КОНСТРУИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФОРМ МЕТОДОМ ПОДВИЖНОГО СИМПЛЕКСА : КОНСТРУЮВАННЯ ПОВЕРХОНЬ ПРОСТОРОВИХ ФОРМ МЕТОДОМ РУХОМОГО СИМПЛЕКСУ

Краткое описание

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ,
МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ

ДОНБАССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

На правах рукописи

Давыденко Иван Петрович

УДК 514.18

КОНСТРУИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФОРМ
МЕТОДОМ ПОДВИЖНОГО СИМПЛЕКСА

05.01.01 Прикладная геометрия, инженерная графика

Диссертация на соискание ученой степени
кандидата технических наук

Научный руководитель:
Балюба Иван Григорьевич
доктор технических наук, профессор

Макеевка 2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ....

6

РАЗДЕЛ 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ВЫБОР МЕТОДА
ИССЛЕДОВАНИЙ....

13

1.1. Требования, предъявляемые к поверхностям современных
сооружений при их проектировании...

13

1.2. Обоснование выбора точечного исчисления в качестве
аналитического метода исследований ....

17

1.3. Теоретические основы, необходимые для работы в точечном
исчислении ....

21

Выводы по первому разделу....

34

РАЗДЕЛ 2. ФОРМООБРАЗОВАНИЕ ПЛОСКИХ КРИВЫХ И
КОНСТРУИРОВАНИЕ НА ИХ ОСНОВЕ ЗАКОНОМЕРНЫХ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛОМАНЫХ...

35

2.1. Общие основы точечного задания плоских кривых...

35

2.1.1. Точечное задание дуги кривой в общем виде..

37

2.1.2. Производная функции и тангенциальное отображение кривой.

39

2.1.3. Исследование кривой, заданной системой точечных уравнений...

43

2.2. Задание алгебраических кривых в точечном исчислении..

44

2.2.1. Плоские кривые с линейными функциями...

44

2.2.2. Плоские кривые с квадратичными функциями

45

2.3. Задание кривых второго порядка в плоскости общего положения...

47

2.3.1. Задание эллипса в различных параметризациях..

48

2.3.1.1. Эллипс с текущим параметром центрального угла..

50

2.3.1.2. Эллипс с текущим параметром центрального радиуса

55

2.3.1.3. Эллипс с текущим параметром угла с вершиной в фокусе кривой.

56

2.3.1.4. Эллипс, полученный сжатием окружности к одному из ее
диаметров...

57

2.3.1.5. Эллипс, построенный по паре сопряженных диаметров (вариант первый)...

58

2.3.1.6. Эллипс, построенный по паре сопряженных диаметров (вариант второй)

61

2.3.2. Задание гиперболы в различных параметризациях.

65

2.3.2.1. Гипербола с текущим параметром центрального угла.

68

2.3.2.2. Гипербола с текущим параметром центрального радиуса...

69

2.3.2.3. Гипербола с текущим параметром угла с вершиной в фокусе кривой.

70

2.3.3. Задание параболы, как кривой одного отношения..

72

2.3.4. Задание кривой второго порядка по пяти точкам

73

2.4. Задание кривых третьего порядка

79

2.5. Конструирование закономерных пространственных ломаных.

82

Выводы по второму разделу....

86

РАЗДЕЛ 3. КОНСТРУИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФОРМ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ЗАДАННЫЕ ДУГИ ЛИНИЙ, МЕТОДОМ ПОДВИЖНОГО СИМПЛЕКСА

87

3.1. Выбор класса рассматриваемых поверхностей пространственных форм ..

87

3.2. Общий подход геометрического конструирования поверхностей пространственных форм и требования, предъявляемые к ним........

89

3.3. Сущность метода подвижного симплекса...

91

3.3.1. Метод подвижного симплекса одномерного пространства

91

3.3.2. Метод подвижного симплекса двумерного пространства..

92

3.3.3. Обобщение метода подвижного симплекса для многомерного
пространства..

93

3.4. Конструирование поверхности оболочки по прямолинейной
направляющей методом подвижного симплекса...

95

3.4.1. Конструирование поверхности оболочки с кривой второго порядка в качестве образующей и с заданным углом наклона касательной..........

95

3.4.2. Конструирование поверхности оболочки с кривой второго порядка в качестве образующей и с вершиной симплекса на эллиптической
кривой.....

99

3.4.3. Конструирование поверхности оболочки с кривой третьего
порядка в качестве образующей и с вершиной симплекса на
эллиптической кривой......

104

3.4.4. Конструирование поверхности оболочки с кривой в качестве образующей

109

3.4.5. Конструирование поверхности оболочки с кривой в качестве образующей

112

3.5. Конструирование поверхности оболочки по эллиптической
направляющей методом подвижного симплекса...

117

3.5.1. Конструирование поверхности оболочки с кривой второго порядка в качестве образующей и с заданным углом наклона касательной.

117

3.5.2. Конструирование поверхности оболочки с кривой второго порядка в качестве образующей и с вершиной симплекса на эллиптической
кривой.....

121

3.5.3. Конструирование поверхности оболочки с кривой третьего
порядка в качестве образующей и с вершиной симплекса на
эллиптической кривой......

