Маринич Олександр Вiталiйович Граничнi теореми для випадкових процесiв з регенерацiєю

brief description

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка Мiнiстерство освiти i науки України Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка Мiнiстерство освiти i науки України Квалiфiкацiйна наукова праця на правах рукопису Маринич Олександр Вiталiйович УДК 519.21 ДИСЕРТАЦIЯ Граничнi теореми для випадкових процесiв з регенерацiєю 01.01.05 — теорiя ймовiрностей i математична статистика 11 — Математика та статистика Подається на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук Дисертацiя мiстить результати власних дослiджень. Використання iдей, результатiв i текстiв iнших авторiв мають посилання на вiдповiдне джерело Науковий консультант: д. ф.-м. н., професор Iксанов Олександр Маратович Київ 2017

ЗМIСТ СПИСОК ПОЗНАЧЕНЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ВСТУП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 Огляд лiтератури . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.1 Огляд за роздiлом 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.2 Огляд за роздiлом 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.2.1 Регенеративнi композицiї та перестановки, ґратки Бернуллi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.2.2 Випадковi перестановки з розподiлом Юенса. . . . . . . 58 1.2.3 Переставнi коалесценти з множинними злиттями. . . . . 59 1.3 Огляд за роздiлом 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.3.1 Випадкове блукання з бар’єром. . . . . . . . . . . . . . . 71 1.4 Огляд за роздiлом 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.5 Огляд за роздiлом 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2 Граничнi теореми для випадкових процесiв з iммiграцiєю в моменти вiдновлення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.1 Збiжнiсть до стацiонарного процесу з iммiграцiєю . . . . . . . 79 2.1.1 Стацiонарий процес з iммiграцiєю. . . . . . . . . . . . . 80 2.1.2 Обговорення умов теореми 3. . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.1.3 Доведення теореми 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.2 Збiжнiсть з центруванням та без нормування . . . . . . . . . . . 100 2.2.1 Основний результат та обговорення. . . . . . . . . . . . 100 2.2.2 Доведення теореми 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 - 16 - 2.3 Збiжнiсть з нормуванням, що правильно змiнюється . . . . . . 111 2.3.1 Правильна змiна в R 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2.3.2 Граничнi процеси для Yt(u). . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.3.3 Збiжнiсть першого доданка в (2.63). . . . . . . . . . . . . 117 2.3.4 Збiжнiсть другого доданка в (2.63). . . . . . . . . . . . . 118 2.3.5 Граничнi теореми для випадкових процесiв з iммiграцiєю.124 2.3.6 Доведення теорем 29 та 30. . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.3.7 Доведення теорем 32 та 34. . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2.3.8 Доведення теореми 39. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 2.3.9 Доведення теорем 40 та 41. . . . . . . . . . . . . . . . . 149 2.4 Збiжнiсть з нормуванням, що повiльно змiнюється . . . . . . . 160 2.4.1 Основний результат та обговорення. . . . . . . . . . . . 160 2.4.2 Доведення теореми 51. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 2.5 Приклади та застосування . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 2.5.1 Процеси зi скiнченною тривалiстю та число активних випадкових процесiв у системi з iммiграцiєю. . . . . . . 172 2.5.2 Процеси вигляду X(t) = ηg(t). . . . . . . . . . . . . . . 