Царегородцев Ярослав Вячеславович Асимптотичні властивості оцінок у лінійній та поліноміальній моделях із похибками в змінних

brief description

Царегородцев Ярослав Вячеславович, асистент кафедри дослідження операцій Київського національ­ного університету імені Тараса Шевченка: «Асимптотичні властивості оцінок у лінійній та поліноміальній моделях із похибками в змінних» (01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика). Спецрада Д 26.001.37 у Київ­ському національному університеті імені Тараса Шевченка

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
Мiнiстерство освiти i науки України
Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
Мiнiстерство освiти i науки України
Квалiфiкацiйна наукова
праця на правах рукопису
Царегородцев Ярослав Вячеславович
УДК 519.21
ДИСЕРТАЦIЯ
Асимптотичнi властивостi оцiнок у лiнiйнiй та
полiномiальнiй моделях iз похибками в змiнних
01.01.05 — теорiя ймовiрностей i математична статистика
Подається на здобуття наукового ступеня
кандидата фiзико-математичних наук
Дисертацiя мiстить результати власних дослiджень. Використання
iдей, результатiв i текстiв iнших авторiв мають посилання на
вiдповiдне джерело
Я. В. Царегородцев
Науковий керiвник
Кукуш Олександр Георгiйович
доктор фiзико-математичних наук, професор
Київ – 2017

