ФЕДОРЕНКО КАТЕРИНА ВОЛОДИМИРІВНА. МЕТОДИ СТАТИСТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВИХ ФУНКЦІЙ У ЗАДАЧАХ МОНІТОРИНГУ НАВКОЛИШНЬОГО СЕРЕДОВИЩА

Краткое описание

ФЕДОРЕНКО КАТЕРИНА ВОЛОДИМИРІВНА. Назва дисертаційної роботи: "МЕТОДИ СТАТИСТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВИХ ФУНКЦІЙ У ЗАДАЧАХ МОНІТОРИНГУ НАВКОЛИШНЬОГО СЕРЕДОВИЩА"

Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Міністерство освіти і науки України
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Міністерство освіти і науки України
Кваліфікаційна наукова
праця на правах рукопису
ФЕДОРЕНКО КАТЕРИНА ВОЛОДИМИРІВНА
УДК 519.21
ДИСЕРТАЦІЯ
МЕТОДИ СТАТИСТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВИХ
ФУНКЦІЙ У ЗАДАЧАХ
МОНІТОРИНГУ НАВКОЛИШНЬОГО СЕРЕДОВИЩА
04.00.05 – геологічна інформатика
Подається на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Дисертація містить результати власних досліджень. Використання ідей,
результатів і текстів інших авторів мають посилання на відповідне джерело
___________________________
(підпис, ініціали та прізвище здобувача)
Науковий керівник:
Вижва Зоя Олександрівна, доктор фізико-математичних наук, професор
Київ – 2017

ЗМІСТ
ВСТУП................................................................................................................................. 13
РОЗДІЛ 1 ОГЛЯД ЛІТЕРАТУРИ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ ....................................... 21
РОЗДІЛ 2 СТАТИСТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ОДНОРІДНИХ ІЗОТРОПНИХ
ВИПАДКОВИХ ПОЛІВ НА ОСНОВІ СПЕКТРАЛЬНОГО РОЗЛАДУ........................ 32
2.1. СПЕКТРАЛЬНИЙ РОЗКЛАД ОДНОРІДНОГО ІЗОТРОПНОГО ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ НА
ПЛОЩИНІ. МОДЕЛЬ СТАТИСТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ НА
ПЛОЩИНІ .......................................................................................................................... 32
2.2. ПОХИБКИ АПРОКСИМАЦІЇ ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ НА ПЛОЩИНІ, АЛГОРИТМ
СТАТИСТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ РЕАЛІЗАЦІЙ ГАУССОВОГО ПОЛЯ ТА ПРИКЛАД З
КОРЕЛЯЦІЙНОЮ ФУНКЦІЄЮ ТИПУ КОШІ ........................................................................ 35
2.3. ПРИКЛАД ЗАСТОСУВАННЯ АЛГОРИТМУ СТАТИСТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ
ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ НА ПЛОЩИНІ З КОРЕЛЯЦІЙНОЮ ФУНКЦІЄЮ ТИПУ КОШІ В ЗАДАЧІ
МОНІТОРИНГУ КАРСТОВО-СУФОЗІЙНИХ ПРОЦЕСІВ НА ТЕРИТОРІЇ РІВНЕНСЬКОЇ АЄС. 44
2.4. СПЕКТРАЛЬНИЙ РОЗКЛАД ОДНОРІДНОГО ІЗОТРОПНОГО ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ В... 51
ТРИВИМІРНІЙ ОБЛАСТІ ЗМІННИХ..................................................................................... 51
2.5. ДОСЛІДЖЕННЯ ГУСТИНИ КРЕЙДЯНОЇ ТОВЩІ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО НА
