РАЗВИТИЕ МЕТОДА ВТОРИЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИСТЕМ : РОЗВИТОК МЕТОДУ ВТОРИННИХ ДЖЕРЕЛ ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ Пласкопаралельного МАГНІТНОГО ПОЛЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ СИСТЕМ

brief description

Министерство образования и науки Украины
Таврический национальный университет имени В. И. Вернадского

На правах рукописи

Филиппов Дмитрий Максимович

УДК 621.3.013.3

РАЗВИТИЕ МЕТОДА ВТОРИЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ
ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО МАГНИТНОГО
ПОЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.09.05 — теоретическая электротехника

Диссертация на соискание учёной степени
кандидата технических наук

Научный руководитель —
Стадник Иван Петрович,
доктор технических наук, профессор

Симферополь — 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ .…………………………………………..……………………………… 5
РАЗДЕЛ 1 СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИСТЕМ. ПОСТАНОВКА
ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ ………………………………......................................... 11
1.1 Аналитические методы моделирования магнитного поля электромагнитных
систем …………………………………………………………………………….. 11
1.2 Численно-аналитические методы моделирования магнитного поля
электромагнитных систем ……………………..……………...………………… 16
1.3 Численные методы моделирования магнитного поля электромагнитных
систем ………………………………………………………………………...…... 17
1.4 Постановка задач исследования …………….…………………………………... 33
РАЗДЕЛ 2 ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ВТОРИЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
СИСТЕМ ……………………………...……………………………………………….. 34
2.1 Вывод систем линейных алгебраических уравнений на основе кусочно-постоянной аппроксимации линейной плотности магнитных зарядов и токов 34
2.2 Вывод систем линейных алгебраических уравнений на основе кусочно-линейной аппроксимации линейной плотности магнитных зарядов и токов и
двойного слоя магнитных зарядов …………..………………………………….. 44
2.3 Применение метода интегральных уравнений к расчёту вихревых токов в
протяжённых ферромагнитных проводниках ……..……………………....…… 53
2.4 Выводы по разделу 2 …………………………………………………………….. 61
РАЗДЕЛ 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ЛИНЕЙНОГО
АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ ..…………………………….…………………... 62
3.1 Аналитическое исследование вихревых токов и тягового усилия линейного
асинхронного двигателя ..…………………………………………...……........... 62
3
3.2 Численное исследование вихревых токов и тягового усилия линейного
асинхронного двигателя …………….…………………………………………... 74
3.3 Определение линейной плотности токов намагниченности на границе
магнитопровода линейного асинхронного двигателя …...…………………….. 81
3.4 Расчёт тягового усилия линейного асинхронного двигателя со вторичным
элементом в виде однородных алюминиевой и медной пластин .……………. 87
3.5 Расчёт тягового усилия линейного асинхронного двигателя с трёхслойным
вторичным элементом в виде стальной пластины, покрытой слоем
алюминия или меди ………...……………………………………………………. 96
3.6 Расчёт тягового усилия линейного асинхронного двигателя со вторичным
элементом, содержащим немагнитные стержни …………………………....…. 110
3.7 Выводы по разделу 3 ………….…………………………………………………. 114
РАЗДЕЛ 4 АНАЛИЗ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ
МАГНИТНОЙ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТА ПОСТОЯННОГО ТОКА ..…. 117
4.1 Моделирование статического магнитного поля в рабочем зазоре
электромагнита на основе дискретных моделей для простого слоя
магнитных зарядов ……………….……………………………………………… 117
4.2 Моделирование статического магнитного поля в рабочем зазоре
электромагнита на основе дискретных моделей для простого слоя токов …... 125
4.3 Моделирование статического магнитного поля в рабочем зазоре
электромагнита на основе дискретных моделей для двойного слоя
магнитных зарядов ……………….……………………………………………… 131
4.4 Выводы по разделу 4 ….…………………………………………………………. 135
РАЗДЕЛ 5 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
МОДЕЛИ КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
ЛИНЕЙНОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ ..……………………………….. 137
5.1 Результаты экспериментального подтверждения адекватности
разработанных теоретических моделей ………………………………………... 137
5.2 Выводы по разделу 5 ...…………………………………………………………... 146
ВЫВОДЫ …..……………...…………………………………………………………. 148
4
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ …………..……………………. 150
ПРИЛОЖЕНИЕ А Математические дополнения к разделу 2 …………………….. 164
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Математические дополнения к разделу 3 …………………….. 177
ПРИЛОЖЕНИЕ В Материалы по внедрению результатов диссертации ..………. 197

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время существует ряд численных методов, позволяющих
моделировать магнитное поле электромагнитных систем. Среди них можно
выделить три группы классических методов: метод конечных разностей, метод
конечных элементов и методы интегральных уравнений (среди последних — метод
вторичных источников).
Большой вклад в развитие современных методов моделирования магнитного
поля электромагнитных систем сделали учёные: Г. А. Гринберг О. В. Тозони,
И. Д. Майергойз, Э. В. Колесников, И. П. Стадник, С. С. Романович,
Е. И. Петрушенко, П. А. Курбатов, А. Д. Подольцев, Е. С. Колечицкий,
В. М. Михайлов, А. А. Самарский, В. П. Ильин, Б. Н. Сипливый, А. Н. Ткачёв,
Ю. М. Васецкий, М. В. Загирняк, В. Я. Гальченко, И. П. Кондратенко и др.
Актуальность темы. Как известно, метод вторичных источников обладает
преимуществами над методом конечных разностей и методом конечных элементов
при моделировании магнитного поля электромагнитных систем. Эти преимущества
проявляются в отсутствии необходимости дискретизации окружающего
электромагнитную систему воздушного пространства, а также в исключении
операций численного дифференцирования при определении физических величин,
характеризующих поле.
Однако при численной реализации метода вторичных источников возникают
определённые трудности, устранение которых является актуальным. Так, до сих пор
остаётся не до конца решённым вопрос о размещении точек коллокаций при
переходе от граничного интегрального уравнения к его конечномерному аналогу —
системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Как правило, при кусочно-постоянной аппроксимации искомой функции система точек коллокаций задаётся в
центральных точках отрезков разбиения. Однако такой способ не всегда является
оптимальным. В тоже время, известно, что оптимальный выбор системы точек
коллокаций приводит к существенному повышению точности расчёта магнитного
поля, не требуя при этом увеличения разбиения или усложнения способа
аппроксимации искомых функций.

