Разработка численных методов и программ, связанных с применением вейвлет-анализа для моделирования и обработки экспериментальных данных : Розробка чисельних методів і програм, пов'язаних із застосуванням вейвлет-аналізу для моделювання і обробки експериментальних даних

Краткое описание

Ивановский государственный университет
На правах рукописи
Шитов Андрей Борисович
Разработка численных методов и программ, связанных с применением вейвлет-анализа для моделирования и обработки экспериментальных данных
Специальность 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Научный руководитель —
доктор физ.-мат. наук,
профессор Г. А. Ососков.
Иваново — 2001
2
Оглавление
Оглавление...............................................................................................................2
Введение...................................................................................................................6
Глава 1. Вейвлет-анализ.......................................................................................12
1–1. Вейвлет-преобразование....................................................................13
1–2. Семейство гауссовых вейвлетов.......................................................15
1–2.1. Свойства гауссовых вейвлетов............................................17
1–2.2. Относительная площадь.......................................................17
1–3. Визуализация.......................................................................................19
1–3.1. Вейвлет-спектр......................................................................20
1–3.2. Плотность энергии................................................................22
1–3.3. Вейвлет-скелет.......................................................................22
1–3.4. Скалограмма...........................................................................25
1–4. Влияние искажений сигнала..............................................................25
1–4.1. Наличие шума........................................................................26
1–4.2. Дискретизация.......................................................................28
1–5. Оптимальные параметры преобразования.......................................32
1–6. Вейвлеты второго поколения............................................................33
1–6.1. Лифтинг-схема.......................................................................33
Глава 2. Быстрые алгоритмы вычисления вейвлет-преобразования. Верификация программ.........................................................................36
2–1. Дискретизация.....................................................................................37
2–1.1. Фреймы...................................................................................37
2–1.1.1. Прямое преобразование...........................................39
2–1.1.2. Обратное преобразование.......................................39
2–1.2. Точность вычислений...........................................................40
2–2. Оптимизация.......................................................................................40
2–2.1. Перегруппировка слагаемых................................................40
3
2–2.2. Ограничение на выбор шага.................................................41
2–2.3. Учет относительной площади..............................................43
2–2.4. Скорость вычислений...........................................................43
2–3. Сравнение характеристик вейвлет-фильтров..................................44
2–3.1. Вейвлет-фильтры...................................................................45
2–3.1.1. Выделение масштабов.............................................46
2–3.1.2. Отсечение слабых сигналов....................................46
2–3.2. Тестовые сигналы..................................................................47
2–3.3. Построение амплитудно-частотных характеристик..........48
2–3.4. Результаты применения фильтра на основе гауссовых вейвлетов.................................................................................49
2–3.4.1. Амплитудно-частотная характеристика................50
2–3.5. Результаты применения фильтра на основе лифтинг-схемы.......................................................................51
2–3.5.1. Амплитудно-частотная характеристика................52
Глава 3. Применение вейвлет-анализа в физике высоких энергий..................54
3–1. Обработка сигналов колоколообразной формы.............................54
3–1.1. Модель данных......................................................................55
3–1.1.1. Дискретизация сигнала............................................56
3–1.1.2. Добавление шума.....................................................56
3–1.1.3. Отсечение слабых сигналов....................................56
3–1.2. Вейвлет-преобразование гауссиана.....................................56
3–1.3. Вейвлет-преобразование сложного сигнала.......................57
3–1.4. Восстановление параметров сигнала..................................58
3–1.5. Одиночный гауссиан.............................................................59
3–1.5.1. Метод WT3/WT1......................................................59
3–1.6. Составной сигнал...................................................................61
3–1.6.1. Метод WT3/WT1......................................................61
3–1.6.2. Метод WTS...............................................................62