ПРОММАЙДАНЧИКУ РІВНЕНСЬКОЇ АЕС ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ МОДЕЛЕЙ У 3-D ОБЛАСТІ
ЗМІННИХ ТА КОРЕЛЯЦІЙНОЇ ФУНКЦІЇ ТИПУ КОШІ.......................................................... 52
2.6. ВИСНОВКИ ДО ДРУГОГО РОЗДІЛУ ............................................................................. 59
РОЗДІЛ 3 СТАТИСТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ ТА
ПОЛІВ НА ПЛОЩИНІ З ОБМЕЖЕНИМ СПЕКТРОМ НА РІВНОМІРНІЙ РЕШІТЦІ
ІНТЕРПОЛЯЦІЇЇ ЗА МОДИФІКОВАНИМИ РОЗКЛАДАМИ КОТЕЛЬНИКОВАШЕННОНА ......................................................................................................................... 60
3.1. МОДИФІКОВАНІ РОЗКЛАДИ КОТЕЛЬНИКОВА-ШЕННОНА ДЛЯ ВИПАДКОВОГО
ПРОЦЕСУ ТА ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ НА ПЛОЩИНІ НА РІВНОМІРНІЙ РЕШІТЦІ
ІНТЕРПОЛЯЦІЇ ТА МОДЕЛІ СТАТИСТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ........................................ 60
3.2. АПРОКСИМАЦІЙНІ ТЕОРЕМИ ТА АЛГОРИТМ МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВОГО
ПРОЦЕСУ З ОБМЕЖЕНИМ СПЕКТРОМ НА РЕГУЛЯРНІЙ РЕШІТЦІ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ .............. 64
3.3. ВИЗНАЧЕННЯ ЧАСТОТНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ГЕОЛОГІЧНОГО СЕРЕДОВИЩА ПІД
БУДІВЕЛЬНИМИ МАЙДАНЧИКАМИ З ВИКОРИСТАННЯМ СТАТИСТИЧНОГО
МОДЕЛЮВАННЯ СЕЙСМІЧНОГО ШУМУ НА ПРИКЛАДІ СПОСТЕРЕЖЕНЬ В М. ОДЕСІ ...... 67
11
3.4. АПРОКСИМАЦІЙНІ ТЕОРЕМИ ТА АЛГОРИТМ МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ
НА ПЛОЩИНІ З ОБМЕЖЕНИМ СПЕКТРОМ НА РІВНОМІРНІЙ РЕШІТЦІ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ....... 72
3.5. ПРИКЛАД СТАТИСТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ НА ПЛОЩИНІ
ДЛЯ ВИЗНАЧЕННЯ ЧАСТОТНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ГЕОЛОГІЧНОГО СЕРЕДОВИЩА ПІД
БУДІВЕЛЬНИМИ МАЙДАНЧИКАМИ................................................................................... 75
3.6. ВИСНОВКИ ДО ТРЕТЬОГО РОЗДІЛУ............................................................................ 79
РОЗДІЛ 4 СТАТИСТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ОДНОРІДНОГО ЗА ЧАСОМ ТА
ОДНОРІДНОГО ІЗОТРОПНОГО ЗА ПРОСТОРОВИМИ ЗМІННИМИ
ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ НА ПРОСТОРІ ЗМІННИХ
2 R R ......................................... 81
4.1. ТЕОРЕМИ ПРО СПЕКТРАЛЬНИЙ РОЗКЛАД ОДНОРІДНОГО ЗА ЧАСОВОЮ ЗМІННОЮ ТА
ОДНОРІДНОГО ІЗОТРОПНОГО ЗА ПРОСТОРОВИМИ ЗМІННИМИ ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ НА
ПРОСТОРІ ЗМІННИХ
2 R R
ТА МОДИФІКОВАНИЙ РОЗКЛАД КОТЕЛЬНИКОВАШЕННОНА….. .................................................................................................................. 81
4.2. ВИПАДКОВІ ПОЛЯ З ОБМЕЖЕНИМ СПЕКТРОМ ТА ЇХ АПРОКСИМАЦІЯ ..................... 85
4.3. МОДЕЛЬ ОДНОРІДНОГО ЗА ЧАСОВОЮ ЗМІННОЮ ТА ОДНОРІДНОГО ІЗОТРОПНОГО ЗА
ПРОСТОРОВИМИ ЗМІННИМИ НА ПРОСТОРІ ЗМІННИХ
2 R R
ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ З