6

Один из путей решения данной проблемы был найден Е. И. Петрушенко и
получил название метода полного осреднения. Метод полного осреднения
разработан и применялся автором и его последователями к моделированию
магнитного поля различных электромагнитных систем на основе интегральных
уравнений относительно плотностей токов и до настоящего времени не был
обобщён для случаев использования других типов источников. Кроме того, в
соответствующей литературе приводится теория метода полного осреднения только
для случая кусочно-постоянной аппроксимации неизвестной плотности токов.
Ещё одним этапом в развитии метода вторичных источников стал
разработанный И. П. Стадником и А. В. Жильцовым метод дополнительных
интегральных соотношений. Данные соотношения получаются из принципа
непрерывности магнитного потока или закона полного тока, записанных в
интегральной форме, и используются в качестве дополнительных к основному
интегральному уравнению. Метод дополнительных интегральных соотношений
позволяет повысить точность и сократить время моделирования, однако при этом он
не решает проблему задания системы точек коллокаций. Кроме того, возникает
дополнительная задача оптимального выбора замкнутых поверхностей или
контуров, применяемых для записи дополнительных соотношений.
В связи с этим возникает необходимость в дальнейшем развитии метода
вторичных источников, которое предусматривает разработку нового подхода к
построению дискретных моделей магнитного поля электромагнитных систем,
лишённого недостатков, связанных с проблемой выбора точек коллокаций и
обобщённого для случаев использования различных типов вторичных источников и
способов аппроксимации их плотностей.
Актуальным является также применение метода вторичных источников к
построению математической модели электромагнитного поля асинхронных
двигателей, в частности линейных асинхронных двигателей (ЛАД). Как показал
обзор литературы, в настоящее время численное моделирование электромагнитного
поля ЛАД осуществляется либо с помощью метода конечных элементов, либо с
помощью комбинированного метода конечных и граничных элементов.

7

Недостатками первого из этих методов является необходимость искусственного
ограничения расчётной области и дискретизации окружающего электромагнитную
систему пространства. Недостатком второго метода является сложность
комбинированной математической модели, которая включает как теорию метода
конечных элементов, так и теорию метода граничных элементов.
Связь работы с научными программами, планами, темами. Работа
выполнена на кафедре компьютерной инженерии и моделирования Таврического
национального университета имени В. И. Вернадского в рамках НИР «Расчёт и
синтез электромагнитных систем» (в соответствии с Тематическим планом научно-исследовательской работы Таврического национального университета имени
В. И. Вернадского на 2006—2010 гг., утверждённого ректором ТНУ от 31.03.2006 г.,
№ ГР 0106U003201) в которой соискатель был исполнителем отдельных разделов.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является
развитие метода вторичных источников для моделирования плоскопараллельного
магнитного поля электромагнитных систем.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные
задачи:
− провести сравнительный анализ существующих методов моделирования
магнитного поля электромагнитных систем и обосновать необходимость
дальнейшего развития метода вторичных источников;
− разработать дискретные модели вторичных источников стационарного
плоскопараллельного магнитного поля электромагнитных систем, которые не
требует задания точек коллокаций на границе раздела сред с разными магнитными
свойствами;
− осуществить численную проверку и установить эффективность
разработанных моделей на задачах расчёта магнитного поля электромагнитных
систем, для которых известны решения, в том числе аналитические;
− на базе метода вторичных источников построить математическую модель
квазистационарного электромагнитного поля ЛАД;

8

Объектом исследования является плоскопараллельное магнитное поле
электромагнитных систем.
Предметом исследования является метод вторичных источников для
моделирования плоскопараллельного магнитного поля электромагнитных систем.
Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись
методы теоретической электротехники и математической физики, теория
интегральных уравнений, вычислительные методы линейной алгебры. Комплекс
программ для численного исследования реализован на свободно распространяемом
объектно-ориентированном языке программирования Lazarus 0.9.28.2.
Научная новизна полученных результатов:
− получил развитие метод вторичных источников для моделирования
стационарного плоскопараллельного магнитного поля электромагнитных систем в
кусочно-однородных средах, в котором при составлении СЛАУ для нахождения
плотности вторичных источников впервые предложено применять интегральные
законы поля к элементам границы раздела сред;
− разработана новая математическая модель квазистационарного
синусоидального во времени плоскопараллельного электромагнитного поля
линейного асинхронного двигателя в виде системы интегральных уравнений
относительно плотности вихревых токов в проводниках, совершающих
прямолинейное и равномерное движение, и поверхностных токов намагниченности
в ферромагнетиках.
Практическое значение полученных результатов. Разработанные
численные модели стационарного плоскопараллельного магнитного поля
электромагнита постоянного тока и квазистационарного плоскопараллельного
электромагнитного поля ЛАД с гладким и массивным зубчатым вторичным
элементом могут быть применены при проектировании соответствующих
электротехнических устройств.
Результаты исследования внедрены:
− в учебный процесс на физическом факультете Таврического национального
университета имени В. И. Вернадского в курсах «Статические поля»,

