Горбань Наталiя Володимирiвна ТРАЄКТОРНI ТА ГЛОБАЛЬНI АТРАКТОРИ КЛАСIВ КВАЗIЛIНIЙНИХ НЕОДНОЗНАЧНО РОЗВ’ЯЗНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ СИСТЕМ : Горбань Наталья Владимировна ТРАЕКТОРНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ АТРАКТОРЫ КЛАССОВ КВАЗИЛИНИОННЫХ НЕОДНОЗНАЧНО РАЗРЕШИТЕЛЬНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ СИСТЕМ Gorban Natalia Volodymyrivna TRAJECTORS AND GLOBAL ATTRACTORS OF CLASSES OF QUASILINE UNCERTAINLY SOLUBLE EVOLUTIONARY SYSTEMS

Короткий опис

Мiнiстерство освiти i науки України Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка На правах рукопису Горбань Наталiя Володимирiвна УДК 517.9 ТРАЄКТОРНI ТА ГЛОБАЛЬНI АТРАКТОРИ КЛАСIВ КВАЗIЛIНIЙНИХ НЕОДНОЗНАЧНО РОЗВ’ЯЗНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ СИСТЕМ 01.01.02 — диференцiальнi рiвняння Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук Науковий керiвник: Станжицький Олександр Миколайович, доктор фiзико-математичних наук, професор, лауреат Державної премiї України в галузi науки i технiки Київ2016 2 ЗМIСТ ВСТУП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. ОГЛЯД ЛIТЕРАТУРИ ТА МЕТОДИКА ДИСЕРТАЦIЙНИХ ДОСЛIДЖЕНЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. РIВНОМIРНИЙ ТРАЄКТОРНИЙ АТРАКТОР ДЛЯ НЕАВТОНОМНИХ РIВНЯННЬ РЕАКЦIЇ-ДИФУЗIЇ З НЕЛIНIЙНIСТЮ ТИПУ КАРАТЕОДОРI . . . . . . . . . . . . . 21 2.1. Постановка задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Допомiжнi результати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3. Основнi результати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4. Доведення теорем 2.1 та 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5. Приклад . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.6. Висновки до роздiлу 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3. ТРАЄКТОРНИЙ ТА ГЛОБАЛЬНИЙ АТРАКТОРИ ДЛЯ АВТОНОМНОГО РIВНЯННЯ РЕАКЦIЇ-ДИФУЗIЇ В R N З БАГАТОЗНАЧНОЮ НЕЛIНIЙНIСТЮ . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1. Постановка задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2. Допомiжнi результати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3. Основнi результати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4. Функцiя Ляпунова для рiвняння реакцiї-дифузiї в обмеженiй областi з функцiєю взаємодiї субградiєнтного типу . . 92 3.5. Застосування . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.6. Висновки до роздiлу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3 4. ТРАЄКТОРНИЙ ТА ГЛОБАЛЬНИЙ АТРАКТОРИ ДЛЯ АВТОНОМНОГО ХВИЛЬОВОГО РIВНЯННЯ В R N З НЕЛIНIЙНIСТЮ ТИПУ КАРАТЕОДОРI . . . . . . . . . . . . . 105 4.1. Постановка задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.2. Iснування та властивостi розв’язкiв . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.3. Глобальнi та траєкторнi атрактори квазiлiнiйного хвильового рiвняння з дисипацiєю в необмеженiй областi . . . . . 114 4.4. Висновки до роздiлу 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 ВИСНОВКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ . . . . . . . . . . . . . . . 120 4 ВСТУП Актуальнiсть теми Якiсний аналiз процесiв, що вiдбуваються в складних дисипативних еволюцiйних системах, є актуальним та важливим напрямом дослiджень протягом останнiх рокiв. Ефективнiсть дослiдження поведiнки таких процесiв значною мiрою залежить вiд вибору вiдповiдної математичної моделi, робастнiсть якої забезпечується послабленням умов на визначальнi параметри задач, вiдмовi вiд жорстких, не властивих дослiджуваному об’єкту обмежень, зокрема пов’язаних з гладкiстю, лiнiйнiстю або монотоннiстю вихiдних функцiй взаємодiї. Це, з одного боку, дає можливiсть iстотно покращити адекватнiсть моделювання, однак, з iншого боку, ускладнюється модель: втрачаються умови єдиностi розв’язкiв вiдповiдних задач Кошi. Це унеможливлює використання класичної теорiї операторних напiвгруп для вивчення таких задач. Таким чином, актуальною задачею є розробка нових та узагальнення iснуючих методiв якiсного дослiдження еволюцiйних систем з функцiями взаємодiї, яким властивi нелiнiйнiсть, розривнiсть або багатозначнiсть. Такi дослiдження пов’язанi з поняттями глобального (О.