ВАРІАТИВНЕ ДИСКРЕТНЕ ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НА ОСНОВІ ГЕОМЕТРИЧНИХ СПІВВІДНОШЕНЬ У ТОЧКОВОМУ ЧИСЛЕННІ БАЛЮБИ-НАЙДИША : ВАРИАТИВНОЕ ДИСКРЕТНОЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ В ТОЧЕЧНОМ МНОГОЧИСЛЕННОМ БАЛЮБИ-НАЙДИША

Краткое описание

МІНІСТЕРСТВО аграрноЇ політики україни
таврійськИЙ державний агротехнОЛОГічний
УНіВЕРСИТЕТ

На правах рукопису

Бездітний андрій олександрович

удк 514.18

ВАРІАТИВНЕ ДИСКРЕТНЕ ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
НА ОСНОВІ ГЕОМЕТРИЧНИХ СПІВВІДНОШЕНЬ
У ТОЧКОВОМУ ЧИСЛЕННІ БАЛЮБИ-НАЙДИША

05.01.01. прикладна геометрія, інженерна графіка

Дисертація на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук

Науковий керівник:
Верещага Віктор Михайлович
доктор технічних наук, професор

Мелітополь 2012

ЗМІСТ

Стр.

Перелік умовних позначень.

4

ВСТУП...

5

РОЗДІЛ 1

АНАЛІЗ ВІДОМИХ МЕТОДІВ МОДЕЛЮВАННЯ ПЛОСКИХ ДИСКРЕТНО ПРЕСТАВЛЕНИХ КРИВИХ...

11

1.1

Огляд неперервних методів інтерполяції та апроксимації......

11

1.2

Дискретні методи інтерполяції та апроксимації...

24

1.3

Огляд можливостей точкового числення Балюби-Найдиша.

38

Висновки до першого розділу..

41

РОЗДІЛ 2

КОНСТРУЮВАННЯ, ЗАСОБАМИ ТОЧКОВОГО ЧИСЛЕННЯ БАЛЮБИНАЙДИША, ДИСКРЕТНО ПРЕДСТАВЛЕНИХ КРИВИХ,
ВИЗНАЧЕНИХ ГЕОМЕТРИЧНИМИ СПІВВІДНОШЕННЯМИ ..

44

2.1

Відображення точки координатної площини у відповідну їй точку площини багатопараметричного простору ...

44

2.2

Згущення опуклої ДПК засобами точкового числення БалюбиНайдиша ......

47

2.3

Визначення ординати довільної точки згущення ДПК...

60

2.4

Згущення ДПК з точкою перегину засобами точкового
числення БалюбиНайдиша

62

2.5

Конструювання дуги обводу з дотичними на її кінцях .

64

Висновки до другого розділу .

69

РОЗДІЛ 3

КОМБІНАЦІЯ СИМПЛЕКСІВ ЯК ЗАСІБ КОНСТРУЮВАННЯ
КАНАЛОВИХ ПОВЕРХОНЬ

71

3.1

Каналова поверхня, профіль якої утворено комбінацією двох симплексів

78

3.2

Каналова поверхня, профіль якої утворено комбінацією
трьох симплексів..............

92

3.3

Каналова поверхня, профіль якої утворено комбінацією чотирьох симплексів ......

101

3.4

Каналова поверхня, профіль якої утворено комбінацією шести симплексів

107

Висновки до третього розділу ....

110

РОЗДІЛ 4

ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ КОНСТРУКТИВНИХ ЕЛЕМЕНТІВ ДРОБАРКИ.

112

4.1

Історія розвитку теорії кривих, яким притаманні брахистохронні і таутохронні властивості ...

115

4.2

Точкові рівняння бокової поверхні кругового утятого та не утятого конусів у точковому численні ..

119

4.3

Дуга циклоїди у точковому представленні..

127

4.4

Визначення, у точковому численні Балюби-Найдиша, кута нахилу дотичної до дуги циклоїди у заданій точці

130

4.5

Геометричне моделювання елементів сепаратора дробарки та результати впровадження розробок ..

136

Висновки до четвертого розділу .....

143

ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ..

145

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ.......

147

ДОДАТКИ..

156

ПЕРЕЛІК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ

ВДГМ Варіативне дискретне геометричне моделювання

ДГМ Дискретне геометричне моделювання

ДПК Дискретно представлена крива

СЛЛ Супроводжуюча ламана лінія

СТО - Супровідний трикутник опуклості

ЧПК - Числове програмне керування.

ВСТУП

Актуальність теми. Сучасні технології виробництва потребують точного математико-геометричного апарату для розв’язання спеціалізованих задач. У цьому сенсі, на перший план виступають методи дискретного геометричного моделювання (ДГМ), як методи більш адекватного характеру представлення вихідних даних у розрахункових системах. Серед методів ДГМ слід відзначити методи варіативного дискретного геометричного моделювання (ВДГМ), яке виділяється по наступному ряду показників: відсутність осциляцій, можливість локального управління формою кривої, можливість врахування додаткових вихідних умов, уникнення від нав’язування характеру поведінки функції, процесу або явища, що моделюється. З іншого боку, цікавим напрямком розвитку моделюючих апаратів є точкове числення, яке пропонує якісно новий підхід до моделювання дискретно представлених кривих (ДПК) та дискретно представлених поверхонь (ДПП) та володіє наступними властивостями: спрощує розрахункові формули, їх розрахункові алгоритми і скорочує час роботи програм, складених на основи цих алгоритмів; використовує в повній мірі можливості локальної корекції кривої або поверхні, яка моделюється; виключає процес проеціювання при моделюванні геометричних образів; для згущення ДПК виключає процес неперервної інтерполяції або апроксимації; вихідними даними та результатом для точкового числення є точка або набір точок. Як видно із особливостей точкового числення, воно володіє властивостями, які споріднюють його з ВДГМ. Як наслідок, виникає ідея створити новий моделюючий апарат шляхом комбінування цих двох апаратів, поєднавши, таким чином, їх переваги.
Виходячи з вищесказаного, можна зробити висновок, що застосування апарату точкового числення у поєднанні з методами ВДГМ дозволить підсилити можливості останнього та суттєво розширити аналітичний та прикладний апарат точкового числення, що і підтверджує актуальність теми досліджень.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано за планом наукових досліджень науково-дослідної лабораторії НДІ МЗПУ підпрограми «Геометричне моделювання явищ та процесів» (номер державної реєстрації 011U001949).
Частина роботи, пов’язана з моделюванням каналових поверхонь, виконана у рамках досліджень з держбюджетної теми № 0111U002558 «Удосконалення і розробка наукових основ підвищення експлуатаційної ефективності мобільної сільськогосподарської техніки» 2011-2015 р., що виконується у Таврійському Державному Агротехнологічному Університеті на кафедрі мобільних та енергетичних засобів.
Частина роботи, у якій зображено процес моделювання конструктивних елементів дробарки зерна, виконана у рамках державної науково-дослідної програми «Розробка наукових основ, систем, технологій і технічних засобів для забезпечення продовольчої безпеки південного регіону України» (№ державної реєстрації 0107U008957).
Мета і завдання дослідження. Підвищити ефективність методів ВДГМ на основі формалізації методів геометричних співвідношень ВДГМ у точковому численні.
Для досягнення мети слід вирішити такі задачі:
1. Удосконалити алгоритми ВДГМ у частині геометричних співвідношень шляхом застосування, при їх реалізації, апарату точкового числення Балюби-Найдиша.
2. У термінах точкового числення отримати та теоретично обґрунтувати інтерполяційні схеми, основані на алгоритмах ВДГМ у частині геометричних співвідношень.
3. Формалізувати у загальному вигляді, засобами точкового числення, рівняння плоскої неперервної дуги обводу з дотичними у початковій і кінцевій точках для прямокутних і не прямокутних симплексів з метою подальшої побудови на його основі профілів сегментів каналових поверхонь.
4. Розв’язати, засобами точкового числення, прикладну задачу побудови поверхні обертання, твірною якої є дуга циклоїди, яка застосовується при конструюванні пристрою для лущення та сепарації зернової маси.
5. Розв’язати, у точковому численні, задачу конструювання каналової поверхні та впровадити результати досліджень у виробничий процес, для чого:
- створити спосіб побудови профілів каналових поверхонь шляхом комбінування симплексів, що містять дуги обводу;
- отримати рівняння сегменту для прямолінійних та криволінійних каналових поверхонь зі сталим та змінними розмірами перерізів;
- створити алгоритм побудови, складеної із окремих сегментів, каналової поверхні, що з’єднані між собою за першим порядком гладкості.
6. Створити алгоритми і програмну реалізацію запропонованих у роботі способів конструювання дискретних та неперервних плоских кривих та поверхонь.
7. Впровадити результати досліджень в учбовий процес.
Об’єкт дослідження методи геометричних співвідношень ВДГМ.
Предмет дослідження розрахунково-графічні способи і алгоритми конструювання дискретних плоских кривих і поверхонь, формалізовані у термінах точкового числення.
Теоретичною базою дисертаційного дослідження є роботи вітчизняних і зарубіжних вчених:
1) З дискретного геометричного моделювання: Балюби І.Г, Ваніна В.В., ВерещагиВ.М., ЄремеєваВ.С., КовальоваС.М., Найдиша А.В., Найдиша В.М., Пилипаки С.Ф., Пугачова Є.В., Пустюльги С.І., Сазонова К.О., СергейчукаО.В..
2) З методів комп’ютерного моделювання та обчислювальної геометрії: Бадаєва Ю.І., Грибова С.М.,Куценка Л.М., Скідана І.А., ЮрчукаВ.П..
3) У галузі теорії розпізнавання образів: Гнатушенко В.В., КорчинськогоВ.М., СоболяО.М..
4) В області обчислювальної геометрії: Фокса А., Пратта М..
5) Основоположників вітчизняної прикладної геометрії: Четверухіна М.Ф., Джапарідзе І.С., Колотова С.М., Котова І.І., Михайленко В.Є., НіколаєвськогоГ.К., Осипова В.А., Обухова В.С., Павлова А.В., Підгорного О.Л., ПодкоритоваА.М., РижоваМ.М., Філіппова П.В., Юдицького М.М., Якуніна В.І..
Методи дослідження. В роботі використовуються методи аналітичної, нарисної та проективної геометрії, точкове числення, комп’ютерні методи розрахунку та зображення геометричних форм.
Наукова новизна одержаних результатів. В роботі уперше:
1. Формалізовано, у загальному вигляді, засобами точкового числення, рівняння плоскої неперервної дуги обводу з дотичними у початковій і кінцевій точках для прямокутних і не прямокутних симплексів.
2. Вперше, у термінах точкового числення, отримані та теоретично обґрунтовані інтерполяційні схеми, основані на алгоритмах ВДГМ у частині геометричних співвідношень.
3. Отримано, у точковому численні, рівняння та досліджено геометричні властивості поверхні обертання, меридіаном якої є дуга напівциклоїди.
4. Розроблено, у точковому численні, спосіб, який дає можливість скласти рівняння сегменту каналової поверхні зі змінним та сталим профілями, які утворюються комбінацією симплексів.
Обґрунтованість і достовірність результатів дослідження. Усі наукові положення, що розглядаються у роботі, представлені у вигляді точкових рівнянь, які ґрунтуються і отримані у результаті виконання алгебраїчних і логічних операцій. Їх достовірність забезпечується звичайною перевіркою рівнянь. Окрім цього, достовірність, точність та коректність отриманих результатів підтверджені їх узгодженням з відомими результатами традиційних математичних методів, практичними впровадженнями, а також розв’язанням прикладів у середовищі програмного пакету Maple.
Наукове значення роботи. Полягає у подальшому розширенні методів точкового числення Балюби-Найдиша, обґрунтуванні нових напрямків їх застосування при конструюванні дуг кривих, замкнених контурів, відсіків поверхонь, каналових поверхонь і поверхонь обертання.
Методи ВДГМ формалізовані та представлені у термінах точкового числення дозволяють одержати більш ефективні алгоритми та точні результати на їх основі.
Практичне значення одержаних результатів визначається високим ступенем інваріантності запропонованих способів згущення ДПК і конструювання каналових поверхонь та поверхонь обертання, високим рівнем достовірності запропонованих розрахунково-графічних алгоритмів та їх програмної реалізації, застосування яких на практиці в інформаційних системах проектування дозволить значно підвищити продуктивність праці конструктора. Результати роботи впроваджено у:
- навчальний процес кафедр «Обладнання переробних і харчових виробництв» та «Мобільні енергетичні засоби» Таврійського державного агротехнологічного університету;
- товариство з обмеженою відповідальністю «СПП «ЛАНА»;
- приватному підприємстві «Савенко В.В.».
Особистий внесок здобувача у статтях, які опубліковані у співавторстві:
1. «Побудова еквідистанти ДПК у точковому численні» (реалізував запропонований спосіб побудови еквідистанти дискретно представленої кривої).
2. «Знаходження точки на дискретно представленій параболі з використанням точкового числення» (одержав шукане рівняння знаходження точки на дискретно представленій параболі по заданій абсцисі).
3. «Згущення плоского точкового ряду з використанням точкового числення Балюби-Найдиша» (отримав рівняння шуканої точки згущення та перевірив отримані результати).
4. «Геометричне моделювання конструктивних елементів дробарки на основі побудови поверхонь обертання у точковому численні» (отримав рівняння дуги циклоїди у різній параметризації).
5. «Визначення точок на дузі циклоїди за заданими дотичними у точковому численні» (отримав рівняння залежності точки дуги циклоїди від кута нахилу дотичної у цій точці та перевірив отримані результати).
6. «Моделювання каналової поверхні з криволінійною напрямною» (реалізував запропонований спосіб побудови каналової поверхні).
Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційних досліджень доповідались на наступних наукових конференціях: XI, XII, XIII, XIV міжнародна науково-практична конференція «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (м. Мелітополь, 2009, 2010, 2011, 2012 р.); на VI міжнародній науково-практичній конференції «Геометричне моделювання та комп’ютерні технології: теорія, практика, освіта» (м. Харків, 2009 р.); на VIII,IX міжнародній кримській науково-практичній конференції «Геометричне та комп’ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн» (м. Сімферополь, 2011, 2012 р.); на XII міжнародній конференції з математичного моделювання МКММ_2011, присвяченій 190-річчю з дня народження П.Л. Чебишева (м. Херсон, 2011 р.); на аспірантському семінарі, що проводився у КНУБА м. Київ у жовтні 2011 року і жовтні 2012 року.
Публікації. Основні результати досліджень висвітлено у 12 наукових працях, з них 12 опубліковані у фахових виданнях, затверджених МОНМС України, 1 патент на корисну модель України, 7 статей опубліковано одноосібно.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, списку використаних джерел із 87 найменувань та 9 додатків. Робота містить 191 сторінок, з яких 155 сторінок основного тексту, 57 рисунків та 7 таблиць.

Список литературы

ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ

Дисертацію присвячено формалізації у точковому численні методів геометричних співвідношень ВДГМ для підвищення їх ефективності та отримання можливості розв’язку нового класу задач моделювання кривих ліній та поверхонь.
У результаті роботи отримані такі висновки:
1. Удосконалено алгоритми ВДГМ у частині геометричних співвідношень шляхом застосування, при їх реалізації, апарату точкового числення Балюби-Найдиша. Модернізовані алгоритми мають значно вищі показники у швидкодії та складності обчислень, що дозволяє широко застосовувати їх при розв’язанні прикладних задач.
2. Отримані та теоретично обґрунтовані, у термінах точкового числення, інтерполяційні схеми, основані на алгоритмах ВДГМ у частині геометричних співвідношень. Це дозволило, за рахунок переваг, якими володіє точкове числення, отримати ефективні алгоритми для згущення дискретно представлених точкових рядів, які не накопичують похибку зі збільшенням кількості проведених ітерацій та дозволяють отримати високоточні результати.
3. Отримано, у точковому численні, рівняння плоскої неперервної кривої з дотичними у початковій і кінцевій точках для прямокутних і не прямокутних симплексів. На основі отриманого рівняння можлива побудова перерізів каналових поверхонь шляхом комбінування симплексів, що містять криву.
4. Створено, у точковому численні, спосіб побудови профілів каналових поверхонь шляхом комбінування симплексів, що містять дуги обводу. Отримано рівняння сегменту для прямолінійних та криволінійних каналових поверхонь зі сталим та змінними розмірами перерізів. Створено алгоритм побудови складеної з окремих сегментів каналової поверхні, що з’єднані між собою по першому порядку гладкості. Результати досліджень впроваджені у виробничий процес приватного підприємства «Савенко В.В.».
5. Розроблено геометричний алгоритм та програмну реалізацію побудови поверхні обертання з твірною дугою циклоїди за заданими характеристиками, що дозволило сконструювати елемент сепаратору дробарки, впровадження якої у виробництво знизило процент вмісту пилових часток на 12-15%, недоподрібнених часток - на 10-12% у подрібненій масі зерна, знизило сукупні витрати електроенергії на 16%, дозволило отримати річний економічний ефект на одну дробарку у розмірі 4032 грн., що складає 0,20 грн./т. виробленого корму. Результати досліджень впроваджені у виробничий процес товариства з обмеженою відповідальністю «СПП ЛАНА».
6. Результати досліджень впроваджено у навчальний процес кафедр «Обладнання переробних і харчових виробництв» та «Мобільні енергетичні засоби» Таврійського державного агротехнологічного університету.
7. За результатами дисертаційного дослідження отримано два патенти України на корисну модель.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Найдиш В.М. Дискретна інтерполяція.- Мелітополь.:2008.- 250 с.
2. Найдиш В.М. Основи прикладної дискретної геометрії / В.М.Найдиш, В.М.Верещага, А.В.Найдиш, В.М.Малкіна // Мелітополь, 2007.
3. Найдиш В.М. Дискретне диференціювання / В.М.Найдиш, В.М.Верещага, А.В.Найдиш // Мелітополь, 2007.
4. Найдиш В.М. Методы и алгоритмы формирования поверхностей и обводов по заданным дифференциально-геометрическим условиям./ В.М.Найдиш Автореферат диссертации доктора технических наук. М.: МАИ, 1983. -33с.
5. Балюба И.Г. Конструктивная геометрия многообразий в точечном исчислении: диссертация на соискание научной степени доктора технических наук: 05.01.01 / И.Г.Балюба Макеевка: МИСИ, 1995. 227 с.
6. Балюба І.Г. Точечное исчисление математический аппарат параллельных вычислений для решения задач математического и компьютерного моделирования геометрических форм. // И.Г Балюба, В.И.Полищук, Б.Ф.Горягин, Т.П.Малютина //Материалы Международной научной конференции «Моделирование 2008», 14-16 мая 2008 р., г. Киев, Том 2. С.286-290. Институт проблем моделирования в энергетике им.Г.Е.Пухова НАН Украины.
7. Конопацький Є.В. Конструювання однопараметричної множини ліній в n-вимірному просторі / Є.В.Конопацький, А.І.Бумага // Праці Таврійська державна агротехнічна академія. Вип. 4. Прикладна геометрія та інженерна графіка. Т. 36 Мелітополь: ТДАТА, 2007. С.106-111.
8. Балюба І.Г. Алгебраїчна дуга AB третього порядку, її графічний та розрахунковий алгоритм в n-вимірному просторі / І.Г.Балюба, В.І.Поліщук, Б.Ф.Горягін, Т.П.Малютіна // Праці / Таврійська державна агротехнічна академія. Вип. 4. Прикладна геометрія та інженерна графіка. Т. 34. Мелітополь: ТДАТА, 2007. С.15-20.
9. Кованцов М.І. Проективна геометрія / М.І.Кованцов // «Вища школа» - Київ, 1969.- 410 с.
10. Глаголев Н.А. Проективная геометрия / Н.А.Глаголев // Государственное издание «Высшая школа» - Москва, 1963. С. 236-244.
11. Бадаев Ю.И. Определения классификации и расчет кривых третьего порядка на основе трехтканевых преобразований / Ю.И.Бадаев // Деп. ВУКРНИИНТИ №983Ук 88. К.: КПИ, 1988. 61с.
12. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций. / В.Л.Гончаров // М.: ГИТТЛ, 1954. 328 с.
13. Тинкевіч М.А. Интерполяционный многочлен Лагранжа / М.А.Тинкевіч // Численные методы анализа. — Кемерово, 2002.
14. Ковальов Ю.М. Прикладна геометрія / Ю.М.Ковальов, В.М.Верещага // Київ, 2012.
15. Роджерс Д. Математические основы машинной графики. / Д.Роджерс, Дж.Адамс // М.: Мир, 2001.
16. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии.- М.: Машиностроение, 1985.- 224с.
17. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. методы сплайн функций. М.: Наука, 1980. 352с.
18. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984.352 с.
19. Самарских А.А. Численные методы / А.А.Самарских, А.В.Гулин. М.: Наука, 1989. 432 с.
20. Стечкин С.Б.,Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. 248 с.
21. Ковтун О.М. Апроксимація ізометричним кубічним сплайном з керуючими точками, що належать кривій. // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Праці / Таврійська державна агротехнічна академія. Вип.4, т.24(25). Мелітополь: ТДАТА. с.72-76.
22. Квасов Б.І. Некоторые вопросы теории и приложений сплайновых функций.: Автореф. дисс. канд. наук. Новосибирск: 1973. 17с.
23. Котов И.И. Аналитическая геометрия в пространстве и прикладная геометрия поверхностей. М.: МАИ, 1986. 272 с.
24. Котов И.И. Алгоритмы машинной графики / И.И.Котов, В.С.Полозов, Л.В.Широкова М.: Машиностроение, 1977. 231 с.
25. Ковтун А.М. Специальные сплайны из полиномов третьей, четвёртой и пятой степени в геометрическом моделировании: монографія / А.М.Ковтун КНУБА - Київ, 2006. - 25 с.
26. Верещага В.М. Дисретно- парамтерический метод моделирования кривых линиц и поверхностей: дис. докт. техн. наук: 05.01.01 /В.М.Верещага Мелітополь, ТДАТУ, 1996. 320 с..
27. Щербина В.М. Геометрическое моделирование спиралеобразных дискретно представленных кривых линий: дис. кандт. техн. наук: 05.01.01 / В.М.Щербіна Мелітополь, ТДАТУ, 2003. 131 с..