124

3.5.4. Конструирование поверхности оболочки с кривой в качестве образующей

129

3.5.5. Конструирование поверхности оболочки с кривой в качестве образующей

132

3.6. Торсовая поверхность с ребром возврата в виде пространственной кривой Безье третьего порядка

136

Выводы по третьему разделу...

140

РАЗДЕЛ 4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
ИССЛЕДОВАНИЙ....

141

4.1. Аппроксимация границ поверхности покрытия стадиона
эллиптическим планом.....

142

4.2. Конструирование каркаса поверхности оболочки покрытия с двумя краевыми контурами на эллиптическом плане..

145

4.2.1. Конструирование каркаса поверхности оболочки покрытия с двумя краевыми контурами на эллиптическом плане и видимым контуром вдоль малой оси плана покрытия.

145

4.2.2. Конструирование каркаса поверхности оболочки покрытия с двумя краевыми контурами на эллиптическом плане и видимым контуром, с двумя заданными углами примыкания конструктивных элементов
оболочки.....

152

4.3. Определение площади криволинейных форм, расположенных в плоскости общего положения..

157

4.4. Минимизация отходов при нарезке конструктивных элементов
оболочки заданной длины из профилей стандартной длины

160

Выводы по четвертому разделу...

163

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

164

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

165

Приложение А. Копии документов внедрения результатов исследований.

177

Приложение Б. Листинг программ по построению наглядных
изображений поверхностей пространственных форм в различных
параметризациях....