А. Ладиженська, Дж. Хейл) або траєкторного (Дж. Сел, М.Й. Вишик) атракторiв. Теорiя глобальних атракторiв дисипативних нескiнченновимiрних систем була розвинена в роботах О.А. Ладиженської, Дж. Хейла, М.Й. Вишика, А.В. Бабiна, Р. Темама, Ч. Фояша, В.К. Калантарова, I.Д. Чуєшова, С. Зелiка, А. Мiранвiля, В. Ванга, Р. Роса, М. Ефендiєва, I. Тiтi, А.А. Iл’їна та застосована до широкого класу автономних глобально однозначно розв’язних еволюцiйних систем. Важливi узагальнення були одержанi для неавтономних (А. Аро, В.В. Чепижов) та випадкових (Х. Крауел, Ф. Фландолi) динамiчних систем. У випадку, коли умови на параметри задачi не гарантують єдиностi розв’язку вiдповiдної задачi Кошi, теорiя глобальних атракторiв багатозначних напiвгруп (багатозначних напiвпотокiв) була розроблена в роботах В.С. Мельника, Х. Валеро, Дж. Бола, теорiя траєкторних атракторiв в роботах Дж. Села, М.Й. Вишика, В.В. Чепижова. На сьогоднiшнiй день в роботах вищевказаних вчених, а також в роботах Д. Нормана, С. Зелiка, Д.Н. Чебана, 5 П. Клоедена, Т. Карабалло, О.В. Капустяна, Ф. Морiлласа, П.О. Касьянова, А. Ческiдова, А. Карвальо, Х. Реала були дослiдженi питання щодо iснування та основних топологiчних та структурних властивостей глобальних та траєкторних атракторiв для широких класiв еволюцiйних систем без єдиностi. Проте деякi важливi задачi залишалися нерозв’язаними. Серед них неавтономнi системи з нетрансляцiйно компактними коефiцiєнтами, а також еволюцiйнi рiвняння з негладкими та розривними функцiями взаємодiї в необмежених областях. Саме дослiдженню цих актуальних питань i присвячена дисертацiйна робота. Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами Дисертацiя виконана на кафедрi загальної математики механiко-математичного факультету Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка. Дисертацiйнi дослiдження проводилися в рамках держбюджетної науководослiдної теми № 11БФ038-01 "Розроблення нових математичних методiв моделювання, аналiзу та побудова керувань для нелiнiйних еволюцiйних систем зi складною динамiкою"(науковий керiвник М.О. Перестюк, номер державної реєстрацiї 011U006677); та в рамках держбюджетної науково-дослiдної теми №2252-ф «Розробка методiв i алгоритмiв аналiзу та оптимального керування нелiнiйними сингулярними системами» (керiвники: В.С. Мельник , О.С. Макаренко, номер державної реєстрацiї 0107U0025399). Мета i задачi дослiдження Мета роботи полягає у вивченнi якiсної поведiнки розв’язкiв класiв квазiлiнiйних еволюцiйних систем за умов, що не гарантують єдиностi розв’язку вiдповiдної задачi Кошi, методами теорiї глобальних та траєкторних атракторiв. Об’єкт ослiджень квазiлiнiйнi диференцiальнi рiвняння з частинними похiдними з негладкими, розривними та багатозначними функцiями взаємодiї. Предмет дослiджень глобальнi та траєкторнi атрактори багатозначних напiвпотокiв, породжених розв’язками квазiлiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними з негладкими, розривними та багатозначними функцiями взаємодiї. Методи дослiджень В роботi використано методи нелiнiйного та багатозначного аналiзу (Ж.- П. Обен, Х. Франковська, В.С. Мельник), теорiї нелiнiйних еволюцiйних рiв- 6 нянь та включень (П.-Л. Лiонс, В. Барбу, А.А. Толстоногов), теорiї глобальних та траєкторних атракторiв нескiнченновимiрних динамiчних систем (О.А. Ладиженська, Дж. Хейл, М.Й Вишик, В.С. Мельник, Дж. Бол). Наукова новизна одержаних результатiв Основнi науковi результати, що визначають наукову новизну та виносяться на захист, є такi: — для неавтономної системи реакцiї-дифузiї з нелiнiйнiстю типу Каратеодорi, коефiцiєнти якої мажоруються трансляцiйно iнтегровними функцiями, доведено iснування рiвномiрного траєкторного атрактора в топологiї простору C loc(R+; L2(Ω)); — для неавтономної системи реакцiї-дифузiї з трансляцiйно компактною нелiнiйнiстю типу Каратеодорi доведено iснування рiвномiрного траєкторного атрактора в найсильнiшiй топологiї простору Wloc(R+); — для автономного рiвняння реакцiї-дифузiї в R N з напiвнеперервною зверху багатозначною функцiєю взаємодiї