Зубарук Олеся Валерiївна ПРО КЛАСИФIКАЦIЮ ПАР ПОТЕНТНИХ МАТРИЦЬ З ДОДАТКОВИМИ СПIВВIДНОШЕННЯМИ

brief description

МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ I НАУКИ УКРАЇНИ Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка На правах рукопису Зубарук Олеся Валерiївна УДК 512.53+512.64 ПРО КЛАСИФIКАЦIЮ ПАР ПОТЕНТНИХ МАТРИЦЬ З ДОДАТКОВИМИ СПIВВIДНОШЕННЯМИ 01.01.06 алгебра i теорiя чисел Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук Науковий керiвник Бондаренко Вiталiй Михайлович, доктор фiзико-математичних наук, професор Київ 2016 Змiст ВСТУП 5 1 ПОПЕРЕДНI ВIДОМОСТI 10 1.1. Зображення сагайдакiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Матричнi зображення напiвгруп . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 КАНОНIЧНI ФОРМИ ДЛЯ ПАР IДЕМПОТЕНТНИХ МАТРИЦЬ 24 2.1. Основнi означення та простi приклади . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1. Пари матриць та матричнi зображення напiвгруп . . 25 2.1.2. Канонiчнi форми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Задача про пару iдемпотентних анульовних матриць . . . . . 35 2.3. Задача про пару iдемпотентних матриць з двома сендвiчспiввiдношеннями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4. Задача про пару iдемпотентних матриць iз одним сендвiчспiввiдношенням . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5. Задача про пару iдемпотентних матриць iз подвiйним сендвiчспiввiдношенням . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.6. Висновки до роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3 АЛГЕБРИ АУСЛЕНДЕРА ДЛЯ ПАР IДЕМПОТЕНТНИХ МАТРИЦЬ ТА ЇХ IНВАРIАНТИ 68 3.1. Означення алгебри Ауслендера i простi приклади . . . . . . 68 3 3.2. Означення Σ-функцiї i простi приклади . . . . . . . . . . . . 72 3.3. Пара матриць iз спiввiдношеннями A2 = A, B2 = B, AB = 0 75 3.3.1. Алгебра Ауслендера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3.2. Σ-функцiя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.4. Пара матриць iз спiввiдношеннями A2 = A, B2 = B, ABA = BAB = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4.1. Алгебра Ауслендера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4.2. Σ-функцiя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.5. Пара матриць iз спiввiдношеннями A2 = A, B2 = B, ABA = 0 87 3.5.1. Алгебра Ауслендера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.5.2. Σ-функцiя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.6. Пара матриць iз спiввiдношеннями A2 = A, B2 = B, ABA = BAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.6.1. Алгебра Ауслендера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.6.2. Σ-функцiя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.7. Висновки до роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4 ПАРИ ПОТЕНТНИХ АНУЛЬОВНИХ МАТРИЦЬ СКIНЧЕННОГО ТИПУ 100 4.1. Формулювання критерiю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2. Пари матриць A, B iз спiввiдношеннями A3 = A, B2 = B, AB = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2.1. Канонiчна форма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2.2. Нерозкладнi пари матриць. . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.2.3. Алгебра Ауслендера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.3. Пари матриць A, B iз спiввiдношеннями A4 = A, B2 = B, AB = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3.1. Канонiчна форма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3.2. Нерозкладнi пари матриць. . . . . . . . . . . . . . . . 124 4 4.3.3. Алгебра Ауслендера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.4. Доведення теореми 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5. Висновки до роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5 ПАРИ ПОТЕНТНИХ АНУЛЬОВНИХ МАТРИЦЬ РУЧНОГО ТИПУ 134 5.1. Формулювання критерiю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.2. Опис пар матриць A, B iз спiввiдношеннями A3 = A, B3 = B, AB = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.3. Пари матриць A, B iз спiввiдношеннями A5 = A, B2 = B, AB = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.4. Доведення теореми 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.5. Висновки до роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 ВИСНОВКИ 161 СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 162 ДОДАТОК 171 5 ВСТУП Актуальнiсть теми. Дисертацiйна робота присвячена вивченню пар потентних матриць з точнiстю до подiбностi. У загальному випадку задача про класифiкацiю (з точнiстю до подiбностi) пар матриць над полем до цих пiр не розв’язана. Бiльше того, вона давно вважається еталоном максимальної складностi для класифiкацiйних задач сучасної лiнiйної алгебри та теорiї зображень (для цього є досить простi аргументи), i класифiкацiйнi задачi, якi мiстять в собi вказану задачу про пару матриць, з деяких пiр почали називати дикими, а решту — ручними (див. [1]) (вiдносно точних означень ручних i диких задач в загальному випадку та основних теорем про задачi таких типiв див. добре вiдомi роботи Ю. А. Дрозда [2] i [3]). Вивчення ручних та диких класифiкацiйних задач проводиться протягом майже пiвстолiття багатьма математиками iз рiзних наукових шкiл. Багато з отриманих результатiв безпосередньо вiдносяться до повного опису нерозкладних об’єктiв чи встановленню дикостi задачi про їх опис (окрiм робiт [4] [8], якi цитуються нижче у вступi, див., зокрема, роботи [9] [52]). Якщо говорити про пари матриць, то у зв’язку з вищесказаним особливу наукову цiннiсть мають результати про повну класифiкацiю пар матриць над полем, що задовольняють простi алгебраїчнi спiввiдношення. Першою такою задачею стала задача про класифiкацiю пар матриць A, B, що задовольняють спiввiдношення A2 = B2 = AB = BA = 0, розв’язок якої над полем характеристики 2 випливає iз опису модулярних зображень четверної групи Клейна, отриманого в 1961 роцi В. А. Башевим [4]. Над полями iнших характеристик вiдповiдь аналогiчна; iдея розв’язання 6 цiєї задачi полягає у зведеннi її до класичної задачi лiнiйної алгебри про жмуток матриць, канонiчна форма для яких знайдена ще в позаминулому столiттi Кронекером i Вейєрштрасом. У 1968 роцi I. М. Гельфанд i В. А. Пономарьов [5] отримали повну класифiкацiю пар матриць A, B таких, що AB = BA = 0, застосувавши розроблений ними метод вiдношень”. Пiзнiше (незалежно та iншим методом) ця задача була розв’язана В. М. Бондаренком (див. останнiй параграф роботи [6]). У 1975 роцi В. М. Бондаренко [7] отримав (у зв’язку з описом модулярних зображень дiедральних груп) повну класифiкацiю пар матриць A, B таких, що A2 = B2 = 0, застосувавши метод самовiдтворних матричних задач (незалежно ця задача розв’язана К. Рiнгелем [8] за допомогою методу вiдношень). Подальший розвиток цього методу В. М. Бондаренком (разом iз розвитком Ю. А. Дроздом теорiї ручних та диких задач) дозволив, зокрема, описати ручнi скiнченнi групи над полем довiльної характеристики [9]. У дисертацiї продовжується вивчення пар матриць над полем, а саме вивчаються пари потентних матриць A, B (тобто такi, що An = A, Bm = B при n, m > 1). Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертацiйної роботи пов’язана з науковими дослiдженнями кафедри алгебри та математичної логiки механiко-математичного факультету Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка — тема 11БФ038-03 Застосування алгебро-геометричних методiв в теорiях груп, напiвгруп, кiлець, зображень до задач прикладної алгебри та захисту iнформацiї” (номер державної реєстрацiї 0111U005264). Мета i задачi дослiдження. Метою дослiдження є опис пар потентних матриць з додатковими спiввiдношеннями, якi мають скiнченний, ручний та дикий типи. Розглядається низка таких задач, до того ж у ви- 7 падках скiнченного типу описуються канонiчнi форми i повнi множини нерозкладних попарно неподiбних пар, обчислюються матричнi алгебри Ауслендера. Об’єктом дослiдження є пари матриць над полем i алгебри Ауслендера. Предмет дослiдження — тип пар матриць з конкретними спiввiдношеннями вiдносно подiбностi, явний вигляд нерозкладних пар матриць та матричної алгебри Ауслендера. Методи дослiдження. Основними методами, що використовуються при дослiдженнях, є методи теорiї зображень та метод матричних задач, за допомогою яких отримано бiльшiсть результатiв дисертацiї, а також стандартнi комбiнаторнi методи, за допомогою яких обчислюються Σ-функцiї для сiмейств нерозкладних пар матриць. Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертацiї отримано новi теоретичнi результати про пари матриць над алгебраїчно замкнутим полем характеристики нуль, основними iз яких є такi: • отримано канонiчнi форми пар iдемпотентних матриць з умовами комутативностi i анульованостi; • обчислено Σ-функцiї для пар iдемпотентних матриць з додатковими спiввiдношеннями, якi мають скiнченний тип; • описано пари анулюючих матриць скiнченного типу, що складаються iз n-потентної та m-потентної матриць, (n, m) 6= (2, 2), i в кожному з випадкiв указана канонiчна форма; • отримано критерiй ручностi для пар анулюючих потентних матриць; • повнiстю описанi з точнiстю до подiбностi нерозкладнi пари анулюючих 3-потентних матриць (випадок нескiнченного типу); • повнiстю описанi з точнiстю до подiбностi нерозкладнi пари анулюючих матриць, що складаються iз iдемпотентної та 5-потентної матриць (випадок нескiнченного типу); 8 • для всiх розглянутих пар матриць скiнченного типу обчислено матричну алгебру Ауслендера та її дискретнi параметри. Зауважимо, що частина результатiв залишаються вiрними для незамкнутих полiв чи полiв iнших характеристик. Практичне значення одержаних результатiв. Результати дисертацiйної роботи мають теоретичний характер. Отриманi в нiй результати, а також методи, за допомогою яких вони отриманi, можуть бути використанi в теорiї зображень i теорiї матричних задач та в тих областях науки, якi використовують у своїх дослiдженнях матричнi методи. Особистий внесок здобувача. Усi результати дисертацiйної роботи отримано здобувачем самостiйно. У спiльних з науковим керiвником роботах останньому належать, як правило, постановки задач та загальнi iдеї щодо методiв їх розв’язання, а практична реалiзацiя та ряд конкретних iдей належать здобувачевi. У єдинiй статтi з двома спiвавторами [62] здобувачу належать теореми 1 i 2, твердження 2 та зауваження 3.1 3.3. Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiйної роботи оприлюднено на: — IX Мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї в Українi (м. Львiв, 8-13 липня 2013 р.); — П’ятнадцятiй Мiжнароднiй науковiй конференцiї iменi академiка Михайла Кравчука (м. Київ, 15-17 травня 2014 р.); — Мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї, присвяченiй 100-рiччю вiд дня народження Л. А. Калужнiна (м. Київ, 7-12 липня 2014 р.); — Мiжнароднiй конференцiї молодих математикiв (м. Київ, 3-6 червня 2015 р.); — X Мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї в Українi, присвяченiй 70- рiччю Ю. А. Дрозда (м. Одеса, 20-27 серпня 2015 р.). Публiкацiї. Основнi результати дисертацiї опублiковано в 6 наукових роботах ([57] [62]), всi з яких опублiкованi у фахових виданнях, одна з 9 яких [62] — у виданнi, що вiдображається у наукометричнiй базi Scopus, та п’ять — у тезах конференцiй ([63] [67]). Структура та обсяг дисертацiї. Дисертацiйна робота складається зi вступу, п’яти роздiлiв, висновкiв, списку використаних джерел та додатку. Загальний обсяг роботи (без додатку) — 170 сторiнок, iз них список використаних джерел займає 9 сторiнок (67 найменувань); додаток займає 47 сторiнок. Автор щиро вдячний своєму науковому керiвнику професору В. М. Бондаренку за постановку задач, цiннi поради та постiйну увагу до роботи.

bibliography

ВИСНОВКИ Дисертацiйна робота присвячена вивченню пар потентних матриць з точнiстю до подiбностi над алгебраїчно замкнутим полем характеристики 0 (а в окремих випадках для незамкнутих полiв чи полiв iнших характеристик). Отримано канонiчнi форми пар iдемпотентних матриць з умовами узагальненої комутативностi i узагальненої анульованостi та в кожному iз цих випадкiв описано всi (з точнiстю до подiбностi) нерозкладнi пари матриць та обчислено вiдповiднi алгебри Ауслендера i їх iнварiанти. Для повних систем нерозкладних пар матриць в усiх випадках обчислена Σфункцiя. Для (n, m) 6= (2, 2) описано всi пари анулюючих матриць скiнченного типу, що складаються iз n-потентної та m-потентної матриць, i в кожному з випадкiв указано канонiчну форму, описано нерозкладнi пари матриць та обчислено матричну алгебру Ауслендера. Описано всi пари анулюючих матриць (нескiнченного) ручного типу, що складаються iз n-потентної та m-потентної матриць i в кожному з випадкiв вказано будову нерозкладних пар матриць. Бiльш точно, описано нерозкладнi пари анулюючих 3-потентних матриць та нерозкладнi пари анулюючих матриць, що складаються iз iдемпотентної та 5-потентної матриць.