Климчук Тетяна Володимирiвна Канонiчнi матрицi та їх застосування

Короткий опис

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка Мiнiстерство освiти i науки України Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка Мiнiстерство освiти i науки України Квалiфiкацiйна наукова праця на правах рукопису Климчук Тетяна Володимирiвна УДК 512.64 ДИСЕРТАЦIЯ Канонiчнi матрицi та їх застосування 01.01.06 — алгебра та теорiя чисел Математика та статистика Подається на здобуття наукового ступеня кандидата фiзикоматематичних наук Дисертацiя мiстить результати власних дослiджень. Використання iдей, результатiв i текстiв iнших авторiв мають посилання на вiдповiдне джерело Т. В. Климчук Науковий керiвник Петравчук Анатолiй Петрович доктор фiз.мат. наук, професор Київ — 2018

Змiст Вступ 15 1 Конподiбнiсть та кватернiоннi матричнi рiвняння AX ´ XBˆ C, X ´ AXBˆ C 22 1.1 Канонiчна форма вiдносно i-конподiбностi . . . . . . . . . . . 26 1.2 Розв’язок кватернiонних матричних рiвняннь AX ´ XBˆ C та X ´ AXBˆ C вiдносно σ-конподiбностi . . . . . . . . . . . 29 Висновки до роздiлу 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 Критерiї розв’язностi Рауса для матричних рiвнянь AX ´ XBp C та X ´ AXBp C 36 2.1 Необхiднi допомiжнi вiдомостi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1 Теореми Рауса над полем . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.2 Кватернiоннi матричнi рiвняння . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.3 Iнволютивний автоморфiзм тiла кватернiонiв H . . . . 41 2.2 Теорема Рауса для кватернiонних матричних рiвнянь AX ´ XBp C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Теорема Рауса для кватернiонних матричних рiвнянь X ´ AXBp C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Висновки до роздiлу 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 Узагальнення критерiю Рауса про розв’язнiсть систем ма12 13 тричних рiвнянь 55 3.1 Узагальнення критерiю Рауса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Доведення основної теореми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Висновки до роздiлу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4 Системи лiнiйних та напiвлiнiйних вiдображень 68 4.1 Класифiкацiя циклiв лiнiйних та напiвлiнiйних вiдображень . 69 4.1.1 Зведення до циклiв, в яких t ě 2 i A1, . . . , At´1 є лiнiйними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.1.2 Канонiчна форма матриць вiдображень A1, . . . , At´1 . 72 4.1.3 Канонiчна форма матрицi перетворення At . . . . . . . 74 4.1.4 Завершення доведення теореми 4.1.1 . . . . . . . . . . . 76 4.2 Зауваження до класифiкацiї пари комутуючих напiвлiнiйних вiдображень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Висновки до роздiлу 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5 Регуляризуючий алгоритм для пари, що складається з лiнiйного та напiвлiнiйного вiдображень 90 5.1 Регуляризуючий унiтарний алгоритм для матриць вiдносно конподiбностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2 Регуляризуючий алгоритм для пар матриць вiдносно змiшаної еквiвалентностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Висновки до роздiлу 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6 Дикiсть задачi класифiкацiї двовимiрних просторiв комутуючих лiнiйних операторiв 106 6.1 Простори лiнiйних операторiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Висновки до роздiлу 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 14 Висновки 115 Список використаних джерел 116 Додатки 125

Список літератури

Висновки Дисертацiйну роботу присвячено застосуванню теорiї матричних задач до систем матричних рiвнянь, до систем лiнiйних i напiвлiнiйних вiдображень та до просторiв лiнiйних операторiв. Запропоновано нове означення конподiбностi кватернiонних матриць, яке еквiвалентне загальновживаному, але бiльш зручне для використання, отримано канонiчну матрицю вiдносно конподiбностi, за допомогою якої вивчаються кватернiоннi матричнi рiвняння AX ´ XBp C та X ´ AXBp C над тiлом кватернiонiв з iнволютивним автоморфiзмом q ÞÑ qˆ. Узагальнено критерiї Рауса розв’язностi матричних рiвнянь на кватернiоннi рiвняння AX ´ XBp C та X ´ AXBp C. Одержано критерiй розв’язностi для широкого класу систем матричних рiвнянь над тiлом, характеристика якого не дорiвнює 2. Вiн мiстить майже всi вiдомi узагальнення критерiю Рауса. Дано канонiчну форму циклу, що складається з лiнiйних та напiвлiнiйних вiдображень над полем комплексних чисел. Побудовано регуляризуючий алгоритм для пари, що складається з лiнiйного та напiвлiнiйного вiдображень. Вiн є аналогом вiдомого регуляризуючого алгоритму Ван Дорена для матричних пучкiв. Доведено, що над полем, що мiстить бiльше нiж 2 елементи, задача класифiкацїї двовимiрних векторних просторiв комутуючих лiнiйних операторiв є дикою, а тому безнадiйною в певному сенсi. Одержанi результати можуть бути застосованi для подальшого розвитку теорiї матричних рiвнянь та теорiї класифiкацiйних задач лiнiйної алгебри