Коцур Максим Петрович Аналіз методів оптимізації функціоналів від розв’язків одновимірних крайових задач та їх застосування

brief description

Коцур Максим Петрович, асистент кафедри матема­тичних проблем управління і кібернетики Чернівецько­го національного університету імені Юрія Федьковича: «Аналіз методів оптимізації функціоналів від розв’язків одновимірних крайових задач та їх застосування» (01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рі­шень). Спецрада Д 26.001.35 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Кваліфікаційна наукова
праця на правах рукопису
КОЦУР МАКСИМ ПЕТРОВИЧ
УДК 517.977
ДИСЕРТАЦІЯ
АНАЛІЗ МЕТОДІВ ОПТИМІЗАЦІЇ ФУНКЦІОНАЛІВ ВІД РОЗВ’ЯЗКІВ
ОДНОВИМІРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ
01.05.04 – системний аналіз і теорія оптимальних рішень
Подається на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук
Дисертація містить результати власних досліджень. Використання ідей,
результатів і текстів інших авторів мають посилання на відповідне джерело
____________________ М.П. Коцур
Науковий керівник Наконечний Олександр Григорович
доктор фізико-математичних наук, професор
Київ – 2018

ЗМІСТ
Вступ 20
Розділ 1. Огляд літератури та методології дослідження 28
1.1. Огляд теорії оптимізації функціоналів від
розв’язків крайових задач 28
1.2. Підходи до розв’язування задач оптимізації функціоналів 35
1.3. Математична модель нестаціонарного процесу
термоелектричного охолодження 39
1.3.1. Опис фізичної моделі термоелектричного
охолоджувача та режимів його роботи 40
1.3.2. Математична модель процесу нестаціонарного
охолодження 46
1.3.3. Математична модель процесу стаціонарного
термоелектричного охолодження 51
1.4. Аналіз задач оптимізації процесу термоелектричного
охолодження. 53
1.5. Висновки 59
Розділ 2. Оптимізація функціоналів від розв’язків
одновимірних крайових задач 61
2.1. Задачі керування для систем із змінною структурою,
що описуються звичайними диференційними рівняннями
із крайовими умовами 61
2.2. Теорія оптимізації функціоналів від розв’язків одновимірних
крайових задач в умовах невизначеності 73
2.3. Висновки 79
Розділ 3. Варіаційний підхід до оптимізації функціоналів
від розв’язків початково-крайової задачі для параболічних
рівнянь і його застосування до нестаціонарного процесу
термоелектричного охолодження 80
3.1. Загальний вигляд задачі оптимізації функціоналів для
об’єктів у рівняннях параболічного типу 80
3.2. Формулювання задачі оптимального керування 81
3.3. Умови оптимальності 82
18
3.4. Ітераційний алгоритм для розв’язування задачі 86
3.5. Постановка задачі оптимального керування одно каскадним
термоелектричним охолоджувачем в нестаціонарному режимі 87
3.6. Застосування варіаційного методу до оптимізації
нестаціонарного режиму однокаскадного
термоелектричного охолоджувача 90
3.7. Реалізація ітераційного алгоритму для оптимізації
нестаціонарного процесу термоелектричного охолодження 94
3.8. Висновки 96
Розділ 4.Дискретизація параболічних рівнянь як підхід
до розв’язування оптимізаційних задач 98
4.1. Дискретизація початково-крайової задачі для параболічних
рівнянь і принцип максимуму Понтрягіна 98
4.2. Застосування дискретизації для оптимізація нестаціонарного
процесу каскадного термоелектричного охолодження.
Постановка задачі оптимального керування 100
4.3. Принцип максимуму Понтрягіна і умови оптимальності 102
4.4. Алгоритм чисельного розв’язування задачі 106
4.5. Оптимальне керування в лінійних параболічних
рівняннях в умовах невизначеності 111
4.6 . Задача оптимального керування нестаціонарним процесом
термоелектричного охолодження в умовах невизначеності 112
4.7. Висновки 117
Розділ 5. Результати математичного моделювання і оптимізації
нестаціонарного режиму термоелектричних охолоджувачів 119
5.1. Вихідні дані для обчислювального експерименту 119
5.2. Результати оптимізації нестаціонарного режиму
однокаскадного охолоджувача 122
5.3. Порівняльний аналіз результатів оптимального керування
однокаскадним охолоджувачем, отриманих варіаційним методом,
шляхом дискретизації та методом в умовах невизначеності 127
19
5.4. Аналіз впливу окремих факторів на процес нестаціонарного
термоелектричного охолодження 130
5.5. Оптимальні функції керування для двокаскадного
охолоджувача 135
5.6. Висновки 139
Висновки 140
Список використаних джерел 142
Додаток А 153
Додаток Б 157
Додаток В 160

bibliography

Висновки
У дисертаційній роботі отримані нові науково обґрунтовані результати,
які стосуються теорії і методів оптимізації функціоналів від розв’язків
одновимірних крайових задач. Розроблені і застосовані методи оптимізації
об’єктів з розподіленими параметрами, які описуються крайовими задачами в
параболічних рівняннях, зокрема в умовах невизначеності.
Дисертація є новим комплексним дослідженням, яке розв’язує важливі
актуальні наукові проблеми як теоретичного напряму, пов'язані з
оптимізацією функціоналів, так і практичного – розробка методів і
алгоритмів задачі оптимального керування процесом нестаціонарного
термоелектричного охолодження.
Основними науковими і практичними результатами дисертації є:
1. Одержала подальший розвиток теорія оптимізації функціоналів від
розв’язків одновимірних крайових задач в умовах невизначеності. Отримане
інтегральне представлення розв’язку крайової задачі для одновимірних
рівнянь другого порядку і досліджені умови існування екстремуму
функціоналів від розв’язків такої задачі.
2. Варіаційним методом отримані необхідні умови екстремуму
функціоналу від розв’язків одновимірних крайових задач для параболічних
рівнянь. Ці умови є критеріями для пошуку оптимального керування
об’єктами з розподіленими параметрами, які описуються відповідною
крайовою задачею.
3. Розроблено новий метод для оптимізації функціоналів від розв’язків
одновимірних крайових задач в параболічних рівняннях, який ґрунтується на
дискретизації задачі за координатою і застосуванні принципу максимуму
Понтрягіна.
4. Розроблено новий метод для знаходження оптимального керування в
задачах, які описуються параболічними рівняннями в умовах невизначеності.
141
5. На основі нових підходів до оптимізації функціоналів від
розв’язків одновимірних крайових задач розроблено теорію, методи,
алгоритми і комп’ютерні засоби для розв’язування задачі оптимального
керування процесом нестаціонарного охолодження для реалістичної моделі
каскадного термоелектричного охолоджувача.
6. На прикладах одно- і двокаскадних охолоджувачів проведено
комп’ютерне моделювання нестаціонарних процесів охолодження і визначені
оптимальні функції керування струмом живлення термоелементів для
досягнення мінімальної температури охолодження за заданий проміжок часу.
7. Досліджено вплив окремих фізичних факторів на характеристики
нестаціонарного термоелектричного охолодження. Показано, що за умов
застосування оптимальних функцій струму живлення в нестаціонарному
режимі на охолоджувачах досягаються суттєво нижчі температури, ніж в
стаціонарному режимі.