3–1.7. Результаты..............................................................................64
4
3–1.7.1. Одиночный гауссиан................................................64
3–1.7.2. Составной сигнал.....................................................64
3–2. Анализ псевдобыстротных распределений......................................68
3–2.1. Особенности данных.............................................................68
3–2.2. Примеры данных...................................................................69
3–2.2.1. Выявление групп частиц.........................................70
3–2.2.2. Псевдобыстротное распределение.........................72
3–2.2.3. Влияние множественности частиц.........................72
3–2.3. Результаты..............................................................................74
Глава 4. Другие приложения вейвлет-анализа...................................................76
4–1. Применение методов вейвлет-анализа к обработке электрокардиографических данных...............................................76
4–1.1. Электрокардиограмма (ЭКГ)...............................................76
4–1.2. Обработка данных ЭКГ........................................................78
4–1.2.1. Выделение характерных областей..........................79
4–1.2.2. Фильтрация...............................................................80
4–1.2.3. Подавление искажений базовой линии..................81
4–1.2.4. Применение фильтра к анализу ЭКГ.....................83
4–1.3. Адаптивная фильтрация.......................................................84
4–2. Применение вейвлет-анализа к обработке изображений...............87
4–2.1. База изображений лиц...........................................................87
4–2.2. Выделение особенностей изображения..............................88
4–2.2.1. Вейвлет-преобразование.........................................88
4–2.2.2. Шумоподавление......................................................90
4–2.2.3. Объединение результатов ветвей алгоритма........91
4–2.3. Выбор параметров преобразования.....................................93
4–2.4. Усреднение нескольких изображений.................................94
Заключение............................................................................................................96
Литература.............................................................................................................99
5
Приложение 1. Программная реализация быстрых алгоритмов вычисления вейвлет-коэффициентов................................................106
П 1–1. Гауссовы вейвлеты.......................................................................106
П 1–2. Вейвлет-преобразование..............................................................109
П 1–3. Пример использования.................................................................112
Приложение 2. Тестовые сигналы для анализа свойств вейвлет-фильтров.114
П 2–1. Анализ гармонических сигналов.................................................114
П 2–1.1. Первая группа..................................................................114
П 2–1.2. Вторая группа...................................................................114
П 2–1.3. Третья группа...................................................................115
П 2–2. Обработка дельта-функции..........................................................115
П 2–3. Анализ гармонических функций при наличии шумов..............116
П 2–3.1. Первая группа..................................................................116
П 2–3.2. Вторая группа...................................................................116
П 2–3.3. Третья группа...................................................................117
П 2–3.4. Четвертая группа.............................................................118
П 2–4. Изучение влияния фазы сигнала.................................................118
Приложение 3. Вейвлет-преобразование сигнала гауссовой формы............119
П 3–1. Рекуррентная формула для VMWF-вейвлетов..........................119
П 3–2. Вейвлет-коэффициенты младших порядков..............................120
П 3–3. Рекуррентная формула для вейвлет-коэффициентов................122
П 3–4. Общая формула.............................................................................124
6

Введение
Начало восьмидесятых годов прошлого столетия ознаменовано появле-нием нового направления в области обработки данных — вейвлет-анализа. Его успешное применение во многих практических и теоретических прило-жениях косвенно свидетельствует о неисчерпаемых возможностях вейвлет-методов и постоянно стимулирует поиск новых задач. За короткое время в печати появилось огромное число публикаций, посвященных самым раз-личным аспектам вейвлет-анализа.
В отличие от традиционно применяемого при анализе данных преобра-зования Фурье, результаты, полученные с помощью вейвлет-анализа, зача-тую обладают большей информативностью и способны непосредственно об-рабатывать такие особенности данных, которые при традиционном подходе анализировать затруднительно.
Вейвлет-преобразование привносит в обработку данных дополнитель-ную степень свободы. Так, например, анализ Фурье способен показать пове-дение сигнала в частотной области, оставляя открытым вопрос о локализации во времени различных компонент сигнала. Локализационные свойства вейв-лет-анализа заложены в самóй его структуре.
Известны подходы, модифицирующие преобразование Фурье, осно-ванные на оконном преобразовании, которые частично устраняют указанный недостаток. Тем не менее, необходимо искусственно прибегать к различным приемам для того, чтобы иметь возможность обрабатывать реальные сигна-лы, длина которых всегда конечна, в то время как Фурье-анализ подразуме-вает наличие бесконечной области определения сигнала.
Не отвергая значимость анализа Фурье, вейвлет-методы успешно до-полняют, а иногда способны и полностью заменить обработку данных тради-ционными методами.
7
Сравнение возможностей, которые предоставляют прежний и новый подходы, широко освещено в литературе. Прежде всего, следует выделить работы И. Добеши [5, 35, 36], К. Чуи [20, 31], В. Свелденса [56–62], А. Луиса и соавторов [46], где наиболее объемно охвачены вопросы, связанные с вейв-лет-анализом.
Обзор локализационных свойств можно найти в [37]. Различным сто-ронам обработки физических данных посвящены работы [7, 48, 49].
Многие задачи, требующие обработки значительного объема данных, возникают в экспериментах физики высоких энергий. Характерной их осо-бенностью являются большáя множественность событий и высокий уровень шума.
Внедрение в механизмы обработки данных методов вейвлет-анализа наглядно показывает их способность комплексно подходить к решению за-дач. Наиболее известны применения вейвлет-анализа для подавления шума, например, [2, 38, 42, 53]. Реальные данные часто содержат выпадающие уча-стки; для обработки таких сигналов разработаны адаптивные вейвлет-методы [3, 13].
Реализация всех этих притягательных свойств вейвлетов иногда сдер-живается значительным объемом необходимых вычислений, который обора-чивается низкой скоростью обработки данных.
Высокая потребность в качественных алгоритмах частично удовлетво-рена разработанными методами быстрых преобразований [10, 32, 34]. Тем не менее, эти методы не всегда пригодны для анализа произвольных данных, что, в свою очередь, способствует поиску новых подходов снижения вычис-лительных затрат.
Существенный прогресс в этом направлении достигнут благодаря по-явлению методов вейвлет-анализа второго поколения, в частности, лифтинг-схемы [56–58, 60, 62].
Вейвлет-анализ обладает способностью выделять из сигнала компонен-ты разного масштаба. Это часто используют для того, чтобы разделить ис-
8
ходные данные на составляющие (аналогично тому, что происходит при фильтрации с помощью преобразования Фурье). Проблема тесно связана с двумя другими: шумоподавлением и определением параметров сигнала по результатам наблюдения.
Все три вышеупомянутые задачи необходимо решать при работе с со-временными детекторами в физике высоких энергий: получаемые данные со-держат посторонние шумы, а высокая загрузка детекторов приводит к пере-крыванию близкорасположенных сигналов.
Для обработки данных разработаны и успешно применяются методы, основанные на подгонке модели сигнала к экспериментальным данным [21, 22, 25, 29, 65]. Большинство таких алгоритмов являются итерационными, а это часто негативно сказывается на производительности системы обработки эксперимента.
В настоящее время, насколько нам известно, практически не изучены возможности вейвлет-анализа в задаче разделения близкорасположенных сигналов, частично или полностью перекрывающих друг друга.
Эта проблема возникает в детекторах, имеющих ячеистую структуру, например, как в детекторе RICH [21] или времяпроекционной камере [33]. Пролетающие частицы возбуждают в детекторе электронные лавины, кото-рые регистрируются одновременно несколькими соседними ячейками. Рас-пределение заряда имеет колокообразную форму. Большáя загрузка приводит к появлению событий, состоящих из двух электронных облаков, расстояние между которыми настолько мало, что сигналы маскируют друг друга.
Как показано в [22], при анализе данных, полученных в ходе экспери-ментов с тяжелыми ионами, подгонка четырехпараметрической функции к множеству измерений, необходимая для разделения близких сигналов, по-зволяет добиться разрешения на уровне полуширины отдельного импульса.