181

ВВЕДЕНИЕ

Современный этап развития техники и, в частности, строительства характеризуется интенсивной разработкой и внедрением компьютерных технологий на всех стадиях создания новых машин и сооружений от первичного замысла через предпроектные научные исследования и проектирование до изготовления с применением оборудования с числовым программным управлением. В таком случае, возникает задача математического описания геометрических форм с помощью вычислительного алгоритма, позволяющего на ЭВМ делать, необходимые для проектирования и изготовления, расчеты.
В свою очередь применение компьютерных технологий обеспечивает значительное улучшение целевых характеристик создаваемых машин и сооружений; например, увеличение скорости полета летательных аппаратов за счет улучшения характеристик обтекаемости внешней поверхности при движении в упругой среде, увеличение площади, перекрываемой оболочкой без промежуточных опор, за счет подходящего распределения ее кривизны.
Распространяя содержание этих примеров на другие объекты сложной криволинейной формы и на другие условия их функционирования, можно прийти к выводу, что часто характеристики функционального назначения проектируемого объекта имеют геометрическое выражение.
Прикладная геометрия, как научная специальность, призвана, во-первых, решать проблемы, связанные с обеспечением геометрической компоненты в предпроектных научных исследованиях и проектировании конкретных объектов криволинейной формы, с учетом предъявляемых к ним функциональных требований. Во-вторых, она вправе абстрагироваться в части ориентирования на конкретный объект и на конкретные, связанные с этим объектом, геометрические требования, обеспечивая тем самым развитие своей методологии.
Например, конструкции оболочки присущи такие понятия как опорный и свободный контуры. При аналитическом описании поверхности оболочки весьма желательно, чтобы эти контуры совпадали с координатными линиями поверхности, еще лучше, если координатная сеть была ортогональной, еще лучше, если она состоит из линий кривизны. Желательность в данном случае вызвана условиями применимости того или иного метода расчета оболочки на прочность и формулирования краевых условий.
Вместе с тем, условия прохождения криволинейной поверхности через наперед заданные линии вне зависимости от того, являются ли они опорным или свободным контуром оболочки, достойно абстрактных геометрических исследований как эффективное средство управления формой в формообразовании поверхностей.
Актуальность темы. В практике конструирования поверхностей пространственных форм, к строительным качествам которых предъявляются повышенные требования, все больше требуется разработка инновационных методов геометрического конструирования, которые обладают быстродействием, простотой, высокой точностью, способностью конструировать поверхности через заданные дуги кривых (опорный краевой, свободный краевой и видимый контуры оболочки), с учетом различных дополнительных требований к этим поверхностям.
Инженерная практика конструирования оболочек располагает значительным запасом изученных цилиндрических, конических, сферических форм и комбинаций из них, а геометрическое конструирование кривых линий и поверхностей методами прикладной геометрии значительно расширяет ее возможности [77]. Однако, актуальной остается проблема разработки методов геометрического конструирования кривых линий и поверхностей, отвечающих указанным требованиям, что невозможно без расширения инструментальных разработок и создания достаточного количества самодостаточных конструктивных инструментов и методов прикладной геометрии, исследования свойств и возможностей этих инструментов.
Также, актуальным является разработка новых способов аналитического описания поверхностей сложной криволинейной формы, что представляет собой теоретическую базу для развития автоматизированных систем научных исследований (АСНИ), проектирования (САПР) и технологической подготовки производства (АС ТПП) объектов сложной формы.
Связь работы с научными программами, планами, темами. Диссертационная работа выполнена в рамках научно-исследовательской темы кафедры «Градостроительство и инженерная графика» Донбасской национальной академии строительства и архитектуры «Математический аппарат точечного исчисления и его практическое применение при конструировании геометрических форм» и госбюджетной научно-исследовательской работы «Разработка теоретических основ и программного обеспечения для проектирования покрытий в виде оболочек произвольной формы на базе принципов строительной информатики» (номер госрегистрации 0103U000586).
Цель и задачи исследования. Целью исследования является разработка, на основе точечного исчисления, программная реализация и внедрение в практику метода подвижного симплекса для конструирования пространственных форм, проходящих через заданные дуги кривых.
Для достижения поставленной цели в работе следует решить такие задачи:
сделать обзор существующих способов и создать новые способы конструирования кривых линий и поверхностей в точечном исчислении;
разработать способ построения закономерных пространственных ломаных и каркасов поверхностей, которые проходят через заданные дуги плоских кривых линий;
разработать метод конструирования поверхности, как однопараметрического семейства плоских кривых, при заданном законе перемещения точек симплекса, к которому отнесена образующая кривая в своей плоскости;
составить вычислительные алгоритмы для компьютерного конструирования кривых линий, закономерных пространственных ломаных и поверхностей, полученных в результате исследований;
разработать рекомендации по внедрению результатов исследований в инженерную практику проектирования оболочек покрытий.
Объект исследования поверхности пространственных форм.
Предмет исследования точечные уравнения поверхностей пространственных форм, удовлетворяющих условиям прохождения через заданные линии.
Методы исследования. Работа выполнена на основе математического аппарата точечного исчисления и является дальнейшей практической его разработкой. Решение поставленных задач исследования потребовало использования идей начертательной, аффинной и проективной геометрий в части составления точечных уравнений некоторых дуг плоских кривых линий; методов дифференциальной геометрии в части создания тангенциального отображения кривых линий; численных методов в части построения закономерных пространственных ломаных; методов геометрического моделирования поверхностей оболочек в части построения каркасов поверхностей; графического метода в части компьютерного конструирования плоских кривых линий, закономерных пространственных ломаных и каркасов поверхностей.
Научная новизна полученных результатов. В работе впервые:
разработаны точечные уравнения алгебраических кривых в различных параметризациях, исходя из геометрических алгоритмов их построения;
на основе алгебраических кривых, полученных в различных параметризациях, разработан, основанный на точечном исчислении, новый метод аналитического описания поверхностей сложной криволинейной формы по наперед заданным геометрическим условиям, названный в работе методом подвижного симплекса;
обобщая геометрическую интерпретацию парабол высших порядков, разработан метод использования таких кривых для создания необходимой гибкости поверхностей оболочек с учетом к ним дополнительных требований;
введено понятие тангенциального отображения кривой в математический аппарат точечного исчисления, что позволило учесть некоторые дифференциальные характеристики кривых линий при их использовании.
Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций. Корректность аналитических моделей поверхностей проверена компьютерно-графическими изображениями в среде математического процессора Maple, по которым визуально устанавливается соответствие формы поверхности ее параметрическим уравнениям. А также практическим внедрением результатов исследований.
Практическое значение полученных результатов. Точечные и параметрические уравнения поверхностей, метод составления которых разработан в диссертационной работе, являются основой для автоматизированной подготовки входных данных при прочностном расчете методом конечных элементов и для компьютерной визуализации объектов сложной формы, а значит и для автоматизации составления графической части системы конструкторской документации. Варьирование параметрами формы объекта позволяет по компьютерному изображению оценить достоинства и эстетическую выразительность его конструкции.
Это достигается тем, что компьютерная реализация вычислительных алгоритмов выдает таблицу координат точечного каркаса поверхности (узлы стержневой конструкции оболочки), которые являются исходными данными для компьютерного определения необходимых прочностных характеристик оболочки. При изменении макропараметров, таких как: опорный краевой (форма плана), свободный краевой и видимый контуры оболочки, стрела подъема, пролет и угол примыкания конструктивных элементов оболочки, изменяется таблица координат и процесс повторяется. Количество повторений незначительно, так как в перечень условий формирования поверхности заложена ортогональность ее сети.
Результаты исследований приняты к внедрению производственными организациями ООО «УКРИНСТАЛЬКОН» и ПАО «АЗМК», а также внедрены в учебный процесс кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Донбасской национальной академии строительства и архитектуры.
Личный вклад соискателя. В статьях, опубликованных в соавторстве, вклад соавторов ограничивался постановкой задач и контролем достоверности полученных результатов. Проведение исследований, получение аналитических и компьютерно-графических результатов осуществлено лично автором диссертации.
Апробация результатов диссертации. Основные положения диссертационной работы докладывались и обговаривались на:
научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых Донбасской национальной академии строительства и архитектуры (г. Макеевка, 1997, 1998 гг.);
международной научно-практической конференции «Современные проблемы геометрического моделирования» (г. Донецк, 2000 г.);
украинском межотраслевом научно-практическом семинаре «Сучасні проблеми проектування, будівництва та експлуатації споруд на шляхах сполучення» (г. Киев, 2000 г.);
международной научной конференции «Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы» (г. Москва, 2001 г.);
международной научно-практической конференции «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (г. Львов, 2003 г.);
международной украино-российской научно-практической конференции «Современные проблемы геометрического моделирования» (г. Харьков, 2005 г.);
VI международной научно-практической конференции «Геометрическое моделирование и компьютерные технологии: теория, практика, образование» (г. Харьков, 2009 г.);
международной научной конференции «Моделирование-2010» (г. Киев, 2010 г.);
XI, XIV международных научно-практических конференциях «Современные проблемы геометрического моделирования» (г. Мелитополь, 2009, 2012 гг.);
всеукраинской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Прикладна геометрія та інженерна графіка 2011» (г. Луцк, 2011 г.);
VІII международной крымской научно-практической конференции «Геометричне та комп’ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн» (г. Симферополь, 2011 г.);
VІII всеукраинской научно-практической конференции «Прикладна геометрія, графічні технології та дизайн» (г. Полтава, 2012 г.).
Публикации. По результатам исследований опубликовано 24 работы, из них 15 статей в изданиях, рекомендованных Департаментом аттестации кадров МОНМС Украины, из которых 7 статей единоличных (без соавторов).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, общих выводов, списка использованных источников из 130 наименований и двух приложений. Работа содержит 164 страницы основной части, 22 страницы списка использованных источников и приложений, 60 рисунков и 14 таблиц.