180 2.5.3 Число вiзитiв збуреного випадкового блукання в iнтервал.182 2.5.4 Iншi приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 2.6 Висновки до роздiлу 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3 Регенеративнi композицiї, випадковi перестановки та коалесценти з множинними злиттями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 3.1 Випадковi регенеративнi композицiї . . . . . . . . . . . . . . . . 191 3.1.1 Граничнi теореми для числа ненульових блокiв регенеративних композицiй. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 3.1.2 Граничнi теореми для числа нульових блокiв. . . . . . . 203 3.1.3 Граничнi теореми для логарифмiчних сепарабельних статистик. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 3.2 Регенеративнi випадковi перестановки . . . . . . . . . . . . . . 218 3.3 Переставнi коалесценти з множинними злиттями та пилом . . . 223 3.3.1 Коалесцент та синглтони коалесцента. . . . . . . . . . . 224 - 17 - 3.3.2 Каплiнг з субординатором. . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 3.3.3 Час поглинання τn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 3.3.4 Число злиттiв Xn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 3.4 Висновки до роздiлу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 4 Ймовiрнiснi метрики та їх застосування до асимптотичного аналiзу випадкових процесiв з регенерацiєю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 4.1 Граничнi теореми для часу поглинання ланцюгiв Маркова, що не зростають . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 4.1.1 Апроксимацiя процесами вiдновлення. . . . . . . . . . . 242 4.1.2 Доведення теорем 102 та 103. . . . . . . . . . . . . . . . 245 4.2 Граничнi теореми для коалесцентiв без пилової компоненти . . 250 4.3 Граничнi теореми для числа нульових декрементiв у випадковому блуканнi з бар’єром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 4.4 Висновки до роздiлу 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 5 Процедури випадкового просiювання та задача вибору лiдера . . . . . 261 5.1 Випадковi просiювання, породженi випадковими блуканнями . 261 5.1.1 Випадок скiнченного середнього кроку блукання. . . . . 264 5.1.2 Випадок нескiнченного середнього кроку блукання. . . 266 5.1.3 Доведення теорем 108, 109, 110 та 112. . . . . . . . . . . 270 5.1.4 Доведення теорем 113, 114, 116 та 118. . . . . . . . . . . 274 5.2 Випадковi просiювання, породженi процесом рекордiв, та їх зв’язок з коалесцентами з множинними злиттями . . . . . . . . 276 5.2.1 Граничнi теореми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 5.2.2 Коалесцент Пуассона-Дiрiхле. . . . . . . . . . . . . . . . 283 5.2.3 Доведення. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 5.3 Висновки до роздiлу 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 6 Стохастичнi iнтеграли у регенеративних випадкових структурах: властивостi розподiлiв та траєкторiй. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 6.1 Узагальненi згортки степеневих функцiй та процесiв Левi . . . 298 - 18 - 6.2 Згортки степеневих функцiй та обернених субординаторiв . . . 303 6.2.1 Властивостi траєкторiй Jα,ρ. . . . . . . . . . . . . . . . . 305 6.2.2 Властивостi розподiлiв Jα,ρ та зображення Лампертi. . . 307 6.2.3 Доведення теорем 135 та 137. . . . . . . . . . . . . . . . 310 6.3 Умовно гауссiвськi процеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 6.4 Нулi випадкових тригонометричних полiномiв . . . . . . . . . . 321 6.4.1 Основнi результати. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 6.4.2 Збiжнiсть випадкових тригонометричних полiномiв. . . 326 6.4.3 Збiжнiсть нулiв. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 6.5 Висновки до роздiлу 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 ВИСНОВКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Додаток A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 A.1. Функцiї, що правильно змiнюються . . . . . . . . . . . . . . . . 