ПСИХОЛОГІЯ ТВОРЧОГО МАТЕМАТИЧНОГО МИСЛЕННЯ

Краткое содержание

У вступі обґрунтована актуальність проблеми, визначені об’єкт, предмет, мета, гіпотеза й завдання дослідження, методологічні та методичні підходи. Висвітлено наукову новизну, теоретичну та практичну значущість роботи. Наведено відомості про особистий внесок автора, апробацію і впровадження результатів дослідження та структуру дисертації.

Перший розділ “Проблема творчого мислення” присвячений теоретичному аналізові стану дослідження психологією проблеми творчості і творчого мислення, зокрема; опису складових математичного мислення, що виокремлюють його з поміж інших видів мислення. В розділі, виходячи з мети роботи, систематизовано численні підходи до дослідження та розвитку творчого математичного мислення з акцентом на його процесуальному змісті та індивідуальних проявах, викладено методологічні позиції системно-структурного підходу до його вивчення.

Екскурс в історію вивчення творчості показує, що однією із складних проблем на цьому шляху є перш за все диференціювання діяльності людини на творчу й нетворчу. Найчастіше у вітчизняній і зарубіжній літературі творчою вважається людська діяльність, що породжує щось якісно нове із суб’єктивної точки зору того, хто займається цією діяльністю (А.В.Антонов, О.М.Матюшкін, Д.Н.Заваліши-на, В.О.Моляко, Я.О.Пономарьов, Б.М.Теплов, О.К.Тихомиров, А.Кестлер, Р.С.Ман-філд, Г.Саймон). При цьому творча діяльність має свої конкретно-психологічні ха-рактеристики: механізми мотивації (Я.О.Пономарьов, В.М.Дружинін), доля образ-них компонентів (О.М.Леонтьєв, В.О.Моляко, Д.Пойя), зміна оцінки завдання (Ж.Адамар), зміщення акценту уваги (Г.С.Альтшуллер, Е.Боно).

Найбільш відомі спроби знайти загальні ознаки математичної творчості  належать А.Пуанкаре, Д.Пойя, Ж.Адамару, Г.Біркгофу, Н.Бурбакі. З точки зору А.Пуанкаре, в основі математичної творчості лежить математична інтуїція, що є провідником у міркуваннях. Згідно позицій Ж.Адамара, основна ідея винаходу в ма-тематиці – це підсвідомий вибір і поєднання існуючих у суб’єкта ідей за естетич-ними почуттями. Д.Пойя вважає, що математичне знання утворюється в результаті правдоподібних міркувань, які нагадують експериментальний метод природничих наук. Н.Бурбакі переносять акцент з аналізу діяльності суб’єкта, чи з нього самого на аналіз норм організації об’єкта дослідження. З позицій Г.Біркгоффа, істотні ас-пекти людської психології й поведінки мають структуру  дискретних математичних систем, тому творчий процес можна виразити певною математичною системою.

Сучасний підхід до вивчення інтелектуальної творчості базується на  уявлен-нях психології про мисленнєвий процес і здійснюється на основі подолання розріз-неності інтелектуальних та мотиваційних планів дослідження творчості. Цьому сприяють праці С.Л.Рубінштейна, А.В.Брушлінського, Л.С.Виготського, Г.С.Костю-ка, П.Я.Гальперіна, В.В.Давидова, О.К.Тихомирова, Ж.Піаже та інших.

Творче мислення розглядають у різних аспектах: феноменологічному, змістовому і структурному аспектах. Структурному аспекту приділяється чимала увага на сучасному етапі досліджень у цій сфері (Я.О.Пономарьов, В.О.Моляко, Д.Н.Завалішина, І.М.Семенов та інші). Ми обрали саме структурний підхід як засіб побудови процесуально-динамічної характеристики творчого математичного мислення, виділяючи процес розуміння задачі, процес формування проекту розв’язання, процес апробації мисленнєвих гіпотез.