в класi всiх слабких розв’язкiв доведено iснування глобального та траєкторного атракторiв, дослiджено їх властивостi та взаємозв’язок; — для автономного параболiчного включення в обмеженiй областi з функцiєю взаємодiї субградiєнтного типу знайдено функцiю Ляпунова, дослiджено характер притягнення до глобального та траєкторного атракторiв та з’ясована їх структура; — для автономного хвильового рiвняння в R N з нелiнiйнiстю типу Каратеодорi в класi всiх слабких розв’язкiв доведено iснування глобального та траєкторного атракторiв, дослiджено їх властивостi та взаємозв’язок. Практичне значення одержаних результатiв Робота має теоретичний характер. Її результати суттєво доповнюють та узагальнюють математичний апарат дослiдження якiсної поведiнки розв’язкiв класiв автономних та неавтономних еволюцiйних задач в обмежених та необмежених областях у випадках, коли умови на параметри задачi не гарантують єдиностi розв’язку вiдповiдної задачi Кошi, та можуть бути використанi при математичному моделюваннi складних еволюцiйних процесiв з негладкими або розривними функцiями взаємодiї. 7 Особистий внесок здобувача. Всi результати, що виносяться на захист, одержано автором особисто. В статтях, написаних в спiвавторствi, автору дисертацiї належить: в статтi [61] леми 1,2; теореми 14; в статтi [121] теореми 14.2, 14.3, 14.4; в статтi [122] теорема 1.1; в статтi [174] леми 2.1, 3.1 та 3.2, теореми 3.1, 3.2; в статтi [127] теореми 3.1, 3.3, 4.1, 4.2, приклад 5.1. Статтi [15,18] написанi без спiвавторiв. Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiї доповiдалися на: — Київському семiнарi з функцiонального аналiзу Iнституту математики НАН України (2015р.); — науковому семiнарi кафедри iнтегральних та диференцiальних рiвнянь Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка (2015 р.); — науковому семiнарi кафедри математичної фiзики фiзико-математичного факультету НТУУ «КПI»(2015 р.); — науковому семiнарi кафедри загальної математики Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка (2009 2015 рр.); — науковому семiнарi науково-дослiдної лабораторiї нелiнiйного аналiзу диференцiально-операторних систем ННК IПСА” НТУУ КПI” (2009 2015 рр.); — спiльному науковому семiнарi ННК «IПСА» НТУУ «КПI» та механiкоматематичного факультету МДУ iменi М.В. Ломоносова (2012р., 2014 р.); на конференцiях: — Дванадцята мiжнародна наукова конференцiя iменi академiка М.Кравчука, Київ, 15-17 травня 2008р.; — Мiжнародна наукова конференцiя Боголюбовськi читання Диференцiальнi рiвняння, теорiя функцiй та їх застосування”, Мелiтополь, 16-21 червня 2008р.; — Мiжнародна наукова конференцiя пам’ятi член-кореспондента НАН України В.С.Мельника Нелiнiйний аналiз та застосування”, Kиїв, 02-04 квiтня 2009р.; — Друга мiжнародна наукова конференцiя пам’ятi член-кореспондента НАН України В.С.Мельника Нелiнiйний аналiз та застосування”, Kиїв, 04-06 квiтня 2012р.; — П’ятнадцята мiжнародна науково-технiчна конференцiя Системний аналiз 8 та iнформацiйнi технологiї САIТ 2013”, Київ, 27-31 травня 2013р.; — Кримська мiжнародна математична конференцiя КММК-2013”, Судак, 22 вересня 4 жовтня 2013р.; — Шiстнадцята мiжнародна науково-технiчна конференцiя Системний аналiз та iнформацiйнi технологiї САIТ 2014”, Київ, 26-30 травня 2014р. Публiкацiї Основнi результати дисертацiї опублiковано в 7 наукових статтях [15,18,61, 121,122,127,174], з яких статтi [15,18,61,174] в фахових наукових українських виданнях та статтi [121, 122, 127] в закордонних фахових наукових виданнях, що входять до основних наукометричних баз, зокрема Scopus, Web of Science, SpringerLink; та 7 тезах мiжнародних наукових конференцiй [14, 16, 17, 62, 123 125]. Структура та обсяг дисертацiї. Дисертацiйна робота складається зi вступу, чотирьох роздiлiв, загальних висновкiв i списку використаних джерел, що мiстить 194 найменування. Загальний обсяг роботи складає 140 сторiнок друкованого тексту

Список літератури