9

«Моделирование линейных электродвигателей» и «Моделирование
квазистационарных электромагнитных полей в электромеханических системах»;
− в производственный процесс в ООО «Фирма «Оптимаг» (г. Симферополь) в
форме методики расчёта электромагнитного поля и тягового усилия ЛАД для
проектирования этих двигателей.
Личный вклад соискателя. В публикациях, подготовленных в соавторстве,
автору диссертационной работы принадлежит: в [114, 125] — вывод СЛАУ для
плотности простого слоя фиктивных магнитных зарядов, основанный на
применении принципа непрерывности магнитного потока в интегральной форме для
каждого элемента разбиения границы раздела ферромагнитных сред, проведение
численных расчётов; в [115, 125] — вывод СЛАУ для плотности простого слоя
токов, основанный на применении закона полного тока в интегральной форме для
каждого элемента разбиения границы раздела ферромагнитных сред, проведение
численных расчётов; в [116] — построение математической модели
электромагнитного поля ЛАД, вывод системы интегральных уравнений
относительно плотности токов проводимости и линейной плотности токов
намагниченности; в [117] — вывод аналитических выражений для компонент
усилия ЛАД с учётом поступательного движения вторичного элемента, проведение
численных расчётов; в [121, 122] — вывод коэффициентов СЛАУ, проведение
численных расчётов, сравнительный анализ полученных результатов.
Апробация результатов диссертации. По результатам исследований,
включённых в диссертацию, были сделаны доклады на: научно-практической
конференции «Актуальні проблеми прикладної фізики» (г. Луганск, 2007 г.); 38-й,
39-й, 40-й, 41-й конференциях профессорско-преподавательского состава
Таврического национального университета имени В. И. Вернадского
(г. Симферополь, 2009—2012 гг.); Щорічній науково-технічній конференції молодих
вчених та спеціалістів (м. Київ, 2010 р.); Международной научно-технической
конференции «Проблемы повышения эффективности электромеханических

10

преобразователей в электроэнергетических системах» (г. Севастополь,
2010, 2012 гг.); 13th International conference on electromechanics, electrotechnology,
electromaterials an components (Alushta, Crimea, Ukraine, 2010).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ, из них 5
статей в научных профильных изданиях Украины.

