ДОСЛІДЖЕННЯ ЧИСЕЛЬНИХ МЕТОДІВ ДЛЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ СТАЦІОНАРНИХ ПРОЦЕСІВ В ОБЛАСТЯХ ДОВІЛЬНОЇ ФОРМИ

brief description

Київський національний університет
імені Тараса Шевченка

На правах рукопису

ВОЙЦЕХОВСЬКИЙ СЕРГІЙ ОЛЕКСАНДРОВИЧ

УДК 517.958: 519.6: 539.3

ДОСЛІДЖЕННЯ ЧИСЕЛЬНИХ МЕТОДІВ
ДЛЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ СТАЦІОНАРНИХ ПРОЦЕСІВ В ОБЛАСТЯХ ДОВІЛЬНОЇ ФОРМИ

01.05.02 математичне моделювання та обчислювальні методи

Дисертація на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук

Науковий консультант
Ляшко Сергій Іванович,
доктор фізико-математичних наук,
професор

Київ ‑ 2001

ЗМІСТ

ВСТУП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
РОЗДІЛ 1. РІЗНИЦЕВІ МЕТОДИ В КРАЙОВИХ ТА СПЕКТРАЛЬНИХ
ЗАДАЧАХ ДЛЯ ЕЛІПТИЧНИХ ОПЕРАТОРІВ
(ОГЛЯД ЛІТЕРАТУРИ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
РОЗДІЛ 2. ЗАДАЧІ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ТА
ВАРІАЦІЙНІ НЕРІВНОСТІ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1. Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2. Задачі оптимального керування для операторів другого порядку . . . . . . . 49
2.3. Задачі оптимального керування для операторів червертого порядку . . . . 75
2.4. Варіаційні нерівності другого порядку з обмеженням
усередині області . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.5. Висновки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
РОЗДІЛ 3. КРАЙОВІ ТА СПЕКТРАЛЬНІ ЗАДАЧІ ДЛЯ РІВНЯНЬ
ДРУГОГО І ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКІВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.1. Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2. Рівняння другого порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.3. Система рівнянь теорії пружності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.4. Рівняння четвертого порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.5. Задачі на власні значення для рівнянь другого порядку . . . . . . . . . . . . . . 149
3.6. Висновки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
РОЗДІЛ 4. ЗАДАЧІ З РОЗРИВНИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ
У ПРЯМОКУТНИКУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.1. Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.2. Рівняння другого порядку. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.3. Системи рівнянь другого порядку. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.4. Задачі на власні значення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.5. Висновки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

РОЗДІЛ 5. ЗАДАЧІ З ГЛАДКИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ
У ПРЯМОКУТНИКУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.1. Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.2. Рівняння Гельмгольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.3. Рівняння четвертого порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.4. Задачі на власні значення для оператора Гельмгольца . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.5. Висновки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
ВИСНОВКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

ВСТУП

Багато процесів, що установилися, різної фізичної природи являють собою приклади стаціонарних задач, зокрема, це задачі теорії пружності, пластичності, дифракції, акустики, задачі поширення електромагнітних хвиль в хвилеводах та багато інших. Математичні моделі стаціонарних задач описуються рівняннями еліптичного типу. Універсальність математичних моделей дозволяє легко переходити до дослідження нових процесів та явищ. Для вивчення математичних моделей в основному використовуються чисельні методи. Сучасні обчислювальні алгоритми дають можливість отримувати за допомогою комп'ютерів наближені розв'язки складних задач із заданою точністю за потрібний час.
Для успішного розв'язування прикладних задач дуже важливе значення має створення якісного програмного забезпечення, насамперед, проблемно-орієнтованих пакетів прикладних програм.
Для чисельного розв'язування крайових та спектральних задач для еліптичних операторів застосовуються два основних класи наближених методів метод скінченних різниць та метод скінченних елементів, що обумовлено двома основними факторами:
1. Вони мають такі властивості як універсальність, гнучкість та модульність, тобто властивості, які повинні задовольняти методи при їх застосуванні в обчислювальному експерименті.
2. Ці методи відповідають структурі та можливостям сучасних комп'ютерів.
Слід відзначити, що, незважаючи на різні принципи побудови дискретних моделей, методи їх дослідження, метод скінченних різниць і метод скінченних елементів фактично мають однакову ідейну базу. Кожен з цих методів має свої переваги та недоліки. Так, наприклад, метод скінченних елементів в першу чергу орієнтовано на розв'язування задач в областях складної форми, метод скінченних різниць на канонічні області. У той же час обчислювальна реалізація методу скінченних елементів є значно складнішою, ніж методу скінченних різниць.
Важливим напрямком теорії методу скінченних різниць є побудова та дослідження різницевих схем для задач в областях довільної форми. Тут можна виділити два підходи:
1. Застосування різницевих схем на рівномірних сітках. Нерегулярні внутрішні вузли розглядаються як граничні, а крайові умови для різницевої задачі задаються інтерполяцією нульового або першого порядку.
2. Використання різницевих схем на нерівномірних сітках.
Однак при таких підходах ускладнюється обчислювальна реалізація різницевих схем у порівнянні з різницевими схемами для канонічних областей.
Ще одним важливим напрямком теорії методу скінченних різниць є побудова та обгрунтування різницевих схем для задач з розривними коефіцієнтами. Тут можна виділити два класи задач:
1. Задачі, в яких розв'язок є кусково достатньо гладким.
2. Задачі, в яких розв'язок кусково належить просторам Соболєва, тобто розглядаються задачі, коли розв'язок диференціальної задачі задовольняє мінімальні умови гладкості.
Найбільший інтерес для практики представляють задачі другого класу. Це обумовлено тим, що більшість практичних задач належить саме до цього класу.
Крім того, важливим напрямком теорії методу скінченних різниць є побудова різницевих розв'язків з високим порядком точності. Тут можна виділити два основних підходи:
1. Використання багатоточкових різницевих схем.
2. Застосування екстраполяційного методу Річардсона, який використовує розв'язки задач на послідовності сіток.
Слід відзначити, що обчислювальна реалізація багатоточкових різницевих схем є більш складною, ніж найпростіших різницевих схем (це, як правило, різницеві схеми другого порядку точності). У той же час в екстраполяційному методі Річардсона використовуються найпростіші різницеві схеми. Складаючи лінійну комбінацію розв'язків цих різницевих схем на послідовності сіток, можна отримати розв'язок з високим порядком точності.
Можна виділити три основні властивості екстраполяційного методу Річардсона:
1. Використання найпростіших різницевих схем.
2. Однорідність реалізації алгоритмів на послідовності сіток.
3. Простота реалізації усього алгоритму в цілому.
Оскільки більшість практичних задач є задачами з узагальненими розв'язками, то найбільший інтерес являє собою побудова різницевих розв'язків з високим порядком точності саме для цього класу задач.
Тому можна зробити висновок, що побудова та обгрунтування нового класу різницевих схем для еліптичних задач в областях складної форми, еліптичних рівнянь з розривними коефіцієнтами при мінімальних вимогах до гладкості розв'язку, а також побудова різницевих розв'язків з високим порядком точності для еліптичних задач з узагальненими розв'язками є актуальними задачами.

