Инвариантные относительно сдвигов меры и усреднение операторных полугрупп в бесконечномерных пространствах Завадский Дмитрий Викторович

brief description

Завадский, Дмитрий Викторович.
Инвариантные относительно сдвигов меры и усреднение операторных полугрупп в бесконечномерных пространствах : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.01 / Завадский Дмитрий Викторович; [Место защиты: ФГАОУ ВО «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)»]. - Москва, 2020. - 93 с. : ил.
Оглавление диссертациикандидат наук Завадский Дмитрий Викторович
Введение
Глава 1. Трансляционно-инвариантные меры на локально
выпуклых пространствах
1.1 Построение трансляционно-инвариантной меры на пространстве последовательностей вещественных чисел
1.1.1 Схема построения
1.1.2 Шаг
1.1.3 Шаг
1.1.4 Шаг
1.1.5 Шаг 4 (финальный)
1.2 Свойства построенной меры
1.3 Трансляционно-инвариантная мера на пространстве ограниченных последовательностей вещественных чисел
1.4 Трансляционно-инвариантные меры на пространствах суммируемых последовательностей вещественных чисел
1.5 Борелевские сигма-алгебры на пространствах суммируемых последовательностей действительных чисел
Глава 2. Пространства интегрируемых функций и
операторные полугруппы
2.1 Пространства интегрируемых функций и некоторые их подпространства
2.2 Разрывные операторные полугруппы в гильбертовых пространствах
2.3 Полугруппы операторов сдвига
Глава 3. Усреднение операторных полугрупп
3.1 Специальные классы гауссовских мер
3.2 Усреднение полугрупп операторов сдвига
3.3 Непрерывная зависимость усредненных полугрупп
Стр.
Заключение
Список литературы
Введение
Актуальность работы. Исследование мер в бесконечномерных линейных пространствах, инвариантных относительно сдвигов на произвольный вектор, представляет интерес в следующих теориях:
1. теория инвариантных мер на группах, не являющихся локально компактными (см. [29] [8], [11], [7] [27]);
2. теории дифференциальных уравнений для функций бесконечномерного аргумента (см. [23], [3], [26], [28] [32], [20]);
3. теория бесконечномерных гамильтоновых систем (см. [15], [16], [21]);
4. теория случайных блужданий в бесконечномерном пространстве (см. [19], [18], [33], [19], [30], [31]).
В данной работе рассматривается ряд вопросов анализа в бесконечномерных пространствах, тесно связанных с теорией меры и дифференциальным исчислением. В конечномерном анализе важную роль играет мера Лебега. Однако известно, что в бесконечномерном случае не существует меры, которая обладает всеми свойствами классической меры Лебега (см. [8; 11]). Теорема А. Вейля утверждает, что в бесконечномерном линейном топологическом пространстве не существует определенной на борелевской а-алгебре нетривиальной меры, которая обладает следующими свойствами:
1. инвариантность относительно сдвигов;
2. а-конечность;
3. локальная конечность;
4. а-аддитивность.
При этом существуют меры, которые обладают лишь некоторыми свойствами классической меры Лебега (см. [1; 11; 17; 18;29]). В работе изучаются трансляци-онно-инвариантные меры в различных пространствах последовательностей.
В силу утверждения теоремы Вейля, для построения трансляционно-инвариантных мер на бесконечномерных пространствах требуется расширить понятие меры на группе, не являющейся локально компактной. Под мерой на группе будем понимать неотрицательную аддитивную функцию, определенную на некотором кольце подмножеств группы. В работах [6], [19] и [17] изучаются трансляционно-инвариантные меры на сепарабельных банаховых
пространствах, обладающие всеми свойствами меры Лебега, кроме счетной аддитивности и борелевости (не всякое ограниченное борелевское подмножество является измеримым). В работах Бейкера и Панцулая исследуются меры на банаховых и топологических векторных пространствах последовательностей, обладающие всеми свойствами меры Лебега, кроме а-конечности и локальной конечности. В диссертации также изучается класс (определенных на борелев-ских а-алгебрах пространств последовательностей вещественных чисел) мер, которые обладают следующими свойствами: