ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ФАСОННИХ поверхонь обертання, ЗМІЦНЕНИХ намотуванням НИТКИ

Короткий опис

Міністерство освіти і науки МОЛОДІ ТА СПОРТУ України

НАЦІОНАЛЬНИЙ університет
цивільного захисту України

На правах рукопису
УДК 514.18

Руденко Світлана Юріївна

ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
ФАСОННИХ поверхонь обертання,
ЗМІЦНЕНИХ намотуванням НИТКИ

05.01.01 прикладна геометрія, інженерна графіка

Д И С Е Р Т А Ц І Я
на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук

Науковий керівник:
доктор технічних наук, професор
Куценко Леонід Миколайович

Харків 2012

ЗМІСТ
стор.

ВСТУП....................................................................................................

4

РОЗДІЛ 1. Поверхні ОБЕРТАННЯ з керованою
середньою кривиною та способи їх побудови

11

1.1. Поняття поверхонь постійної середньої кривини
та їх властивості .....................

12

1.2. Поверхні обертання постійної середньої кривини
типу Делоне .

18

1.3. Дискретні поверхні постійної середньої кривини,
побудовані за допомогою більярда в еліпсі ..

26

1.4. Поверхні обертання типу Кенмотсу, у яких середня
кривина змінюється вздовж осі .........................................

33

1.5. Поверхні обертання, у яких середня кривина близька
до сталої і змінюється вздовж осі .........................................

42

ВИСНОВКИ ДО ПЕРШОГО РОЗДІЛУ.............................

50

РОЗДІЛ 2. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ профілювання
ФАСОННИХ поверхонь обертАННЯ
з керованою кривиною меридіана......

51

2.1. Визначення форми меридіана поверхні обертання
шляхом розв’язання прямої задачі профілювання ..............

52

2.2. Схема визначення форми меридіана поверхні обертання
шляхом розв’язання оберненої задачі профілювання.........

59

2.3. Побудова поверхні обертання залежно
від кривини вздовж осі її меридіана .

65

2.4. Побудова ділянок поверхні обертання, відповідних
екстремальним значенням кривини її меридіана .

76

2.5. Спосіб усунення екстремальних значень кривини
меридіана поверхні обертання за допомогою R-функцій

85

ВИСНОВКИ ДО ДРУГОГО РОЗДІЛУ...............................

98

РОЗДІЛ 3. Зміцнення ФАСОННИХ поверхонь
обертання шляхом намотування нитки

99

3.1. Намотування нитки на фасонній поверхні обертання ..

100

3.2. Опис асимптотичних кривих
на фасонних поверхнях обертання ...

103

3.3. Зображення результату намотування нитки на фасонній
поверхні обертання за асимптотичним законом ..

108

3.4. Опис та побудова зображень геодезичних кривих
на фасонних поверхнях обертання .....

120

3.5. Зображення результату намотування нитки на фасонній
поверхні обертання за геодезичним законом

125

ВИСНОВКИ ДО ТРЕТЬОГО РОЗДІЛУ.......................

134

РОЗДІЛ 4. Реальні ПНЕВМОповерхні ТА РОЗРАХУНКИ
ЇХ НАМОТУВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИМИ ЗАСОБАМИ

135

4.1. Намотування поверхонь обертання, у яких
меридіан має пилоподібну форму........................................

136

4.2. Намотування поверхонь обертання, у яких кривина
меридіана змінюється за законом

142

4.3. Конструювання реальних пневмовиробів на прикладі
намотування конічно-гофрованої поверхні ..

149

ВИСНОВКИ ДО Четвертого РОЗДІЛУ....................

157

ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ ..........................................

158

СПИСОК ЛІТЕРАТУРНИХ ДЖЕРЕЛ ..........................

163

ДОДАТОК А (програми для комп'ютера).....................

175

ДОДАТОК Б (документи про впровадження результатів)..