Актуальність теми. З точки зору методу скінченних різниць ідеальною областю у двовимірному випадку для розрахунків є прямокутник. Саме для цієї області розроблено найбільш ефективні прямі та ітераційні методи. Тому в роботах В.К.Саульєва [139] та В.І.Лебєдєва [84] було запропоновано два варіанти методу, який дістав назву методу фіктивних областей і який дозволяє розглядати широкий клас еліптичних задач у прямокутнику. Задачі в прямокутнику апроксимуються різницевими схемами, для реалізації яких використовуються ефективні ітераційні методи, розроблені для прямокутника.
Слід відзначити, що розв'язки задач, побудованих за допомогою методу фіктивних областей, мають невисоку гладкість. Тому застосування класичних методів теорії методу скінченних різниць тут неможливе. Необхідно будувати різницеві схеми для задач з узагальненими розв'язками. Оскільки метод фіктивних областей дозволяє розглядати широкий клас еліптичних задач у прямокутнику, то його комбінація з методом скінченних різниць має велике значення при розробці функціонального наповнення пакетів прикладних програм. Такий підхід значно спрощує перехід від однієї прикладної задачі до іншої. Тому побудова та обгрунтування різницевих схем для задач методу фіктивних областей є актуальною задачею.
Широкий клас практичних задач описується еліптичними рівняннями з розривними коефіцієнтами, причому розв'язок диференціальної задачі кусково не є достатньо гладким, а лише належить просторам Соболєва. Застосування традиційної методики побудови та обгрунтування різницевих схем тут неможливе. Потрібно розробити новий підхід, який давав би можливість будувати та обгрунтовувати різницеві схеми для вищевказаного класу задач. Тому побудова та обгрунтування різницевих схем для задач з розривними коефіцієнтами при мінімальних вимогах до гладкості розв'язку є актуальною задачею.
Значний інтерес як для практики, так і для теорії методу скінченних різниць являють методи, точність яких зростає із збільшенням гладкості розв'язків. Одним з таких методів, який дозволяє будувати різницеві розв'язки з високим порядком точності, є екстраполяційний метод Річардсона. Слід відзначити, що повне обгрунтування екстраполяційного методу Річардсона, тобто без ніяких припущень відносно гладкості розв'язків допоміжних задач, проведено тільки для рівняння Гельмгольца у випадку класичних розв'язків [99, с.176]. Однак, більшість практичних задач мають лише узагальнені розв'язки. Тому повне обгрунтування екстраполяційного методу Річардсона для задач з узагальненими розв'язками є актуальною проблемою.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у відповідності з комплексними науковими програмами Київського національного університету імені Тараса Шевченка у рамках фундаментальних держбюджетних тем № 97057 Методи без насичення точності для розв'язування еволюційних диференціальних та псевдо-диференціальних рівнянь”, № 97507 Чисельно-аналітичні методи в проблемі дослідження розв'язності та побудові ефективних алгоритмів при проведенні обчислювального експерименту”, № 01БФ015-04 Розробка теорії наближень та високоефективних чисельних алгоритмів для проведення обчислювального експерименту при дослідженні задач сучасних біотехнологій та аерогідродинаміки”. При виконанні останньої теми автор був науковим керівником.
Мета і задачі дослідження. Мета досліджень обгрунтування різницевих схем, побудованих на основі методу фіктивних областей, які використовуються для дослідження математичних моделей стаціонарних процесів в областях довільної форми, побудова і дослідження різницевих схем для еліптичних рівнянь з розривними коефіцієнтами при мінімальних вимогах до гладкості розв'язку у прямокутнику та повне обгрунтування екстраполяційного методу Річардсона для еліптичних задач з узагальненими розв'язками у прямокутнику.
Для досягнення поставленої мети необхідно розв'язати наступні задачі:
· обгрунтувати метод фіктивних областей для задач оптимального керування та варіаційних нерівностей;
· побудувати та дослідити точність різницевих схем для вищезазначених задач;
· обгрунтувати різницеві схеми, які побудовано на основі методу фіктивних областей, для еліптичних операторів другого та четвертого порядків;
· побудувати та дослідити точність різницевих схем для еліптичних операторів другого порядку з розривними коефіцієнтами в крайових та спектральних задачах;
· отримати теоретичні результати про гладкість узагальнених розв'язків крайових задач для еліптичних рівнянь другого та четвертого порядків;
· провести повне обгрунтування екстраполяційного методу Річардсона в крайових та спектральних задачах для еліптичних операторів другого та четвертого порядків.
Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:
· уперше обгрунтовано метод фіктивних областей в задачах оптимального керування для еліптичних операторів другого, четвертого порядків та варіаційних нерівностей другого порядку з обмеженням усередині області;
· для вищезазначеного класу задач побудовано різницеві схеми та досліджено їх точність;
· запропоновано та обгрунтовано різницеві схеми, побудовані на основі методу фіктивних областей, в крайових задачах для еліптичних операторів другого, четвертого порядків;
· установлено оцінки точності різницевих схем методу фіктивних областей в спектральних задачах для еліптичних операторів другого порядку;
· запропоновано та обгрунтовано різницеві схеми в крайових задачах для еліптичних операторів другого порядку з розривними коефіцієнтами при мінімальних вимогах до гладкості розв'язку;
· досліджено точність нових різницевих схем у спектральних задачах для еліптичних операторів другого порядку з розривними коефіцієнтами при мінімальних вимогах до гладкості власних функцій;
· уперше проведено повне обгрунтування екстраполяційного методу Річард-сона в крайових задачах для еліптичних операторів другого та четвертого порядків з узагальненими розв'язками;
· одержано нові теоретичні результати про гладкість узагальнених розв'язків крайових задач для еліптичних рівнянь другого та четвертого порядків;
· уперше проведено повне обгрунтування екстраполяційного методу Річард-сона в спектральних задачах для еліптичних операторів другого порядку у випадку узагальнених власних функцій.
Вірогідність отриманих теоретичних результатів забезпечується тим, що вони сформульовані у вигляді теорем і лем, які повністю доведено.
Практичне значення одержаних результатів. Отримані в дисертації результати можуть бути використані:
· для дослідження нелінійних математичних моделей стаціонарних процесів в областях довільної форми;
· при побудові методів високої точності розв'язування стаціонарних задач;
· у навчальному процесі при читанні спеціальних курсів, для написання дипломних та дисертаційних робіт.
Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримано особисто або за участю автора. У роботах, написаних у співавторстві, автору дисертації належить:
· в [45] теореми 2, 4;
· в [46] теореми 2, 3.
В [90, 141, 143, 144] співавтори брали участь в обговоренні напрямку досліджень, в [92, 93] у постановці задачі та обговоренні результатів, в [38, 43] проводили чисельні експерименти для перевірки одержаних теоретичних результатів.
Апробація результатів дисертації. Основні концепції, ідеї, положення і результати досліджень було подано на наукових конференціях та семінарах: Міжнародній конференції Informatics Numerical and Applied Mathematics. Theory, Applications, Perspectives” (Kiev, 1996), VII Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 1998), VIII Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 2000), Міжнародній конференції Моделювання та оптимізація складних систем (МОСС) 2001” (Київ, 2001), Міжнародній науковій конференції Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки” (Дрогобич, 2001), IX Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 2002), Міжнародній конференції Обчислювальна та прикладна математика” (Київ, 2002), наукових семінарах в Інституті кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України (Київ, 2001), наукових семінарах факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка (1999-2001).
Публікації. За темою дисертації опубліковано 32 наукові праці. Основні результати дисертації викладено в роботах [21, 23, 24, 26, 28-31, 33, 35-38, 43, 45, 46, 90, 92, 93, 141, 143, 144], надрукованих у виданнях, затверджених ВАК України. Серед цих робіт 12 опубліковано без співавторів.
Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 180 найменувань. Загальний обсяг дисертації становить 288 сторінок, основний текст роботи викладено на 270 сторінках.
Перейдемо до короткого викладу змісту дисертації.
У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертаційної роботи, формулюються мета і задачі дослідження, викладено короткий зміст дисертації і отриманих у ній результатів, виділено їх новизну і практичну цінність.