Дедалі більшого визнання у дослідженнях творчого мислення набуває системний підхід. Доцільність цього відзначали С.Л.Рубінштейн, Б.М.Теплов, Г.С.Костюк, А.В.Брушлінський, Я.О.Пономарьов, В.Н.Пушкін та інші. Такий підхід дає змогу диференціювати різні рівні мисленнєвої діяльності й об’єднати їх у ці-лісну систему, що забезпечує розв’язання конкретних проблем. Згідно з таким під-ходом проводився аналіз результатів нашого експериментального дослідження, що базувався на вивченні когнітивної, операційної та регулятивно-особистісної складових творчого математичного мислення.

Творче математичне мислення пов’язується його дослідниками із специфікою математики: формалізацією об’єктивних процесів, наявністю знакової символіки, одночасним функціонуванням аксіоматичного та конструктивного методів побудови математичних теорій, алгоритмічністю розв’язання багатьох математичних задач. Математичне мислення містить ряд компонентів: логічний, інтуїтивний, числовий, символьний, просторовий, адже воно послуговується правилами формальної логіки (Р.Декарт, Д.Пойя, В.А.Крутецький) та неусвідомленими мисленнєвими актами (А.Пуанкаре, Ж.Адамар, Д.Д.Мордухай-Болтовський); оперує числовими характеристиками (В.А.Крутецький), символьними та просторовими математичними об’єктами (Г.С.Костюк, Ф.Клейн).

Дослідження творчого мислення великою мірою ґрунтуються на наукових позиціях С.Л.Рубінштейна, О.М.Леонтьєва, А.В.Брушлінського, О.М.Матюшкіна, К.О.Славської, О.К.Тихомирова та інших, які вважали його таким, що виникає із проблемної ситуації і спрямоване на її розв’язання. Дотримуючись цієї традиції, ми досліджували творче математичне мислення як процес розв’язання творчих математичних задач.

Серед ознак творчої задачі, дослідники виділяють: її новизну для конкретного суб’єкта (В.О.Моляко); зміну домінуючих рівнів у процесі розв’язання аж до пере-ходу неусвідомлених рівнів у ранг домінуючих (Я.О.Пономарьов); факт “блокува-ння” процесу розв’язування після тривалого нерезультативного пошуку (В.К.Заре-цький, І.Н.Семенов); можливість розв’язувати задачу кількома способами (В.О.Мо-ляко, А.Б.Коваленко), наявність прихованого смислу (А.Б.Коваленко). При цьому розв’язок математичної задачі – це і шлях пошуку результату, і сам отриманий результат.

Увагу дослідників математичного мислення привертають його особливості, пов’язані з класом, видом, типом задач, що розв’язуються (Д.Пойя, Ж.Адамар, В.А.Крутецький, Л.М.Фрідман та інші). При цьому до диференціювання задач застосовують різні критерії. В даній роботі було проведено подібний аналіз із застосуванням авторського критерію поділу математичних задач. Майже усі задачі, що задіяні в дослідженні, були поділені на 4 класи (задачі на знаходження невідомої величини, задачі на доведення, задачі на побудову, задачі на дослідження), що поді-ляються за характером вимоги до задачі: знайти, довести, побудувати, дослідити. Досліджувані за кілька сеансів розв’язували по 23 задачі (по одній кожного класу) в спеціальній аудиторії без будь-якого втручання експериментатора. При цьому велася стенограма реплік, запитань, що супроводжували пошуковий процес, фіксувалась поведінка досліджуваних та їх письмові записи. Після розв’язування проводилася бесіда з досліджуваними про хід відшукання розв’язку.

Щоб отримати досить різнобічну характеристику творчого математичного мислення, воно вивчалось: 1) на різних етапах процесу розв’язування тієї чи іншої задачі (вивчення умови задачі, формування гіпотези розв’язку, перевірка гіпотези); 2) за допомогою аналізу складових процесів (розуміння, прогнозування, апробації гіпотези); 3) при розв’язуванні різних класів задач (на знаходження невідомої величини, на доведення, на побудову, на дослідження); 4) при розв’язанні задач з різною формою подання умови (для цього експериментальні задачі було поділено на 23 серії). Ці напрями дослідження утворили єдину комплексну програму, що дозволила отримати інформацію про творче математичне мислення. Такий підхід дозволив нам у ході дослідження: 1) скласти процесуально-динамічну харак-теристику творчого математичного мислення через наскрізні характеристики процесів, що є його складовими; 2) визначити відмінності такої характеристики для різних класів задач; 3) проаналізувати характер індивідуальних проявів творчого математичного мислення.