193

Вступ

Актуальність теми. Геометричне моделювання фізичних явищ та процесів, що пов’язані з властивостями поверхонь, охоплює широкий спектр інженерних задач, вирішення яких потребує високої точності, отже передбачає створення інтерпретаційних моделей [9,17,43,74,75]. Такі моделі мають бути достатньо гнучкими відносно геометричної складності поставленої задачі [32, 73]. У зв’язку із цим, широкого застосування набули методи сучасної прикладної геометрії, які дозволяють досліджувати вплив геометричної форми поверхонь на їх фізичні властивості, що використовуються на практиці. Наприклад, доведено, що у поверхні сталої середньої кривини всі ділянки виявляються рівноймовірними щодо руйнування [46,57,72,75]. Тобто у зазначеній поверхні автоматично усуваються точки, де може статися її розрив.
Такі унікальні властивості поверхонь сталої середньої кривини доцільно використовувати при конструюванні пневматичних виробів (гумових підйомників, гасильників коливань, ресор, амортизаторів, тощо). Поясненню поверхні постійної середньої кривизни має передувати поняття мінімальної поверхні. Термін мінімальна поверхня закріпився за поверхнями, середня кривина яких дорівнює нулю у всіх точках. Ж.Лагранж, який першим почав досліджувати мінімальні поверхні, розглянув таку варіаційну задачу: знайти поверхню найменшої площі, натягнуту на даний «дротяний» контур. Ж.Лагранж довів, що функція, яка входить до опису такої поверхні, повинна задовольняти так званому рівнянню Лагранжа-Ейлера [30, 74]. Новий поштовх розвитку теорії мінімальних поверхонь дали роботи Ж. Плато, який дослідним шляхом прийшов до фізичної реалізації мінімальних поверхонь у вигляді мильних плівок, натягнутих на дротові каркаси.
Все це підводить до поняття поверхні постійної середньої кривизни. Учений Пуассон показав [30,75], що поверхня розділу двох середовищ, які перебувають у рівновазі, є поверхнею постійної середньої кривизни (силою ваги зневажають). Такі поверхні можна моделювати мильними плівками. Фізичний принцип, що формує мильні плівки й регулює їхнє поводження, локальні й глобальні властивості, досить простий: фізична система зберігає певну конфігурацію тільки у тому випадку, якщо вона не може легко змінити її, зайнявши положення з меншим рівнем енергії.
Енергія поверхні (мильної плівки), описувана в термінах поверхневого натягу речовини, обумовлена наявністю сил притягання між окремими молекулами й незбалансованістю цих сил на границі поверхні [32, 73]. Поверхнева плівка перетворюється в еластичну поверхню, яка прагне мінімізувати свою площу а, отже, і енергію поверхневого натягу, що припадає на одиницю площі (силами ваги зневажаємо). Доведено, що рівняння утворюючих цих поверхонь є розв’язком такої варіаційної задачі на умовний екстремум: знайти рівняння лінії - меридіана поверхні обертання за умови мінімуму площі бічної поверхні, та за умови заданого її «внутрішнього» об’єму.
На практиці поверхні постійної середньої кривизни доцільно будувати методом Делоне, який виділив в окрему групу ряд двопараметричних поверхонь обертання [57]. До поверхонь Делоне як поверхонь з постійною середньою кривиною відносяться: сфера, катеноїд, прямий круговий циліндр, нодоїд і ундулоїд. Всі вони, за винятком сфери, утворяться рулетами при обертанні їх навколо осі - прямої, по якій котяться відповідні коніки. Рулети утворяться фокусами параболи, еліпса й гіперболи, які котяться по згаданій прямій. Отже, зазначена властивість поверхонь сталої середньої кривини базується на фундаментальній теоремі Пуасона-Лапласа, згідно з якою середня кривина поверхні розділу двох врівноважених фізичних середовищ пропорційна різниці значень тисків у цих середовищах [46,57,72,75]. Варіюючи середню кривину поверхні, можна обирати величину тиску, яку витримає пневматичний виріб. У своїй більшості зазначеним виробам надають форму фасонних поверхонь обертання, де зусилля спрямовані вздовж їх осей.