28. Мацулевіч О.Є. Аппроксимация спиралеобразных дискретно представленных кривых в полярной системе координат по критерию наименьших предельных отклонений: дис. кандт. техн. наук: 05.01.01 / О.Є.Мацулевіч Мелітополь, ТДАТУ, 2003. 131 с.
29. Гавриленко Є.А. Дискретное интерполирование плоских одномерных обводов с закономерным изменением кривизны: дис. кандт. техн. наук: 05.01.01 / Є.А.Гавриленко Мелітополь, ТДАТУ, 2004. 149 с.
30. Верещага В.М. Криві Найдиша / В.М. Верещага // Праці. Таврійська державна агротехнічна академія. Вип. 4. Прикладна геометрія та інженерна графіка. Т. 51. Мелітополь: ТДАТА, 2011. С.16-23.
31. Балюба И.Г. Теоретические основы точечного исчисления / И.Г.Балюба // Монография. - Макеевка. Донбасский инж.-строит. инст.,1994.- С.32.
32. Малютіна Т.П. Інтерпретація обчислювальної геометрії плоских фігур у точковому численні: дис. канд. техн. наук: 05.01.01 / Т.П.Малютіна Макіївка: ДонДАБА, 1998. 227 с.
33. Конопацький Є.В. Конструювання плоских і просторових алгебраїчних кривих системою лінійних точкових рівнянь / Є.В.Конопацький, І.Г.Балюба, Ж.В.Старченко // Праці / Таврійська державна агротехнічна академія. Вип. 4. Прикладна геометрія та інженерна графіка. Т.17. Мелітополь: ТДАТА, 2002. - С. 66-67.
34. Давиденко І.П. Точкове завдання кривих другого порядку у різноманітній параметризації / І.П.Давиденко // Прикладна геометрія та інженерна графіка: праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2006. Вип. 4. Т. 31. С. 128-132.
35. Малютина Т. П., Балюба И. Г. Определение касательных випуклого плоского обвода в точечном исчислении. / Т.П.Малютина, И.Г.Балюба // Прикладна геометрія та інж. графіка. К.: КДТУБА, 1996. Вип.62. С.57-60.
36. Балюба І.Г. Основи математичного апарату точкового числення / І.Г.Балюба, В.І.Поліщук, Т.П.Малютіна Праці // Таврійська державна агротехнічна академія. Вип. 4. Прикладна геометрія та інженерна графіка. Т. 29. Мелітополь: ТДАТА, 2005. С.22-30.
37. Конопацький Є.В. Геометричне моделювання алгебраїчних кривих та їх використання при конструюванні поверхонь у точковому численні балюби-найдиша: дис. кандт. техн. наук: 05.01.01 / Є.В.Конопацький Мелітополь: ТДАТУ, 2012. 154 с..
38. Балюба И.Г. Точечное исчисление − математический аппарат параллельных вычислений для решения задач математического и компьютерного моделирования геометрических форм./ И.Г.Балюба, В.И.Поліщук, Б.Ф.Горягин, Т.П. Малютіна // Материалы международной научной конференции "Моделирование-2008" 14-16 мая 2008 г. Киев, том 2.− с. 286−290. Институт проблем моделирования в энергетике им.Г.Е.Пухова НАН Украины.
39. Давиденко І.П. Дуга обводу третього порядку / І.П.Давиденко // Прикладна геометрія та інженерна графіка: праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2003. Вип. 4. Т. 20. С. 95-97.
40. Александрович В.П. Инженерный способ конструирования циклических поверхностей и его приложения. Автореф. дисс. . канд. техн. наук. М.: МАИ, 1990.: 16 с.
41. Блиок А.В. Графо-аналитическое конструирование поверхностей каналового типа по наперёд заданным площадям поперечных сечений. Автореф.дисс. . канд. техн. наук. Киев, КПИ; 1970.: 22 с.
42. Богацкий И.З. Графоаналитическое конструирование выхлопного патрубка двигателя. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К., Бущвельник, 1979.: вып. 28, с. 60 - 62.