У другому розділі “Розуміння творчої математичної задачі” проведено аналіз існуючих у сучасній психології поглядів на феномен розуміння та процес розуміння при розв’язуванні творчих задач. Описуються результати експериментального вивчення процесу розуміння творчих математичних задач студентами. Дано процесуально-динамічну характеристику цього процесу, проаналізовано його відмінності при розв’язуванні задач різних класів.

Увага до феномену розуміння, його природи, ролі й значення в діяльності суб’єкта є однією з характерних особливостей сучасного етапу філософських, пси-хологічних, педагогічних досліджень. Проте, попри численні дослідження вказаного феномена, які проводяться у психології (С.Л.Рубінштейн, Г.С.Костюк, Л.Л.Гурова, Ю.К.Корнілов, В.В.Знаков, В.О.Моляко, Н.В.Чепелева, А.Б.Коваленко та інші), досі залишається багато не вивченого.

Найчастіше вивчаючи феномен розуміння, дослідники оперують передусім поняттями психології мислення, звертаючись утім і до інших психічних процесів (Г.С. Костюк, М.Д.Левітов та інші). Інколи розуміння  розглядається як одна з форм мислення (К.К.Платонов, В.Шевчук, Ю.К. Корнілов та інші) або властивостей мислення (Л.Л. Гурова). Деякі автори наголошують на тому, що розуміння не зводиться до мислення і включає в себе інші психічні процеси (пам’ять, уяву) (В.В.Знаков, В.О.Моляко, А.Б.Коваленко). Саме з таких позицій проводиться аналіз процесу розуміння в даній роботі.

Розуміння не можна віднести лише до однієї якоїсь стадії пошукового мисленнєвого процесу, результат розуміння формується впродовж усіх етапів розв’язання задачі (В.В.Знаков, А.Б.Коваленко, Ю.К.Корнілов, В.О.Моляко). Зокрема й процес розуміння творчої математичної задачі є наскрізним, він пронизує весь хід пошуку розв’язку. Аналіз наших експериментальних результатів доводить, що при розумінні умови творчої математичної задачі суб’єкт спочатку виділяє елементи (числа, символи, операції, геометричні фігури тощо), впізнає їх призначення, а після знаходить зв’язки між ними як шляхом висунення й перевірки низки гіпотез про ці зв’язки (на етапі вивчення умови), так і шляхом висунення гіпотез про шляхи розв’язання (на етапі формування гіпотези розв’язку) та якості математичного результату (на етапі перевірки). Гіпотези, що спрямовані на об’єднання розрізнених елементів умови задачі, поступово переплітаються в процесі розуміння з гіпотезами щодо змісту розв’язку. Адекватність таких гіпотез визначає успішність розуміння. Кожна гіпотеза якось спрямовує процес розуміння, але висвітлює лише окремі сторони проблемної ситуації, про яку йдеться у задачі і які охоплені її діючою моделлю. Тому невраховування  суттєвих властивостей складових об‘єктів приводить до хибного розуміння задачі, яке можна подолати, або висуванням іншої гіпотези в межах моделі або зміною моделі. Зміст мисленнєвих дій на етапі перевірки отриманого результату творчої математичної задачі (переосмислення ланцюга мисленнєвих кроків, його апробація в різних умовах) також спрямовані на поглиблення розуміння сутності задачі. Це відбувається за рахунок взаємодії числового, символьного і просторового компонентів математичного мислення, а основою цього процесу є когнітивна складова (знання, досвід, суб’єктивні системи смислів, словниковий запас).

Розуміння творчої математичної задачі спирається на конкретні актуалізовані математичні знання, які у процесі розв’язування задач певним чином добираються, щоразу зіставляються з умовою й вимогою задачі і на цій основі селекціонуються. Але в математичних поняттях часто суттєві ознаки завуальовані, спресовані в певному концепті, і це кожного разу потребує свого осмислення. В результаті такої мисленнєвої діяльності втримуються додаткові математичні знання про задану ситуацію, вони стають основою для появи  точнішого розуміння суб’єктом задачі. Приріст знань у процесі розуміння відбувається також через створення мисленнєвих конструкцій (математичних новоутворень) на основі приєднання, складання, заміщення кількох елементів та логічного переродження елементів. Варто підкреслити, що значна частина дослідників пояснює механізм розуміння через осмислення (А.В.Антонов, А.А.Брудний, Л.Л.Гурова, Л.П.Доблаєв, Г.С.Костюк, Ю.К.Корнілов) і переосмислення (А.Б.Коваленко).

