Остапенко Вiталiй Iванович Оцiнки функцiоналiв вiд гармонiзованих стохастичних процесiв

brief description

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка Мiнiстерство освiти i науки України Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка Мiнiстерство освiти i науки України Квалiфiкацiйна наукова праця на правах рукопису Остапенко Вiталiй Iванович УДК 519.21 ДИСЕРТАЦIЯ Оцiнки функцiоналiв вiд гармонiзованих стохастичних процесiв 01.01.05 Теорiя ймовiрностей i математична статистика 11 Математика та статистика Подається на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук Дисертацiя мiстить результати власних дослiджень. Використання iдей, результатiв i текстiв iнших авторiв мають посилання на вiдповiдне джерело. (пiдпис, iнiцiали та прiзвище здобувача) Науковий керiвник: Моклячук Михайло Павлович, доктор фiзико-математичних наук, професор Київ 2017

ЗМIСТ ВСТУП 12 Роздiл 1. ОГЛЯД ЛIТЕРАТУРИ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЇ 34 Роздiл 2. ОЦIНКИ ФУНКЦIОНАЛIВ ВIД ГАРМОНIЗОВАНИХ ВИПАДКОВИХ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ 39 2.1. Гармонiзованi симетричнi α−стiйкi випадковi послiдовностi . . 39 2.2. Задача екстраполяцiї гармонiзованих випадкових послiдовностей 43 2.2.1. Класичний пiдхiд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2. Спостереження без шуму . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.3. Стацiонарнi послiдовностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.4. Стацiонарнi послiдовностi. Спостереження без шуму. . . 50 2.2.5. Мiнiмаксний пiдхiд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.6. Найменш сприятливi щiльностi в класi D β f × Dε g . . . . . 57 2.2.7. Найменш сприятливi спектральнi щiльностi. Спостереження без шуму . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2.8. Найменш сприятливi спектральнi щiльностi. Стацiонарнi послiдовностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2.9. Найменш сприятливi спектральнi щiльностi. Стацiонарнi послiдовностi. Спостереження без шуму . . . . . . . . 61 2.3. Задача iнтерполяцiї гармонiзованих випадкових послiдовностей. 64 2.3.1. Класичний пiдхiд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.3.2. Мiнiмаксний пiдхiд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.3.3. Найменш сприятливi щiльностi в класi D0 . . . . . . . . . 72 2.3.4. Найменш сприятливi щiльностi в класi Dβ . . . . . . . . 73 2.3.5. Найменш сприятливi щiльностi в класi D− M . . . . . . . . 74 2.4. Задача фiльтрацiї гармонiзованих випадкових послiдовностей . 75 10 2.4.1. Класичний пiдхiд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.4.2. Фiльтрацiя гармонiзованих α-стiйких послiдовностей. α = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.4.3. Мiнiмаксний пiдхiд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.4.4. Найменш сприятливi спектральнi щiльностi в класi D0 f × D0 g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.4.5. Найменш сприятливi спектральнi щiльностi в класi Dv u×D 82 Висновки до роздiлу 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Роздiл 3. ОЦIНКИ ФУНКЦIОНАЛIВ ГАРМОНIЗОВАНИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСIВ 86 3.1. Гармонiзованi симетричнi α−стiйкi випадковi процеси . . . . . . 86 3.2. Задача екстраполяцiї гармонiзованих випадкових процесiв . . . 88 3.2.1. Класичний пiдхiд(Aξ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.2.2. Спостереження без шуму . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.2.3. Стацiонарнi процеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.2.4. Стацiонарнi процеси. Спостереження без шуму . . . . . . 94 3.2.5. Мiнiмаксний пiдхiд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.2.6. Найменш сприятливi спектральнi щiльностi в класi D0 f × D0 g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.2.7. Найменш сприятливi спектральнi щiльностi для класу D1. Спостереження без шуму . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.2.8. Найменш сприятливi спектральнi щiльностi для класу D21 × D12 . Стацiонарнi процеси . . . . . . . . . . . . . . 101 3.2.9. Найменш сприятливi спектральнi щiльностi D β f . Стацiонарнi процеси. Спостереження без шуму . . . . . . . . . . 102 3.3. Задача iнтерполяцiї гармонiзованих випадкових процесiв. . . . . 103 3.3.1. Класичний пiдхiд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.3.2. Спостереження без шуму . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.3.3. Стацiонарний випадок, α = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 106 11 3.3.4. Стацiонарнi процеси, α = 2. Спостереження без шуму . . 108 3.3.5. Мiнiмаксний пiдхiд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.6. Найменш сприятливi спектральнi щiльностi в класi Dv u×D112 3.3.7. Найменш сприятливi спектральнi щiльностi в класi Dβ. Спостереження без шуму . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.3.8. Найменш сприятливi спектральнi щiльностi в класi D0 f × D0 g . Стацiонарнi процеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.3.9. Найменш сприятливi спектральнi щiльностi в класi D21 . Спостереження без шуму . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.4. Задача фiльтрацiї гармонiзованих випадкових процесiв . . . . . 116 3.4.1. Традицiйний пiдхiд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.4.2. Фiльтрацiя гармонiзованих α-стiйких процесiв, α = 2. . . 118 3.4.3. Фiльтрацiя гармонiзованих α-стiйких процесiв. Мiнiмаксний пiдхiд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.4.4. Найменш сприятливi спектральнi щiльностi в класi Dv u× D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.4.5. Найменш сприятливi спектральнi щiльностi в класi D21× D12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Висновки до роздiлу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 ВИСНОВКИ 127 Список використаних джерел 128 ДОДАТОК 140 Список опублiкованих праць . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Апробацiя результатiв дисертацiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 12 ВСТУП Актуальнiсть теми. Останнiм часом зростає iнтерес до дослiджень нестацiонарних випадкових процесiв. Задачi пов’язанi iз оцiнками гармонiзованих α-стiйких випадкових послiдовностей та процесiв розглядали С. Камбанiс [47], М. Масанi [83], С. Раджупут [103], Й. Хосойа [63], А. Верон [115]. Розподiли, що пов’язанi iз стiйкими процесами часто з’являються у рiзноманiтних моделях економiки, бiологiї та теорiї обробки сигналiв [15]. Актуальнiсть гармонiзованих процесiв пов’язана iз можливим застосуванням до теорiї обробки сигналiв [44] та задач системного аналiзу [50]. Класично, задачi оцiнювання невiдомих значень випадкових процесiв базуються на припущеннi, що спектральнi щiльностi процесiв точно вiдомi. Такий пiдхiд можна простежити у роботах A. М. Колмогорова, Н. Вiнера, А. Яглома, С. Камбанiса, Е. Масрi, А. Верона та iн. Також варто вiдзначити мiнiмаксний пiдхiд, що полягає у замiнi припущення про вiдому спектральну щiльнiсть на припущення про вiдомий клас допустимих спектральних щiльностей, що використовується у роботах К. Кассама та Х. Пура, У. Гренандера, М. Моклячука, О. Масютки, I. Голiченко, М. Луза та iн. Вперше такий пiдхiд був запропонований У. Гренандером у 1957 роцi i стосувався пошуку оптимальної оцiнки лiнiйного функцiонала вiд невiдомих значень стацiонарного процесу. Разом iз зростанням кiлькостi прикладних задач оцiнювання невiдомих значень процесiв зростала потреба у розвитку запропонованого методу оцiнювання. Досить детальний огляд робастних методiв обробки сигналiв, розроблених до 1985 року, мiститься в оглядовiй статтi С. А. Кассама та Г. В. Пура. У дисертацiйнiй роботi дослiджуються задачi оптимального лiнiйного оцiнювання функцiоналiв вiд невiдомих значень випадкових гармонiзованих послiдовностей та процесiв. Задачi розв’язано у випадках спектральної визна- 13 ченостi та спектральної невизначеностi, коли спектральнi щiльностi гармонiзованих послiдовностей та процесiв невiдомi, а заданi лише класи допустимих щiльностей. Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiйна робота виконана в рамках державної бюджетної науково-дослiдної теми № 11БФ038-02 Еволюцiйнi системи: дослiдження аналiтичних перетворень, випадкових флуктуацiй та статистичних закономiрностей” (номер державної реєстрацiї 0111U006561) i № 16БФ038-02 «Дослiдження та статистичний аналiз асимптотичної поведiнки складних стохастичних неоднорiдних динамiчних систем» (номер державної реєстрацiї 0116U002530) кафедри теорiї ймовiрностей, статистики та актуарної математики механiкоматематичного факультету Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка, що входить до комплексного тематичного плану науководослiдних робiт Сучаснi математичнi