ОБМЕЖЕНИМ СПЕКТРОМ.................................................................................................. 87
4.4. ТЕОРЕМИ ПРО ОЦІНКИ ШВИДКОСТІ ЗБІЖНОСТІ СЕРЕДНЬОКВАДРАТИЧНОГО
НАБЛИЖЕННЯ ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ З ОБМЕЖЕНИМ ЗА ЧАСОМ СПЕКТРОМ НА ПРОСТОРІ
2 R R
МОДЕЛЛЮ ТА АЛГОРИТМ МОДЕЛЮВАННЯ ГАУССОВОГО ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ88
4.5. ПРИКЛАД ЗАСТОСУВАННЯ АЛГОРИТМУ МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ НА
ПРОСТОРІ ЗМІННИХ
2 R R
ДЛЯ ВИЗНАЧЕННЯ ЧАСТОТНИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ГЕОЛОГІЧНОГО СЕРЕДОВИЩА НА ПЛОСКІЙ ОБЛАСТІ МОНІТОРИНГОВИХ
СПОСТЕРЕЖЕНЬ ................................................................................................................ 95
4.6. ВИСНОВКИ ДО ЧЕТВЕРТОГО РОЗДІЛУ ..................................................................... 100
РОЗДІЛ 5 СТАТИСТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ОДНОРІДНОГО ЗА ЧАСОМ ТА
ОДНОРІДНОГО ІЗОТРОПНОГО ЗА ПРОСТОРОВИМИ ЗМІННИМИ
ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ НА ПРОСТОРІ ЗМІННИХ
3 R R ....................................... 101
5.1. ТЕОРЕМА ПРО СПЕКТРАЛЬНИЙ РОЗКЛАД ОДНОРІДНОГО ЗА ЧАСОВОЮ ЗМІННОЮ ТА
ОДНОРІДНОГО ІЗОТРОПНОГО ЗА ПРОСТОРОВИМИ ЗМІННИМИ ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ НА
ПРОСТОРІ ЗМІННИХ
3 R R
ТА МОДИФІКОВАНИЙ РОЗКЛАД КОТЕЛЬНИКОВАШЕННОНА…. ................................................................................................................. 101
5.2. ВИПАДКОВІ ПОЛЯ З ОБМЕЖЕНИМ СПЕКТРОМ ТА ЇХ АПРОКСИМАЦІЯ ................... 105
12
5.3. МОДЕЛЬ ОДНОРІДНОГО ЗА ЧАСОВОЮ ЗМІННОЮ ТА ОДНОРІДНОГО ІЗОТРОПНОГО ЗА
ПРОСТОРОВИМИ ЗМІННИМИ НА ПРОСТОРІ ЗМІННИХ
3 R R
ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ З
ОБМЕЖЕНИМ ЗА ЧАСОМ СПЕКТРОМ .............................................................................. 107
5.4. ТЕОРЕМИ ПРО ОЦІНКИ ШВИДКОСТІ ЗБІЖНОСТІ СЕРЕДНЬОКВАДРАТИЧНОГО
НАБЛИЖЕННЯ ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ З ОБМЕЖЕНИМ ЗА ЧАСОМ СПЕКТРОМ НА ПРОСТОРІ
ЗМІННИХ
3 R R
ТА АЛГОРИТМ МОДЕЛЮВАННЯ ГАУССОВОГО ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ108
5.5. ПРИКЛАД ЗАСТОСУВАННЯ АЛГОРИТМУ МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ НА
ПРОСТОРІ ЗМІННИХ
3 R R
ДЛЯ ВИЗНАЧЕННЯ ЧАСТОТНИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ГЕОЛОГІЧНОГО СЕРЕДОВИЩА В ТРИВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ ........................................ 116
5.6. ВИСНОВКИ ДО П’ЯТОГО РОЗДІЛУ ........................................................................... 122
РОЗДІЛ 6 СТАТИСТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ОДНОРІДНОГО ЗА ЧАСОМ ТА
ОДНОРІДНОГО ІЗОТРОПНОГО ЗА ПРОСТОРОВИМИ ЗМІННИМИ
ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ НА ПРОСТОРІ ЗМІННИХ
n R R ....................................... 124
6.1. ТЕОРЕМА ПРО СПЕКТРАЛЬНИЙ РОЗКЛАД ОДНОРІДНОГО ЗА ЧАСОВОЮ ЗМІННОЮ ТА