Список литературы

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1. Сделан обзор существующих методов и разработаны новые способы конструирования поверхностей пространственных форм, что подтвердило необходимость и целесообразность использования точечного исчисления для конструирования поверхностей пространственных форм. Расширено, в точечном исчислении, многообразие дуг кривых второго и третьего порядков в различных параметризациях, что расширило возможности их практического использования.
2. Разработан способ построения закономерных пространственных ломаных и каркасов поверхностей, которые проходят через заданные дуги плоских кривых линий.
3. Впервые предложен метод подвижного симплекса для конструирования поверхностей пространственных форм. Это значительно расширяет возможности геометрического конструирования поверхностей оболочек и дает возможность задавать поверхность оболочки с учетом формы заданного плана (опорный краевой контур) и стрелы подъема пространственной конструкции (видимый контур). Предложены уравнения или вычислительные алгоритмы поверхностей, которые являются основой для автоматизированного получения входных данных для программ расчета на прочность методом конечных элементов или методом конечных разностей.
4. Созданы вычислительные алгоритмы для компьютерного конструирования дуг кривых и отсеков поверхностей пространственных форм, которые были использованы при внедрении результатов исследований.
5. На основе предложенных в работе алгоритмов, созданы и внедрены в производственные организации ООО «УКРИНСТАЛЬКОН» и ПАО «АЗМК» три программы «Расчет вписанного угольника» и «Нарезка длин профилей».