проблеми природознавства, економiки та фiнансiв”. Мета i задачi дослiдження. Метою роботи є розв’язання задач оптимального лiнiйного оцiнювання функцiоналiв вiд невiдомих значень гармонiзованих послiдовностей та процесiв. Дослiджуються задачi екстраполяцiї, iнтерполяцiї та фiльтрацiї гармонiзованих послiдовностей та процесiв. Задачею дослiдження є виведення формул для обчислення похибок та спектральних характеристик оптимальних оцiнок функцiоналiв за умови, що спектральна структура процесiв вiдома, та встановлення спiввiдношень для знаходження найменш сприятливих спектральних щiльностей та мiнiмаксних (робастних) спектральних характеристик оптимальних оцiнок функцiоналiв в умовах спектральної невизначеностi, коли задано лише класи допустимих щiльностей. Об’єктом дослiдження є стохастичнi гармонiзованi послiдовностi та процеси. Предметом дослiдження є задачi оптимального лiнiйного оцiнювання функцiоналiв вiд невiдомих значень гармонiзованих стохастичних послiдов- 14 ностей та процесiв. Методи дослiдження. У роботi використовуються положення спектральної теорiї гармонiзованих послiдовностей та процесiв для знаходження оптимальних оцiнок та значень похибок оцiнок. Спектральнi характеристики оптимальних оцiнок в умовах спектральної визначеностi знаходяться, використовуючи метод проекцiї в L p просторi. В умовах спектральної невизначеностi використовуються методи оптимiзацiї для розв’язання екстремальних задач. Наукова новизна одержаних результатiв. Усi результати, отриманi в дисертацiї, є новими. Основнi з них наступнi: — знайдено оцiнки функцiоналiв для задачi екстраполяцiї гармонiзованих α-стiйких симетричних випадкових процесiв у дискретному та неперервному часi у випадку вiдомої i невiдомої спектральної щiльностi; — знайдено оцiнки функцiоналiв для задачi iнтерполяцiї гармонiзованих α-стiйких симетричних випадкових процесiв у дискретному та неперервному часi у випадку вiдомої i невiдомої спектральної щiльностi; — знайдено оцiнки функцiоналiв для задачi фiльтрацiї гармонiзованих α-стiйких симетричних випадкових процесiв у дискретному та неперервному часi у випадку вiдомої i невiдомої спектральної щiльностi. Практичне значення отриманих результатiв. Роздiл теорiї стохастичних процесiв розширений новими пiдходами та методами розв’язання задач оцiнювання функцiоналiв вiд α-стiйких гармонiзованих випадкових процесiв. Отриманi формули для знаходження похибок та спектральних характеристик оцiнок у задачах iнтерполяцiї, екстраполяцiї, фiльтрацiї функцiоналiв вiд α-стiйких гармонiзованих випадкових процесiв у випадку вiдомої та невiдомої спектральної щiльностi. Були отриманi розв’язки задач iнтерполяцiї, екстраполяцiї, фiльтрацiї для деяких класiв спектральних щiльностей при застосуваннi мiнiмаксного пiдходу. 15 Особистий внесок здобувача. Усi результати дисертацiйної роботи отриманi здобувачем самостiйно. За результатами дисертацiї опублiковано п’ять робiт у фахових виданнях. Всi роботи пiдготованi у спiвавторствi з науковим керiвником, професором Моклячуком М.П. В роботах спiвавтору належать постановка задач, загальне керiвництво роботою та обговорення результатiв. Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiї доповiдались та обговорювалися на: — Третя мiжунiверситетська наукова конференцiя молодих вчених з математики та фiзики, м. Київ, 25-27 квiтня 2013; — Мiжнародна наукова конференцiя студентiв, аспiрантiв та молодих вчених Теоретичнi та прикладнi аспекти кiбернетики”, Київ, 21-24 листопада 2014; — Мiжнародна конференцiя ймовiрнiсть, надiйнiсть та стохастична оптимiзацiя, Київ, 7-10 квiтня 2015; — Мiжнародна конференцiя стохастичнi процеси в абстрактних просторах, Київ, 14-16 жовтня 2015; — засiданнi наукового семiнару кафедри теорiї ймовiрностей, статистики та актуарної математики механiко-математичного факультету Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка (м. Київ, 2016); — Всеукраїнська наукова конференцiя Сучаснi проблеми теорiї ймовiрностей та математичного аналiзу”, Ворохта, 22 - 25 лютого 2017; — XV Мiжнародна конференцiя студентiв, аспiрантiв та молодих вчених «Шевченкiвська весна 2017», Математика, Статистика та Механiка, Прикладна математика та комп’ютернi науки, м.