ЗМIСТ
СПИСОК ПОЗНАЧЕНЬ 12
ВСТУП 13
Роздiл 1. Огляд лiтератури 42
Роздiл 2. Асимптотично незалежнi оцiнки в скалярних лiнiйних моделях 45
2.1. Випадок, коли вiдоме вiдношення дисперсiй похибок . . . . . . 47
2.1.1. Формули для оцiнок та оцiночна функцiя . . . . . . . . . 47
2.1.2. Консистентнiсть та асимптотична нормальнiсть оцiнок . 49
2.1.3. Асимптотично незалежнi оцiнки . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1.4. Побудова асимптотичної довiрчої областi для (ˆµx, µˆy, βˆ
1)
> 60
2.2. Випадок, коли вiдома дисперсiя похибок у регресорi . . . . . . . 63
Висновки до роздiлу 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Роздiл 3. Полiномiальнi моделi 66
3.1. Побудова оцiнки параметрiв регресiї . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.1. Модель спостережень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.2. Виправлена оцiнка найменших квадратiв . . . . . . . . . 67
3.2. Строга консистентнiсть оцiнки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3. Асимптотична нормальнiсть оцiнки . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4. Чисельне моделювання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Висновки до роздiлу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Роздiл 4. Векторнi лiнiйнi моделi 82
4.1. Консистентнiсть оцiнки повних найменших квадратiв . . . . . . 84
4.2. Асимптотична нормальнiсть оцiнки . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3. Критерiй згоди в гомоскедастичнiй векторнiй моделi . . . . . . 98
11
4.4. Асимптотична нормальнiсть оцiнки поелементно зважених повних найменших квадратiв (EW-TLS-оцiнки) . . . . . . . . . . . 109
4.4.1. EW-TLS-оцiнка та її консистентнiсть . . . . . . . . . . . 110
4.4.2. Оцiночна функцiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4.3. Асимптотична нормальнiсть оцiнки . . . . . . . . . . . . 115
4.4.4. Побудова довiрчої областi для лiнiйного функцiоналу вiд
X0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4.5. Оцiнювання асимптотичної коварiацiйної структури X0 . 120
Висновки до роздiлу 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
ВИСНОВКИ 123
Список використаних джерел 124
ДОДАТОК 131
Список опублiкованих праць . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Апробацiя результатiв дисертацiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12
СПИСОК ПОЗНАЧЕНЬ
d
−→ – збiжнiсть за розподiлом
P1
−→ – збiжнiсть майже напевно
P
−→ – збiжнiсть за ймовiрнiстю
Op(1) – послiдовнiсть стохастично обмежених випадкових величин, векторiв чи матриць
op(1) – послiдовнiсть випадкових величин, векторiв чи матриць, що прямує до нуля за ймовiрнiстю
||C|| =
qP
i,j c
2
ij – норма Фробенiуса матрицi C = (cij )
Ip – одинична матриця розмiру p
E – математичне сподiвання
cov – коварiацiйна матриця випадкового вектора
> – знак транспонування; в роботi всi вектори є векторами-стовпчиками.
ξ
d= η – це означає, що випадковi величини або вектори ξ та η мають
однаковий розподiл
Верхня риска означає усереднення за елементами вибiрки. Наприклад,
для вибiрки a1, b1, a2, b2, . . . , am, bm маємо a =
1
m
X
m
i=1
ai
, ab> =
1
m
X
m
i=1
aib
>
i
A−> – матриця (A−1
)
> = (A>)
−1
, яка визначена для невиродженої квадратної матрицi A
АКМ – асимптотична коварiацiйна матриця векторної оцiнки
Н.о.р. – незалежнi однаково розподiленi випадковi величини або вектори
ОМП – оцiнка максимальної правдоподiбностi
ПЗВЧ – посилений закон великих чисел
ЦГТ – центральна гранична теорема
ALS-оцiнка – виправлена оцiнка найменших квадратiв (оцiнка Adjusted
Least Squares)
EW-TLS-оцiнка – оцiнка поелементно зважених повних найменших квадратiв (оцiнка Elementwise-Weighted Total Least Squares)
TLS-оцiнка – оцiнка повних найменших квадратiв (оцiнка Total Least Squares)
13
ВСТУП
Актуальнiсть теми. Упродовж останнiх десятилiть все бiльшої популярностi набувають моделi регресiї з похибками у змiнних. Вони застосовуються в економетрицi, задачах розпiзнавання образiв, при обробцi бiометричної
iнформацiї тощо.
Активно розвиватися теорiя моделей з похибками вимiрювання почала
з 80-х рокiв XX столiття. Лiнiйна модель регресiї з похибками вимiрювання
детально вивчалась у монографiї W. A. Fuller (1987). Для нелiнiйних моделей
з похибками вимiрювання детальний аналiз теорiї та можливих застосувань
в епiдемiологiї було зроблено у книзi R. J. Carroll et al. (2006).