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Авдоньев Е.Я. Конструирование поверхностей, удовлетворяющих некоторым метрическим требованиям / Авдоньев Е.Я. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1972. Вып. 14. С. 102-106.
2. Авдоньев Е.Я. Уравнения и характеристики некоторых алгебраических поверхностей высших порядков / Е.Я. Авдоньев, С.М. Протодьяконов // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1976. Вып. 21. С. 108-120.
3. Агальцев А.В. Определение точечного каркаса минимальной поверхности / Агальцев А.В. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1967. Вып. 5. С. 124-127.
4. Агальцев А.В. Моделирование минимальных поверхностей / Агальцев А.В. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1969. Вып. 9. С. 94-96.
5. Агальцев А.В. Построение точечного каркаса минимальной поверхности с прямоугольным планом на ЭВМ / Агальцев А.В., Кайрите Г.В., Сапоговас М.П. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1968. Вып. 6. С. 86-94.
6. Агальцев А.В. Точечный каркас минимальной поверхности с круговым в плане контуром / А.В. Агальцев, М.П. Сапоговас // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1968. Вып. 7. С. 93-98.
7. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии / П.С. Александров, А.С. Пархоменко. М.: Наука, 1968. С. 114-121.
8. Амиров М. Сетчатый каркас из плоских сопряженных линий / Амиров М. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1975. Вып. 19. С. 61-64.
9. Анищенко А. Архитектура сооружений с висячими покрытиями / Анищенко А. К.: Будівельник, 1970. 126 с.
10. Антонов Е.К. Конструирование и расчет кинематической поверхности с образующей коробовой кривой переменного вида: автореф. дис. на соискание наук, степени канд. техн. наук: спец. 05.01.01 / Е.К. Антонов. К., 1967.17 с.
11. Бабаков В.В. О применении кривых 2-го порядка при проектировании и задании сложных поверхностей / Бабаков В.В. Техн. эстетика, 1966. №5. С. 28-33, №8. С. 26-30, №9. С. 12-16, №10. С. 12-16.
12. Балюба И.Г. Конструктивная геометрия многообразий в точечном исчислении: дис. ... доктора техн. наук: 05.01.01 / И.Г. Балюба. Макеевка, 1995. 227с.
13. Балюба И.Г. Геометрическая сущность кривых Безье и их аналитическое представление / Балюба И.Г. // Зб. праць Міжнародної науково-практичної конференції „Сучасні проблеми геометричного моделювання”. Ч.1. Харків: ХІПБ МВС України, 1998. С. 178-182.
14. Балюба И.Г. Конструирование кривых линий по заданным условиям / И.Г. Балюба, В.М. Верещага // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1990. Вып. 50. С. 128-130.
15. Балюба И.Г. Конструирование сетчатой оболочки стационарного покрытия над трибунами стадионов / И.Г. Балюба, И.П. Давыденко // Труды Таврической государственной агротехнической академии. Мелитополь: ТГАТА, 1999. Вып. 4: Прикладная геометрия и инженерная графика. Т. 10. С. 41-42.
16. Балюба И.Г. Нарезка длин / И.Г. Балюба, И.П. Давыденко // Сб. трудов Международной научно-практической конференции Современные проблемы геометрического моделирования”. Донецк: ДонГТУ, 2000. С. 111-113.
17. Балюба І.Г. Дослідження на екстремум кривої площини при точковому її визначенні / І.Г. Балюба, І.П. Давиденко // Зб. матеріалів Міжнародної науково-практичної конференції Сучасні проблеми геометричного моделювання”. Львів: Національний університет Львівська політехніка”, 2003. С. 97-98.
18. Балюба І.Г. Похідна кривої та прямокутна сітка на поверхні / І.Г. Балюба, І.П. Давиденко // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2003. Вип. 4: Прикладна геометрія та інженерна графіка. Т. 19. С. 45-48.
19. Балюба І.Г. Точкове визначення торсової поверхні / Балюба І.Г., Давиденко І.П., Конопацький Є.В. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2003. Вип. 4: Прикладна геометрія та інженерна графіка. Т. 21. С. 25-28.
20. Балюба И.Г. Специальная параметризация плоских кривых и ее приложения / Балюба И.Г., Малютина Т.П., Гревцов О.В. // Прикладна геометрія та інженерна графіка. К.: КДТУБА, 1997. Вип. 62. С. 45-49.
21. Балюба І.Г. Криві Бk площини / І.Г. Балюба, В.П. Мущанов // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2003. Вип. 4: Прикладна геометрія та інженерна графіка. Т. 22. С. 14-19.
22. Балюба И.Г. Геометрическое моделирование и оптимизация поверхности сетчатой оболочки с большим вырезом на эллиптическом плане / Балюба И.Г., Мущанов В.Ф., Давыденко И.П. // Сб. научных трудов Международной научной конференции Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы”. М.: РУДН, 2001. С. 40-41.
23. Бартенев И.А. Форма и конструкция в архитектуре / Бартенев И.А. Л.: Стройиздат, 1968. 264 с.
24. Бахвалов Н.С. Численные методы / Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. М.: Наука, 1987. 598 с.
25. Болотов В.П. Графо-аналитический способ построения гладкой поверхности, проходящей через заданный контур и дополнительно введенное сечение каркаса / В.П. Болотов, П.В. Филиппов // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1979. Вып. 27. С. 12-14.
26. Бронштейн И.Н. Справочник по математике / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. М.: Наука, 1986. 544 с.
27. Бубенников А.В. Начертательная геометрия / Бубенников А.В. М.: ВЗПИ, 1968. 423 с.
28. Верещага В.М. Дискретно-параметричний метод геометричного моделювання кривих ліній та поверхонь: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня доктора техн. наук: спец. 05.01.01 / В.М. Верещага. К., 1996. 32 с.
29. Власов В.З. Строительная механика тонкостенных пространственных систем / Власов В.З. М.: Стройиздат, 1949. 434 с.
30. Волков Е.А. Численные методы / Волков Е.А. М.: Наука, 1987. 248 с.
31. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия / Выгодский М.Я. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.-511 с.
32. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике / Выгодский М.Я. М.: Наука, 1966.-872 с.
33. Гавриленко Е.А. Дискретное интерполирование плоских одномерных обводов с закономерным изменением кривизны: дис. канд. техн. наук: 05.01.01 / Е.А. Гавриленко. - Мелитополь, 2004. - 149 с.
34. Гайдар О.Г. Аналітичні моделі поверхонь на основі перетворень і тангенціальних рівнянь: дис. канд. техн. наук: 05.01.01 / О.Г. Гайдар. - Донецьк, 2001. - 178 с.
35. Гайдар О.Г. Візуалізація поверхонь з двома сім’ями плоских ліній кривини / Гайдар О.Г. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2001. Вип. 4: Прикладна геометрія та інженерна графіка. Т. 12. С. 90-93.
36. Галимов К.З. Теория оболочек сложной геометрии / К.З. Галимов, В.Н. Паймушин. Казань, 1985. 164 с.
37. Гилой В. Интерактивная машинная графика. Структура данных, алгоритмы, языки / Гилой В. М.: Мир, 1981. 380 с.
38. Глаголев Н.А. Проективная геометрия / Глаголев Н.А. М.: Высшая школа, 1963. 344 с.
39. Горохов Е.В. Проектирование пространственных стационарных металлических покрытий над трибунами реконструируемых стадионов / Горохов Е.В., Мущанов В.Ф., Балюба И.Г. // Сб. научных трудов семинара III Всеукраинского конгресса Современные проблемы проектирования, строительства и эксплуатации сооружений на путях сообщения”. К., 2000. С. 29-33.
40. Горягин Б.Ф. Поверхность торса в точечном описании / Б.Ф. Горягин, А.Н. Клен // Труды Таврической государственной агротехнической академии. Мелитополь: ТГАТА, 1999. Вып. 4: Прикладная геометрия и инженерная графика. Т. 8. С. 35-40.
41. Горягин Б.Ф. Определение расчетных узлов дуги арки / Горягин Б.Ф., Клен А.Н., Муратова А.В. // Вестник ДГАСА. Макеевка: ДГАСА, 1998. Вып. 4: Строительные конструкции. Здания и сооружения. Т. 12. С. 147-149.
42. Горягин Б.Ф. Построение кривых 2-го и 3-го порядка на ПЭВМ / Горягин Б.Ф., Клен А.Н., Муратова А.В.// Вестник ДГАСА. Макеевка: ДГАСА, 1998. Вып. 3: Строительные конструкции. Здания и сооружения. Т. 11. С. 91.
43. Григоренко Я.М. Решение задач теории оболочек на ЭВМ / Я.М. Григоренко, А.П. Мукоед. К.: Вища школа, 1979. 279 с.
44. Гунст И.А. О перекрытии Большой спортивной арены Центрального стадиона в Лужниках / Гунст И.А. // Пространственные конструкции зданий и сооружений. М., Белгород: Изд. БелГТАСМ, 1996. Вып.8. С. 193-202.
45. Давиденко І.П. Аналог визначеного інтеграла у точковому численні / Давиденко І.П. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2001. Вип. 4: Прикладна геометрія та інженерна графіка. Т. 13. С. 115-117.
46. Давиденко І.П. Дуга обводу третього порядку / Давиденко І.П. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2003. Вип. 4: Прикладна геометрія та інженерна графіка. Т. 20. С. 95-97.
47. Давиденко І.П. Точкове задання кривої другого порядку по п’ятьох точках / Давиденко І.П. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2003. Вип. 4: Прикладна геометрія та інженерна графіка. Т. 22. С. 128-132.
48. Давиденко І.П. Точкове задання поверхонь оболонок на різноманітних планах / Давиденко І.П. // Зб. матеріалів Міжнародної українсько-російської науково-практичної конференції Сучасні проблеми геометричного моделювання”. Харків: Харківський державний університет харчування та торгівлі, 2005. С. 107-113.
49. Давиденко І.П. Точкове задання кривих другого порядку у різноманітній параметризації / Давиденко І.П. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2006. Вип. 4: Прикладна геометрія та інженерна графіка. Т. 31. С. 128-132.
50. Давиденко І.П. Апроксимація границь стадіону еліпсом / І.П. Давиденко, Г.В. Зубенко // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2001. Вип. 4: Прикладна геометрія та інженерна графіка. Т. 14. С. 78-82.
51. Даниловская Н.А. Геометрическое конструирование ребристых сводов-оболочек / Даниловская Н.А. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.:Будівельник, 1985. Вып. 39. С. 86-89.
52. Даниловская Н.А.Дискретное моделирование поверхностей сводов-оболочек: дис. канд. техн. наук: 05.01.01 / Н.А. Даниловская. К., 1986. 137 с.
53. Дарков А.В. Строительная механика / А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. М.: Высшая школа, 1986. 607 с.
54. Дехтярь А.С. К вопросу оптимизации меридианов оболочек вращения с выделением из множеств плоских кривых / Дехтярь А.С., Чижов В.А., Узаков Х.У. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1973. Вып. 17. С. 35-39.
55. Дыховичный Ю.А. Пространственные составные конструкции / Ю.А. Дыховичный, Э.З. Жуковский. М.: Высшая школа, 1989. 287 с.
56. Дыховичный Ю.А. Современные пространственные конструкции (железобетон, металл, дерево, пластмассы). Справочник / Дыховичный Ю.А., Жуковский Э.З., Ермолов В.В. М.: Высшая школа, 1991. 543 с.
57. Жуковский Э.З. Оболочки двоякой кривизны в гражданском строительстве Москвы / Э.З. Жуковский, В.Ф. Шабля. М.: Стройиздат, 1980. 112 с.
58. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей / Иванов Г.С. М.: Машиностроение, 1987. 188 с.
59. Иванов Г.С. Прямая и обратная задачи моделирования поверхности / Иванов Г.С. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1990. Вып. 5. С. 9-13.
60. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. Ч. І М.-Л.: ОГИЗ, 1947. 512 с.
61. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. Ч. ІІ М.-Л.: ОГИЗ, 1948. 407 с.
62. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.
63. Кан С.Н. Строительная механика оболочек / Кан С.Н. М.: Машиностроение, 1966. 508 с.
64. Кардашевская Ю.Г. Прикладные вопросы изгибания торсовых поверхностей / Кардашевская Ю.Г. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1965. Вып. 3. С. 96-103.
65. Каченюк А.Н. Проектирование плоскими кривыми и использование его аппарата для конструирования поверхностей оболочек: автореф. дис. на соискание науч. степени канд. техн. наук: 05.01.01 / А.Н. Каченюк.К., 1967.11 с.
66. Клейн Ф. Высшая геометрия / Клейн Ф. М.: ГОНТИ, 1939. 399 с.
67. Климухин А.Г. Начертательная геометрия. М.: Стройиздат, 1978. 335 с.
68. Ковалев С.Н. Формирование дискретных моделей поверхностей пространственных архитектурных конструкций: автореф. дис. на соискание науч. степени доктора техн. наук: 05.01.01 / С.Н. Ковалев. М., 1986. 32 с.
69. Ковалев С.Н. Оптимизация геометрических параметров стержневых конструкций / С.Н. Ковалев, М.М. Абдуралимов // Прикладна геометрія та інженерна графіка. К.: КДТУБА, 1994. Вип. 57. С. 42-44.
70. Котов И.И. Алгоритмы машинной графики / Котов И.И., Полозов В.С., Широков Л.В. М.: Машиностроение, 1977. 231 с.
71. Куценко Л.Н., Маркин Л.В. Формы и формулы. М.: МАИ, 1994. 176 с.
72. Малютина Т.П. Определение касательной к кривой // Труды Таврической государственной агротехнической академии. Мелитополь: ТГАТА, 1997. Вып. 4: Прикладная геометрия и инженерная графика. Т. 1. С. 92-94.
73. Малютина Т.П. Интерпретация вычислительной геометрии плоских фигур в точечном исчислении: дис. канд. техн. наук: 05.01.01 / Т.П. Малютина. Макеевка, 1998. 161 с.
74. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн. 1. Пер. с франц./ Шенен П., Коснар М., Гардан И. и др. М.: Мир, 1988. 204 с.
75. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн. 2. Пер. с франц./ Жермен-Лакур П., Жорж П., Пистр Ф., Безье П. М.: Мир, 1989. 264 с.
76. Михайленко В.Е. Конструирование форм современных архитектурных сооружений / В.Е. Михайленко, С.Н. Ковалев. К.: Будівельник, 1978. 112 с.
77. Михайленко В.Е. Формообразование оболочек в архитектуре / Михайленко В.Е., Обухова В.С., Подгорный А.Л. К.: Будівельник, 1972. 205 с.
78. Михайленко В.Е. Формообразование большепролётных покрытий в архитектуре / Михайленко В.Е., Сазонов К.А., Ковалёв С.Н. К.: Вища школа, 1987. 191 с.
79. Моденов П.С. Аналитическая геометрия / Моденов П.С. М.: Издательство Московского университета, 1969. С. 230-242.
80. Мущанов В.Ф. Избранные методы строительной механики в расчетах пространственных конструкций / Мущанов В.Ф., Кулябко В.В., Левин В.М. Макеевка: ДонНАСА, 2006. 292 с.
81. Надолинный В.А. Аналитические методы в конструировании поверхностей: Учебное пособие / Надолинный В.А. К.: КПИ, 1981. 43 с.
82. Найдиш А.В. Геометричне моделювання дискретних точкових множин на основі перенесення до простору параметрів: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня доктора техн. наук: 05.01.01 / А.В. Найдиш. К., 1998. 44 с.
83. Найдыш В.М. Методы и алгоритмы формирования поверхностей и обводов по заданным дифференциально-геометрическим условиям: автореф. дис. на соискание науч. степени доктора техн. наук: 05.01.01 / В.М. Найдыш. М., 1983. 33 с.
84. Найдыш В.М. Теоретические основы дискретного геометрического моделирования / Найдыш В.М. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1995. Вып. 58. С. 26-29.
85. Норден А.П. Теория поверхностей / Норден А.П. М.: ГИТТЛ, 1956. 259 с.
86. Обухова В.С. Синтетические методы конструирования алгебраических поверхностей высших порядков / Обухова В.С. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1971. Вып. 12. С. 16 - 21.
87. Обухова В.С. Теоретические основы конструирования технических форм из алгебраических поверхностей / Обухова В.С. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1990. Вып. 50. С. 42 - 47.
88. Осипов В.А. Машинные методы проектирования непрерывно-каркасных поверхностей / Осипов В.А. М.: Машиностроение, 1979. 248 с.
89. Павлов А.В. Графоаналитические способы конструирования поверхностей сложной формы: автореф. дис. на соискание науч. степени доктора техн. наук: 05.01.01 / А.В. Павлов. М., 1967. 26 с.
90. Павлов А.В., Грибов С.Н., Ванин В.В. Параметризация линейных обводов и примеры ее применения в конструировании поверхностей // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: КИСИ, 1993. Вып. 55. С. 10-14.
91. Подгорный А.Л. Конструирование поверхностей оболочек по заданным условиям на основе выделения их из конгруэнции прямых // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1969. Вып. 8. С. 17-28.
92. Подгорный А.Л. Множества кривых второго порядка и конструирование из них поверхностей / Подгорный А.Л. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1969. Вып. 9. С. 38-51.
93. Подгорный А.Л. О связи архитектурного и геометрического формообразования поверхностей оболочек / Подгорный А.Л. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1972. Вып. 14. С. 38-41.