ОДНОРІДНОГО ІЗОТРОПНОГО ЗА ПРОСТОРОВИМИ ЗМІННИМИ ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ НА
ПРОСТОРІ ЗМІННИХ
n R R
ТА МОДИФІКОВАНИЙ РОЗКЛАД КОТЕЛЬНИКОВАШЕННОНА…. ................................................................................................................. 124
6.2. ВИПАДКОВІ ПОЛЯ З ОБМЕЖЕНИМ СПЕКТРОМ ТА ЇХ АПРОКСИМАЦІЯ ................... 128
6.3. МОДЕЛЬ ОДНОРІДНОГО ЗА ЧАСОВОЮ ЗМІННОЮ ТА ОДНОРІДНОГО ІЗОТРОПНОГО ЗА
ПРОСТОРОВИМИ ЗМІННИМИ НА ПРОСТОРІ ЗМІННИХ
n R R
ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ З
ОБМЕЖЕНИМ ЗА ЧАСОМ СПЕКТРОМ .............................................................................. 130
6.4. ТЕОРЕМИ ПРО ОЦІНКИ ШВИДКОСТІ ЗБІЖНОСТІ СЕРЕДНЬОКВАДРАТИЧНОГО
НАБЛИЖЕННЯ ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ З ОБМЕЖЕНИМ ЗА ЧАСОМ СПЕКТРОМ НА ПРОСТОРІ
ЗМІННИХ
n R R
ТА АЛГОРИТМ МОДЕЛЮВАННЯ ГАУССОВОГО ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ131
6.5. ВИСНОВКИ ДО ШОСТОГО РОЗДІЛУ ......................................................................... 139
ВИСНОВКИ...................................................................................................................... 140
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ......................................................................... 142
ДОДАТОК 1. СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ.................................................. 155
ДОДАТОК 2. АПРОБАЦІЯ РЕЗУЛЬТАТІВ ДИСЕРТАЦІЇ ......................................... 157
13
ВСТУП
Актуальність теми. Розвиток комп’ютерних технологій сприяв розвитку
теорії моделювання випадкових функцій, а саме випадкових процесів та полів.
Найактуальнішою задачею залишається побудова математичної моделі,
описуваного нею процесу, алгоритму та дослідження її апроксимаційних
властивостей. Стрімко розробляються методи статистичного моделювання та
зростає сфера застосування математичних моделей в різних природничих
областях таких, як геологія, геофізика, сейсмологія, метеорологія, океанографія,
статистична радіофізика та ін..
Розробкою теорії моделювання випадкових процесів та полів займались
багато науковців, серед них М. Й. Ядренко, С. М. Єрмаков, Г. О. Михайлов,
A. Mantoglou, J. L. Wilson, T. Gneiting, Ю. В. Козаченко, З. О. Вижва, А. О. Пашко,
С. М. Пригарин, В. А. Огородников, Г. А. Войтишек та ін. М. Й. Ядренко є
засновником спектральної теорії випадкових полів. Ця теорія дозволяє зображати
випадкові поля, кореляційні функції яких є інваріантними відносно деяких груп
перетворень, у вигляді рядів або стохастичних інтегралів за випадковими мірами з
ортогональними значеннями. Г. О. Михайлов та його учні запропонували нові
напрямки в моделюванні випадкових процесів та полів: спектральні моделі
гауссових процесів та полів, моделі випадкових процесів на точкових потоках,
теорію збіжності числових моделей випадкових функцій, метод подвійної
рандомізації.