bibliography

ВЫВОДЫ

В диссертационной работе получил дальнейшее развитие метод вторичных
источников применительно к моделированию плоскопараллельного магнитного по-ля электромагнитных систем в кусочно-однородной среде.
1. Проведён сравнительный анализ существующих методов моделирования
магнитного поля электромагнитных систем. Среди этих методов одним из наиболее
распространённых и универсальных является метод вторичных источников. Прак-тика применения этого метода к моделированию поля сложных электромагнитных
систем показала необходимость в усовершенствовании алгоритмов построения дис-кретных моделей на его основе. В соответствующей литературе до настоящего вре-мени не был решён вопрос оптимального выбора системы точек коллокаций. Это
обуславливает необходимость дальнейшего развития метода вторичных источников
в части его численной реализации.
2. Разработаны дискретные модели для вторичных источников стационарного
плоскопараллельного магнитного поля электромагнитных систем, в которых отсут-ствует необходимость задания системы точек коллокаций, а вместо граничных ус-ловий записываются уравнения электромагнитного поля в интегральной форме для
каждого элемента разбиения границ раздела кусочно-однородной среды. Такие мо-дели позволяют приближённо учитывать граничные условия не в отдельных точках
границы (как в методе коллокаций), а во всех её точках. Это приводит к повышению
точности моделирования магнитного поля по сравнению с методом коллокаций.
3. Показана вычислительная эффективность предложенной численной реали-зации метода вторичных источников на примере моделирования магнитного поля
электромагнита постоянного тока с магнитопроводом С-образной формы и квази-стационарного плоскопараллельного электромагнитного поля ЛАД с массивным
зубчатым вторичным элементом. Предложенный метод сравнивался с методом ин-тегральных уравнений. Показано, что для решения задачи с заданной точностью
предложенный метод требует в 20 — 25 раз меньшее число элементов разбиения
149
границы магнитопровода электромагнита и в 6 раз меньше число элементов разбие-ния границы магнитопровода ЛАД, чем метод интегральных уравнений.
4. Для моделирования электромагнитного поля ЛАД с кусочно-постоянной
магнитной проницаемостью ферромагнитных проводников получена система инте-гральных уравнений относительно плотности вихревых токов и линейной плотности
токов намагниченности. С учётом геометрии исследуемой модели ЛАД ядро полу-ченного интегрального уравнения для плотности вихревых токов представлено ана-литическими функциями, что позволило достичь высокой точности моделирования,
поскольку была исключена необходимость численного интегрирования. Осуществ-лена проверка построенной математической модели электромагнитного поля ЛАД
путём сравнения с аналитическим решением задачи. Установлено, что погрешность
расчётов находится в пределах 0,1 — 2%. Проведена экспериментальная проверка
построенной математической модели на физической модели ЛАД. Среднеквадра-тичная погрешность расчёта индукции магнитного поля составила 4,3%. В ЛАД со
вторичным элементом, содержащим тонкие поперечные прорези, погрешность рас-чёта пускового усилия составила 1,4%.
5. Основные теоретические и практические результаты диссертационной ра-боты внедрены в учебный процесс на физическом факультете Таврического нацио-нального университета имени В. И. Вернадского в курсах «Статические поля»,
«Моделирование линейных электродвигателей» и «Моделирование квазистационар-ных электромагнитных полей в электромеханических системах» для бакалавров,
обучающихся по направлению «физика», а также в производственный процесс в
ООО «Фирма «Оптимаг» (г. Симферополь) в форме методики расчёта электромаг-нитного поля и тягового усилия ЛАД для проектирования этих двигателей.
6. Достоверность и обоснованность научных положений и выводов диссерта-ционного исследования подтверждаются использованием корректных методов ис-следования, удовлетворительным уровнем расхождения результатов теоретических
исследований с экспериментальными данными, апробацией основных положений и
результатов на научных конференциях.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Тозони О. В. Расчет электромагнитных полей на вычислительных машинах /
О. В. Тозони. — К. : Техніка, 1967. — 252 с.
2. Вольдек А. И. Индукционные магнитогидродинамические машины с
жидкометаллическим рабочим телом / А. И. Вольдек. — Л. : Энергия, 1970. — 270 с.
3. Тамм И. Е. Основы теории электричества : Учеб. пособие для вузов. — 10-е
изд., испр. / И. Е. Тамм. — М. : Наука. ГРФМЛ, 1989. — 504 с.
4. Калашников С. Г. Электричество : Учеб. пособие. — 6-е изд., стереот.
/ С. Г. Калашников. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 624 с.
5. Тихонов А. Н., Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов,
А. А. Самарский. — М. : Наука, 1974. — 736 с.
6. Методы математической физики. Сборник задач для студентов 3-го
курса / А. Г. Аленицын, А. С. Благовещенский, М. А. Лялинов, В. В. Суханов. —
СПб. : СПбГУ, 2007. — 100 с.
7. Шимони К. Теоретическая электротехника / К. Шимони. — М. : Мир, 1964.
— 775 с.
8. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи.
— 9-е изд., перераб. и доп. / Л. А. Бессонов. — М. : Высш. школа, 1996. — 638 с.
9. Буль Б. К. Основы теории и расчета магнитных цепей / Б. К. Буль. — М. —
Л. : Энергия, 1964. — 464 с.
10. Ямамура С. Теория линейных асинхронных двигателей : Пер. с англ. /
Сакае Ямамура. — Л. : Энергоатомиздат, 1983. — 180 с.
11. Волков И. К. Интегральные преобразования и операционное исчисление /
И. К. Волков, А. Н. Канатников : Учеб. для вузов 2-е изд. / Под ред. В. С. Зарубина,
А. П. Крищенко. — М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. — 228 с.
12. Мамедшахов М. Э. Построение расчётной модели поля в зазоре линейного
асинхронного двигателя / М. Э. Мамедшахов, М. М. Нежинская, Н. С. Николаева,
О. В. Тозони // Электричество. — 1985. — №10. — С. 32—40.
151
13. Мамедшахов М. Э. Применение метода зеркальных изображений к расчёту
