Божко Віра Геннадіївна. Формування комбінаторних знань та вмінь у процесі вивчення математики в основній школі

Краткое содержание

У вступі обґрунтовано актуальність теми, визначено об’єкт, предмет, мету, завдання, методологічну основу і методи дослідження, наукову новизну, теоретичне і практичне значення, охарактеризовані впровадження, апробація та результати дослідження.
У першому розділі “Досліджувана проблема в педагогічній теорії та практиці” визначено психолого-педагогічні основи вивчення комбінаторики в основній школі на сучасному етапі побудови навчально-виховного процесу з урахуванням сучасних вимог до розвитку шкільної математичної освіти, проведено аналіз науково-методичної літератури з проблеми дослідження. Значну увагу приділено розвитку комбінаторного мислення у процесі вивчення математики в основній школі.
Проблема включення елементів комбінаторики у шкільну програму не нова, і хоча вона давно вже є предметом обговорення, до цього часу не отримала задовільного розв’язання. Це пояснюється рядом причин: відсутністю підручників, посібників, дидактичних матеріалів, методичних розробок, слабкою матеріальною базою, консерватизмом та формалізмом в організації шкільної освіти, скороченням навчальних годин, непідготовленістю вчителів. З педагогічного погляду введення елементів комбінаторики в курс математики є процесом специфічним та складним. Пропедевтичний матеріал з комбінаторики повинен послідовно включатись до змісту навчання математики в основній школі. Першу спробу в цьому напрямі зроблено в програмі з математики для 12-річної школи. Комбінаторні задачі включено до теми “Розв’язування текстових задач” у 5 класі. Бажано цей методичний підхід запровадити послідовно і в 6-11 класах масової школи і надалі поширити на початкову школу.
У роботі проаналізовано різні підходи до означень основних комбінаторних понять та послідовності їх формування. Визначено, що теоретико-множинне трактування комбінаторних понять відповідає сучасному науковому підходу і має ряд переваг перед іншими. З’ясовано, що при одночасному введенні таких двох понять, як розміщення і комбінації, засвоєння ознак одного поняття буде підкріплятися засвоєнням ознак іншого, будуть створені умови для постійного порівняння, виявлення подібного та відмінного в цих поняттях. Оскільки означення основних комбінаторних понять мають конструктивний характер, то основний метод, що пропонується для їх формування – це навчання через задачі; зокрема метод доцільно дібраних задач. Реалізація цього методу передбачає розробку системи задач і вправ відповідного характеру.
Провідною метою вивчення комбінаторики є формування комбінаторного мислення як важливого компонента мислення сучасної людини. Основна роль у розвитку комбінаторного мислення учнів, у формуванні комбінаторних знань та вмінь належить задачам, які розглядаються і як мета, і як засіб навчання. Більшість комбінаторних задач є творчими, тому доцільно вчити учнів підходити до аналізу комбінаторних задач з різних боків: спочатку перебирати можливі ідеї і фіксувати їх, використовуючи наочні ілюстрації; зіставляти і, не деталізуючи, прогнозувати результати найбільш плідних з них; складати план розв’язування і працювати за ним; порівнювати різні способи розв’язування; визначати найбільш раціональну ідею. Постійно переконуючись у тому, наскільки важливо, нехай і інтуїтивно, але передбачати результати, учні поступово виробляють у собі цю здатність, оволодівають не тільки прийомами розв’язування, а і певною стратегією мислення: для того, щоб розв’язати задачу, вони знаходять декілька ідей, зіставляють їх, інтуїтивно передбачають, прогнозують результати, здійснюють необхідні розумові дії і, нарешті, порівнюють отримані результати.
Визначено, що основними характеристиками комбінаторного мислення є: універсальність (незалежність від конкретного змісту; гнучкість – зміна внутрішнього плану дій як у процесі пошуку розв’язання задачі, так і в процесі розв’язування); організація цілеспрямованого перебору певним чином обмеженого кола можливостей. Комбінаторне мислення спирається на критерії вибіркового пошуку, дає змогу вирішувати складні, невизначені проблемні ситуації, дозволяє перебирати різноманітні стратегії та обирати найкращий напрямок розв’язування проблеми. Цей специфічний фактор, що відповідає здатності “мислити в різних напрямках” американський психолог Гілфорд назвав “дивергентним мисленням” (від лат. “дивергере” – виявляти різнобіжність). З дивергентністю в наш час пов’язуються буквально всі прояви творчості. Цей стиль мислення можна виховати в школі, включаючи у навчальний процес і елементи сучасних інформаційних технологій.
