световой волны с изолированной дислокацией вол-

89

нового фронта заданного знака.

90

В заключении автор выражает благодарность своим руководи- телям Наталии Дмитриевной Кундиковой и Борису Яковлевичу Зельдовичу за плодотворное научное руководство, переданные зна- ния и опыт, а также за постоянную и ценную помощь в работе Людмиле Федоровной Рогачевой, Максиму Яковлевичу Даршту, всем сотрудникам лаборатории нелинейной оптики за полезные об- суждения, постоянный интерес к работе, помощь и содействие.

91

Литература

[1] Рытов С.М. О переходе от волновой к геометрической оптике.// Докл.Акад.Наук СССР, 1938. Т.18. С.2.

[2] Владимирский В.В. О вращении плоскости поляризации в искривленном световом луче.// Докл.Акад.Наук СССР,
1941. Т.21. С.222.

[3] Tomita А., Chiao R.Y. Observation of Berry’s topological phase by use of an optical fiber.// Phys.Rev.Lett., 1986. V.57. P.937.

[4] Зельдович Б.Я., Либерман В.С. Поворот плоскости мериди- онального луча в градиентном световоде за счет циркуляр- ности поляризации.// Квантовая электроника, 1990. Т.17. С.493.

[5] Дугин А.В., Зельдович Б.Я., Кундикова Н.Д., Либерман В.С. Оптический аналог эффекта Магнуса.// ЖЭТФ, 1991. Т.100. С.1474.

[6] Dooghin A.V., Kundikova N.D., Liberman V.S., Zel’dovich B.Ya.

Optical Magnus effect.// Phys.Rev. A, 1992. V.45. P.8204.

92

[7] Liberman V.S., Zel’dovich B.Ya. Spin-orbit interaction of a photon in an inhomogeneous medium.// Phys.Rev.A, 1992. V.46. P.5199.

[8] Зельдович Б.Я., Кундикова Н.Д., Рогачева Л.Ф. Наблюдение поперечного сдвига фокальной перетяжки при смене знака циркулярной поляризации.// Письма в ЖЭТФ, 1994. Т.59. С.737.

[9] Даршт М.Я., Жиргалова И.В.(Катаевская И.В.), Зельдович Б.Я., Кундикова Н.Д. Наблюдение ”магнитного” поворота спекл-картины света, прошедшего через оптическое волок- но.// Письма в ЖЭТФ, 1994. T.59. Вып.11. С.734.

[10] Зельдович Б.Я., Кундикова Н.Д. Внутриволоконный по-

ворот плоскости поляризации.// Квантовая электроника,

1995. T.22. C.184.

[11] Kundikova N.D., Zel’dovich B.Ya., Zhirgalova I.V.(Kataevskaya I.V.), Goloveshkin V.A. The effects of spin-orbit interaction of a photon and their analogues in mechanics.// Pure and applied optics, 1994. V.3. P.815.

[12] Катаевская И.В., Кундикова Н.Д. Влияние спиральной фор- мы волоконного световода на распространение света.// Квантовая электроника, 1995. Т.22. С.9.

93

[13] Даршт М.Я., Зельдович Б.Я., Катаевская И.В., Кундикова Н.Д. Формирование единичной дислокации волнового фрон- та.// ЖЭТФ, 1995. Т.107. С.1464.

[14] Зельдович Б.Я., Катаевская И.В., Кундикова Н.Д. Неодно- родность оптического эффекта Магнуса.// Квантовая элек- троника, 1996. Т.23. С.1.

[15] Darsht M.Ya., Kataevskaya I.V., Kundikova N.D., Zel’dovich B.Ya. ”Generation of light waves with the single screw dislocation in the wavefront”.// 17th congress of the international commission for optics, ICO-XVII. Taejon Korea, 1996.

[16] Darsht M.Ya., Kataevskaya I.V., Kundikova N.D., Zel’dovich B.Ya. ”Magnetic” rotation of the speckle pattern of light transmitted through an optical fiber”.// Международная Кон- ференция по Когерентной и Нелинейной Оптике (КиНО-
95)(15th International Conference on Coherent and Nonlinear

Optics). Санкт-Петербург, 1995.

[17] Kataevskaya I.V., Kundikova N.D., Zel’dovich B.Ya. ”Defor- mation of the speckle pattern under optical magnus effect”.//
17th congress of the international commission for optics, ICO- XVII. Taejon Korea, 1996.