Але «класичні» поверхні сталої середньої кривини ундоїд і ундулоїд [57] - мають форми, далекі від фасонних, що не зручно для конструювання пневматичних виробів. Більш прийнятними для цього будуть поверхні обертання, середня кривина яких змінюється вздовж їх осей за наперед заданим законом (тобто з керованою середньою кривиною). Тому постає задача описати фасонну поверхню обертання з керованою вздовж її осі середньою кривиною. Крім того, для функціонування виробу в умовах його навантаження зусиллями вздовж осі поверхню виробу необхідно зміцнити шляхом намотування нитки, наприклад, кевларової [3,33]. Для цього необхідно описати множину геодезичних кривих на фасонній поверхні обертання як геометричну модель намотки [33,40,45]. Тому актуальності набуває розрахунок фасонних поверхонь обертання з керованою вздовж осі обертання середньою кривиною з урахуванням зміцнення цих поверхонь шляхом геодезичного намотування.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано на кафедрі інженерної та аварійно-рятувальної техніки Національного університету цивільного захисту України в рамках науково-дослідних тем «Підвищення ефективності засобів малої механізації в підрозділах МНС» (№ державної реєстрації 0109U003061) та «Обґрунтування можливості використання аварійно-рятувального автомобіля «Дельфін» при пожежах в висотних будинках» (№ державної реєстрації 0109U003081).
Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка та впровадження комплексної моделі розрахунку форми меридіану фасонних поверхонь обертання, у яких середня кривина змінюється вздовж осі за наперед заданим законом, та за умови зміцнення цих поверхонь шляхом геодезичного намотування нитки.
Для досягнення мети у дисертації поставлено такі основні задачі:
- провести аналіз відомих методів геометричного моделювання поверхонь обертання сталої та змінної середньої кривини вздовж їх осей;
- визначити закон зміни кривини меридіана вздовж осі залежно від опису фасонної поверхні обертання (пряма задача);
- розробити спосіб опису фасонної поверхні обертання залежно від опису кривини меридіана вздовж осі (обернена задача);
- розробити спосіб опису в параметричному вигляді фасонної поверхні обертання за допомогою ряду Фур’є залежно від опису кривини її меридіана;
- розробити спрощений спосіб наближеного опису та побудови умовно асимптотичних кривих на фасонній поверхні обертання;
- скласти та розв’язати диференціальні рівняння для опису геодезичних кривих на фасонній поверхні обертання;
- розробити спосіб опису фасонної поверхні обертання за умови усунення екстремальних значень кривини її меридіана за допомогою R-функцій;
- скласти та розв’язати диференціальні рівняння для опису геодезичних кривих на конічно-гофрованій поверхні;
- розробити алгоритмічне наповнення програм геометричного моделювання поверхонь обертання з керованими кривинами їх меридіанів;
- запропонувати різновиди поверхонь обертання з керованими кривинами їх меридіанів для розрахунків (гумових) підйомників;
- результати роботи впровадити у виробництво при проектуванні пневматичних підйомників конічно-гофрованого типу, а також у навчальний процес Національного університету цивільного захисту України.
Об'єктом дослідження є процес формоутворення фасонних поверхонь обертання, середні кривини яких змінюються вздовж осі за наперед заданим законом, а також геодезичні та асимптотичні криві на цих поверхнях.
Предметом дослідження є математичне забезпечення алгоритмів формування вказаних геометричних об’єктів. Реалізація алгоритмів має здійснюватися, виходячи з характеру зміни кривини меридіанів вздовж осі обертання за наперед заданим законом.
Методи дослідження. Розробка геометричних моделей здійснювалася на основі засобів прикладної геометрії, обчислювальної математики, елементів Rфункцій, теорії параметризації, диференціальної та аналітичної геометрії. В процесі практичної реалізації створених моделей та алгоритмів використано елементи комп’ютерного математичного програмування в програмному середовищі пакета Maple.
Наукова новизна одержаних результатів полягає у тому, що:
вперше:
· розроблено спосіб конструювання фасонної поверхні обертання залежно від функції опису середньої кривини вздовж осі за умови визначення на ній ділянок, де зазначена функція приймає екстремальні значення;