ВИСНОВКИ Дана робота присвячена дослiдженню якiсної поведiнки розв’язкiв класiв квазiлiнiйних еволюцiйних задач в обмежених та необмежених областях за умов, що не гарантують єдиностi розв’язкiв вiдповiдних задач Кошi, методами теорiї глобальних та траєкторних атракторiв нескiнченновимiрних динамiчних систем. Перший роздiл мiстить огляд лiтератури, що стосується вивчення нелiнiйної динамiки широких класiв еволюцiйних задач, в роздiлi проведено грунтовний аналiз iдей, методiв та пiдходiв до дослiдження даної проблематики, зокрема з точки зору теорiї глобальних та траєкторних атракторiв нескiнченновимiрних динамiчних систем. В другому роздiлi розглянуто задачу якiсного дослiдження всiх глобально визначених слабких розв’язкiв неавтономної системи реакцiї-дифузiї з нелiнiйнiстю типу Каратеодорi за виконання стандартних припущень не бiльш, нiж полiномiального росту, та знакової умови. Основнi результати роздiлу такi. У випадку, коли коефiцiєнти дослiджуваної системи мажоруються трансляцiйно iнтегровними функцiями, встановлено новi топологiчнi властивостi слабких розв’язкiв задачi (теорема 2.3), на основi яких доведено iснування рiвномiрного траєкторного атрактора для всiх глобально визначених слабких розв’язкiв задачi в топологiї простору C loc(R+; L2(Ω)) (теорема 2.1). Для випадку трансляцiйно компактної нелiнiйностi типу Каратеодорi, отримано топологiчнi властивостi слабких розв’язкiв задачi в просторi Wloc(R+) (теорема 2.4) та доведено iснування рiвномiрного траєкторного атрактора в найсильнiшiй топологiї простору Wloc(R+); В частинi 2.5 представлено приклад, що вказує на суттєвiсть поставлених припущень для доведення iснування рiвномiрного траєкторного атрактора в найсильнiшiй топологiї простору Wloc(R+). Результати роздiлу були опублiкованi в роботi [127] та тезах доповiдей [17]. Третiй роздiл присвячено вивченню якiсної поведiнки автономного включення типу реакцiї-дифузiї в необмеженiй областi. Поставлена задача розглядається за виконання таких припущень: знакова умова, умова росту та напiвне- 119 перервнiсть зверху багатозначної функцiї взаємодiї. В ходi роботи були одержанi апрiорнi оцiнки слабких розв’язкiв задачi (леми 3.2 та 3.3), встановлено теорему про iснування принаймнi одного слабкого розв’язку (теорема 3.1), отримано результати щодо їх регулярностi (теорема 3.2). На слабких розв’язках задачi було побудовано багатозначний напiвпотiк. Були доведенi теореми iснування глобального (теорема 3.3) та траєкторного (теорема 3.4) атракторiв в природному фазовому та, вiдповiдно, в розширеному фазовому просторах, було встановлено взаємозв’язок мiж ними та простором повних траєкторiй задачi (теорема 3.4), отримано теорему про їх регулярнiсть (теорема 3.5). Для автономного параболiчного включення в обмеженiй областi з функцiєю взаємодiї субградiєнтного типу знайдено функцiю Ляпунова (теорема 3.6), встановлено новi властивостi розв’язкiв (теореми 3.7 та 3.8) та дослiджено структуру атракторiв (теорема 3.9). Розглянуто застосування отриманих теоретичних результатiв до дослiдження конкретних процесiв рiзної природи, що описуються параболiчними рiвняннями з розривною нелiнiйнiстю, зокрема моделi горiння в пористому середовищi, модель провiдностi електричних iмпульсiв в нервовi закiнчення, клiматологiчна модель. Результати роздiлу були опублiкованi в наукових статтях [18, 121, 122, 174] та тезах доповiдей [16, 123, 125]. Четвертий роздiл присвячено дослiдженню якiсної поведiнки розв’язкiв класiв автономних хвильових задач з нелiнiйнiстю типу Каратеодорi в необмеженiй областi. В ходi роботи були отриманi такi результати: одержано апрiорнi оцiнки розв’язкiв (лема 4.1 та наслiдок 4.1), на основi яких встановлено результати щодо iснування принаймнi одного слабкого розв’язку поставленої задачi (лема 4.2) та залежностi розв’язкiв вiд початкових даних (лема 4.3). Це дозволило побудувати на розв’язках дослiджуваної задачi багатозначний напiвпотiк та довести iснування глобального та траєкторного атракторiв (теорема 4.1). Було встановлено також взаємозв’язок мiж глобальним, траєкторним атракторами та простором повних траєкторiй задачi. Отримано, що потраєкторно всi слабкi розв’язки дослiджуваної задачi прямують до стацiонарних положень. Результати роздiлу опублiковано в роботах [15,61] та тезах доповiдей [14,62, 124].