Київ, квiтень 2017; — засiдання наукового семiнару кафедри системного аналiзу та теорiї прийняття рiшень факультету комп’ютерних наук та кiбернетики Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка пiд керiв- 16 ництвом проф. Наконечного О. Г. (м. Київ, 2017); — засiдання наукового семiнару кафедри теоретичної та прикладної статистики механiко-математичного факультету Львiвського нацiонального унiверситету iменi Iвана Франка пiд керiвництвом проф. Єлейка Я. I. (м. Львiв, 2017). Публiкацiї. За результатами дисертацiйної роботи опублiковано: — 5 статей [93] - [95], [32], [33] у фахових виданнях, серед яких 4 статтi [93], [32], [33], [94] у наукових фахових виданнях України, з яких 1 стаття [94] надруковано у журналi, який включено до наукометричної бази Scopus, i 1 стаття [95] у фаховому iноземному виданнi; — 5 тез доповiдей на наукових конференцiях [96] - [98], [34], [36]. Структура та обсяг дисертацiї. Дисертацiя складається з анотацiї, вступу, 3 роздiлiв, якi мiстять пiдроздiли, висновкiв, списку використаних джерел, який мiстить 124 найменувань та додатку. Повний обсяг роботи становить 142 сторiнки, в тому числi 116 сторiнок основного тексту. У вступi обґрунтовано актуальнiсть теми, вказано зв’язок роботи з науковими програмами, темами, планами, встановлено мету, задачi, предмет, об’єкт та методи дослiдження, коротко викладенi основнi результати роботи, вказано наукову новизну, практичне значення отриманих в роботi результатiв та особистий внесок здобувача, наведено список публiкацiй здобувача. У першому роздiлi наводиться огляд лiтератури, пов’язаної з темою дисертацiйної роботи та спорiдненими питаннями, а також коротко аналiзується змiст основних робiт, в яких вивчаються проблеми, що дослiджуються в дисертацiї. У першому пiдроздiлi другого роздiлу наведено означення гармонiзованої стохастичної послiдовностi та викладено основнi питання спектральної теорiї таких послiдовностей. У другому пiдроздiлi другого роздiлу розв’язано задачу оптимального 17 лiнiйного оцiнювання функцiоналiв Aξ = X ∞ j=0 ajξj = Zπ −π A(e iθ)dZξ (θ), A(e iθ) = X ∞ j=0 aje ijθ , що залежить вiд невiдомих значень ξj , j = 0, 1, . . . , гармонiзованої симетричної α-стiйкої випадкової послiдовностi {ξj , j ∈ Z} за спостереженнями послiдовностi {ξk + ηk, k ∈ Z} у точках часу k = −1, −2, . . . . Послiдовностi {ξj , j ∈ Z} та {ηk, k ∈ Z} мають абсолютно неперервнi спектральнi мiри та спектральнi щiльностi f(θ) > 0 та g(θ) > 0, що задовольняють умову мiнiмальностi Zπ −π (f(θ) + g(θ))−1/(α−1)dθ < ∞. (1) Iз iзоморфiзму мiж просторами H(ξ + η) та L α (f + g) маємо, що оптимальна оцiнка Aξˆ функцiоналу Aξ має вигляд Aξˆ = Zπ −π h(θ) dZξ (θ) + dZη (θ)
. (2) Спектральна характеристика h(θ) оцiнки визначається з рiвняння A(e iθ) − h(θ)
<α−1> f(θ) − (h(θ))

bibliography

ВИСНОВКИ У дисертацiйнiй роботi дослiджується задача оптимального оцiнювання лiнiйних функцiоналiв вiд невiдомих значень гармонiзованих послiдовностей та процесiв. Наведено розв’язки задач екстраполяцiї, iнтерполяцiї та фiльтрацiї в умовах спектральної визначеностi та спектральної невизначеностi. У тому випадку, коли вiдомi формули, що задають спектральнi щiльностi процесiв та послiдовностей, знайдено спектральнi характеристики та значення похибок оптимальних оцiнок лiнiйних функцiоналiв. У випадку спектральної невизначеностi, коли щiльностi стохастичних гармонiзованих послiдовностей i процесiв невiдомi, але заданi множини їх допустимих значень, застосовано мiнiмаксний (робастний) метод оцiнювання лiнiйних функцiоналiв та встановлено спiввiдношення, що визначають найменш сприятливi спектральнi щiльностi та мiнiмакснi спектральнi характеристики. У дисертацiї отримано наступнi новi науковi результати: — знайдено оцiнки функцiоналiв для задачi екстраполяцiї α-стiйких гармонiзованих випадкових процесiв у дискретному та неперервному часi у випадку вiдомої i невiдомої спектральної щiльностi; — знайдено оцiнки функцiоналiв для задачi iнтерполяцiї α-стiйких гармонiзованих випадкових процесiв у дискретному та неперервному часi у випадку вiдомої i невiдомої спектральної щiльностi — знайдено оцiнки функцiоналiв для задачi фiльтрацiї α-стiйких гармонiзованих випадкових процесiв у дискретному та неперервному часi у випадку вiдомої i невiдомої спектральної щiльностi. Наведенi в роботi результати дослiджень мають теоретичне значення для розвитку теорiї випадкових процесiв, а також широке практичне застосування при розв’язаннi задач економетрики, теорiї часових рядiв, обробцi нестацiонарних сигналiв та процесiв