Вплив досвіду на розуміння творчої математичної задачі неоднозначний, адже нова інформація, що міститься в задачі, накладаючись на власний досвід суб’єкта, викликає з його пам’яті подібну задачу. Якщо віднайдений еталон відповідає новій задачі, то це поглиблює розуміння нового. Якщо ж подібність не суттєва, то такий стан речей часто породжує хибне розуміння, надовго гальмує пошуковий процес. Стосовно творчих математичних задач це дуже актуально, бо в математиці існують певні типи задач, алгоритми розв’язання яких відомі, але діють лише за певних умов.

Ми експериментально переконались, що успішність перебігу процесу розуміння творчої математичної задачі пов’язана: із суб’єктивною системою смислів (суб’єктивною організацією знань у систему), що породжує різне бачення однієї і тієї ж задачної ситуації різними людьми; з обсягом математичного тезауруса суб’єкта, що сприяє осмисленню того, що суб’єкт намагається зрозуміти.

Таким чином, психологічною сутністю процесу розуміння творчої математичної задачі можна вважати пошук математичних еталонів, з якими має зіставлятися нова інформація про досліджуваний об’єкт із метою виявлення сутності цієї інформації через осмислення та переосмислення її змісту.

Що стосується операційного компонента розуміння творчих математичних задач, то він забезпечує оперування суб’єктивними знаннями, зіставлення нової інформації з наявною системою знань, засвоєння нової інформації; включає методи виділення смислу задач; організовує висування й селекціонування гіпотез. Оперування формалізованими об’єктами в процесі розуміння математичних задач відбувається за допомогою мисленнєвих процедур впізнавання, прогнозування й об’єднання, що є ситуативним поєднанням певних мисленнєвих прийомів, при цьому розуміння творчої математичної задачі набуває форм розуміння-впізнавання, розуміння-прогнозування, розуміння-об’єднання, розуміння-пояснення, які доміну-ють на різних етапах творчого математичного мислення.

В будь-якому пошуковому процесі важливу роль відіграють суб’єктивні переваги у використанні мисленнєвих операцій – мисленнєві тенденції (В.О.Моляко). Ці переваги у мисленнєвій діяльності проявляються в кожному складовому процесі розв’язання творчої задачі. Тому, досліджуючи процес розуміння творчих математичних задач, ми розпочали виявлення та аналіз діючих мисленнєвих тенденцій, що виявляються у суб’єктивній перевазі діяти за аналогією, всупереч аналогії, комбінуючи, чи поєднуючи попередні прийоми.  Загалом, процес розуміння опирається також на індивідуальні прояви мислення (можливість побачити проблемну ситуацію, сформулювати задачу для себе, особливості аналізу і використання умов задачі, співвідношення усвідомленого й неусвідомленого тощо), що разом із суб’єктивними мисленнєвими тенденціями є основою регулятивно-особистісного компонента процесу розуміння творчої задачі.

У процесі розуміння творчих математичних задач можна виділити ряд мікроетапів: загальне ознайомлення з умовою задачі; розподіл умови на головну й другорядну частини; перекодування задачі на “свою мову”; доповнення тексту ескізами, замальовками; новий рівень вивчення умови задачі; виділення сутності задачі; етап включення умови математичної задачі в ланцюг суб’єктивного досвіду; настання певного рівня розуміння умови й висування гіпотези про розв’язок задачі. Така схема є загальною при розв’язанні творчих математичних задач різних класів, хоч слід відзначити, що процеси розуміння задач з різними вимогами мають якісні відмінності, які проявляються впродовж всього процесу розв’язування. Це виражається через актуалізацію й добір знань, через зміст гіпотез, через різну значущість компонентів творчого математичного мислення.