Комбінаторна діяльність має евристичний характер. Тому під час конструювання занять пріоритет віддається формам, методам і засобам навчання, які дозволяють організувати продуктивну діяльність учнів. Особливого значення набувають такі принципи гуманістичної психології: 1. Увага до кожної ідеї учня, що передбачає позитивне підкріплення всіх ідей і відповідей учнів, максимальну адаптацію дітей до всіх висловлюваних ідей. 2. Створення клімату взаємної довіри, психологічної безпеки. 3. Забезпечення незалежності і самоконтролю у виборі і прийнятті рішень.
У процесі формування комбінаторних знань та вмінь вибір того чи іншого методу навчання здійснюється вчителем на основі логіко-математичного аналізу навчального матеріалу й тих навчальних завдань, розв’язання яких виступатиме дидактичною метою навчання. Дослідження підтвердило той факт, що евристична орієнтація вивчення комбінаторики учнями змінює суб’єктивну оцінку ймовірності досягнення успіху, сприяє становленню впевненості у своїх знаннях і способах діяльності. Учень, який просто повторює діяльність вчителя, задану в зразках, може нічому не навчитися, тому важливо, щоб підключався зворотній зв’язок, рефлексія процесу і продукту особистої діяльності, яка вже відбулася, із зразками, які вводяться пізніше. Така технологія забезпечує мотивоване навчання, розвиток творчих здібностей.
У викладанні методи не можуть бути відірвані від фактів, які добуваються з їх допомогою. Математичне моделювання є важливою стороною прикладної спрямованості математичної освіти, яка добро та природно реалізується засобами дискретної математики, зокрема комбінаторики.
У роботі визначено, що розвиткові комбінаторної діяльності сприяють: орієнтація учнів на самостійну роботу, формування в них потреби в систематичній роботі з науково-популярною і науковою літературою; створення сприятливого мікроклімату для творчої співпраці; забезпечення “математичного” спілкування не тільки на уроці, а і в позаурочний час; забезпечення роботи учнів в гомогенних і гетерогенних групах, парами, індивідуально і колективно; цілеспрямоване формування алгоритмічних і евристичних прийомів розумової діяльності; систематичне повернення учнів до аналізу власних дій, що допомогли віднайти ідею розв’язання проблеми; систематичне проведення роботи з вже розв’язаною задачею з метою навчити учнів ставити і вирішувати ряд нових проблем у зв’язку з нею.
Умовно вивчення комбінаторики доцільно поділити на такі етапи: І. Побудова та використання різних наочних комбінаторних моделей відповідно до змісту задачі (1-4 класи). ІІ. Уведення основних понять комбінаторики, вивчення правил додавання і множення (5-9 класи). ІІІ. Вивчення основних формул комбінаторики та використання їх до розв’язування задач різних рівнів складності (11 клас, 8-9 класи з поглибленим вивченням математики).
У другому розділі “Методична система вивчення комбінаторики в основній школі” визначено методичні передумови та вимоги до організації і здійснення процесу вивчення комбінаторики на різних етапах навчального процесу. Розглядаючи систему комбінаторних задач і вправ як дидактичну мету та засіб організації навчальної діяльності учнів, необхідно під час її побудови враховувати: загальні дидактичні принципи навчання математики, принципи розвивального навчання, дидактичні та методичні принципи вивчення комбінаторики, вимоги до знань та вмінь учнів основної школи, їх вікові та індивідуальні особливості.
Дослідження, проведені в ході експерименту, показали, що в початковій школі існує реальна можливість забезпечення комбінаторної пропедевтики, шляхом включення до арифметичного, алгебраїчного та геометричного матеріалу 1-4 класів задач та вправ відповідного характеру. Основні методичні орієнтири навчання учнів комбінаторної діяльності наступні: провідною метою є навчання учнів не розв’язуванню задач певного типу, а формування комбінаторного мислення; необхідно постійно варіювати умови здійснення комбінаторних міркувань; методика навчання розв’язування комбінаторних задач повинна будуватися з урахуванням того, що дітям притаманна своя, поки ще не досконала логіка міркувань, не можна придушувати її, нав’язувати “дорослі” способи розв’язування задач; у процесі навчання розглядаються різні можливості здійснення перебору під час розв’язування комбінаторних задач, в учня є вибір шляхів і засобів розв’язування задачі, він може діяти в даній ситуації згідно із своїми особливостями; у навчанні розв’язуванню комбінаторних задач зберігається етапність, основний напрямок роботи – це перехід учнів від здійснення випадкового перебору варіантів до проведення системного, спочатку без застосування засобів його організації, потім за їх допомогою. Для учнів початкової школи розроблені дидактичні ігри, що сприяють здійсненню учнями дії перебору, розвиткові комбінаторного мислення.