У другій половині XX ст. іноземні вчені застосовували моделі ізотропних
кореляційних функцій у газодобувнiй та гiрничiй промисловостi G. Matheron,
P. A. Dowd, M. Armstrong. Більшість фізичних явищ у навколишньому середовищі
залежать від багатьох факторів, то при їх моделюванні намагаються відтворити
процеси, що є сумою великого числа випадкових чинників, тому найбільш
широко застосовуються розроблені методи моделювання гауссових випадкових
процесів та полів. Подібний математичний підхід до задач моніторингу
навколишнього середовища використовували, поряд з іншими дослідниками,
14
іноземні вчені T. Gneiting, J. R. Higgins, P. A. Dowd, X. Emery, Yuh-Ming Lee,
J. P. Chiles та P. Delfiner. Статистичне моделювання випадкових функцій у
задачах моніторингу довкілля з використанням сучасного математичного апарату
статистичного моделювання та інформаційних технологій наведено у роботах
вітчизняних вчених С. А. Вижви, З. О. Вижви, О. В. Кендзери, Т. Г. Продайводи
та ін.
Оскільки більшість результатів геофізичних досліджень подається у
цифровій формі, де виникає ряд проблем, пов’язаних із доповненням масивів
даних (різнорівнева геолого-геофізична інформація, відсутність кондиційних баз
даних, тощо), коли неможливо їх отримати геологічними дослідженнями із
заданою точністю при вирішенні поставлених задач. Для забезпечення зменшення
вартості проведення геофізичних робіт мета дослідження спрямована на розвиток
статистичних моделей на основі їх спектральних розкладів та у неперервному часі
та просторі, які будуються на основі спостережень обмеженої кількості
моніторингових станцій, та алгоритмів статистичного моделювання, що дають
можливість генерувати додаткові реалізації випадкових процесів та двовимірних і
багатовимірних випадкових полів з наперед заданою точністю. У зв’язку з цим
тема даної дисертаційної роботи є актуальною.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну
роботу виконано на кафедрі загальної математики механіко-математичного
факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка.
Проведене дослідження пов’язане з виконанням планів науково-дослідних робіт
університету та бюджетною темою № 11БФ049-02 «Розробка теорії та методології
побудови динамічних геолого-геофізичних моделей геологічних об’єктів і
процесів».
Метою роботи є розробка нових методів статистичного моделювання
гауссових випадкових процесів та полів, побудова моделей на основі їх
спектральних розкладів, та алгоритмів, що наближають випадкові процеси та
випадкові поля з наперед заданою точністю та забезпечують можливість генерації
додаткових реалізацій випадкових процесів та двовимірних і багатовимірних
15
випадкових полів, які є важливими у розв’язанні задач моніторингу
навколишнього середовища.
Основні завдання дослідження. Для досягнення поставленої мети
дисертаційної роботи необхідно вирішити наступні наукові задачі:
 виконати огляд та аналіз сучасних методів статистичного моделювання
випадкових процесів і полів, їх застосування до задач моніторингу
навколишнього середовища та оцінити їх переваги та недоліки;
 виконати побудову моделей гауссового однорідного ізотропного випадкового
поля на площині та алгоритмів статистичного моделювання, за допомогою
застосування спектральних розкладів та методу спектральних коефіцієнтів,
для генерування реалізацій гауссового випадкового поля із кореляційною
функцією типу Коші при значеннях параметрів
1
2
 
та
 1
. Провести
перевірку статистичних моделей на адекватність;
 дослідити густину крейдяної товщі методом Монте-Карло із застосуванням
статистичних моделей у двовимірному просторі та кореляційною функцією
типу Коші на проммайданчику Рівненської АЕС. Доповнити карти густини
крейдяної товщі додатковими згенерованими реалізаціями з метою
розв’язання в заданій повноті та точності задачі моніторингу навколишнього
середовища;
 застосувати методику впровадження, на прикладі спостережень в м. Одесі,
статистичного моделювання випадкових процесів та полів на площині з
рівномірною решіткою інтерполяції на основі модифікованих
інтерполяційних розкладів Котельникова-Шеннона в сейсмологічні
дослідження для потреб визначення частотних характеристик геологічного
середовища під будівельними майданчиками;