У третьому розділі “Формування гіпотези розв’язку творчої математичної задачі” на основі системного підходу до аналізу процесу формування гіпотези розв’язку визначається місце й роль когнітивного, операційного та регулятивно-особистісного компонентів творчого математичного мислення; описуються основні стратегічні прийоми, що забезпечують пошук розв’язку творчих математичних задач; запропоновано процесуально-динамічну характеристику процесу формування гіпотези розв’язку; виокремлюються шляхи побудови розв’язку при розв’язанні математичних задач різних класів.

Проведене нами дослідження дає підстави стверджувати, що процес формування гіпотези розв’язку творчих математичних задач має спільні риси, що не залежать від основних тенденцій побудови математичних теорій, чи від розділу математики, хоч спектр математичних задач дуже широкий, а зміст прийомів, які застосовуються для їх розв’язання, дуже різноманітний. Натомість можна виділити три принципово різні шляхи побудови гіпотези розв’язку творчих математичних задач: структурний, теоретичний, комбінований, які відповідно зорієнтовані на структурні математичні об’єкти, на актуалізовані теоретичні факти, пов’язані із задачею, і на поєднання перших і других.

Загальним результатом етапу вивчення умови будь-якої задачі є репрезентація задачі, при якій її складові стають однорідними – такими, що можуть бути зіставлені. Дослідники мисленнєвого процесу (С.Л.Рубінштейн, Я.О.Пономарьов, В.О.Моляко, Д.Б.Богоявленська та інші) підкреслюють, що це досягається через відволікання від одного їх якісного змісту й акцентування уваги на іншому, тобто через створення суб’єктивної моделі задачі, що відповідає її об’єктивному змістові. Такий стан справ приводить до того, що в умові математичної задачі виділяються деякі орієнтири, які є достатньо визначальними для вибору напряму пошуку розв’язку (О.К.Тихомиров, Д.Пойя, В.О.Моляко, С.І.Шапіро та інші).

Процес пошуку розв’язку творчих математичних задач в будь-якому випадку скеровується потоком асоціацій, зорових образів, понять, які з’являються під впливом умови задачі у свідомості того, хто їх розв’язує, або підсвідомо. Відбувається актуалізація деяких складових задачі та математичних фактів -  виникають орієнтири процесу формування гіпотези розв’язку творчої математичної задачі. Інколи це відбувається під дією відомих задач (цьому сприяє алгоритмізація розв’язання багатьох математичних задач), або в результаті застосування евристичних прийомів. Часто актуалізуються структурні елементи за певними ознаками, теоретичні математичні положення (означення, теореми, властивості тощо), зорові образи, новоутворені математичні об’єкти (ті, що створенні суб’єктом розв’язання). Симбіоз суб’єктивно привабливих структурних елементів задачі, математичних понять, ідей трансформування математичних об’єктів, зорових образів створює певне уявлення про майбутній розв’язок – первинне уявлення розв’язку, що виникає і функціонує у вигляді ідеї або зорового образу.

Частіше за все первинне уявлення про розв’язок творчої математичної задачі виникає в її моделі, яка не завжди повністю адекватна умові, тому воно, як правило, не може повністю задовольнити вимогу задачі і потребує в подальшому свого розвитку, що досягається за допомогою прогнозування. Таким чином, процес формування гіпотези розв’язку творчої математичної задачі як мисленнєве оперування формалізованими математичними об’єктами - це багатоступеневий процес наближення бажаного результату через актуалізацію різноманітних математичних понять, через трансформування образів математичних об’єктів, що виникають, через висування, перевірку й відбір різних ідей (гіпотез), прогнозів.

Так виникає провідна ідея – гіпотеза, яка стосується подолання проблемної ситуації, що існує у функціонуючій моделі задачі, і є напрямком розвитку, деталізації первинного поняття розв’язку. Подальші мисленнєві дії спрямовуються на дослідження провідної ідеї, що в першу чергу виражаються у появі пучків мікрогіпотез, які з нею пов’язані і прямо не сприяють суб’єктивному переформулюванню змісту функціонуючої моделі задачі чи зміні змісту первинного уявлення про розв’язання. Такі зміни можливі із зміною провідної ідеї.