Результати дослідження свідчать, що включення до арифметичного, геометричного й алгебраїчного матеріалу математики 5-7 класів комбінаторних задач дає можливість активізувати розумову діяльність учнів. Для цих задач особливе значення має не отримання відповіді, а процес її знаходження, процес переробки вхідної інформації на вихідну. На першому місці стоїть пошук розв’язання, його реалізація і пізнавальні висновки з опрацьованої теми. Важливим є заключний етап роботи над навчальною задачею комбінаторного характеру. Основним його змістом є осмислення розв’язання, формулювання і розв’язування інших задач (якщо це можливо), безпосередньо пов’язаних з попередньою, породжених першою, і висновки про те, як знаходиться і виконується розв’язання. В цілому процес роботи над задачею комбінаторного характеру має яскраво виражений дослідницький характер, містить елементи творчості. Важливо й те, що комбінаторні задачі є інтегративним чинником між різними математичними поняттями, виховують в учнів гнучкість мислення. Основною особливістю формування комбінаторних знань та вмінь у 5-7 класах є те, що під час ознайомлення з ними домінують індуктивні міркування, в основному, наочно-інтуїтивного рівня із залученням практичного досвіду учнів і прикладів довкілля. Ознайомлення з поняттями комбінаторики повинно відбуватись так, щоб не гальмувати вивчення основних розділів систематичного курсу математики, а сприяти йому. Як показав експеримент, враховуючи ергономічні особливості комбінаторних задач, найбільш ефективним засобом формування комбінаторних знань та вмінь є зошити з друкованою основою.
Система задач у 8-9 класах з поглибленим вивченням математики має бути розрахована на реалізацію рівневої диференціації. Диференціація передбачає добір задач різної складності. Пропонується трирівнева система задач (А – середній, Б – достатній, В – високий). Принцип структурування полягає в тому, що, по-перше, кожний наступний рівень задач вимагає від учнів більш повного використання як алгоритмічної, так і евристичної компоненти, по-друге, задачі третього рівня складності включають елементи задач першого і другого рівнів, а задачі другого рівня складності містять елементи задач першого рівня. Орієнтація на диференціацію знаходить своє відображення у відкритості рівнів складності запропонованого масиву задач. Наявність набору задач до кожного рівня складності дозволяє залучати до роботи всіх учнів. Достатня кількість запропонованих задач створює атмосферу творчого змагання.
Розмаїття форм та видів навчальних програмних продуктів, епізодичність використання у поєднанні з традиційними та некомп’ютеризованими евристичними прийомами і методами навчання за умови доцільного використання сприяють наповненню шкільної математики дійовими дидактичними засобами, збагаченню інтелектуальної, комунікативної сфер особистості учнів. Якісне програмне забезпечення, що ефективно можна використовувати під час організації комбінаторної діяльності у процесі вивчення математики в основній школі, сприяє розвитку мислення, інтуїції, фантазії, елементарних дослідних навичок тощо. Найдоцільнішими для використання під час організації комбінаторної діяльності у процесі вивчення математики виявилися програми серії GRAN.
Основні положення дисертаційного дослідження перевірялися у ході констатувального (1999-2002 рр.), пошукового (2002-2003 рр.) і формувального (2003-2004 рр.) етапів педагогічного експерименту.
У ході констатувального етапу експерименту аналізувалися психолого-педагогічна література з проблеми дослідження, стан сучасної математичної освіти в школі, теоретичний і задачний матеріал, досвід учителів з формування комбінаторних знань та вмінь, виявлявся рівень володіння загальними підходами до розв’язування комбінаторних задач учнями основної школи, розроблялася пробна система задач комбінаторного характеру. У ході констатувального етапу експерименту застосовувалися обсерваційні методи педагогічного дослідження (спостереження) та діагностичні методи (анкетування, тестування). На цьому етапі було визначено необхідні теоретичні положення, сформульовано гіпотезу і завдання дослідження. З метою вивчення практичного досвіду формування комбінаторних знань та вмінь в учнів основної школи здійснювалися цілеспрямовані спостереження: обговорювались уроки, зміст яких був пов’язаний з досліджуваною проблемою, проводились бесіди, анкетування завучів, учителів, студентів-практикантів.