Вейвлет-анализ является сравнительно новым методом, который при-меняют в этой области. Попытка его применения для разделения сигналов гауссовой формы описана в [23]. Однако, результаты, сравнимые по точности
9
с существующими методами параметрической подгонки, достигнуты благо-даря ограничениям на параметры исходного сигнала. В частности, потребо-валось зафиксировать положение одного из импульсов и отношение их ам-плитуд.
Положительные свойства вейвлетов, проявленные в других задачах, делают весьма актуальной проблему поиска путей разделения близкораспо-ложенных сигналов методами вейвлет-анализа.
Основная цель диссертационной работы состоит в разработке метода разделения сигналов, сравнимого по точности с уже существующими, и не накладывающего жестких требований на исходные данные.
* * *
Разработанные подходы применены в практике Объединенного Инсти-тута Ядерных Исследований [14, 15, 19, 24]. Более того, полученные резуль-таты способствовали появлению еще одного применения вейвлет-анализа в физике высоки энергий — выделению подструктур при обработке псевдо-быстротных распределений.
Помимо обработки физических экспериментов, вейвлет-анализ приме-няют, например, при обработке изображений [27, 64, 66] и анализе медицин-ских сигналов [8, 26, 41, 45, 55, 63].
В диссертационной работе мы кратко исследуем также и эти вопросы, подчеркивая, что методы и алгоритмы, разработанные в первую очередь для анализа данных физических экспериментов, после соответствующей моди-фикации работоспособны и в других областях. Описанные в четвертой главе примеры можно рассматривать как иллюстрацию многогранности методов вейвлет-анализа.
* * *
10
Основные результаты работы состоят в следующем.
1. Разработаны алгоритм и программы на его основе для быстрого вы-числения непрерывного вейвлет-преобразования.
2. Методы вейвлет-анализа применены к обработке данных физиче-ских экспериментов для разрешения близкорасположенных сигналов.
3. Вейвлет-анализ применен для интерпретации результатов физиче-ских экспериментов на уровне проверки гипотез о существовании кластеров частиц.
4. Рассмотрены примеры использования методов вейвлет-анализа для обработки медицинских сигналов и анализа изображений.
5. Проведено сравнительное исследование качества работы вейвлет-фильтров, основанных на вейвлетах первого и второго поколений.
6. Выполнен анализ влияния искажений обрабатываемого сигнала на его вейвлет-образ.
* * *
Диссертация включает в себя введение, четыре главы, заключение, список использованных библиографических источников и три приложения.
Первая глава носит, в основном, обзорный характер и освещает вопро-сы, связанные с определением вейвлет-преобразования, способами его визуа-лизации, выбора параметров и влияния искажений сигнала на вейвлет-образ. Кратко рассмотрены также вейвлеты второго поколения на примере лифтинг-схемы.
Во второй главе построен алгоритм быстрого вычисления вейвлет-преобразования, основанного на гауссовых вейвлетах, и проведен сравни-тельный анализ характеристик вейвлет-фильтров, построенных с применени-ем вейвлетов первого и второго поколений. Описание программной реализа-ции алгоритма вынесено в приложение 1.
Третья глава посвящена применению вейвлет-анализа для обработки результатов экспериментов физики высоких энергий. Рассмотрены две зада-
11
чи: разделение перекрывающихся сигналов и выявление структур в псевдо-быстротных распределениях. Подробно рассмотрено, что происходит при обработке методами вейвлет-анализа сигналов колоколообразной формы.
Четвертая глава, как и предыдущая, содержит описания двух приложе-ний вейвлет-анализа. На этот раз обработке подвергнуты медицинские сиг-налы и полутоновые изображения. Непрерывный вейвлет-анализ применен для предварительной фильтрации электрокардиографических данных и вы-деления в них характерных особенностей. Вторая часть главы рассказывает о методе построения контурного образа лица по фотографиям.
В заключении кратко повторно перечислены основные результаты и выводы, полученные в диссертации.
Приложение 1 содержит фрагменты программной реализации быстрого алгоритма вычисления вейвлет-коэффициентов, описанного во второй главе, и примера его использования.