371 A.2. Безпосередня iнтегровнiсть за Рiманом . . . . . . . . . . . . . . 373 A.3. Ключова теорема вiдновлення та правильна змiна . . . . . . . . 374 A.4. Неперервнiсть деяких функцiоналiв та вiдображень . . . . . . . 382 A.5. Збiжнiсть моментiв у теорiї вiдновлення . . . . . . . . . . . . . 386 A.5.1. Доведення теорем 178 та 181. . . . . . . . . . . . . . . . 388 A.5.2. Доведення теореми 182. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 A.6. Збiжнiсть точкових процесiв в грубiй топологiї . . . . . . . . . 393 A.7. Теорема Вейля про рiвномiрну розподiленiсть послiдовностi ({kα}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 A.8. Лiнiйнi рекурентнi спiввiдношення . . . . . . . . . . . . . . . . 396 A.9. Допомiжнi результати для випадкових блукань та процесiв Гальтона-Ватсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 A.9.1. Випадковi блукання зi скiнченним середнiм. . . . . . . . 400 A.9.2. Випадковi блукання з нескiнченним середнiм. . . . . . . 406 A.10.Процеси рекордiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 - 19 - A.10.1. Процес рекордiв у послiдовностi незалежних однаково розподiлених випадкових величин. . . . . . . . . . . . . 413 A.10.2. Процес рекордiв у процесi Пуассона на площинi. . . . . 415 A.11.Нерiвностi Дуба та Пейкса для мартингалiв . . . . . . . . . . . 421 Додаток B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 B.1. Простори Скорохода та топологiї на них . . . . . . . . . . . . . 423 B.1.1. Збiжнiсть у просторi D[a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . 423 B.1.2. J1-топологiя у просторi D[0,∞). . . . . . . . . . . . . . 424 B.1.3. J1-топологiя у просторi D(R). . . . . . . . . . . . . . . . 426 B.2. Маркованi точковi процеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 B.3. Сильна апроксимацiя випадкових блукань . . . . . . . . . . . . 428 B.4. Мiнiмальнi Lp-метрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 Додаток C Деякi допомiжнi обчислення та доведення . . . . . . . . . . . . . . . . 431 Додаток D Список опублiкованих праць за темою дисертацiї . . . . . . . . 447 - 20 - СПИСОК ПОЗНАЧЕНЬ завершення доведення R+ невiд’ємна пiвпряма [0,∞) N множина натуральних чисел N0 = N S {0} в.в. випадкова величина х.ф. характеристична функцiя випадкової величини м.н. майже напевно d → слабка збiжнiсть в.в. та випадкових векторiв f.d. ⇒ збiжнiсть скiнченновимiрних розподiлiв випадкових процесiв (область змiни аргументу процесiв завжди вказується явно) ⇒ слабка збiжнiсть випадкових елементiв у функцiональних просторах (простiр та топологiя завжди вказуються явно) d= рiвнiсть розподiлiв випадкових елементiв d ≤ стохастичний порядок, X d ≤ Y тодi i тiльки тодi, коли P{X ≤ x} ≥ P{Y ≤ x} для всiх x ∈ R f.d. = рiвнiсть скiнченновимiрних розподiлiв випадкових процесiв f(x) = O(g(x)) при x → x0, де x0 ∈ [−∞,∞], означає lim x→x0 f(x) g(x)

bibliography

ВИСНОВКИ У дисертацiйнiй роботi побудовано елементи асимптотичної теорiї випадкових процесiв з регенерацiєю як класу стохастичних процесiв, що визначенi на випадкових самоподiбних структурах регенеративної природи. Розроблена у даному комплексному дослiдженнi теорiя слабкої збiжностi випадкових процесiв з iммiграцiєю та процесiв дробового ефекту, виявилась потужним апаратом вивчення випадкових процесiв з регенерацiєю та, зокрема, процесiв зi значеннями на розбиттях, що виникають при аналiзi випадкових композицiй та в теорiї коалесцентiв з множинними злиттями. Створена теорiя iстотно ґрунтується на вперше встановлених в цiй роботi взаємозв’язках мiж процесами з iммiграцiєю, збуреними випадковими блуканнями, регенеративними композицiями, коалесцентами з множинними злиттями та процедурами випадкового просiювання. Основнi результати, отриманi в дисертацiї такi: 1. Введено