43. Брысин В.А., Филиппов П.В. Моделирование каналовых поверхностей с параболическими поперечными сечениями. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К., Бущвельник, 1992.: вып. 53, с. 23 - 25.
44. Василевский О.В. Геометрическое моделирование поверхностей каналов и автоматизация их проектирования. Автореф. дисс. . канд. техн. наук. Киев: КИСИ, 1982.: 17 с.
45. Денискин Ю.И. Обобщённые методы геометрического моделирования объектов и управления их формой при параметрическом представлении. Автореф. диссдоктора техн. наук. — М., МГАИ, 2000.: 38с.
46. Драганов Б.Х., Круглов М.Г. Обухова B.C. Конструирование впускных и выпускных каналов двигателей внутреннего сгорания. Киев, Вища школа. 1987.: 175 с.
47. Егоров Э.В., Тузов А.Д. Моделирование поверхностей агрегатов ЛА. -М.: МАИ, 1988.: 54 с.
48. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн -функций. М.: Наука, 1980.: 352 с.
49. Иванов Г.С. Начертательная геометрия. М., Машиностроение, 1995.: 224 с.
50. Иванов Г.С., Конакбаев К.К. Анализ способов конструирования одномерных динамических обводов точек. // Графика и прикладная геометрия-131 поверхностей. М.: МАИ, 1971.: вып.229, с. 105 - 111.
51. Иванов Г.С., Миролюбова Т.И. Теоретические предпосылки конструирования осей трубопроводов как одномерных обводов второго порядка гладкости. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: КНУБА, 2001.: вип. 68, с. 38- 441.
52. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики. М.: Наука, т. 1,1972.: 132 с.
53. Конакбаев К.К. Конструирование обводов из дуг уникурсальных циркулярных кривых посредством кремоновых инволюций. Автореф. дисс. канд. техн. наук. М.: МАИ, 1972.: 21 с.
54. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.: 720 с.
55. Лелюшенко С.И. Исследование и управление дифференциально-геометрическими свойствами некоторых каналовых поверхностей типа «фюзеляж — мотогондола». Автореф. дисс.канд. техн. наук. -М., МАТИ, 1976.: 20 с.
56. Мезенцев JI.Г. Методы моделирования и компоновки каналовых поверхностей при автоматизации проектирования. Автореф. дисс. канд. техн. наук. Киев, КИСИ, 1985.: 19 с.
57. Метёлкин А.И. Фотография в строительстве и архитектуре. М., Строй-издат,1981.: 288 с.
58. Обухова B.C. Конструктивно прикладная теория нелинейных осевых отображений и ассоциированных с ними алгебраических поверхностей. Автореф. диссдоктора техн. наук. - Киев, КИСИ, 1991.: 41 с.
59. Пилипака С.Ф. Конструювання поверхонь та їx неперервне згинання у кінцеві форми на ocнові управління натуральними параметрами. Автореф. дисс. . доктора техн. наук. Київ, КНУБА, 2000.: 35 с.
60. Радзивиллович В.В. Разработка геометрических моделей криволинейных поверхностей для гидродинамических расчётов. Автореферат дисс. доктора техн. наук. Mi, МАДИ, 1990.: 19 с.
61. Сиднев С.С. Геометрическое обеспечение автоматизированного проектирования линейчатых поверхностей спортивных сооружений. Автореф. дисс. . доктора техн. наук. Киев, КИСИ, 1989.: 18 с.
62. Фокс. А., Пратт М. Вычислительная геометрия. М., Мир,1982.- 304с.
63. Борисенко В.Д., Котляр Д.В. Геометричне моделювання каналів системи охолодження лопаток осьових турбін. // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Київ, КНУБА, 2011: вип. 88, с. 88-93.
64. Бездітний А.О. Каналові поверхні з прямолінійними напрямними у точковому численні Балюби-Найдиша / А.О. Бездітний // Міжвідомчий науково-технічний збірник / Прикладна геометрія та інженерна графіка. Вип. 89. Прикладна геометрія та інженерна графіка. Київ: КНУБА, 2012. С.75-78.