Лiнiйна скалярна модель регресiї з похибками вимiрювання у гауссiвському випадку є докладно вивченою. Для вiдомого вiдношення дисперсiй похибок асимптотичну коварiацiйну матрицю (AKM) оцiнок параметрiв регресiї
виписав L. J. Gleser (1987), який встановив також асимптотичну ефективнiсть
оцiнок. У випадку вiдомої похибки регресора AKM трiйки оцiнок параметрiв
моделi знайшли C.-L. Cheng та J. W. Van Ness (1999).
C.-L. Cheng та H. Schneeweiss (1998) побудували адаптовану оцiнку найменших квадратiв (adjusted least squares estimator, ALS-оцiнку) параметрiв
регресiї; також C.-L. Cheng et al. (2000) вiдзначили, що ALS-оцiнка є нестiйкою для малих та середнiх вибiрок, i побудували модифiковану ALSоцiнку (MALS-оцiнку), яка краще себе поводить для малих i середнiх вибiрок
та є асимптотично еквiвалентною до ALS-оцiнки. Тому на практицi краще використовувати MALS-оцiнку, особливо коли обсяг вибiрки невеликий.
C.-L. Cheng та A. Kukush (2004) на основi ALS-оцiнки побудували критерiй
згоди для функцiональної полiномiальної моделi з похибками вимiрювання;
оскiльки ALS-оцiнка гарно працює i в структурному випадку, то цей критерiй
можна застосувати також i в структурнiй моделi. P. Hall та Y. Ma (2007)
14
для структурної полiномiальної моделi побудували бiльш потужний критерiй
згоди.
Багатовимiрнi моделi регресiї з похибками вимiрювання вивчалися в монографiї S. Van Huffel та J. Vandewalle (1991), де застосовувався метод повних
найменших квадратiв (TLS-метод) для побудови оцiнок параметрiв регресi.
Також вивчалася поелементно зважена TLS-оцiнка, консистентнiсть якої довели A. Kukush та S. Van Huffel (2004). I. Markovsky та iн. (2006) побудували
чисельний метод для обрахування поелементно зваженої TLS-оцiнки та встановили швидкiсть збiжностi вiдповiдної обчислювальної процедури.
У дисертацiї вивчаються асимптотичнi властивостi оцiнок для рiзних моделей регресiї, зокрема, розглядаються лiнiйна скалярна модель з випадковим регресором, полiномiальна модель з невипадковим регресором та багатовимiрна лiнiйна модель з невипадковим регресором.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у рамках державної бюджетної науково-дослiдної теми
№11БФ038-02 “Еволюцiйнi системи: дослiдження аналiтичних перетворень,
випадкових флуктуацiй та статистичних закономiрностей” (номер державної реєстрацiї 0111U006561) та №16БФ038-02 “Дослiдження та статистичний
аналiз асимптотичної поведiнки складних стохастичних неоднорiдних динамiчних систем” (номер державної реєстрацiї 0116U002530) кафедри теорiї ймовiрностей, статистики та актуарної математики механiко-математичного факультету Київського Нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка, що
входить до комплексного тематичного плану науково-дослiдних робiт “Сучаснi математичнi проблеми природознавства, економiки та фiнансiв”.
Мета i завдання дослiдження. Метою дисертацiйної роботи є вивчення асимптотичних властивостей оцiнок для параметрiв лiнiйних моделей
(скалярних i векторних) та полiномiальних моделей рергесiї з похибками вимiрювання.
Об’єктом дослiдження є оцiнки параметрiв лiнiйної та полiномiальних
регресiй.
15
Предметом дослiдження є асимптотичнi властивостi оцiнок для лiнiйних моделей та полiномiальних моделей рергесiї з похибками вимiрювання.
Методи дослiдження. У роботi використано методи регресiйного i матричного аналiзу.
Наукова новизна одержаних результатiв. Усi результати, отриманi
в дисертацiї, є новими. Основнi з них наступнi:
— доведено асимптотичну незалежнiсть оцiнок параметрiв для лiнiйної
скалярної моделi у випадках, коли вiдоме вiдношення дисперсiй похибок, та у випадку, коли вiдома дисперсiя вiдгуку;
— тримано новi умови строгої консистентностi та асимптотичної нормальностi ALS-оцiнки у полiномiальнiй функцiональнiй моделi з похибками вимiрювання;
— отримано новi умови асимптотичної нормальностi TLS- та EW-TLSоцiнок для багатовимiрної функцiональної моделi з похибками вимiрювання (при цьому похибки необов’язково гауссiвськi);
— на основi TLS-оцiнки в гомоскедастичнiй багатовимiрнiй моделi побудований критерiй згоди та дослiджена потужнiсть критерiю.
Практичне значення одержаних результатiв. Отриманi в роботi
результати роблять значний внесок у теорiю моделей з похибками вимiрювання. Зокрема, результати щодо полiномiальної моделi можна використовувати при аналiзi економетричних моделей; побудований у роботi критерiй згоди