[18] Виницкий С.И., Дербов В.Л., Дубовик В.М., Марковски Б.Л.,

Степановский Ю.П. Топологические фазы в квантовой ме-

94

ханике и поляризационной оптике.// Успехи физических на-

ук, 1990. Т.160. Вып.6. С.1.

[19] Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неод-

нородных сред.// М., Наука, 1980.

[20] Ландау Л.Д., Лившиц И.М. Электродинамика сплошных сред.// М., Наука, 1982.

[21] Berry M.V. Quantal phase factors accompanying adiabatic changes.// Proc. R. Soc. London, A, 1984. V.392. P.45.

[22] Chiao R.Y., Wu Y.-S. Manifestation of Berry’s Topological

Phase for the Photon. // Phis.Rev.Lett., 1986. V.57. P.933.

[23] Chiao R.Y., Antaramian A., Ganga K.M., Jiao H., Wilkinson S.R., Nathel H. Observation of a topological phase by means of a nonplanar Mach-Zehnder interferometer.// Phys.Rev.Lett.,
1988. V.60. P.1214.

[24] Kitano M., Yabuzaki T., Ogawa T. Comment on ”Observation of Barry’s Topological Phase by Use of an Optical Fiber”.// Phys.Rev. Lett., 1987. V.58. P.523.

[25] Berry M.V. Interpreting the anholonomy of coiled light.// Nature, 1987. V.326, No. 6110, P.277.

[26] Jiao H., Wilkinson S.R., Chiao R.Y., Nathel H. Two topological phases in optics by means of a nonplanar Mach-Zehnder interferometer. // Phys.Rev. A, 1989. V.39. P.3475.

95

[27] Есаян А.А., Зельдович Б.Я. Деполяризация излучения в иде- альном многомодовом градиентном световоде.// Квантовая электроника, 1988. T.15. C.235.

[28] Kundikova N.D., Zeldovich B.Ya. Observation of a topological optical activity in a multimode optical fiber.// Technical digest of international topic meeting on photonic switching. Minsk, 1992, P-8.

[29] Liberman V.S., Zel’dovich B.Ya. Spin-orbit polarization effects in isotropic multimode fibres.// Pure Appl. Opt., 1993. V.2. P.367.

[30] Baranova N.B., Zel’dovich B.Ya. Rotation of a ray by a magnetic field.// Письма в ЖЭТФ, 1994. V.59. P.648.

[31] Picht J. Beitrag zur Theorie der Totalreflexion.// Ann. Physik.,

1929. V.3. P.433.

[32] Picht J. Die Energiestromung bei der Totalreflexion.// Physik.

Z., 1929. V.30. P.905.

[33] Goos F., Hanchen H. Neumessung des Strahlversetzungseffektes bei Totalreflexion.// Ann. Physik, 1949. V.5. P.251.

[34] Goos F., Hanchen H. Ein neuer und Fundamentaler Versuch zur

Totalreflexion.// Ann. Physik, 1947. V.1. P.333.

[35] Osterberg H., Smith L.W. Transmission of Optical Energy Along

Surfaces: Part II, Inhomogeneous Media.// J. Opt. Soc. Am.,

1964. V.54. P.1078.

96

[36] Risset C.A., Vigoureux J.M. An elementary presentation of the Goos-Hanchen shift.// Optics Communications, 1992. V.91. P.155.

[37] Федоров Ф.И. К теории полного отражения.// ДАН СССР,

1955. T.105. C.465.

[38] Кристофель Н. Полное внутреннее отражение и связанные с ним эффекты.// Ученые записки тартусского государствен- ного, 1956. T.42 C.94.

[39] Costa de Beauregard O., Goillot G., Acad C.R. Formula for the internal effect of the photon spin in the case of the reflection limit.// CSI, 1964. V.257. N1. P.67.

[40] Costa de Beauregard O. Translational Internal Spin Effect with

Photons.// Phys. Rev., 1965. V.139. P.1443.

[41] Schilling H. Die Strahlversetzung bei der Reflexion linear oder elliptisch polarisierter ebener Wellen an der Trennebene zwischen absorbierenden Medien.// Ann. Physik, 1965. V.16. P.122.

[42] Boulware David G. Phase-shift analysis of the translation of totally reflected beams.// Physical Review D, 1973. V.7. P.2375.