65. Бездітний А.О. Моделювання каналової поверхні з напрямною дугою обводу / А.О.Бездітний // Праці / Таврійський державний агротехнологічний університет. Вип. 4. Прикладна геометрія та інженерна графіка. Т. 53. Мелітополь: ТДАТА, 2012.С.7-12.
66. Алешкин В.Р. Повышение эффективности процесса и технических средств механизации измельчения кормов: Дис. д-ра техн. наук.- Киров, 1995. - 412 с.
67. Гортинский В.В. Процессы сепарирования на зерноперерабатывающих предприятиях / В.В.Гортинский, А.Б.Демский, М.А.Борискин. М.: Колос, 1980. 304 с.
68. Математическая Энциклопедия. Ред. коллегия: И.М.Виноградов (глав. ред.). Т.1 - М., «Советская Энциклопедия», 1977. - 1152 с.
69. Математическая Энциклопедия. Ред. коллегия: И.М.Виноградов (глав. ред.). Т.1 - М., «Советская Энциклопедия», 1984. - 1248 с.
70. Савёлов А.А. Плоские кривые. М.,Физматлит, 1960. - 294 с.
71. Берман Г.Н. Циклоида. - М.: Наука, 1980. - 112 с.
72. Гюйгенс Х. О маятниковых часах, перевод с франц., М. - Л., 1932.
73. Гюйгенс Х. Трактат о свете, перевод с франц., М. - Л., 1935.
74. Ибрагимов Н.Х. Принцип Гюйгенса в кн.: Некоторые проблемы математики и механики, Л., 1970.
75. Левенцев А. Исследования касательно силы в таутохронном движении, математический сборник. М., 1874.
76. Bertrand M.J. Sur un nos remarquel de thautochronisma, Journal de Mathematiques pures et appliques or Raculic de memoires sur les diverses parties des Mathematiques, T. XIII, 1848, С. 271.
77. Бернулли И. Избранные сочинения по механике, 1937.
78. Bernoulli J. Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis, et epistola gallicé scripta de ludo pilae reticularis, Basel: Thurneysen Brothers, 1713.
79. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления, Л., 1938.
80. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума, либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. М. - Л., 1934.
81. Roger M. These sur les brachistochrones, Nouvelles Annales Mathematiques, T. XIII, 1848. С.41.
82. Василенко П.М. Теория движения частицы по шероховатым поверхностям сельскохозяйственных машин. К.: УСХА, 1960. 263 с.
83. Мельников С.В. Механизация и автоматизация животноводческих ферм / С.В. Мельников. - Л.: Колос, 1978. - 560 с.
84. Бездітний А.О. Геометричне моделювання конструктивних елементів дробарки на основі побудови поверхонь обертання у точковому численні. / А.О.Бездітний, В.М.Верещага // Науковий вісник ТДАТУ / Вип.1 (1) Мелітополь: ТДАТУ, 2011. с. 69-74. (http://www.nbuv.gov.ua/e-journals/nvtdau/2011_1/11vvmogs.pdf).
85. Бездітний А.О. Визначення точок на дузі циклоїди за заданими дотичними у точковому численні. / А.О.Бездітний, В.М.Верещага // Вип.1 (2) Мелітополь: ТДАТУ, 2011. с. 167-170. (http://www.nbuv.gov.ua/e-journals/nvtdau/2011_2/11vvmidc.pdf).
86. Бездітний А.О. Побудова поверхні обертання з меридіаном напівциклоїди у точковому численні / А.О.Бездітний // Вестник ХНТУ / Вип. 3(42). Международная конференция по математическому моделированию Херсон: ХНТУ, 2011. С.78-81.

87. Бездітний А.О. Побудова умовної розгортки поверхні обертання, твірною якої є циклоїда, у точковому численні / А.О.Бездітний // Праці / Таврійський державний агротехнологічний університет. Вип. 4. Прикладна геометрія та інженерна графіка. Т. 48. Мелітополь: ТДАТА, 2010. с.158-161.