Сисак Катерина Ярославівна. Локально нiльпотентнi алгебри Лi диференцiювань комутативних кiлець. : Сисак Екатерина Ярославовна. Локально нiльпотентнi алгебры Ли диференцiювань коммутативных колец. Sisak Kateryna Yaroslavivna. Locally nilpotent Lie algebras of commutation ring differentiations.

Краткое описание

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
Мiнiстерство освiти i науки України
Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
Мiнiстерство освiти i науки України
Квалiфiкацiйна наукова
праця на правах рукопису
СИСАК КАТЕРИНА ЯРОСЛАВIВНА
УДК 512.554.35
ДИСЕРТАЦIЯ
ЛОКАЛЬНО НIЛЬПОТЕНТНI АЛГЕБРИ ЛI
ДИФЕРЕНЦIЮВАНЬ КОМУТАТИВНИХ КIЛЕЦЬ
01.01.06 — алгебра та теорiя чисел
Подається на здобуття наукового ступеня
кандидата фiзико-математичних наук.
Дисертацiя мiстить результати власних дослiджень. Використання iдей, результатiв i текстiв iнших авторiв мають посилання на вiдповiдне джерело
Сисак К. Я.
Науковий керiвник: Петравчук Анатолiй Петрович,
доктор фiз.-мат. наук, професор.
Київ — 2018

Змiст
Перелiк умовних позначень 10
Вступ 11
1 Огляд лiтератури 26
2 Означення та допомiжнi результати 32
3 Локально нiльпотентнi алгебри Лi диференцiювань 41
3.1 Нiльпотентнi алгебри Лi диференцiювань з центром великого рангу 42
3.2 Локально нiльпотентнi алгебри Лi диференцiювань комутативних
кiлець . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Висновки до роздiлу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 Алгебри Лi, що складаються з локально нiльпотентних диференцiювань 71
4.1 Скiнченновимiрнi алгебри Лi, що складаються з локально нiльпотентних диференцiювань . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Про пiдалгебри з W2(K), що складаються з локально нiльпотентних диференцiювань . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Висновки до роздiлу 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5 Алгебри Лi, асоцiйованi з модулями над кiльцями многочленiв 92
8
9
5.1 K[x, y]-модулi з iзоморфними асоцiйованими алгебрами Лi . . . . 93
5.2 Необхiднi та достатнi умови слабкого iзоморфiзму двох скiнченновимiрних K[x, y]-модулiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Висновки до роздiлу 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Висновки 111
Список використаних джерел 114
ДОДАТОК 1 120

Список литературы

Висновки
В дисертацiї було отримано наступнi новi результати, пов’язанi з вивченням локально нiльпотентних пiдалгебр алгебри Лi диференцiювань W(A) = R DerK A,
де A – область цiлiсностi над K i R – поле часток алгебри A.
• Доведено, що для кожної нiльпотентної пiдалгебри L алгебри Лi W(A),
такої що rkR L = n > 1 i rkR Z(L) = n − 1, алгебра Лi F L над полем
констант F = F(L) мiститься в алгебрi Лi вигляду
FhD1, aD1,
a
2
2! D1, . . . ,
a
s
s!
D1, D2, aD2, . . . ,
a
s
s!
D2, . . . , Dn−1, . . . ,
a
s
s!
Dn−1, Dni,
де D1, D2, . . . , Dn ∈ F L такi, що [Di
, Dj
] = 0, i, j = 1, 2, . . . , n, i a ∈ R
такий, що D1(a) = D2(a) = · · · = Dn−1(a) = 0 i Dn(a) = 1.
• Охарактеризовано структуру локально нiльпотентних пiдалгебр L алгебри
Лi W(A) за умови, що L має малий ранг над R, а саме
1. якщо rkR L = 1, то L – абелева i dimF F L = 1;
2. якщо rkR L = 2, то L або нiльпотентна скiнченновимiрна над полем F,
або нескiнченновимiрна над F i
F L = FhD2, D1, aD1, . . . ,
a
k
k!
D1, . . .i
для D1, D2 ∈ L такi, що [D1, D2] = 0, D1(a) = 0 i D2(a) = 1.
111
112
3. якщо L – максимальна (за включенням) локально нiльпотентна пiдалгебра в W(A) i rkR L = 3, то L = F L i L або нiльпотентна розмiрностi 3 над полем F, або iснують попарно комутуючi диференцiювання
D1, D2, D3 ∈ L та елементи a, b ∈ R такi, що
L = FhD3, {
a
i
i!
D1}
∞
i=0, {
a
i
i!
D2}
∞
i=0i,
де D3(a) = 1 i D1(a) = D2(a) = 0, або
L = FhD3, {
a
i
i!
D2}
∞
i=0, {
a
i
b
j
i!j!
D1}
∞
i,j=0i,
де D1(a) = D2(a) = 0, D1(b) = D3(b) = 0 i D2(b) = D3(a) = 1.
• Доведено, що всi скiнченновимiрнi (над K) пiдалгебри L алгебри Лi DerK A,
якi одночасно є пiдмножинами в множинi LND(A) всiх локально нiльпотентних диференцiювань алгебри A, є нiльпотентними алгебрами Лi. Зокрема,
кожна така локально скiнченновимiрна пiдалгебра буде локально нiльпотентною.
• Встановлено, що кожна пiдалгебра L алгебри Лi W2(K), яка складається
з локально нiльпотентних диференцiювань, спряжена за допомогою автоморфiзму кiльця K[x, y] з деякою пiдалгеброю алгебри Лi u2(K) всiх трикутних диференцiювань кiльця K[x, y], тобто iснує таке α ∈ AutK K[x, y],
що αLα−1
є пiдалгеброю в u2(K). Зокрема, кожна така максимальна (за
включенням) пiдалгебра з W2(K), що мiститься в множинi LND(K[x, y]),
спряжена з u2(K) за допомогою автоморфiзму кiльця многочленiв K[x, y].
• Дослiджено зв’язок мiж скiнченновимiрними модулями над кiльцем K[x, y]
та асоцiйованими з ними алгебрами Лi i одержано наступний критерiй:
два нерозкладнi скiнченновимiрнi (над K) K[x, y]-модулi V i W такi, що
dimK V = dimK W > 7, слабко iзоморфнi тодi i лише тодi, коли асоцiйованi з ними алгебри Лi LV та LW iзоморфнi. Як наслiдок отримано, що
113
задача класифiкацiї алгебр Лi вигляду L = B i A, де B – двовимiрна абелева пiдалгебра i A – абелевий iдеал в L, еквiвалентна задачi класифiкацiї
скiнченновимiрних K[x, y]-модулiв з точнiстю до слабкого iзоморфiзму.