дозволяє перевiряти адекватнiсть моделi спостережень у задачах iдентифiкацiї динамiчних систем, в яких вхiдний i вихiдний сигнал спостерiгаються з
похибками вимiрювання.
Особистий внесок здобувача. Усi результати дисертацiйної роботи
отриманi здобувачем самостiйно. За результатами дисертацiї опублiкувано
п’ять наукових робiт у фахових виданнях. Чотири роботи пiдготовленi у
спiвавторствi з науковим керiвником, професором Кукушем О. Г., якому належать постановка задач, загальне керiвництво роботою та обговорення результатiв, а одна робота опублiкована здобувачем самостiйно.
16
Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiйного дослiдження доповiдалися та обговорювалися на наукових конференцiях та наукових семiнарах, а саме:
1. International conference “Probability, reliability and stochastic optimization” (Kyiv, 2015);
2. International conference “Stochastic Processes in Abstract Spaces” (Kyiv,
2015);
3. Seventeenth International Scientific Mykhailo Kravchuk Conference (Kyiv,
2016);
4. International workshop in honour of prof. V. V. Buldygin “Limit theorems
in probability theory, number theory and mathematical statistics” (Kyiv,
2016);
5. XV International Scientific – Practical Conference of Student, Postgraduates
and Yong Scientists “Shevchenkivska Vesna 2017” (Kyiv, 2017);
6. Eighteenth International Scientific Mykhailo Kravchuk Conference (Kyiv,
2017).
Також матерiали дисертацiйного дослiдження доповiдалися та обговорювалися на наукових семiнарах:
— кафедри математичного аналiзу Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка;
— кафедри теорiї ймовiрностей, статистики та актуарної математики
Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка;
— кафедри математичного аналiзу та теорiї ймовiрностей НТУУ “КПI”;
— кафедри дослiдження операцiй Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка;
— кафедри теоретичної на прикладної статистики Львiвського нацiонального унiверситету iменi Iвана Франка.
Публiкацiї. За результатами дисертацiйної роботи опублiковано 11 наукових робiт. З них
— 5 статей [3], [4], [29], [30], [55] у фахових виданнях; двi з них [29], [30]
17
надруковано в iноземному журналi, який внесено до наукометричної
бази Web of Science, двi [3],[4] – у виданнях України, англомовнi версiї
яких включенi до наукометричної бази Scopus, одну [55] – у фаховому
виданнi України, яке включене до наукометричної бази Scopus;
— 6 тез доповiдей на наукових конференцiях [28],[32],[51]–[54].
Структура та обсяг роботи. Дисертацiя складається з анотацiї,
списку позначень, вступу, 4 роздiлiв, якi мiстять пiдроздiли, висновкiв, списку використаних джерел, який мiстить 58 найменувань та додатку. Повний обсяг роботи – 132 сторiнки, у тому числi 111 сторiнок
основного тексту.
Основний змiст роботи. У вступi обґрунтовано актуальнiсть теми дисертацiї, визначено мету та завдання дослiдження, а також його
об’єкт i предмет, описано методику дослiдження, зазначено можливi
галузi застосування отриманих результатiв, особистий внесок здобувача, апробацiя отриманих результатiв.
У першому роздiлi наводиться огляд лiтератури за темою дисертацiї та стислий опис праць, де дослiджувались проблеми схожi з розглянутими в дисертацiйнiй роботi.
У другому роздiлi розглядається структурна лiнiйна модель регресiї
з похибками вимiрювання:
y = β0 + β1ξ + ε, x = ξ + δ. (1)
Розглядаються незалежнi копiї моделi (1):
yi = β0 + β1ξi + εi
, xi = ξi + δi
, 1 6 i 6 n.
За спостереженнями (yi
, xi), 1 6 i 6 n, оцiнюється вектор
θ := (µx, β0, β1, σ2
δ
, σ2
ξ
)
>
,
18
де µx – математичне сподiвання регресора, σ
2
δ
та σ
2
ξ
– дисперсiї похибки
δ та регресора ξ.
У дисертацiйнiй роботi було запропоновано нову параметризацiю моделi, в якiй замiсть вiльного члена β0 вводиться новий параметр µy –
математичне сподiвання вiдгуку, що дозволило видiлити три групи
асимптотично незалежних оцiнок параметрiв регресiї у випадку заданого вiдношення дисперсiї похибок вимiрювання та двi групи, якщо
задано дисперсiю похибки в регресорi. За нової параметризацiї оцiнюється вектор
τ := (µx, µy, β1, σ2
δ
, σ2
ξ
)
>
.
У першому пiдроздiлi другого роздiлу наводяться умови консистентностi та асимптотичної нормальностi оцiнок параметрiв лiнiйної скалярної регресiї з похибками вимiрювання у випадку, коли вiдоме вiдношення дисперсiй похибок. Дослiджуються оцiнки параметрiв регресiї:
µˆx = ¯x; (2)
βˆ
1 =