94. Подгорный А.Л. Геометрическое моделирование пространственных конструкций: автореф. дис. на соискание науч. степени доктора техн. наук: 05.01.01 / А.Л. Подгорный. М., 1975. 32 с
95. Подгорный А.Л. Симметрия как условие формообразования оболочек в архитектуре / Подгорный А.Л. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1976. Вып. 21. С. 15-19.
96. Подгорный А.Л. Методика геометрического вариантного моделирования форм архитектурных оболочек / Подгорный А.Л. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1976. Вып. 22. С. 18-23.
97. Подкорытов А.Н. Компьютерная модель сопряженных криволинейных поверхностей / Подкорытов А.Н. // Труды Таврической государственной агротехнической академии. Мелитополь: ТГАТА, 1999. Вып. 4: Прикладная геометрия и инженерная графика. Т. 5. С. 29-32.
98. Половинин А.И. Алгоритмы оптимизации проектных решений / Половинин А.И., Грудачев В.Г., Меркурьев В.В. М.: Энергия, 1976. 264 с.
99. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии / Рашевский П.К. М.: ГИТТЛ, 1965. 420 с.
100. Рыжов Н.Н. Каркасная теория задания и конструирования поверхностей / Рыжов Н.Н. // Труды Университета дружбы народов им. П. Лумумбы. М.: Математика, 1967. Вып. 3: Прикладная геометрия. Т. 26. С. 3-17.
101. Рыжов Н.Н. Параметризация поверхностей / Рыжов Н.Н. // Труды Университета дружбы народов им. П. Лумумбы. М.: Математика, 1967. Вып. 3: Прикладная геометрия. Т. 26. С. 18-22.
102. Рыжов Н.Н. Геометрические условия как параметры / Рыжов Н.Н., Герман И.П., Якубовский А.М. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1968. Вып. 6. С. 7-12.
103. Рыжов Н.Н. Алгоритм перехода от конструктивно-кинематического задания поверхности к аналитическому / Рыжов Н.Н. // Труды Университета дружбы народов им. П. Лумумбы. М.: Математика, 1971. Вып. 4: Прикладная геометрия. Т. 33. С. 17-25.
104. Рыжов Н.Н. Алгоритмизация ввода уравнений линейчатых поверхностей с учетом наперед заданных условий / Рыжов Н.Н. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1972. Вып. 14. С. 3-8.
105. Рыжов Н.Н. К вопросу конструирования торсов по наперед заданным условиям / Н.Н. Рыжов, Р.У. Алимов // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1979. Вып. 27. С. 15-17.
106. Савелов А.А. Плоские кривые / Савелов А.А. М.: ГИФМЛ, 1960. 291 с.
107. Скидан И.А. Графо-аналитический способ конструирования составных гладких оболочек поверхностей / Скидан И.А. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1969. Вып. 9. С. 64-70.
108. Скидан И.А. Геометрическое моделирование кинематических поверхностей в специальных координатах: автореф. дис. на соискание науч. степени доктора техн. наук: 05.01.01 / И.А. Скидан. М., 1989. 36 с.
109. Скидан И.А. Аналитическая теория формообразования оболочек / Скидан И.А. // Тезисы докладов Международной научной конференции Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных, строительных и машиностроительных конструкций сложной формы”. М.: РУДН, 2001. С. 185-186.
110. Скидан И.А. Пути согласования конструктивных, аналитических и компьютерных моделей поверхностей / Скидан И.А., Коломиец Е.А., Зверева С.А. // Тезисы Международной научно-практической конференции Современные проблемы геометрического моделирования”. Донецк: ДонГТУ, 2000. С. 244-245.
111. Смирнов В.А. Строительная механика / Смирнов В.А., Иванов С.А., Тихонов М.А. М.: Стройиздат, 1984. 208 с.
112. Смогоржевский А.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка / А.С. Смогоржевский, Е.С. Столова. М.: ФМГ, 1961. 409 с.
113. Узаков Х.У. К вопросу аналитического и численного описания форм архитектурных оболочек / Узаков Х.У. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1974. Вып. 18. С. 46-50.
114. Уокер Р. Алгебраические кривые / Уокер Р.; пер. с англ. А.И. Узкова. М.: Иностранная литература, 1952. 236 с.
115. Фиников С.П. Дифференциальная геометрия / Фиников С.П. М.: ГУПИ, 1936. 216 с.
116. Фролов О.В. Віднесення поверхонь до ліній кривини стосовно проектування оболонок: дис. канд. техн. наук: 05.01.01 / О.В. Фролов. - Донецьк, 2005. - 179 с.
117. Четверухин Н.Ф. Введение в высшую геометрию / Четверухин Н.Ф. М.: ГУПИ, 1934. С. 10-24.
118. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия / Четверухин Н.Ф. М.: ГУПИМП, 1961. С. 158-162.
119. Шеин В.Т. К вопросу формообразования линий и поверхностей / Шеин В.Т. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: Будівельник, 1967. Вып. 5. С. 163-169.
120. Шуп Т.Е. Решение инженерных задач на ЭВМ / Шуп Т.Е. М.: Мир, 1982. 235 с.
121. Яглом И.М. Идеи и методы аффинной и проективной геометрии / И.М. Яглом, В.Г. Ашкинузе. Ч.1. М.: ГУПИМП, 1962. 247 с.
122. Beeker E. Smoothing of shapes designed with free-form surfaces, CAD, 1986.
123. Cea J. Optimisation: Theorie et Algorithmes, Methodes Mathematiques pour l`Informatique, Paris, 1971.
124. Coons S.A. Surfaces for computer aided design of space form, M.I.T., 1967.
125. David A., Ted R. Reebok stadium, Bolton, UK. Structural Engineering International August 1999 SEI Volume 9, Number 3 pp. 193-195.
126. David K. Madejski Stadium, Reading, UK”, J. of Structural Engineering International, 3/99 pр. 191-193.
127. Derec W. Alfred McAlpine Stadium, Huddersfield, UK”, J. of Structural Engineering I