 довести теорему про спектральний розклад однорідного за часовою змінною
та однорідного ізотропного за просторовими змінними
r,
випадкового поля
в
2 R R .
Обчислити оцінки швидкості збіжності в середньому квадратичному
апроксимації випадкового поля, що має обмежений спектр за часовою
16
змінною, його моделлю, побудованою на основі їх спектральних розкладів та
модифікованих інтерполяційних розкладів Котельникова-Шеннона;
 побудувати для випадкового поля, однорідного за часовою змінною та
однорідного ізотропного за просторовими змінними, такого, що має
обмежений спектр за часовою змінною, модель у
n -вимірному (зокрема,
чотиривимірному) випадку, отримати оцінки швидкості збіжності в
середньому квадратичному апроксимації такого випадкового поля моделлю
та на основі знайдених оцінок розробити алгоритми статистичного
моделювання таких гауссових випадкових полів з наперед заданою точністю.
Об'єктом дослідження є статистичні моделі випадкових функцій на основі
спектральних розкладів та модифікованих інтерполяційних розкладів
Котельникова-Шеннона (гауссові випадкові процеси та поля, що задані на
регулярній решітці інтерполяції; гауссові однорідні за часовою змінною та
однорідні ізотропні за просторовими змінними випадкові поля у тривимірному,
чотиривимірному та
n –вимірному просторах).
Предметом дослідження є розробка оцінок швидкості збіжності гауссових
моделей в
L2
та впровадження методики статистичного моделювання випадкових
процесів та полів із заданою точністю до розв’язання задач моніторингу
навколишнього середовища.
Методи дослідження. В роботі використано методи теорії статистичного
моделювання випадкових функцій (методи Монте-Карло), спектральної теорії,
модифікованих інтерполяційних розкладів Котельникова-Шеннона випадкових
процесів та полів, геостатистичний метод варіограм. Також в роботі над
дисертацією застосовано аналітичний апарат математичного аналізу та
використані пакети прикладних програм Mathematica, GeoR, Surfer, Matlab.
Наукова новизна отриманих результатів. Основні результати проведених
досліджень мають таку наукову та прикладну новизну:
 набуло подальшого розвитку застосування статистичного моделювання
гауссового однорідного ізотропного випадкового поля на площині. Виконано
побудову моделей випадкового поля та алгоритмів статистичного
17
моделювання, за допомогою застосування методу спектральних коефіцієнтів,
для генерування реалізацій гауссового випадкового поля із кореляційною
функцією типу Коші при значеннях параметрів
1
2
 
та
 1
. Проведено
перевірку статистичних моделей на адекватність;
 отримано подальший розвиток дослідження густини крейдяної товщі
методом Монте-Карло на проммайданчику Рівненської АЕС із застосуванням
статистичних моделей у двовимірному просторі та кореляційною функцією
типу Коші. Доповнено вхідні дані та побудовано карти густини крейдяної
товщі за згенерованими реалізаціями;
 набуло подальшого розвитку застосування методики, на прикладі
спостережень в м. Одесі, статистичного моделювання випадкових процесів та
полів на площині з обмеженим спектром на рівномірній решітці інтерполяції
на основі модифікованих інтерполяційних розкладів Котельникова-Шеннона
в сейсмологічні дослідження для потреб визначення частотних характеристик
геологічного середовища під будівельними майданчиками;
 уперше доведено теорему про спектральний розклад однорідного за часовою
змінною та однорідного ізотропного за просторовими змінними
r,
випадкового поля в
2 R R
. Обчислені оцінки швидкості збіжності в
середньому квадратичному апроксимації випадкового поля його моделлю,
побудованою на основі їх спектральних розкладів та модифікованих
інтерполяційних розкладів Котельникова-Шеннона, такого, що має
обмежений спектр за часом;
 уперше для випадкових полів, однорідних за часовою змінною та однорідних
ізотропних за просторовими змінними, таких, що мають обмежений спектр
за часовою змінною, побудовано моделі у чотиривимірному та
n -вимірному
випадку, отримано оцінки швидкості збіжності в середньому квадратичному
апроксимації таких випадкових полів моделями та на основі знайдених
оцінок розроблено алгоритми статистичного моделювання таких гауссових
полів із наперед заданою точністю. Також доведені теорема про
18
спектральний розклад, теореми про оцінки швидкості збіжності в середньому
квадратичному таких випадкових полів їх статистичними моделями, які
побудовані на основі часткових сум спеціальних рядів та модифікованих
розкладів Котельникова-Шеннона.