поля в ограниченном плоском зазоре магнитных систем / М. Э. Мамедшахов,
О. В. Тозони // Электричество. — 1986. — №9. — С. 32—37.
14. Мамедшахов М. Э. Первичное магнитное поле в зазоре статора линейного
асинхронного двигателя / М. Э. Мамедшахов, М. М. Нежинская, Н. С. Николаева,
О. В. Тозони // Электричество. — 1986. — №11. — С. 34—40.
15. Тозони О. В. Аналитическая модель электромагнитных процессов в
линейном асинхронном двигателе / О. В. Тозони // Электричество. — 1990. — №11.
— С. 31—39.
16. Иванов-Смоленский А. В. Метод проводимостей зубцовых контуров и его
применение к электромагнитному расчёту ненасыщенной электрической машины с
двухсторонней зубчатостью сердечников / А. В. Иванов-Смоленский //
Электричество. — 1976. — №9. — С. 18—28.
17. Цуканов В. И. Аналитический расчёт магнитной проводимости в зазоре
электрической машины / В. И. Цуканов // Электричество. — 1991. — №11 — С. 69—
71.
18. Жуловян В. В. К расчету магнитной проводимости воздушного зазора при
односторонней и двухсторонней зубчатости / В. В. Жуловян, А. В. Комаров,
И. Ф. Майнок // Электричество. — 1988. — №1. — С. 50—56.
19. Чивиджян Г. А. Влияние глубины паза насыщения на коэффициент
воздушного зазора / Г. А. Чивиджян // Электричество. — 1986. — №6. — С. 59—61.
20. Иванов-Смоленский А. В. Аналитический метод расчёта магнитного поля
в воздушном зазоре электрических машин с односторонней зубчатостью /
А. В. Иванов-Смоленский, М. С. Мнацаканян // Электричество. — 1972. — №3. —
С. 57—60.
21. Пульников А. А. Влияние вихревых токов в зубцах полюсного
наконечника на ЭДС якорной обмотки совмещенного индукторного возбудителя /
А. А. Пульников // Электричество. — 1996. — №12. — С. 46—52.
22. Постников И. М. Расчёт бегущего электромагнитного поля в слоистой
проводящей среде / И. М. Постников, Л. П. Нижник, А. А. Березовский,
А. Н. Кравченко // Электричество. — 1965. — №9. — С. 1—7.
152
23. Острейко В. Н. Аналитический метод расчёта электромагнитных полей в
неоднородных (слоистых) середах / В. Н. Острейко // Известия вузов.
Электромеханика. — 1991. — №10. — С. 27—34.
24. Ушаков А. Н. Аналитический расчёт трёхмерного магнитного поля
электрической машины методом интегральных уравнений / А. Н. Ушаков,
Н. Ю. Ушакова // Известия вузов. Электромеханика. — 1991. — №10. — С. 35—39.
25. Колесников Э. В. Квазистационарные электромагнитные поля в системах с
однонаправленным полем / Э. В. Колесников // Известия вузов. Электромеханика. —
1970. — №12. — С. 1294—1308.
26. Данько В. Г. Магнитное поле обмотки статора беззубцового генератора с
многослойной структурой ротора / В. Г. Данько, Л. Н. Ружинский, А. П. Грубой //
Электричество. — 1980. — №6. — С. 18—24.
27. Соломин А. В. Учёт влияния вытеснения тока в стержне вторичного
элемента линейного асинхронного двигателя при его произвольном расположении
по высоте паза / А. В. Соломин, Л. Л. Замшина // Известия вузов. Электромеханика.
— 2005. — №3. — С. 34—37.
28. Циганкова Г. А. Математичне моделювання магнітного поля в
електродинамометрі для розрахунку струмів у роторі дископодібної форми /
Г. А. Циганкова // Технічна електродинаміка. — 2009. — №4. — С. 28—35.
29. Бондина Н. Н. Электродинамические усилия, действующие на
цилиндрическую оболочку при колебательном разряде магнито-импульсной
установки / Н. Н. Бондина, Е. Г. Крамчанин, Л. А. Лютенко, В. М. Михайлов //
Электротехника и Электромеханика. — 2007. — №5. — С. 66—70.
30. Васецкий Ю. М. Геометрические параметры электромагнитных систем для
высокочастотного индукционного нагрева металлических лент / Ю. М. Васецкий,
И. Л. Мазуренко // Техническая электродинамика. — 2009. — №5. — С. 47—55.
31. Кондратенко И. П. Энергетические характеристики многополюсных
линейных индукционных машин с учётом конечной длины магнитопроводов /
И. П. Кондратенко, А. П. Ращепкин // Техническая электродинамика. — 2004. —
№1. — С. 3—10.
153
32. Карлов А. Н. Линейная индукционная машина с массивнозубчатым
ротором и короткозамкнутой обмоткой / А. Н. Карлов, И. П. Кондратенко,
А. П. Ращепкин // Техническая электродинамика. — 2007. — №4. — С. 62—68.
33. Архипов А. В. Динамическое торможение односторонней линейной
машины с постоянными магнитами / А. В. Архипов, И. П. Кондратенко,
А. П. Ращепкин // Техническая электродинамика. — 2008. — №1. — С. 36—41.
34. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике /
В. С. Владимиров. — М. : Наука, 1979. — 320 с.
35. Лунц Г. Л. Функции комплексного переменного с элементами
операционного исчисления / Г. Л. Лунц, Л. Э. Эльсгольц. — М. : ФИЗМАТЛИТ,
1958. — 297 с.
36. Бранспиз Ю. А. Учёт магнитных свойств материала магнитопровода
броневого электромагнита при расчёте тяговой характеристики / Ю. А. Бранспиз,
М. В. Загирняк, А. Н. Пшеничный // Электротехника и Электромеханика. — 2006. —
№1. — С. 17—20.
37. Самарский А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. — М. : Наука,
1997. — 557 с.
38. Ильин В. П. Численные методы решения задач электрофизики /
В. П. Ильин. — М. : Наука, 1985. — 336 с.
39. Методы расчёта электростатических полей / Н. Н. Миролюбов,
М. В. Костенко, М. Л. Левинштейн, Н. Н. Тиходеев. — М. : Высш. школа, 1963. —
415 с.
40. Брынский Е. А. Электромагнитные поля в электрических машинах /
Е. А. Брынский, Я. Б. Данилевич, В. И. Яковлев. — Л. : Энергия, 1979. — 176 с.
41. Туровский Я. Электромагнитные расчёты элементов электрических
машин : Пер. с польск. / Януш Туровский. — М. : Энергоатомиздат, 1986. — 200 с.
42. Селюк С. С. Электромагнитный расчёт линейного вихретокового тормоза /
С. С. Селюк, В. И. Астахов // Известия вузов. Электромеханика. — 1993. — №5. —
С. 3—11.
43. Милых В. И. Исследование магнитного поля и электродинамических
параметров линейного электродвигателя с большим зазором / В. И. Милых //
Электричество. — 1996. — №5. — С. 27—35.
154
44. Сидоров О. Ю. Конечно-разностное моделирование характеристик
осесимметричного индукционного устройства / О. Ю. Сидоров, В. А. Семёнов,