syy − λsxx +
q
(syy − λsxx)
2 + 4s
2
xy
2sxy
, якщо sxy 6= 0,
0, якщо sxy = 0,
βˆ
0 = ¯y − βˆ
1x¯; (3)
σˆ
2
δ =
syy − 2βˆ
1sxy + βˆ2
1
sxx
λ + βˆ2
1
;
σˆ
2
ξ = sxx − σˆ
2
δ
.
Тут sxx, syy – зсуненi вибiрковi дисперсiї, sxy – зсунена вибiркова коварiацiя.
Вивчаються асимптотичнi властивостi побудованих оцiнок
τˆ := (ˆµx, µˆy, βˆ
1, σˆ
2
δ
, σˆ
2
ξ
)
>
19
та ˆθ := (ˆµx, βˆ
0, βˆ
1, σˆ
2
δ
, σˆ
2
ξ
)
> без припущення про нормальнiсть базових
випадкових величин моделi.
Для побудови оцiнки τˆ виписується оцiночна вектор-функцiя
s = s(τ ; x, y) з компонентами
s
(µx) = x − µx, s(µy) = y − µy, (4)
s
(β1) = β
2
1
(x − µx)(y − µy) + β1(λ(x − µx)
2 − (y − µy)
2
)−
−λ(x − µx)(y − µy),
s
(σ
2
δ
) = (y − µy)
2 − 2β1(x − µx)(y − µy) + β
2
1
(x − µx)
2 − σ
2
δ
(λ + β
2
1
),
s
(σ
2
ξ
) = (x − µx)
2 − σ
2
δ − σ
2
ξ
. (5)
Оцiнка τˆ задовольняє рiвняння
X
n
i=1
s(ˆτ ; xi
, yi) = 0.
Далi на модель спостереження накладаються наступнi умови.
(i) Випадковi величини ξ, ε, δ є незалежними з додатними дисперсiями
σ
2
ξ
, σ2
ε
, σ2
δ
вiдповiдно, причому
E ε = E δ = 0.
(ii) Вiдомим є число λ = σ
2
ε
/σ2
δ
.
(iii) Випадковi величини ξ, ε, δ мають скiнченнi четвертi моменти.
(iv) Розподiл похибки ε не зосереджений на двох точках.
Дамо означення асимптотичних властивостей оцiнок параметрiв. Розглядається довiльна оцiнка αˆ параметра α.
20
Оцiнка αˆ називається консистентною оцiнкою параметра α, якщо
αˆ
P
−→ α, n → ∞.
Оцiнка αˆ називається строго консистентною оцiнкою параметра α,
якщо
αˆ
P1
−→ α, n → ∞.
Оцiнка αˆ називається асимптотично нормальною, якщо для деякої
матрицi Σ
(α) = Σ(α)
(α) виконується:
√
n(ˆα − α)
d
−→ N