На другому етапі відбувався пошук методів і форм, традиційних і сучасних засобів навчання, що сприяють формуванню комбінаторних знань та вмінь в учнів через систему задач і вправ відповідного характеру, а також проводилась робота з відбору задач, на матеріалі яких доцільно формувати в учнів комбінаторні уміння та розвивати комбінаторне мислення. У зазначений період було проаналізовано отримані результати, внесено необхідні корективи, уточнено побудову і зміст окремих компонентів методики. У той же час проводилося коригування гіпотези і моделі навчального процесу з урахуванням специфіки навчального матеріалу та психологічних особливостей учнів основної школи. Неодноразово уточнювалися методичні рекомендації щодо впровадження в шкільну практику системи задач комбінаторного характеру і методики її використання для формування основних комбінаторних знань та вмінь в учнів основної школи. З’ясувалося, що система задач не дає бажаного результату, оскільки зайвий час витрачається на читання умови, на її запис та оформлення. Тому було розроблено зошити з друкованою основою. З метою удосконалення пропонованої методики здійснювалося спостереження за динамікою успішності та якості підготовки учнів, за формуванням у них позитивних мотивів навчання. У результаті пошукового етапу експерименту були розроблені і відібрані експериментальні матеріали.
У ході формувального етапу експерименту перевірялася ефективність запропонованої методики формування комбінаторних знань та вмінь у процесі вивчення математики в учнів 5-9 класів основної школи шляхом тривалого спостереження за їх діяльністю на уроках математики, анкетування вчителів і учнів, індивідуальних бесід з ними, аналіз відповідних занять, письмових та контрольних робіт.
Для участі в експерименті було залучено 814 учнів, у тому числі 172 – 5-х, 182 – 6-х, 174 – 7-х, 142 – 8-х, 144 – 9-х класів. Проведені експериментальні та традиційні контрольні роботи, статистичне опрацювання результатів дослідження, впровадження методичної системи формування комбінаторних знань та вмінь на уроках математики в 5-9 класах і перевірка висунутої гіпотези показали, що кількість учнів експериментальних класів, результати навчання математики яких досягають достатнього та високого рівня, більше відповідної кількості учнів контрольних класів. Наприклад, для 5-х класів  на 15% , для 6-х  на 8,6%, для 7-х – на 8%.
У ході теоретико-експериментального дослідження отримано такі результати.
1. Систематичне та послідовне формування комбінаторних знань та вмінь засобом спеціально дібраної системи теоретичних відомостей і відповідних вправ та задач є педагогічно доцільним, можливим та доступним для учнів основної школи.
2. Розв’язування комбінаторних задач у процесі вивчення математики розвиває пізнавальні інтереси учнів даного віку, виховує в них активність, бажання вивчати математику і, як результат, сприяє підвищенню успішності.
3. Виявлено психолого-педагогічні, методичні передумови та вимоги до формування комбінаторних знань та вмінь у процесі вивчення математики в основній школі.
4. Розроблено систему вправ і задач комбінаторного характеру та методичні рекомендації щодо її використання.
5. Розроблено методичну систему формування комбінаторних знань та вмінь у процесі вивчення математики в основній школі.
Всебічний аналіз результатів дослідження дозволяє зробити такі висновки:
1. Створення нової концепції математичної освіти 12-річної школи, Державного стандарту базової та повної середньої освіти в освітній галузі “Математика” сприяє реалізації переконливо доведених вченими можливості, доцільності і доступності включення надзвичайно корисної для розвитку мислення та адаптивних якостей особистості комбінаторної змістової лінії до змісту шкільної математичної освіти.
2. Процес швидкої комп’ютеризації суспільства, розвиток інформаційних мереж різного рівня і призначення, перехід до ринкових відносин на виробництві, в економіці обумовлюють потребу сформованості гнучкості, варіативності, критичності мислення, здатності висувати гіпотези перебігу подій та реальності їх підтвердження. Ці якості продуктивно розвиваються у процесі розв’язування комбінаторних задач. Саме тому виникає необхідність включення комбінаторних знань та вмінь в інтелектуальний багаж сучасної людини.
3. У 1-9 класах існує реальна можливість забезпечити органічний зв’язок комбінаторної пропедевтики з арифметичним, алгебраїчним і геометричним матеріалом. Задачний матеріал чинних підручників потребує доповнення комбінаторними задачами. Доцільно дібрана система комбінаторних задач дає змогу активізувати розумову діяльність учнів, зрозуміти, які ситуації з оточуючої дійсності, проблеми практичної діяльності приводять до постановки математичних задач. Учні набувають навичок і вмінь будувати та інтерпретувати математичні моделі різного типу, співвідносити математичні методи з практичними потребами на кожному з етапів навчання.