[43] Ashby N., Miller Stanley C., Jr. Shift of light beams due to total internal reflection.// Physical Review D, 1973. V.7. P.2383.

97

[44] Imbert C. Experimental proof of the photon’s translational inertial spin effect.// Phys. Lett., 1970. V.31A. P.337.

[45] Imbert C. Calculation and Experimental Proof of the Transverse Shift Induced by Total Internal Reflection of a Circularly Polarized Light Beam.// Phys. Rev. D, 1972. V.5 P.787.

[46] Costa de Beauregard O. and Imbert C. Quantized Longitudinal and Tran/-sver/-se Shifts Associated with Total Internal Reflection.// Phys. Rev. Lett., 1972. V.28. P.1211.

[47] Федосеев В.Г. Боковое смещение преломленного луча све-

та.// Оптика и спектроскопия, 1985. T.58. C.491.

[48] Федосеев В.Г. Поперечное движение электромагнитной энергии при отражении и преломлении света.// Оптика и спектроскопия, 1987. T.62. C.119.

[49] Федосеев В.Г. Анализ поперечного движения электромаг- нитной энергии при отражении и преломлении света на основе инвариантов движения.// Оптика и спектроскопия,
1988. T.64. C.1323.

[50] Федосеев В.Г. Боковое смещение луча света при отражении и преломлении. I. Общие результаты.// Оптика и спектро- скопия, 1991. Т.71. С.829.

[51] Федосеев В.Г. Боковое смещение луча при отражении и пре-

ломлении. II. Рассчет смещения.// Оптика и спектроскопия,

1991. T.71. C.992.

98

[52] Пунько Н.Н., Филиппов В.В. Расщепление падающего в усло- виях полного отражения пучка в два пучка эллиптической поляризации.// Оптика и спектроскопия, 1985. T.58. C.125.

[53] Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов.//

Москва, Радио и связь, 1987.

[54] Nye J.F., Berry M.V. Dislocations in wave trains.// Proc.R.Soc.Lond A, 1974. V.336. P.165.

[55] Nye J.F. The motion and structure of dislocations in wavefronts.// Proc.R.Soc.Lond A, 1981. V.378. P.219.

[56] Humphrey V.F. Experimental observation of wavefront disloca- tions in pulsed wavefields.// Ph.D. thesis, University of Bristol.
1980.

[57] Berry M.V. ”Singularities in waves and rays”.// In Les Houches Lectures Notes for session XXXV. (ed. R.Balian, M.Kleman, J.P.Poirier) Amsterdam, North-Holland 1981. P.453.

[58] Wright F.J. Wavefield singularities.// Ph.D. thesis, University of Bristol. 1977.

[59] Berry M.V. Disruption of wavefronts: statistics of dislocations in incoherent Gaussian random waves. // J.Phys. A, 1978. V.11. P.27.

[60] Wright F.J. Structural Stability in Physics ed W.Guettinger and

H.Eikemier (Berlin, Springer), 1979. P.141.

99

[61] Ilyenkov A.V., Khiznyak A.I., Kreminskaya L.V., Soskin M.S., Vasnetsov M.V. Birth and evolution of wave-front dislocations in a laser beam passed through a photorefractive LiN bO3:Fe crystal.// Applied Physics B, 1996. V.62. P.465.

[62] Баранова Н.Б., Зельдович Б.Я. Дислокации поверхностей волнового фронта и нули амплитуды.// ЖЭТФ, 1981. T.80
C.1780.

[63] Зельдович Б.Я., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. Обращение волнового фронта.// Москва, Наука, 1985.

[64] Баженов В.Ю., Васнецов М.В., Соскин М.С. Лазерные пучки с винтовыми дислокациями волнового фронта.// Письма в ЖЭТФ, 1990. T.52. C.1037.

[65] Баранова Н.Б., Зельдович Б.Я., Мамаев А.В., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. Дислокации волнового фронта спекл- неоднородного поля.// Письма в ЖЭТФ, 1981. T.33. C.208.

[66] Баранова Н.Б., Зельдович Б.Я., Мамаев А.В., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. Исследование плотности дислокаций волнового фронта световых полей со спекл-структурой.// ЖЭТФ, 1982. T.83. C.1702.

[67] Kruglov V.I., Vlasov R.A. Spiral self-trapping propogation of optical beams in media with cubic nonlinearity.// Phys. Lett.,
1985. V.111A. P.401.