Во втором приложении собраны описания тестовых сигналов, которые использованы в главе 2 для сравнения возможностей вейвлет-фильтров.
В приложении 3 приведен вывод общей формулы вейвлет-преобразования сигнала гауссовой формы. Полученные соотношения ис-пользованы, в частности, в первой части третьей главы при построении мето-дов восстановления параметров сигнала.

Список литературы

Заключение
Диссертационная работа посвящена актуальной в настоящее время те-ме разработки численных методов и программ на их основе, необходимых для моделирования и обработки экспериментальных данных.
Основная цель состояла в поиске путей решения задачи разделения близких сигналов в современных детекторах физики высоких энергий. Разра-ботке таких методов способствовало изучение возможностей вейвлет-анализа в других областях, не связанных непосредственно с физикой. Это — анализ медицинских сигналов и обработка изображений.
Наиболее важные результаты, полученные в ходе выполнения работы, таковы.
1. Разработаны алгоритм и программы на его основе для быстрого вы-числения непрерывного вейвлет-преобразования. Измерено время ра-боты нескольких модификаций алгоритма.
2. Методы вейвлет-анализа применены к обработке данных физических экспериментов для разрешения близкорасположенных сигналов. По-казано, что при большом расстоянии между компонентами удалось добиться меньшей погрешности.
3. Вейвлет-анализ применен для интерпретации результатов физических экспериментов на уровне проверки гипотез о существовании класте-ров частиц.
4. Рассмотрены примеры использования методов вейвлет-анализа для обработки электрокардиографических сигналов и анализа изображе-ний. Предложен способ повышения качества вейвлет-фильтра с по-мощью адаптивного изменения его параметров.
5. Проведено сравнительное исследование качества работы вейвлет-фильтров, основанных на вейвлетах первого и второго поколений. Построены амплитудно-частотные характеристики фильтров и указа-
97
ны области параметров, при которых фильтры обеспечивают более равномерную АЧХ.
6. Выполнен анализ влияния искажений обрабатываемого сигнала на его вейвлет-образ. Показана устойчивость вейвлет-преобразования к на-личию шума, выпадению и отсечению сигнала.
Несмотря на относительную законченность результатов и успешное их применение при решении практических задач, мы не считаем, что поста-вили окончательную точку в поиске применений вейвлет-анализа. Напротив, решение задачи подняло ряд новых вопросов, ответы на которые, надеемся, будут получены в будущем.
98
Благодарности
Прежде всего, я выражаю благодарность моему научному руководите-лю Геннадию Алексеевичу Ососкову. История нашего общения, которой уже более пяти лет, говорит о многом, но одно бесспорно: всё это было не зря. Я также благодарен его супруге Инне Захаровне — визиты в их дом всегда сопровождались как минимум трёхразовым питанием.
На текущее состояние текста диссертации во многом повлияли рецен-зии, замечания и комментарии Е. Л. Косарева. Найти сейчас предыдущие версии вряд ли возможно, и уже никто их не увидит. Вся тяжесть общения с самым несовершенным вариантом выпала на долю Евгения Леонидовича.
В течение нескольких лет, на протяжении которых я готовил материа-лы и писал текст, на моём пути встречались многие, кто так или иначе по-влиял на полученные результаты. Всех тех, кто оказал положительное влия-ние, я тоже хочу поблагодарить.
99

Литература
1. Н. Астафьева. Вейвлет анализ: основы теории и примеры примене-ния. — Успехи Физических Наук, 166 (1996), № 11, с. 1145.
2. В. Воробьев, В. Грибунин. Теория и практика вейвлет-преобразования. — С.-Пб.: Издательство ВУС, 1999.
3. Д. Галягин, П. Фрик. Адаптивные вейвлеты (алгоритм спектрального анализа сигналов с пробелами в данных). — Математическое модели-рование систем и процессов, 1996, № 6, с. 10.
4. А. Дабровски, Б. Дабровски, Р. Пиотрович. Суточное мониторирование ЭКГ. — М.: Медпрактика, 2000.