С. Ф. Сарапулов // Известия вузов. Электромеханика. — 2001. — № 1. — С. 32—35.
45. Виштак В. А. Продольный краевой эффект в линейных индукционных
машинах при изменении электропроводности вторичного тела по длине /
В. А. Виштак, И. П. Кондратенко, А. П. Ращепкин // Техническая электродинамика.
— 1995. — №4. — С. 16—21.
46. Антонюк О.А. Исследование индукционно-динамических систем с
магнитопроводом на ЭВМ / О. А. Антонюк, В. Н. Бокдалетов, А. А. Гусаров //
Техническая электродинамика. — 1982. — №4. — С. 76—81.
47. Милых В. И. Анализ фазовых соотношений электромагнитных величин в
турбогенераторе на основе численных расчетов магнитных полей / В. И. Милых,
Н. В. Полякова // Электротехника и Электромеханика. — 2003. — №4. — С. 59—64.
48. Милых В. И. Численно-полевой анализ силовых взаимодействий в
турбогенераторе / В. И. Милых, В. А. Бадовский // Электротехника и
Электромеханика. — 2009. — №3. — С. 32—36.
49. Резинкина М. М. Исследование магнитного поля трёхмерных
ферромагнитных объектов / М. М. Резинкина, Л. Э. Лобжанидзе // Техническая
электродинамика. — 2011. — №1. — С. 19—23.
50. Резинкина М. М. Численный расчёт магнитного поля и магнитного
момента ферромагнитных тел сложной пространственной конфигурации /
М. М. Резинкина // Журнал технической физики. — 2009. — Т. 79, №8. — С. 8—17.
51. Резинкина М. М. Использование численных расчётов для выбора средств
экранирования от действия магнитного поля / М. М. Резинкина // Журнал
технической физики. — 2007. — Т. 77, №11. — С. 17—24.
52. Taflove A. Computational electrodynamics: the finite difference time domain
method / A. Taflove, S. Hagness. — Boston-London: Artech House, 2000. — 852 p.
53. Silvester P. Finite element solution of saturable magnetic field problems /
P. Silvester, M. Chari // IEEE Trans. Power Appar. and Syst. — 1970. — V. PAS-89 —
№7. — P. 1643—1651.
155
54. Фильц Р. В. Теоретические положения к расчёту вихревых магнитных
полей в нелинейных анизотропных средах дифференциальным методом конечных
элементов / Р. В. Фильц // Известия вузов. Электромеханика. — 1991. — №3. —
С. 9—19.
55. Зенкевич О. К. Конечные элементы и аппроксимация / О. К. Зенкевич,
К. Морган. — М. : Мир, 1986. — 318 с.
56. Петухов И. С. Моделирование переменного электромагнитного поля в
ферромагнитной проводящей среде методом конечных элементов / И. С. Петухов //
Техническая электродинамика. — 2008. — №4. — С. 18—26.
57. Сидоров О. Ю. Особенности исследования линейного асинхронного
двигателя методом конечных элементов / О. Ю. Сидоров, Ф. Н. Сарапулов //
Известия вузов. Электромеханика. — 2010. — № 1. — С. 17—20.
58. Голенков Г. М. Оптимизация параметров линейного асинхронного
двигателя с токопроводящем слоем на бегуне методом конечных элементов /
Г. М. Голенков, А. В. Веремеенко // Электротехника и Электромеханика. — 2007. —
№5. — С. 9—11.
59. Голенков Г. М. Методы определения электромеханических характеристик
линейного асинхронного двигателя с токопроводящим слоем на бегуне /
Г. М. Голенков, А. В. Веремеенко, М. В. Богаенко, В. С. Попков // Электротехника и
Электромеханика. — 2009. — №3. — С. 17—19.
60. Рымша В. В. Математическое моделирование линейных вентильно-реактивных двигателей / В. В. Рымша // Электротехника и Электромеханика. —
2003. — №4. — С. 72—76.
61. Рымша В. В. Моделирование линейного вентильного-реактивного
двигателя с поперечным магнитным потоком / В. В. Рымша, И. Н. Радимов //
Электротехника и Электромеханика. — 2005. — №3. — С. 42—44.
62. Подольцев А. Д. Моделирование работы трёхфазного линейного
синхронного двигателя колебательного движения в пакете MATLAB/SIMULINK /
А. Д. Подольцев, Р. П. Бондарь // Электротехника и Электромеханика. — 2010. —
№6. — С. 31—34.
156
63. Бондар Р. П. Розрахунок робочих характеристик лінійного двигуна
зворотно-поступального руху в пакеті MATLAB/SIMULINK / Р. П. Бондар,
Г. М. Голенков, О. Д. Подольцев // Електротехніка і Електромеханіка. — 2010. —
№4. — С. 13—17.
64. Подольцев А. Д. Анализ динамических процессов в однофазном
магнитоэлектрическом линейном генераторе возвратно-поступательного движения /
А. Д. Подольцев, В. В. Козырский, А. В. Петренко // Техническая электродинамика.
— 2009. — №5. — С. 22—30.
65. Милых В. И. Анализ магнитного поля в линейном электродвигателе для
источников сейсмических колебаний / В. И. Милых, С. В. Ткаченко //
Электротехника и Электромеханика. — 2009. — №2. — С. 43—47.
66. Милых В. И. Силовые взаимодействия в линейном электродвигателе для
источников сейсмических колебаний / В. И. Милых, С. В. Ткаченко //
Электротехника и электромеханика. — 2008. — №6. — С. 36—39.
67. Милых В. И. Анализ факторов, влияющих на силовые параметры
линейного электродвигателя с коаксиальной магнитной системой / В. И. Милых,
С. В. Ткаченко // Вісник КрДУ імені М. Остроградського. — 2009. — Вип. 4 (57) . —
Ч. 1. — С. 44—47.
68. Соловейчик Ю. Г. Оптимизация геометрии линейных электромагнитных
двигателей с использованием конечноэлементного моделирования магнитного поля
/ Ю. Г. Соловейчик, В. Ю. Нейман, М. Г. Персова, М. Э. Рояк, Ю. Б. Смирнова,
Р. В. Петров // Известия вузов. Электромеханика. — 2005. — №2. — С. 24—28.
69. Анненков А. Н. Методика электромагнитного расчёта цилиндрических
линейных синхронных двигателей / А. Н. Анненков, С. Ю. Кобзистый // Известия
вузов. Электромеханика. — 2008. — №3. — С. 11—12.
70. Володин Г. И. Синтез индуктора линейного электродинамического модуля
/ Г. И. Володин, А. Ю. Бахвалов // Известия вузов. Электромеханика. — 2003. —
№3. — С. 21—24.
71. Седов В. И. Расчёт электромагнитного момента коллекторного двигателя
методом конечных элементов / В. И. Седов, Л. Д. Лушникова // Известия вузов.
Электромеханика. — 2006. — №1. — С. 18—21.
157
72. Папазов Ю. Н. Анализ механических характеристик короткозамкнутых
асинхронных электродвигателей методами теории электромагнитного поля /
Ю. Н. Папазов, В. А. Чувашев // Электротехника и Электромеханика. — 2005. —
№1. — С. 55—58.
73. Железняков А. В. Математическое моделирование и численное