bibliography

ВИСНОВКИ

1. У дисертаційній роботі обгрунтовано метод фіктивних областей в задачах оптимального керування для еліптичних операторів другого, четвертого порядків та варіаційних нерівностей другого порядку з обмеженням усередині області.
2. Для вищезазначеного класу задач побудовано різницеві схеми та досліджено їх точність.
3. Запропоновано та обгрунтовано різницеві схеми для дослідження матема-тичних моделей стаціонарних процесів в областях довільної форми, які описуються крайовими та спектральними задачами для еліптичних операторів другого, четвертого порядків.
4. Досліджено точність нових різницевих схем в крайових та спектральних задачах для еліптичних операторів другого порядку з розривними коефіці-єнтами у випадку, коли розв'язок диференціальної задачі кусково належить просторам Соболєва.
5. Отримано нові теоретичні результати про гладкість узагальнених розв'язків крайових задач для еліптичних рівнянь другого та четвертого порядків.

6. Уперше проведено повне обгрунтування екстраполяційного методу Річард-сона в крайових та спектральних задачах для еліптичних операторів другого, четвертого порядків у випадку узагальнених розв'язків.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. ‑ М.:Наука, 1987. 360 с.
2. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Харьков:Вища школа, 1977. Т.1. 316 с.
3. Бабенко К.И. Основы численного анализа. ‑ М.:Наука, 1986. 744 с.
4. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства: Пер. с англ. ‑ М.:Мир, 1988. 448 с.
5. Бахвалов Н.С., Богачев К.Ю., Мэтр Ж.Ф. Эффективный алгоритм решения жестких эллиптических задач с приложениями к методу фиктивных областей //Журналвычислительной математики и математической физики. 1999. Т.39. ‑ №6. С.919-931.
6. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. ‑ М.:Наука, 1984. 520 с.
7. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках: Пер. с англ. ‑ М.:Мир, 1984. 494 с.
8. Бенсусан А., Лионс Ж.‑Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства: Пер. с фран. ‑ М.:Мир, 1987. 600 с.
9. Берикелашвили Г.К. К вопросу об оценках точности экстраполяционного метода Ричардсона для сильно эллиптических систем //Сообщения АН Груз. ССР. 1985. Т.118. ‑ №1.‑ С.45-48.
10. Бирман М.Ш., Скворцов Г.Е. О квадратичной суммируемости старших производных решения задачи Дирихле в области с кусочно-гладкой границей //Известия высших учебных заведений. Математика. 1962. ‑ №5(30). С.12‑21.
11. Бугров А.Н. Итерационные схемы решения сеточных уравнений, возникающих в методе фиктивных областей//Численный анализ. Новосибирск. 1978. С.10‑23.
12. Бугров А.Н. Метод фиктивных областей в задаче о поперечном изгибе тонкой пластины//Численные методы механики сплошной среды. 1977. Т.8. ‑ №4. С.45-58.
13. Бугров А.Н. Метод фиктивных областей для уравнений с частными производными эллиптического типа //Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Ч.2. Новосибирск. 1978. С.24-35.
14. Букенов М.М. Метод фиктивных областей для среды Максвелла //Численные методы и пакеты программ для решения уравнений математической физики. Новосибирск. 1985. С.117-125.
15. Буренков В.И. Об аддитивности классов //Труды Математического института АН СССР. 1967. Т.89. С.31-55.
16. Бурковская В.Л., Макаров В.Л. О применимости метода сеток и метода прямых к решению одного класса задач теории оптимального управления //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1983. Т.23. ‑ №4. С.798-805.
17. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. М.:Изд-во МГУ, 1991. 156 с.
18. Вабищевич П.Н. Численное решение краевых задач для эллиптических уравнений четвертого порядка //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1984. Т.24. ‑ №8. С.1196-1206.
19. Вабищевич П.Н., Гассиев Р.В., Пулатов Н.А. Вычислительная реализация метода фиктивных областей для эллиптических уравнений на основе попеременно-треугольного метода //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1987. Т.27. ‑ №9. С.1381-1387.
20. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ. ‑ М.:Мир, 1987. 542 с.
21. Войцеховский С.А. Об оценке скорости сходимости разностных схем для эллиптических уравнений второго порядка в областях произвольной формы //Обчислювальна та прикладна математика. 1993. Вип.77. С.12-18.
22. Войцеховский С.А. Об оценке скорости сходимости разностных схем для эллиптических уравнений четвертого порядка в областях произвольной формы //Вычислительная и прикладная математика. 1992. Вып.73. С.14-19.
23. Войцехівський С.О. Оцінка швидкості збіжності різницевих схем в задачах на власні значення для еліптичних операторів другого порядку з розривними коефіцієнтами //Вісник Київського університету. Серія: фізико‑математичні науки. 1999. Вип. №3. С.172-176.