4. Розвиток комбінаторного мислення відбувається в процесі активної розумової діяльності учнів у напрямку пошуку різних способів перелічування об’єктів дослідження. Основними його характеристиками є: організація цілеспрямованого перебору певним чином обмеженого кола можливостей; універсальність (незалежність від конкретного математичного матеріалу; гнучкість – зміна внутрішнього плану дій як у процесі пошуку розв’язання задачі, так і в процесі розв’язування). Комбінаторне мислення спирається на критерії вибіркового пошуку, дає змогу вирішувати складні, невизначені проблемні ситуації; дозволяє перебирати різноманітні стратегії та обирати найкращий напрямок розв’язування проблеми.
5. Розвиткові комбінаторного мислення в учнів основної школи сприяють: забезпечення інтуїтивної основи курсу, яка передбачає збагачення досвіду учнів щодо математичних закономірностей за допомогою залучення їх до спостережень з використанням матеріальних і знакових моделей, комп’ютерних експериментів; формування в них потреби ознайомлюватись з додатковою літературою; орієнтації учнів на самостійну роботу; створення сприятливого мікроклімату для творчої співпраці; організація та забезпечення продуктивної роботи учнів в гомогенних і гетерогенних групах парами, індивідуально і колективно; забезпечення “математичного” спілкування не тільки на уроці, а і в позаурочний час, яке може відбуватися у формі взаємоконсультацій, поточних заліків, математичних вечорів, КВК, математичних боїв і т. ін.; систематичне проведення роботи з розв’язаною задачею для навчання ставити і вирішувати нові проблеми, повернення учнів до аналізу власних дій, що допомогли віднайти ідею розв’язання проблеми.
6. Процес вивчення комбінаторики характеризується етапністю: побудова та використання різних наочних комбінаторних моделей відповідно до змісту задачі; уведення основних понять комбінаторики, вивчення правил додавання і множення; вивчення основних формул комбінаторики та використання їх до розв’язування задач різних рівнів складності. Відповідно до цих умов має моделюватись динаміка та методичні особливості формування комбінаторних знань та вмінь на кожному етапі. Для творчого самовираження і розвитку комбінаторного мислення потрібні не просто задачі з невідомим учневі способом розв'язування, а саме ті, які відповідають його пізнавальним можливостям.
7. Система задач комбінаторного характеру є основним дидактичним засобом навчання і будується на дидактичних принципах з урахуванням: особливостей процесу формування комбінаторних знань та вмінь на різних етапах, відповідності комбінаторних задач матеріалу шкільного курсу математики, що вивчається, наочності комбінаторних задач, диференційованого підходу в навчанні, прикладної спрямованості комбінаторних задач, здійснення порівняння та встановлення зв’язків між комбінаторними поняттями, розвитку в учнів самостійності та творчих здібностей, комплексного і доцільно виправданого залучення традиційних і сучасних засобів навчання. Систему задач слід будувати на базі так званої “неформальної” комбінаторики, способи якої складають основні пошукові стратегії, а саме – хаотичний перебір, системний перебір без застосування наочних засобів перебору та з їх допомогою, графи, комбінаторні правила множення і додавання.
8. Враховуючи ергономічні особливості комбінаторних задач, ефективність схематичних засобів їх розв’язування доцільно використовувати зошити з друкованою основою. Опрацювання завдань такого робочого зошиту сприятиме засвоєнню математичної мови, її символічного і схематичного записів, розвитку мислення, ознайомленню з основними поняттями теорії множин і комбінаторики. Необхідний матеріал з теорії у вигляді схем доцільно включати до кожного з параграфів, задачі кожного типу подавати зі зразками розв’язання. Домашнє завдання й запитання для самоконтролю, подані після кожного параграфа, сприятимуть систематизації та узагальненню знань. Зошит можна використовувати як на уроках математики, так і дома для самостійного розв’язання. Недоцільно одразу розв’язувати велику кількість задач, слід це робити послідовно і систематично, протягом усього терміну навчання в 5-11 класах масової основної школи.
9. Робочий зошит для учнів 8-ого класу з поглибленим вивченням математики сприяє більш усвідомленому засвоєнню основних понять комбінаторики; повторенню й систематизації знань учнів з цього розділу на початку 9 класу. Систему вправ і задач слід структурувати за рівнями складності. Вивчення основних понять комбінаторики “розміщення” і “комбінації” здійснювати з використанням методу паралельного зіставлення і протиставлення.
10. Використання у процесі розв’язування комбінаторних задач програмного забезпечення сприяє вихованню інтуїції, розвитку евристичного мислення, фантазії, елементарних дослідницьких навичок.
11. Подальшого дослідження вимагає розвиток методичної системи навчання учнів комбінаторики в напрямі більш повної реалізації цієї змістової лінії як наскрізної.