исследование электромагнитных полей и процессов в погружных асинхронных
двигателях с литой медной короткозамкнутой обмоткой ротора / А. В. Железняков,
В. А. Чувашев // Электротехника и Электромеханика. — 2006. — №2. — С. 15—21.
74. Рымша В. В. Технология расчёта трёхмерного стационарного магнитного
поля в вентильно-реактивных электродвигателях на платформе ANSYS
WORKBENCH / В. В. Рымша, И. Н. Радимов // Электротехника и Электромеханика.
— 2006. — №6. — С. 25—32.
75. Милых В. И. Расчёт трёхмерного распределения магнитного поля мощного
турбогенератора в режиме холостого хода / В. И. Милых, А. И. Высочин //
Электротехника и Электромеханика. — 2011. — №3. — С. 30—32.
76. Байда Е. И. Расчёт переходных процессов в электромагнитном механизме
на основании уравнений электромагнитного поля / Е. И. Байда // Электротехника и
Электромеханика. — 2008. — №5. — С. 39—43.
77. Байда Е. И. Моделирование динамических характеристик
электромагнитных механизмов постоянного тока с магнитной защёлкой /
Е. И. Байда // Электротехника и Электромеханика. — 2010. — №2. — С. 3—5.
78. Байда Е. И. Влияние формы поперечного сечения магнитопровода
электромагнита постоянного тока на его быстродействие / Е. И. Байда //
Электротехника и Электромеханика. — 2011. — №3. — С. 15—17.
79. Подберезная И. Б. Экспресс-метод анализа электромагнитных полей в
нестационарных режимах на основе метода конечных элементов /
И. Б. Подберезная, Б. Н. Лобов, О. Ф. Ковалёв // Известия вузов. Электромеханика.
— 2007. — №2. — С. 7—9.
80. Тозони О. В. Расчёт трёхмерных электромагнитных полей / О. В. Тозони,
И. Д. Маергойз. — К. : Техніка, 1974. — 352 с.
158
81. Романович С. С. Моделирование сверхпроводящих и ферромагнитных
прецизионных систем на основе преобразования граничных интегральных
уравнений : дис. докт. технич. наук : 50.09.05 / Романович Станислав Семёнович. —
К., 1990. — 390 с.
82. Курбатов П. А. Численный расчёт электромагнитных полей /
П. А. Курбатов, С. А. Аринчин. — М. : Энергоатомиздат, 1984. — 168 с.
83. Нахамкин А. М. Исследование шихтованного ферромагнитного экрана
криогенной электрической машины / А. М. Нахамкин, А. М. Рубингаут //
Электричество. — 1980. — №6. — С. 24—30.
84. Найдек В. Л. Двумерная интегро-дифференциальная модель распределения
вихревых токов и электродинамических усилий в системе кристаллизатор —
индукционный перемешиватель машины непрерывного литья заготовок /
В. Л. Найдек, В. И. Дубоделов, В. Ф. Евдокимов, И. П. Кондратенко, А. А. Кучаев,
Е. И. Петрушенко, А. П. Ращепкин // Электронное моделирование. — 2004. — Т. 26,
№1. — С. 125—143.
85. Гальченко В. Я. Использование метода граничных интегральных
уравнений в оптимальном 3-D проектировании осесимметричных электромагнитов с
выбором формы полюсных наконечников / В. Я. Гальченко, А. Н. Якимов,
Д. Л. Остапущенко // Электротехника и Электромеханика. — 2010. — №6. —
С. 20—24.
86. Гальченко В. Я. Оптимальное конструирование электромагнитов с
коническими полюсами для генерации высокооднородного магнитного поля /
В. Я. Гальченко, А. Н. Якимов // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, №6.
— С. 85—95.
87. Розов В. Ю. Автоматическое управление внешним магнитным полем
технических объектов / В. Ю. Розов, Д. А. Ассуиров // Техническая
электродинамика. — 2011. — №1. — С. 11—18.
88. Ассуиров Д. А. Управление внешним магнитным полем технических
объектов с источниками управляющего поля поверхностно-распределённого типа /
Д. А. Ассуиров // Техническая электродинамика. — 2007. — №6. — С. 8—14.
159
89. Колечицкий Е. С. Расчёт электрических полей устройств высокого
напряжения / Е. С. Колечицкий. — М. : Энергоатомиздат, 1983. — 168 с.
90. Михайлов В. М. Об одной квадратуре для интегральных уравнений,
описывающих распределение источников поля / В. М. Михайлов // Электронное
моделирование. — 1988. — Т. 10, №2. — С. 26—29.
91. Романович С. С. Кубическая аппроксимация плотности вторичных
источников поля на прямоугольном граничном элементе / С. С. Романович,
С. Л. Иванова, С. Н. Коковина // Математические машины и системы. — 1997. —
№1. — С.72—77.
92. Полумисков М. А. Математические модели для расчёта электромагнитных
полей на основе сингулярных интегральных уравнений и их численное
исследование : автореф. дис. канд. техн. наук : 05.09.05 / Полумисков Михаил
Алексеевич. — Иваново, 2007. — 20 с.
93. Подгорный Д. Э. Расчёт магнитных полей в магнитопроводах
трансформаторов тока / Д. Э. Подгорный // Известия вузов. Электромеханика. —
1996. — №1—2. — С. 24—28.
94. Канторович Л. В. Приближённые методы высшего анализа /
Л. В. Канторович, В. И. Крылов. — Л. : Физматгиз, 1962. — 708 с.
95. Гречихин В. В. Математическое моделирование плоскомеридианных
магнитных полей в системах с постоянными магнитами / В. В. Гречихин // Известия
вузов. Электромеханика. — 2009. — №3. — С. 8—12.
96. Подберезная И. Б. Моделирование электромагнитных систем с
постоянными магнитами модифицированным методом интегральных уравнений /
И. Б. Подберезная, В. П. Гринченков, О. Ф. Ковалев // Известия вузов.
Электромеханика. — 2004. — №4. — С. 6—9.
97. Гальченко В. Я. Численный анализ пространственной конфигурации
магнитных полей объектов сложной геометрической формы с учётом нелинейных
характеристик веществ / В. Я. Гальченко, Д. Л. Остапущенко // Информационные
технологии. — 2008. — №8. — С. 43—49.
98. Загирняк М. В. Расчёт новой конструкции сепаратора для переработки
металлургических шлаков / М. В. Загирняк, В. М. Усатюк, С. В. Подарожний //
Электротехника и Электромеханика. — 2007. — №6. — С. 30—34.
160
99. Загирняк М. В. Оптимальное проектирование круглого электромагнита
подвесного железоотделителя / М. В. Загирняк, С. В. Подорожный //
Электротехника и Электромеханика. — 2009. — №3. — С. 25—28.
100. Макарычев Ю. М. Вихревые токи в магнитных системах топливных
форсунок / Ю. М. Макарычев, С. Ю. Рыжов // Электричество. — 1996. — №12 —
С. 58—63.
101. Букреев В. В. К расчёту магнитных полей рассеяния дефектов
ферромагнитных изделий / В. В. Букреев, Н. П. Корбан, О. Н. Мирошниченко,