5. И. Добеши. Десять лекций по вейвлетам. Пер. с англ. — Ижевск, НИЦ регулярная и хаотическая динамика, 2001.
6. В. Дощицин. Клиническая электрокардиография. — М.: МИА, 1999.
7. И. Дремин, О. Иванов, В. Нечитайло. Вейвлеты и их использование. — Успехи физических наук, 2001, т. 171, № 5, с. 465–561.
8. С. Куклин, А. Дзизинский. Модели и методы анализа клинико-инструментального мониторирования. — Сборник трудов III Всерос-сийского симпозиума «Медленные колебательные процессы в орга-низме человека», Новокузнецк, 2001, с. 238–242.
9. А. Кулешов. Формирование признаков для классификации объектов полутоновых изображений по их контурному представлению. — Циф-ровая обработка изображений. Сборник научных трудов, выпуск 4. Минск, 2000, с. 95–106.
10. В. Малоземов, А. Певный, А. Третьяков. Быстрое вейвлетное преобра-зование дискретных периодических сигналов и изображений. — Про-блемы передачи информации, 1998, т. 34, № 5, с. 465–561.
100
11. А. Мачнев, А. Селиханович. Алгоритмы вычисления контуров на полу-тоновых изображениях. — Цифровая обработка изображений. Сборник научных трудов, выпуск 4. Минск, 2000, с. 53–58.
12. С. Минами. Обработка экспериментальных данных с использованием компьютера. — М.: Радио и связь, 1999.
13. Л. Новиков. Адаптивный вейвлет-анализ сигналов. — Научное прибо-ростроение, 1998, т. 9, № 2, с. 35.
14. Г. Ососков, А. Шитов. Применение вейвлет-анализа для обработки дискретных сигналов гауссовой формы. — Сообщение ОИЯИ Р11-97-347. Дубна, 1997.
15. Г. Ососков, А. Шитов. Сравнительные характеристики возможностей вейвлетов первого и второго поколения. — Proceedings of 2-nd interna-tional conference MTCP-2000. Dubna, 2000, p. 20.
16. Р. Садыхов, А. Селиханович. Система распознавания рукописных сим-волов с использованием дескрипторов формы. — Цифровая обработка изображений. Сборник научных трудов, выпуск 2. Минск, 1998, с. 120–129.
17. Д. Самаль, В. Старовойтов. Подходы и методы распознавания людей по фотопортретам. — Минск, Институт технической кибернетики НАН Беларуси, 1998.
18. В. Старовойтов, М. Талеб. Методы сегментации цветных изображе-ний. — Минск, Институт технической кибернетики НАН Беларуси, 1999.
19. В. Ужинский и др. Вейвлет-анализ угловых распределений вторичных частиц в ядро-ядерных взаимодействиях при высоких энергиях. Часть 1. Анализ псевдобыстротных распределений. // В. Ужинский, Г. Ососков, А. Полянский, А. Соловьев, М. Чернявский, А. Шитов. — Сообщение ОИЯИ Р2-2001-119. Дубна, 2001.
20. К. Чуи. Введение в вэйвлеты. — М.: Мир, 2001.
101
21. H. Agakishiev et al. Cherenkov Ring Fitting Techniques for the CERES RICH Detectors. — Nuclear Instruments And Methods, A371 (1996), pp. 243–247.
22. H. Agakishiev et al. Effective Pulse Resolution Algorithms for detectors with Gaussian-Like Signal Shape. — JINR Communication E10–97–105, Dubna, 1997.
23. M. Altaisky. On Standard and Non-Standard Applications of Wavelet Analysis. — JINR Rapid Communications, vol. 74 (1995), № 6, pp. 35–60.
24. M. Altaisky et al. WASP (Wavelet Analysis of Secondary Particles distribu-tions) package. Long Write Up and User’s Guide. // M. Altaisky, G. Ososkov, A. Soloviev, A. Shitov, A. Stadnik. — JINR Communication E10–2001–205, Dubna, 2001.