24. Войцехівський С.О. Оцінка швидкості збіжності різницевих схем в задачах на власні значення для оператора Гельмгольца в областях довільної форми //Вісник Київського університету. Серія: фізико‑математичні науки. 1999. Вип. №4. С.105-109.
25. Войцехівський С.О. Оцінка швидкості збіжності різницевих схем для бігармонічного рівняння в областях довільної форми //Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. 1993. Вип. №3. С.96‑101.
26. Войцехівський С.О. Оцінка швидкості збіжності різницевих схем для еліптичного оператора четвертого порядку в областях довільної форми //Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. 1998. Вип. №1. С.149-154.
27. Войцехівський С.О. Оцінка швидкості збіжності різницевих схем для еліптичного рівняння другого порядку в областях довільної форми //Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. 1995. Вип. №1. С.161-166.
28. Войцеховський С.О. Оцінка швидкості збіжності різницевих схем для задачі вигину ортотропної пластинки довільної форми //Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. 1998. Вип. №3. С.155-162.
29. Войцеховський С.О. Оцінка швидкості збіжності різницевих схем для першої крайової задачі теорії пружності в областях довільної форми //Обчислювальна та прикладна математика. 1997. №2(82). С.13-17.
30. Войцехівський С.О. Оцінка швидкості збіжності різницевих схем для рівняння Гельмгольца в областях довільної форми //Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. 1996. Вип. №2. С.115-120.
31. Войцеховський С.О. Підвищення точності методу сіток в задачах на власні значення //Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. 2000. Вип. №2. С.205-212.
32. Войцеховский С.А. Приближенное решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в областях произвольной формы //Вычислительная и прикладная математика. 1984. Вып.54. С.26-31.
33. Войцеховский С.А. Приближенное решение задачи Неймана для эллиптического уравнения второго порядка в областях произвольной формы //Вычислительная и прикладная математика. 1984. Вып.53. С.52-57.
34. Войцехівський С.О. Про оцінку швидкості збіжності різницевих схем для рівняння Гельмгольца в областях довільної форми //Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. 1994. Вип. №1. С.195‑201.
35. Войцеховський С.О. Різницева задача на власні значення для еліптичних операторів другого порядку з розривними коефіцієнтами //Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. 2000. Вип. №1. С.200-203.
36. Войцехівський С.О. Точність екстраполяційного методу Річардсона для еліптичних рівнянь четвертого порядку //Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. 1999. Вип. №1. С.166-170.
37. Войцехівський С.О. Точність екстраполяційного методу Річардсона для рівняння Гельмгольца //Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. 1999. Вип. №2. С.209-212.
38. Войцехівський С.О., Войцехівська Т.Г. Про оцінку швидкості збіжності різницевих схем для еліптичних рівнянь з розривними коефіцієнтами на рівномірній сітці //Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. 1992. Вип. №7. С.34-38.
39. Войцеховский С.А., Гаврилюк И.П. О сходимости разностных решений к обобщенным решениям первой краевой задачи для квазилинейного уравнения четвертого порядка в областях произвольной формы //Дифференциальные уравнения. 1985. Т.21. ‑ №9. С.1582-1590.
40. Войцеховский С.А.,Макаров В.Л. Об оценке скорости сходимости разностных схем для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами на регулярной сетке //Вычислительная и прикладная математика. 1985. Вып.55. С.21-26.
41. Войцеховский С.А., Новиченко В.Н. Метод фиктивных областей для задачи изгиба анизотропных пластинок //Вычислительная и прикладная математика. 1987. Вып.63. С.57-63.
42. Войцеховский С.А., Новиченко В.Н. Метод фиктивных областей для системы уравнений теории упругости //Вычислительная и прикладная математика. 1988. Вып.64. С.16-23.
43. Войцеховский С.А., Новиченко В.Н. Об оценке скорости сходимости разностных схем для эллиптических уравнений второго порядка в областях произвольной формы //Вычислительная и прикладная математика. 1991. Вып.75. С.20-25.
44. Войцеховский С.А., Гаврилюк И.П., Макаров В.Л. Сходимость разностных решений к обобщенным решениям первой краевой задачи для эллиптического оператора четвертого порядка в областях произвольной формы //Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23. ‑ №8. С.1403-1407.
45. Войцеховский С.А., Гаврилюк И.П., Саженюк В.С. Оценки скорости сходимости разностных схем для вариационных эллиптических неравенств второго порядка в произвольной области //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1986. Т.26. ‑ №6. С.827-836.
46. Войцеховский С.А., Гаврилюк И.П., Саженюк В.С. Оценки сходимости метода штрафа для вариационных эллиптических неравенств второго порядка //Украинский математический журнал. 1987. Т.39. ‑ №2. С.245-250.