В. В. Яковенко // Вісник КДУ імені М. Остроградського. — 2010. — Вип. 4 (63). —
Ч. 1. — С. 58—63.
102. Бахвалов Ю. А. Комбинированная математическая модель
квазистационарного магнитного поля на основе скалярных и векторного
потенциалов / Ю. А. Бахвалов, В. В. Гречихин, Ю. В. Юфанова // Известия вузов.
Электромеханика. — 2002. — №5. — С. 8—12.
103. Тихонов Д. Ю. Комбинированный метод расчёта нестационарных
плоскопараллельных электромагнитных полей / Д. Ю. Тихонов, А. Н. Ткачёв,
Й. Центнер // Известия вузов. Электромеханика. — 2002. — №4. — С. 39—49.
104. Бреббиа К. Методы граничных элементов / К. Бреббиа, Ж. Теллес,
Л. Вроубелл. — М. : Мир, 1987. — 527 с.
105. Бахвалов А. Ю. Расчёт стационарных и статических магнитных полей
шкивных сепараторов / А. Ю. Бахвалов // Известия вузов. Электромеханика. —
2006. — №2.— С. 19—24.
106. Ткачёв А. Н. Расчёт тяговых характеристик одностороннего линейного
асинхронного двигателя комбинированным методом / А. Н. Ткачев, Д. Ю. Тихонов //
Вестник Всероссийского научно-исслед. и проектно-конструкт. ин-та
электровозостроения. — 2005. — №1. — С. 30—42.
107. Телегин А. П. Решение интегральных уравнений в задачах
магнитостатики методом конечных элементов / А. П. Телегин, И. П. Стадник //
Известия вузов. Электромеханика. — 1987. — №11. — С. 44—49.
108. Мушенко А. С. Решение задачи Дирихле для двумерного уравнения
Лапласа методом конечных элементов / А. С. Мушенко // Известия вузов.
Электромеханик. — 2003. — №3. — С. 3—8.
161
109. Байрамкулов К. Н.-А. Расчёт магнитного поля в среде с неоднородными и
анизотропными свойствами на основе электрической цепи Кирхгофа / К. Н.-А. Байрамкулов, В. И. Астахов // Известия вузов. Электромеханика. — 2010. — №1.
— С. 3—11.
110. Боєв В. М. Аналіз квазістаціонарних магнітних полів в неоднорідних
середовищах з використанням розривних функцій : автореф. дис. докт. техн. наук :
05.09.05 / Боєв Вячеслав Михайлович. — К., 1999. — 35 с.
111. Петражицкий А. С. Исследование трёхмерных магнитостатических полей
на основе интегрального уравнения для вектора намагниченности /
А. С. Петражицкий // Известия вузов. Электромеханика. — 1987. — №11. — С. 50—
53.
112. Петрушенко Є. І. До апроксимації інтегральних рівнянь теорії
електромагнітного поля алгебраїчними системами / Є. І. Петрушенко // Доповіді АН
УРСР. Сер. А. — 1969. — №7. — С. 618—621.
113. Боженко А. И. Моделирование на ЦВМ вихревых токов в
осесимметричных индукционных нагревателях с учётом симметричности исходного
интегрального уравнения / А. И. Боженко, Д. Е. Вильнер, Е. И. Петрушенко,
П. М. Ройзман, В. С. Рыськов. — К. : Ин-т электродинамики АН УССР, 1980. —
52 с.
114. Стадник И. П. Метод СЛАУ расчёта статических плоскопараллельных
полей в кусочно-однородных средах (вторичные источники: простой слой зарядов;
кусочно-постоянная и кусочно-линейная аппроксимации) / И. П. Стадник,
Д. М. Филиппов // Техническая электродинамика. — 2007. — № 6. — С. 20—27.
115. Стадник И. П. Метод СЛАУ расчёта статических плоскопараллельных
полей в кусочно-однородных средах (вторичные источники: простой слой токов;
кусочно-линейная аппроксимация) / И. П. Стадник, Д. М. Филиппов // Техническая
электродинамика. — 2008. — № 5. — С. 12—17.
116. Стадник И. П. Метод интегральных уравнений для расчёта вихревых
токов в движущихся протяженных ферромагнитных проводниках с иллюстрацией
на линейном асинхронном электродвигателе / И. П. Стадник, Д. М. Филиппов //
Техническая электродинамика. — 2010. — № 3. — С. 14—20.
162
117. Стадник И. П. Аналитическое решение задачи расчёта вихревых токов и
тягового усилия линейного асинхронного электродвигателя / И. П. Стадник,
Д. М. Филиппов // Вісник КрНУ імені М. Остроградського. — 2012. — Вип. 1 (72) .
— Ч. 1. — С. 11—16.
118. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы /
Г. Б. Двайт. — М. : Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1973. — 228 с.
119. Стадник И. П. Методы и алгоритмы синтеза магнито- и
электростатических полей : дис. докт. техн. наук : 05.09.05 / Стадник Иван
Петрович. — Симферополь, 1987. — 369 с.
120. Стадник И. П. Метод последовательных приближений для разложения по
неортогональной системе и его применение к синтезу осесимметричной катушки по
заданному магнитному полю на оси / И. П. Стадник // Известия вузов.
Электромеханика. — 1982. — №2. — С. 137—144.
121. Стадник И. П. Оптимизация параметров линейного асинхронного
электродвигателя с гладким статором из условия максимума пускового усилия
/ И. П. Стадник, Д. М. Филиппов // Учёные записки ТНУ имени В. И. Вернадского.
Серия «Физико-математические науки». — 2010. — Т. 23 (62), №1. — Ч. 1. —
С. 131—138.
122. Стадник И. П. Анализ электромагнитного поля линейного асинхронного
двигателя методом СЛАУ / И. П. Стадник, Д. М. Филиппов // Проблемы повышения
эффективности электромеханических преобразователей в электроэнергетических
системах : материалы Международной научно-технической конференции
(Севастополь, 17—20 сентября 2012 г.). — Севастополь : Изд-во СевНТУ, 2012. —
С. 77—82.
123. Крылов В. И. Вычислительные методы высшей математики, том 1 /
В. И Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный. — М. : Наука, Гл. ред. физ-мат.
лит., 1976. — 302 с.
124. Стадник И. П. Повышение эффективности метода интегральных
уравнений расчёта магнитостатических полей в кусочно-однородных средах /
И. П. Стадник, А. В. Жильцов // Техническая электродинамика. — 2003. — №2. —
С. 3—8.
163
125. Стадник И. П. Метод СЛАУ расчёта статических плоскопараллельных
полей в кусочно-однородных средах / И. П. Стадник, Д. М. Филиппов // Вісник
Східноукраїнського національного університету імені В. Даля. — 2007. — № 4
(110). — Ч. 1. — С. 100—106.
126. Laithwaite E. R. Linear-motion electrical machines / E. R. Laithwaite,
S. A. Nasar // Proceedings of the IEEE. — 1970. — № 58(4). — P. 531–542.
127. Ильин В. А. Линейная алгебра: Учеб. для вузов. — 6-е изд., стер. /
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 280 с.