100

[68] Abramochkin E.G., Volostnikov V.G. Relationship between two dimensional intensity and phase in a fresnel difraction zone.// Opt. Commun., 1989. V.74. P.144.

[69] Indebetouw G. Optical vortices and their propagation.// Journal of Modern Optics, 1993. V.40. P.73.

[70] Basistiy I.V., Bazhenov V.Yu., Soskin M.S., Vasnetsov M.V.

Optics of light beams with screw dislocations.// Opt. Commun.,

1993. V.103. P.422.

[71] Basistiy I.V., Bazhenov V.Yu., Soskin M.S. Optical wavefront dislocation and their properties.// Opt. Commun., 1995. V.119. P.604.

[72] Tamm C., Weiss C.O. Bistability and optical switching of spatial patterns in a laser.// Journal of the Optical Society of America B [Optical Physics], 1990. V.7. P.1034.

[73] Abramochkin E., Volostnikov V. Beam transformations and nontransformed beams.// Optics Communications, 1991. V.83. P.123.

[74] Beijersbergen M.W., Allen L., van der Veen, H.E.L.O., Woerdman J.P. Astigmatic laser mode converters and transfer of orbital angular momentum.// Optics Communications, 1993. V.96. P.123.

101

[75] Mamaev A.V., Saffman M., Zozulya A.A. Propagation of dark stripe beams in nonlinear media: snake instability and creation of optical vortices.// Physical Review Letters, 1996. V.76. P.2262.

[76] Mamaev A.V., Saffman M., Zozulya A.A. Vortex evolution and bound pair formation in anisotropic nonlinear optical media.// Phys. Rev. Lett., 1996. V.77. P.4544.

[77] Mamaev A.V., Saffman M., Zozulya A.A. Decay of high order optical vortices in anisotropic nonlinear optical media.// Physical Review Letters, 1997. V.78. P.2108.

[78] Tikhonenko V., Christou J., Luther-Daves B. Spiraling bright spatial solitons formed by the breakup of an optical vortex in a saturable self-focusing medium.// Journal of the Optical Society of America B [Optical Physics], 1995. V.12. P.2046.

[79] Bazhenov V.Yu., Soskin M.S., Vasnetsov M.V. Screw dislocations in light wavefronts.// Journal of Modern Optics, 1992. V.39. P.985.

[80] Ляв А. Математическая теория упругости.// ОНТИ, 1935.

[81] Dooghin A.V., Kundikova N.D., Liberman V.S., Zeldovich B.Ya.

Optical Magnus effects.// Phys. Rev. A, 1992. V.45. P.8204.

[82] Гольцер И.В., Даршт М.Я., Зельдович Б.Я., Кундикова Н.Д.

Оптически активный аналог четвертьволновой пластин-

ки.// Квантовая электроника, 1993. Т.20. С.916.

102

[83] Dooghin A.V., Kundikova N.D., Liberman V.S., Zel’dovich B.Ya.

Rotation of the speckle pattern in a multimode optical fibre under a circular polarization sign change.// Soviet Lightwave Communications, 1991. V.1. P.353.

[84] Goltser I.V., Darscht M.Ya., Kundikova N.D., Zeldovich B.Ya.

An adjustable quarter-wave plate.// Optics Communications,

1993. V.97. P.291.

[85] Liberman V.S., Zel’dovich B.Ya. Spin-orbit polarization effects in isotropic multimode fibres.// Pure and Applied Optics, 1993.
V.2. P.367.
[86] Bryngdahl O. Radial- and circular-fringe interferograms.// J.
Opt. Soc. Am., 1973. V.63. P.1098.

[87] Kruglov V.I., Login Yu.A., Volkov V.M. The theory of spiral laser beams in nonlinear media. // J. Mod. Opt., 1992. V.39.
P.2277.
[88] Baranova N.B., Savchenko A.Yu., Zel’dovich B.Ya. Transverse

shift of a focal spot due to switching of the sign of circular polarization.// Письма в ЖЭТФ, 1994. T.59. C.216.

[89] Кей Д., Лэби Т. Справочник физика-экспериментатора. //

Москва, Изд-во иностранной литературы, 1949.

[90] Goltser I.V., Darscht M.Ya., Kundikova N.D., Zeldovich B.Ya.

An adjustable quarter-wave plate.// Optics Communication,
1993.