47. Гаврилюк И.П., Макаров В.Л., Пирназаров С.П. Согласованные оценки скорости сходимости разностных решений к обобщенным решениям первой краевой задачи для уравнений четвертого порядка //Известия высших учебных заведений. Математика. 1983. ‑ №2(249). С.15-22.
48. Гаврилюк И.П., Приказчиков В.Г., Химич А.Н. Точность решения разностной краевой задачи для эллиптического оператора четвертого порядка со смешанными граничными условиями //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1986. Т.26. ‑ №12. С.1821-1830.
49. Гаврилюк И.П., Лазаров Р.Д. Макаров В.Л., Пирназаров С.П. Оценки скорости сходимости разностных схем для уравнений четвертого порядка эллиптического типа //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1983. Т.23. ‑ №2. С.355-365.
50. Гаевский Х., Грeгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения: Пер. с нем. М.:Мир, 1978. 336 с.
51. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка: Пер. с англ. ‑ М.:Наука, 1989. 464 с.
52. Гладкий А.В., Ляшко И.И., Мистецкий Г.Е. Алгоритмизация и численный расчет фильтрационных схем. Киев:Наукова думка, 1981. 281 с.
53. Гловински Р., Лионс Ж.‑Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств: Пер. с фран. М.:Мир, 1979. 574 с.
54. Горовая Е.Н., Ривкинд В.Я. Сеточный метод решения квазилинейных эллиптических и параболических уравнений с разрывными коэффициентами //Методы вычислений. Ленинград. ‑ 1970. Вып.6. С.22-41.
55. Гусева О.В. О краевых задачах для сильно эллиптических систем //Доклады АН СССР. 1955. Т.102. ‑ №6. С.1069-1073.
56. Дейнека В.С., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Математические модели и методы расчета задач с разрывными решениями. ‑ К.:Наукова думка, 1995. 262 с.
57. Дейнека В.С., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Модели и методы решения задач с условиями сопряжения. ‑ К.:Наукова думка, 1998. 615 с.
58. Дмитренко М.Е., Оганесян Л.А. Решение эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами на регулярной сетке //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. Т.14. ‑ №4. С.906-918.
59. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. ‑ М.:Наука, 1989. 272с.
60. Дюво Г., Лионс Ж.‑Л. Неравенства в механике и физике: Пер. с фран. М.:Наука, 1980. 384 с.
61. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике:Пер. с англ. М.:Мир, 1976. 541с.
62. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. ‑ М.:Наука, 1985. 334 с.
63. Йованович Б.С. О сходимости дискретных решений к обобщенным решениям краевых задач //Вариационно-разностные методы в математической физике. Москва. 1984. С.120-129.
64. Калиткин Н.И. Численные методы. М.:Наука, 1978. 512 с.
65. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики. Казань:Из-во Казанского университета, 1976. Т.1. 158 с.
66. Карчевский М.М., Саримов Н.Н. Метод фиктивных областей для одной задачи теории смазки подшипников скольжения //Сеточные методы решения задач математической физики. Казань. 1984. С.75-80.
67. Киндерлерер Д., Стампакья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения : Пер. с англ. М.:Мир, 1983. 256 с.
68. Колдоркина В.А. О решениях уравнения в кусочно-гладкой области //Дифференциальные уравнения. 1972. Т.8. ‑ №2. С.374-376.
69. Коллатц Л. Задачи на собственные значения: Пер. с нем. М.:Наука, 1968. 504с.
70. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками //Труды Московского математического общества. 1967. Т.16. С.209-292.
71. Коновалов А.Н. Численное решение задач теории упругости. Новосибирск: Из‑во Новосибирского университета, 1968. 128 с.
72. Коновалов А.Н., Коробицына Ж.Л. Метод фиктивных областей для задач теории упругости в напряжениях //Модульный анализ. Новосибирск. 1978. С.12-20.
73. Коновалов А.Н., Конюх Г.В., Цуриков Н.В. О принципах построения итерационных процессов в методе фиктивных областей //Вариационные методы в задачах численного анализа. Новосибирск. 1986. С.58-79.
74. Копченов В.Д. Метод фиктивных областей для второй и третьей краевых задач //Труды Математического института АН СССР. 1974. Т.131. С.119-127.
75. Копченов В.Д. Приближение решения задачи Дирихле методом фиктивных областей //Дифференциальные уравнения. 1968. Т.4. ‑ №1. С.151-164.
76. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л.:Изд-во ЛГУ, 1977. 208 с.
77. Кошелев А.И. Регулярность решений эллиптических уравнений и систем. ‑ М.:Наука, 1986. 240 с.
78. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения: Пер. с англ. ‑ М.:Наука, 1988. 304 с.
79. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. ‑ М.:Наука, 1973. 408 с.
80. Ладыженская О.А. Простое доказательство разрешимости основных краевых задач и задачи о собственных значениях для линейных эллиптических уравнений //Вестник Ленинградского университета. Серия: математика, механика, астрономия. 1955. ‑ №11. С.23-29.
81. Ладыженская О.А.Смешанная задача для гиперболического уравнения. ‑ М.:ГИТТЛ, 1953. 280 с.
82. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.:Наука, 1973. 576 с.
83. Лазаров Р.Д. О сходимости разностных решений к обобщенным решениям бигармонического уравнения в прямоугольнике //Дифференциальные уравнения. 1981. Т.17. ‑ №7. С.1295-1303.
84. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики. 1. //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т.4. ‑ №3. С.449-465.
85. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.:Физматгиз, 1957. 463 с.
86. Лионс Ж.‑Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач: Пер. с фран. М.:Мир, 1972. 588 с.
87. Лионс Ж.‑Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными: Пер. с фран. М.:Мир, 1972. 414с.
88. Ляшенко И.Н., Мередов Х.М. Численное решение некоторых спектральных задач теории колебаний. К.:Вища школа, 1978. 203 с.
89. Ляшко И.И., Демченко Л.И., Мистецкий Г.Е. Численное решение задач тепло- и массопереноса в пористых средах. ‑ К.:Наукова думка, 1991. 264 с.
90. Ляшко И.И., Ляшко С.И., Войцеховский С.А. Приближенное решение одного класса задач теории оптимального управления в областях произвольной формы //Кибернетика и системный анализ. 2000. ‑ №1. С.138-146.
91. Ляшко С.И. Обобщенное управление линейными системами. К.:Наукова думка, 1998. 471 с.
92. Ляшко С.І., Войцехівський С.О., Гаркуша В.І. Про один підхід до розв'язування задачі оптимального керування еліптичними системами в областях довільної форми //Журнал обчислювальної та прикладної математики. 1997. ‑ №1(81). С.72-78.
93. Ляшко С.І., Войцехівський С.О., Гаркуша В.І. Розв'язування одного класу задач теорії оптимального керування в областях довільної форми //Журнал обчислювальної та прикладної математики. 1998. ‑ №1(83). С.71-82.
94. Ляшко С.И., Войцеховский С.А., Номировский Д.А., Семенов В.В. Численная оптимизация некоторых моделей с обобщенным воздействием //Волинський математичний вісник. 1999. Вип. №6. С.97-101.
95. Макаров В.Л., Самарский А.А. Применение точных разностных схем к оценке скорости сходимости метода прямых //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980. Т.20. ‑ №2. С.371-387.
96. Макаров В.Л., Бурковская В.Л., Копыстыра Н.П. Об оценке точности метода сеток для задачи оптимального управления эллиптическими системами //Вычислительная и прикладная математика. 1987. Вып.61. С.12-19.
97. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. ‑ М.:Наука, 1989. 608 с.
98. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. ‑ М.:Наука, 1981. 416 с.
99. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. ‑ М.:Наука, 1979. 320 с.
100.Мизохата С. Теория уравнений с частными производными: Пер. с япон. М.:Мир, 1977. 504 с.
101.Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными: Пер. с англ. ‑ М.:Мир, 1981. 216 с.
102.Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.:Наука, 1983. 424с.
103.Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. ‑ М.:Высшая школа, 1977. 431с.
104.Михлин С.Г.Численная реализация вариационных методов. ‑ М.:Наука, 1966. 432 с.
105.Молчанов И.Н. Машинные методы решения прикладных задач. Дифференциальные уравнения. ‑ К.:Наукова думка, 1988. 344 с.
106.Молчанов И.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости. ‑ К.:Наукова думка, 1979. 316 с.
107.Никифоровский С.В. Сходимость метода двусторонних приближений при продолжении по младшему коэффициенту //Вариационно-разностные методы в задачах численного анализа. Новосибирск. 1988. С.112-121.
108.Николаева Н.И. Метод фиктивных областей в задачах на собственные значения //Численные методы в механике сплошной среды. 1979. Т.10. ‑ №6. С.106-112.
109.Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. ‑ М.:Наука, 1977. 456 с.
110.Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач: Пер. с англ. ‑ М.:Мир, 1977. 384 с.
111.Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван:Изд-во АН Арм. ССР, 1979. 335 с.
112.Оганесян Л.А., Руховец Л.А. О вариационно-разностных схемах для линейных эллиптических уравнений второго порядка в двумерной области с кусочно-гладкой границей //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. Т.8. ‑ №1. С.97-114.
113.Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными: Пер. с англ. ‑ М.:Мир, 1975. 558 с.
114.Орунханов М.К., Смагулов Ш. К теории метода фиктивных областей //Численные методы механики сплошной среды. 1982. Т.13. ‑ №2. С.125-137.
115.Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения: Пер. с англ. М.:Мир, 1989. 494 с.
116.Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы: Пер. с англ. ‑ М.:Мир, 1983. 384 с.
117.Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. ‑ М.:Наука, 1984. 288 с.
118.Позняк Л.Т. Об использовании метода фиктивных областей для оценки снизу собственных значений дифференциальных операторов //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. Т.19. ‑ №4. С.921-936.