0, Σ
(α)

.
При цьому матриця Σ
(α) називається асимптотичною коварiацiйною
матрицею (АКМ) оцiнки α. ˆ
Теорема 2.1. 1. За умов (i), (ii) оцiнка τˆ строго консистентна.
2. За умов (i) – (iii) оцiнка τˆ асимптотично нормальна.
3. За умов (i) – (iv) АКМ Σ
(τ )
є невиродженою.
Розглядається довiльна консистентна та асимптотично нормальна оцiнка αˆ = (ˆα1, αˆ2)
> параметра α = (α1, α2)
> ∈ R
2
з невиродженою АКМ
Σ
(α) = (sij )
2
i,j=1.
Оцiнки αˆ1 та αˆ2 називаються асимптотично незалежними, якщо
s
(α)
12 = 0, яким би не було iстинне значення параметра α.
Нехай α, ˆ βˆ – консистентнi оцiнки параметрiв α ∈ R
p
та β ∈ R
q
, побудованi за однiєю вибiркою, до того ж
√
n

αˆ − α
βˆ − β
!
d
−→ N(0, Σ
(αβ)
),
причому матриця Σ
(αβ) невироджена.
Оцiнки αˆ та βˆ називаються асимптотично незалежними, якщо будьякий компонент αˆi оцiнки αˆ асимптотично незалежний з будь-яким
21
компонентом βˆ
j оцiнки β. ˆ
Для дослiдження асимптотичної незалежностi оцiнок накладаються
подальшi обмеження на модель спостережень:
(v) E ε
3 = E δ
3 = 0;
(vi) E ε
4 = 3σ
4
ε
, E δ
4 = 3σ
4
δ
;
(vii) E(ξ − µx)
3 = 0.
Теорема 2.2. Нехай виконанi умови (i) – (iv).
1. За умови (v), пара оцiнок (ˆµx, µˆy) асимптотично незалежна вiд
пари (βˆ
1, σˆ
2
δ
).
2. За умов (v), (vii), пара оцiнок (ˆµx, µˆy) асимптотично незалежна
вiд σˆ
2
ξ
.
3. За умови (vi), оцiнки βˆ
1 та σˆ
2
δ
асимптотично незалежнi.
Наслiдок 2.2. Нехай виконанi умови (i) – (vi). Тодi трiйка оцiнок
(ˆµx, βˆ
0, βˆ
1) асимптотично незалежна вiд σˆ
2
δ
.
На основi теореми 2.1 будується асимптотична довiрча область для
(ˆµx, µˆy, βˆ
1)
>.
У другому пiдроздiлi другого роздiлу дослiджується випадок коли
вiдома дисперсiя похибок у регресорi, тобто замiсть умови (ii) вимагається наступне:
(viii) вiдомою є дисперсiя σ
2
δ
.
За спостереженнями (yi
, xi), 1 6 i 6 n, оцiнюється вектор
α := (µx, β0, β1, σ2
ε
, σ2
ξ
)
>
або, за iншої параметризацiї, вектор
υ := (µx, µy, β1, σ2
ε
, σ2
ξ
)
>
.
Для параметрiв µx та µy розглядаються оцiнки (2), (2.11). Виправлена
22
оцiнка найменших квадратiв βˆ
1 задається формулою:
βˆ
1 =



sxy
sxx − σ
2
δ
, якщо sxx 6= σ
2
δ
;
+∞, якщо sxx = σ
2
δ
.
Оцiнка βˆ
0 задається рiвнiстю (3). Далi,
σˆ
2
ε = syy − βˆ
1sxy,
σˆ
2
ξ = sxx − σ
2
δ
.
Оцiнцi υˆ вiдповiдає векторна оцiночна функцiя s
(υ)
(υ; x, y) з компонентами (4), а також
s
(β1) = (x − µx)(y − µy) − β1((x − µx)
2 − σ
2
δ
),
s
(σ
2
ε
) = (y − µy)
2 − β1(x − µx)(y − µy) − σ
2
ε
;
останнiй компонент s
(σ
2
ξ
)
задається рiвнiстю (5). Тодi м.н. при
n > n0(ω) оцiнка υˆ задовольняє рiвняння

bibliography

ВИСНОВКИ
У дисертацiйнiй роботi розглядаються асимптотичнi властивостi оцiнок у
лiнiйнiй та полiномiальнiй моделях з похибками вимiрювань. Вивчено структурну лiнiйну скалярну модель, функцiональну полiномiальну модель та
багатовимiрну функцiональну модель регресiї з похибками у змiнних.
Основними результатами дисертацiйної роботи є наступнi:
— доведено асимптотичну незалежнiсть оцiнок параметрiв лiнiйної скалярної моделi у випадках, коли вiдоме вiдношення дисперсiй похибок,
та у випадку, коли вiдома лише дисперсiя похибок у регресорi;
— отримано новi умови строгої консистентностi та асимптотичної нормальностi ALS-оцiнки у полiномiальнiй функцiональнiй моделi з похибками вимiрювання;
— отримано новi умови асимптотичної нормальностi TLS та EW-TLSоцiнок для багатовимiрної функцiональної моделi з похибками вимiрювання (при цьому похибки необов’язково гауссiвськi);
— на основi TLS-оцiнки в гомоскедастичнiй багатовимiрнiй моделi побудований критерiй згоди та дослiджена потужнiсть критерiю