25. M. Altaisky, V. Kovalenko, O. Kochetovol. Fitting Distributions with Wavelets. — Engineering Simulation, 1996.
26. K. Anant, F. Dowla, G. Rodrigue. Vector Quantization of ECG Wavelet Co-efficients. — IEEE Signal Proceedings Letters, 1999.
27. M. Antonini et al. Image coding using the wavelet transform. // M. Antonini, M. Barlaud, P. Mathieu, I. Daubechies. — IEEE Trans. Image Proc., vol. 1 (1992), pp. 205–220.
28. А. Arneodo, G. Grasseau, M. Holschneider. Wavelet Transform of Multi-fractals. — Phys. Rev. Lett., vol. 61 (1988), p. 2281.
29. N. Astafyeva, I. Dremin, K. Kotelnikovol. Pattern Recognition in High Mul-tiplicity Events. — Modern Physics Letters, 1997, A12, pp. 1185–1192.
30. R. Carranza, D. Andina. Medical Wavelet-Neural Diagnostics in Chagastic Cardiopaties. — Politechnical University of Madrid, 2000.
31. C. Chui. A Tutorial in Theory and Applications. — Academic Press Inc., 1992.
32. A. Cohen, I. Daubechies, P. Vial. Wavelets on the Interval and Fast Wavelet Transforms. — Aplied and Computational Harmonic Analysis 1, 1993, pp. 54–81.
102
33. E. Conti et al. Performance of a Liquid Xenon Time Projection Chamber for Low Energy γ-Ray Detection. — Nuclear Instruments And Methods, A356 (1995), pp. 286–296.
34. I. Daubechies. Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets. — Comm. Pure. Apl. Math., vol. 41 (1998), pp. 909–996.
35. I. Daubechies. Recent Results in Wavelet Applications. — Proceedings of SPIE Aerosense Symposium, 1998, pp. 23–31.
36. I. Daubeches. Ten Lectures on Wavelets. — MIAN, Philadelphia, 1992.
37. I. Daubechies. The wavelet transform, time-frequency localization and sig-nal analysis. — IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 36 (1990), pp. 961–1005.
38. I. Dremin. Continuous Wavelets as a Tool for Correlation Studies. —Proceedings of the 8th International Workshop on Multiparticle Production, Hungary, 1998, pp. 287–293.
39. E. Eide et al. Eye Identification for Face Recognition with Neural Networks. // Е. Eide, C. Jahren, S. Jorgensen, T. Lindblad, C. Lindsey, K. Osterud. — Norway, 1996.
40. A. Grossmann, J. Morlet. Decompression of Hardy Functions into Square Integrable Wavelets of Constant Shape. — SIAM J. Math. Anal., vol. 15 (1984), pp. 723–736.
41. P. Ivanov et al. Wavelets in medicine and Physiology. // P. Ivanov, A. Gold-berg, S. Halvin, C. Peng, M. Posenblum, H. Stanley. In Wavelets in Phys-ics. — Cambridge University Press, 1999, pp. 391–419.
42. G. Kaiser. Wavelet Filtering with the Mellin Transform. — Applied Mathe-matics Letters, vol. 9 (1996), № 5, pp. 69–74.
43. N. Kruger, G. Peters, C. Malsburg. Object Recognition with a Sparse and Autonomously Learned Representation Based on Banana Wavelets. — In-ternal Report IR-INI 96-11, Bochum Institit for Neuroinformatics, 1996.
44. D. Lagunovsky. New Possibilities of Thresholding in Edge Detection. — Автоматизация обработки и распознавания изображений. Минск, 1995.
103
45. D. Lemire. Wavelet Time Entropy, T Wave Morphology and Myocardial Ischemia. — IEEE Transactions in Biomedical Engineering, vol. 47 (2000), № 7.
46. A. Louis, P. Maas, A. Reider. Wavelet Theory and Applications. — John Wiley & Sons, 1997.
47. S. Morev, G. Ososkov, A. Shitov. Applying Wavelet Analysis Methods to Processing of Electrocardiographical Data. —Proceedings of Ratmino Summer School. Dubna, 2001, pp. 34–43.