119.Приказчиков В.Г. Прототипы итерационных процессов в задаче на собственные значения //Дифференциальные уравнения. 1980. Т.16. ‑ №9. С.1688-1697.
120.Приказчиков В.Г. Разностная задача на собственные значения для эллиптического оператора //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т.5. ‑ №4. С.648-657.
121.Приказчиков В.Г. Разностная задача на собственные значения для эллиптического оператора второго порядка со смешанными краевыми условиями //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1982. Т.22. ‑ №3. С.655-662.
122.Приказчиков В.Г., Химич А.Н. Разностная задача на собственные значения для эллиптического оператора четвертого порядка со смешанными краевыми условиями //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1985. Т.25. ‑ №10. С.1486-1495.
123.Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.:Наука, 1975. 319 с.
124.Рвачев В.Л., Курпа Л.В. R‑функции в задачах теории пластин. ‑ К.:Наукова думка, 1987. 176 с.
125.Рвачев В.Л., Синекоп Н.С. Метод R‑функций в задачах теории упругости и пластичности. ‑ К.:Наукова думка, 1990. 216 с.
126.Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике: Пер. с англ. ‑ М.:Мир, 1985. 590 с.
127.Pешение вариационных неравенств в механике/И.Главачек, Я.Гаслингер, И.Нечас, Я.Ловишек/Пер. с чеш. М.:Мир, 1986. 270 с.
128.Ривкинд В.Я. Об оценке скорости сходимости однородных разностных схем для эллиптических и параболических уравнений с разрывными коэффициентами //Проблемы математического анализа. Ленинград. ‑ 1966. Вып.1. С.110-119.
129.Ривкинд В.Я. Приближенный метод решения задачи Дирихле и об оценках скорости сходимости решений разностных уравнений к решениям эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами //Вестник Ленинградского университета. Серия: математика, механика, астрономия. 1964. ‑ №13. С.37‑52.
130.Рихтмайер Р.Д., Мортон К.У. Разностные методы решения краевых задач: Пер. с англ. ‑ М.:Мир, 1972. 348 с.
131.Руховец Л.А. Метод фиктивных областей в задачах об установившихся ветровых течениях //Численные методы механики сплошной среды. 1981. Т.12. ‑ №2. С.98-116.
132.Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. ‑ М.:Наука, 1971. 552с.
133.Самарский А.А. Теория разностных схем. ‑ М.:Наука, 1983. 616 с.
134.Самарский А.А., Андреев В.Б.Разностные методы для эллиптических уравнений. ‑ М.:Наука, 1976. 352 с.
135.Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. ‑ М.:Наука, 1978. 592 с.
136.Самарский А.А., Фрязинов И.В. О разностных схемах решения задачи Дирихле в произвольной области для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1971. Т.11. ‑ №2. С.385-410.
137.Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. ‑ М.:Высшая школа, 1987. 296 с.
138.Саульев В.К. К вопросу решения задачи о собственных значениях методом конечных разностей //Вычислительная математика и вычислительная техника. М.:Изд-во АН СССР. 1955. Вып.2. С.116-144.
139.Саульев В.К. Об одном методе автоматизации решения краевых задач на быстродействующих вычислительных машинах //Доклады АН СССР. 1962. ­ Т.144. ‑ №3. С.497-500.
140.Саульев В.К. Об оценке погрешности при нахождении собственных функций методом конечных разностей //Вычислительная математика. М.:Изд-во АН СССР. 1957. Вып.1. С.87-115.
141.Сергієнко І.В., Ляшко С.І., Войцехівський С.О. Узагальнена оптимізація деяких моделей //Доповіді НАН України. 1999. ‑ №9. С.107-109.
142.Сергиенко И.В., Скопецкий В.В., Дейнека В.С. Математическое моделирование и исследование процессов в неоднородных средах. Киев:Наукова думка, 1991. 432 с.
143.Скопецкий В.В., Ляшко С.И., Войцеховский С.А. Приближенное решение задачи оптимального управления эллиптическими системами в областях произвольной формы //Кибернетика и системный анализ. 1999. ‑ №6. - С.3-8.
144.Скопецкий В.В., Ляшко С.И., Войцеховский С.А. Численное исследование эллиптических систем с разрывными коэффициентами //Кибернетика и системный анализ. 2000. ‑ №4. С.157-161.
145.Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. ‑ М.:Наука, 1990. 448 с.
146.Соболев С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. ‑ М.:Наука, 1989. 254 с.
147.Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.:Наука, 1988. 336 с.
148.Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов: Пер. с англ. ‑ М.:Мир, 1977. 352 с.
149.Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач: Пер. с англ. М.:Мир, 1980. 512 с.
150.Тимошенко С.П. Курс теории упругости. ‑ К.:Наукова думка, 1972. 502 с.
151.Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. М.:Издательство иностранной литературы, 1961. Т.II. 555 с.
152.Треногин В.А. Функциональный анализ. ‑ М.:Наука, 1980. 496 с.
153.Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы: Пер. с англ. ‑ М.:Мир, 1980. 664 с.
154.Трубников Ю.В., Перов А.И. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями. Минск:Наука и техника, 1986. &nda