Практичне значення одержаних результатів. Практичне значення
результатів роботи полягає у можливості використання розроблених методів,
статистичних моделей та алгоритмів для обробки даних моніторингу територій
розташування потенційно небезпечних об’єктів, для доповнення даних
аеромагнітної зйомки з метою досягнення необхідної детальності і виявлення
аномалій, а також для потреб визначення частотних характеристик геологічного
середовища під будівельними майданчиками і передбачення місць, де можливе
значне зростання інтенсивності сейсмічних струшувань. Практичне застосування
методів Монте-Карло забезпечує доповнення баз даних моніторингу без
проведення додаткових спостережень та витрат додаткових коштів.
Теоретичне значення полягає в розробці необхідного математичного апарату
статистичного моделювання гауссових випадкових процесів та випадкових полів,
які однорідні за часовою змінною та однорідні ізотропні за просторовими
змінними з обмеженим по часу спектром. Побудовані алгоритми можуть бути
використані у таких напрямках природничих наук, в яких за допомогою методів
статистичного моделювання необхідно згенерувати на комп’ютері додаткові
реалізації випадкових процесів та полів до вирішення задач моніторингу довкілля.
Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану діяльності та
постановка задач належать моєму науковому керівнику, доктору фізикоматематичних наук, професору З. О. Вижві. За результатами дисертаційного
дослідження опубліковано 10 робіт у співавторстві. З усіх спільних робіт на
захист виносяться лише результати, отримані здобувачем особисто.
Особистий внесок автора у написаних в співавторстві роботах визначається
наступним чином. Здобувач у роботах [1, 10] виконав застосування моделі,
алгоритму, здійснив комп’ютерну обробку та аналіз отриманих результатів. У
роботі [2] проведено обробку значень руху земної поверхні у вигляді зміни
19
амплітуди коливань з часом, застосовано модель та алгоритм, здійснено
порівняння гістограм. У роботі [3] доведена теорема про спектральний розклад та
знайдені оцінки швидкості збіжності апроксимації випадкового поля його
моделлю. У роботах [6, 8] автором особисто проводились усі обчислення та
розробки математичного апарату: моделей, оцінок швидкості збіжності та
алгоритмів. Здобувачем доведені теореми про оцінки швидкості збіжності у
роботах [4, 5]. У роботах [7, 9] автором особисто проведені математичні
розрахунки та побудови прикладів застосування.
Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації
доповідались та обговорювались на таких наукових конференціях:
 International Scientific Conference of Students and Young Scientists «Theoretical
and Applied Aspects of Cybernetics» (Kyiv, Ukraine, 2011);
 Shevchenkivska vesna 2011. IX International Interdisciplinary Scientific
Conference of Students and Young Scientists (Kyiv, Ukraine, 2011);
 Чотирнадцята міжнародна наукова конференція імені академіка Михайла
Кравчука (м. Київ, Україна, 2012);
 International Conference «Modern Stochastics: Theory and Applications III»
(Kyiv, Ukraine, 2012);
 Х Міжнародної наукової конференції «Моніторинг геологічних процесів та
екологічного стану середовища»(м. Київ, Україна, 2012);
 П’ятнадцята міжнародна наукова конференція імені академіка Михайла
Кравчука (м. Київ, Україна, 2014);
Публікації. Основні наукові положення дисертації та результати
дослідження опубліковано у 16 наукових публікаціях:
 10 статей у фахових виданнях, серед яких 8 [5,6,7,19,110, 112, 114, 115]
статей у наукових фахових виданнях України, з яких 1 стаття [6]
надруковано у журналі, англомовний переклад якої індексовано в
наукометричній базі SCOPUS, 4 статті [110, 112, 114, 115] включено до
міжнародної наукометричної бази Web of Science, і 2 статті [111, 113] у
фахових іноземних виданнях;
20
 6 тез доповідей на міжнародних і вітчизняних наукових конференціях [117-
122].
Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається з анотації, вступу,
шести розділів, які містять підрозділи, висновків, списку використаних джерел,
який містить 122 найменування, та двох додатків. Загальний обсяг роботи
становить 157 сторінок, в тому числі 129 сторінок основного тексту.
Роботу виконано на кафедрі загальної математики Київського національного
університету імені Тараса Шевченка.
Автор дисертації висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику,
доктору фізико-математичних наук, професору Зої Олександровні Вижві за
постановку розглянутих в дисертаційній роботі задач, цінні поради та
спільну роботу при виконанні даного дослідження.

Список литературы

ВИСНОВКИ
1. Проведено моделювання однорідного ізотропного випадкового поля на
площині на основі методу спектральних коефіцієнтів із кореляційною функцією
типу Коші при значеннях параметрів
1
2
 
та
 1
. Відхилення отриманої
кореляційної функції від початкової: не більше 3,7%(
 1 2
), не більше 4,8%
(
 1
).
2. Застосовано методику статистичного моделювання випадкового поля на
площині з кореляційною функцією типу Коші методом спектральних коефіцієнтів
на прикладі дослідження густини товщі крейдяних відкладів на території
промислової зони Рівненської АЕС з метою доповнення даних із заданою
точністю.
3. Розроблено впровадження методики статистичного моделювання випадкових
процесів та полів на площині з рівномірною решіткою інтерполяції на основі
модифікованих інтерполяційних розкладів Котельникова-Шеннона до
моніторингових сейсмологічних спостережень для обробки їх з метою визначення
частотних характеристик геологічного середовища під будівельними
майданчиками на прикладі спостережень в м. Одесі.
4. Набуло подальшого розвитку статистичне моделювання випадкових полів в
2 R R
на основі розкладів Котельникова-Шеннона.
5. Уперше доведено теорему про спектральний розклад однорідного за часовою
змінною та однорідного ізотропного за просторовими змінними
r,
випадкового
поля в
2 R R
. Обчислені оцінки швидкості збіжності в середньому квадратичному
апроксимації такого випадкового поля побудованою моделлю.
6. Уперше для випадкових полів, однорідних за часовою змінною та однорідних
ізотропних за просторовими змінними, та таких, що мають обмежений за часовою
змінною спектр, побудовано моделі у чотиривимірному та
n -вимірному випадку
та на основі знайдених оцінок швидкості збіжності в середньому квадратичному
141
апроксимації таких випадкових полів побудованими моделями розроблено
алгоритми статистичного моделювання таких полів із гауссовим розподілом.
Побудовані моделі на основі розкладів Котельникова-Шеннона та розроблені
алгоритми статистичного моделювання для гауссових випадкових полів,
однорідних за часовою змінною та однорідних ізотропних за просторовими
змінними, та які із обмеженим за часовою змінною спектром, мають значно
ширший діапазон застосувань та дають змогу вирішувати проблеми отримання
реалізацій параметрів дослідження з наперед заданою точністю, доповнення
якими даних при неповноті спостережень дають можливість розв’язання
важливих задач моніторингу довкілля.