48. J. Morlet. Sampling Theory and Wave Propagation in NATO ASI Series. — Issues in Acoustic signal / Image processing and recognition. Vol. 1. Berlin, 1983, pp. 233–261.
49. J. Morlet et al. Wave Propagation and Sampling Theory // J. Morlet, G. Arens, I. Fourgeau, D. Giard. — Geophysics, vol. 47 (1982), pp. 203–236.
50. G. Ososkov, A. Shitov. Gaussian Wavelet Features and their Applications for Analysis of Discretized Signals. — Computer Physics Communications, vol. 126 (2000), pp. 149–157.
51. G. Ososkov, A. Shitov, A. Stadnik. Comparative Study of Wavelets of the First and Second Generation. — JINR Communication E11-2001-38. Dubna, 2001.
52. G. Ososkov, A. Stadnik. Neural Network Application for the Face Recogni-tion Systems. — JINR Communication E11-2000-269. Dubna, 2000.
53. U. Pen. Application of Wavelets to Filtering of Noisy Data. In Wavelets: the Key to Intermittent Information? — Oxford University Press, 2000.
54. K. Sobottka, I. Pitas. Looking for Faces and Facial Features in Color Im-ages. — Pattern Recognition and Image Analysis: Advances in Mathemati-cal Theory and Applications, vol. 7 (1) (1996), pp. 124–137.
104
55. Z. Struzik. Revealing Local Variability Properties of Human Heartbeat In-tervals with the Local Effective Holder Exponent. — Information Systems, INS-R0015, 2000.
56. W. Sweldens. The Lifting Scheme: A Construction of Second Generation Wavelets. — SIAM J. Math. Anal, vol. 29 (1997), №. 2, pp. 511–546.
57. W. Sweldens. The Lifting Scheme: A new Philosophy in Biorthogonal Wavelet Constructions. In Wavelet Applications in Signal and Image Proc-essing III. — Proc. SPIE 2569, 1995, pp. 68–79.
58. W. Sweldens. Wavelets and the lifting scheme: A 5 minute tour. — Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, vol. 76 (Suppl. 2) (1996), pp. 41–44.
59. W. Sweldens. Wavelets: What Next? — Proceedings of the IEEE, vol. 84 (1996), № 4, pp. 680–685.
60. W. Sweldens, I. Daubechies. Factoring Wavelet Transforms into Lifting Steps. — Fourier Anal. Appl., vol. 4 (1998), №. 3, pp. 247–269.
61. W. Sweldens, R. Pissens. Wavelet Sampling Techniques. — Proceedings of the Statistical Computing Section, American Statistical Association, pp. 20–29, 1993.
62. W. Sweldens, P. Schröder. Building your own Wavelets at Home (in Wavelets in Computer Graphics). — ACM SIG-GRAPH Course Notes, 1996, pp. 15–87.
63. S. Thurner, M. Feurstein, M. Teich. Multiresolution Wavelet Analysis of Heartbeat Intervals Discriminates Healthy Patients from Those with Car-diac Pathology. — Physical Review Letters, vol. 80 (1998), pp. 1544–1547.
64. A. Turiel, N. Parga. Multifractal Wavelet Filter of Natural Images. — Physi-cal Review Letters, vol. 85 (2000), pp. 3325–3328.
65. S. Voloshin, Y. Zhang. Flow Study in Relativistic Nuclear Collisions by Fourier Expansion of Azimuthal Particle Distributions. — Zeitschrift für Physik C Particles and Fields, vol. 70 (1996), pp. 665–671.
105
66. M. Zibulevsky, Y. Zeevi. Extraction of a Single Source from Multichannel Data Using Sparce Decomposition. — Israel Institute of Technology, 2001.
67. The Database of Faces at AT&T Laboratories, Cambridge. http://www.cam-orl.co.uk/facedatabase.