поняття випадкового процесу з iммiграцiєю в моменти стрибкiв процесу вiдновлення та побудовано класифiкацiю режимiв слабкої збiжностi деяких випадкових процесiв з iммiграцiєю. Зокрема, • отримано умови збiжностi до стацiонарних процесiв з iммiграцiєю; • встановлено умови збiжностi з центруванням процесiв дробового ефекту; • доведено граничнi теореми для процесiв дробового ефекту з функцiями вiдповiдi, що не зростають, у випадках правильної змiни та повiльної змiни нормування; • отримано граничнi теореми для випадкових процесiв з iммiграцiєю у випадку правильної змiни нормування. - 341 - 2. Доведено граничнi теореми для низки функцiоналiв, що дiють на збурених випадкових блуканнях. Зокрема, • встановлено функцiональну граничну теорему для числа вiзитiв збуреного випадково блукання в iнтервал [0, x], при x → ∞; • встановлено ряд граничних теорем для рiзницi мiж числом вiзитiв в iнтервал [0, x] збуреним та звичайним випадковими блуканнями. 3. Отримано низку результатiв для випадкових регенеративних композицiй, породжених узагальненими процесами Пуассона. Зокрема, • отримано функцiональну граничну теорему для числа ненульових блокiв регенеративних композицiй; • описано режими слабкої збiжностi числа нульових блокiв регенеративних композицiй, • отримано граничнi теореми для логарифмiчної сепарабельної статистики. 4. Введено поняття регенеративної випадкової перестановки та отримано граничнi теореми для порядку таких перестановок, що узагальнило вiдомий результат П. Ердеша та П. Турана 1967 року. 5. Запропоновано конструкцiю каплiнгу випадкових регенеративних композицiй та переставних коалесцентiв з множинними злиттями. За його допомогою розв’язано низку вiдкритих проблем теорiї коалесцентiв та встановлено ряд граничних теорем для коалесцентiв з пиловою компонентою. Зокрема, • доведено критерiй слабкої збiжностi часу поглинання в коалесцентах з пиловою компонентою; • отримано умови слабкої збiжностi числа злиттiв в коалесцентах з пиловою компонентою; • встановлено ряд граничних теорем, якi характеризують еволюцiю пилової компоненти. - 342 - 6. З використанням технiки ймовiрнiсних метрик, отримано достатнi умови слабкої збiжностi часу поглинання у спадних ланцюгах Маркова до стiйких розподiлiв. За допомогою отриманих результатiв розв’язано низку вiдкритих проблем: • встановлено граничну теорему для числа злиттiв у бета-коалесцентах без пилової компоненти; • доведено збiжнiсть повної довжини дерева бета(1, b)-коалесцентiв до 1-стiйкого розподiлу; • отримано центральну граничну теорему для числа нульових декрементiв у випадковому блуканнi з бар’єром. 7. Запропоновано та дослiджено процедури випадкового просiювання. Встановлено їх зв’язок з процесами Гальтона-Ватсона та переставними коалесцентами. Зокрема, • вперше введено поняття точкового процесу, стiйкого вiдносно просiювання, та отримано характеризацiю точкових процесiв, стiйких вiдносно просiювання випадковими блуканнями; • дослiджено узагальненi процедури вибору лiдера та встановлено граничнi теореми для числа раундiв, початкових позицiй гравцiв та числа гравцiв пiсля n раундiв; • вивчено процедуру випадкового просiювання процесом рекордiв та побудовано каплiнг з коалесцентом Пуассона-Дiрiхле, що дозволило розв’язати вiдкриту проблему про асимптотику числа злиттiв у згаданому коалесцентi. 8. Дослiджено властивостi розподiлiв та властивостi траєкторiй процесiв, що є граничними для випадкових процесiв з регенерацiєю. Зокрема, дослiджено гельдеровiсть та встановлено локальнi закони повторного логарифма для дробово iнтегровних обернених стiйких субординаторiв. 9. Доведено локальну унiверсальнiсть для дiйсних коренiв тригонометричних полiномiв. - 343 - 10. Доведено збiжнiсть моментiв у граничних теоремах для процесiв вiдновлення (теореми 178, 181 та 182 додатку А).