· запропоновано спосіб визначення фасонних поверхонь обертання з врахуванням умови усунення екстремальних значень кривини меридіана за допомогою R-функцій;
· запропоновано спрощений спосіб побудови кривих на поверхні обертання, аналогічних за властивостями асимптотичним кривим;
удосконалено;
· спосіб аналітичного опису за допомогою поліномів Фур’є фасонної поверхні обертання залежно від опису її середньої кривини вздовж осі;
· спосіб побудови на фасонних поверхнях обертання сім’ї їх геодезичних кривих з використанням диференціальних рівнянь.
Практичне значення одержаних результатів.
1. Результати дисертації дозволяють суттєво підвищити ефективність розробки пневматичних підйомників, адже при цьому усувається необхідність проведення натурних експериментів в екстремальних умовах їх роботи.
2. Розроблено програмне забезпечення конструювання фасонної поверхні обертання пневматичного підйомника залежно від функції опису середньої кривини вздовж осі обертання за умови визначення на ній ділянок, де зазначена функція приймає екстремальні значення.
3. Результати роботи прийнято до впровадження на Прилуцькому заводі протипожежного і спеціального машинобудування при проектуванні пневматичних підйомників, а також у навчальний процес Національного університету цивільного захисту України.
Особистий внесок здобувача. Загальний напрямок досліджень був обраний та сформований науковим керівником. Дисертантом самостійно запропоновані та розв’язані усі наведені у роботі задачі, розроблено алгоритми та відповідна їм комп’ютерна реалізація. У роботах, опублікованих у співавторстві, автору належать теоретична, математична та алгоритмічна реалізації геометричних моделей фасонних поверхонь обертання пневматичного підйомника залежно від функції опису середньої кривини вздовж осі обертання, розроблено спосіб опису геодезичних кривих на фасонних поверхнях обертання з використанням диференціальних рівнянь, а також розроблено спосіб спрощеного опису асимптотичних кривих. Участь співавторів полягає у обробці та певній систематизації отриманих результатів.
Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися та обговорювались на: VI міжнародній науково-практичній конференції «Геометричне моделювання і комп’ютерні технології: теорія, практика, освіта» (м.Харків, 2009 р.); VI міжнародній Кримській науково-практичній конференції «Геометричне і комп’ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн» (м. Сімферополь, 2009 р.); науково-практичній конференції «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (м.Мелітополь, 2009, 2010 рр.); VIII міжнародній Кримській науково-практичній конференції «Геометричне і комп’ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн» (м. Сімферополь, 2011 р.); науково-практичній конференції «Ком’ютерно-інтегровані технології: освіта, наука, виробництво» (Луцьк, 2011 р.); міжнародній науково-методичній конференції «Сучасний стан, розвиток інженерної геометрії та комп’ютерної графіки» (Алмати, 2011 р.); науково-практичній конференції «Прикладна геометрія та інженерна графіка» (м.Мелітополь, 2012 р.).
Крім того, результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювались на наукових семінарах таких кафедр: інженерної та аварійно-рятувальної техніки НУЦЗУ під керівництвом доктора технічних наук, професора О.М. Ларіна (м. Харків, 2010, 2011 рр.); нарисної геометрії та графіки НТУ «ХПІ» під керівництвом доктора технічних наук, професора О.В. Шоман (м.Харків, 2010, 2011 рр.); нарисної геометрії, інженерної та комп’ютерної графіки НТУУ «Київський політехнічний інститут» під керівництвом доктора технічних наук, професора В.В. Ваніна (м. Київ, 2011 р.); прикладної математики та інформаційних технологій проектування ТДАТУ під керівництвом доктора технічних наук, професора А.В. Найдиша (м. Мелітополь, 2011, 2012 рр.); та всеукраїнському науковому семінарі Української асоціації з прикладної геометрії при КНУБА під керівництвом доктора технічних наук, професора О.Л. Підгорного та доктора технічних наук, професора С.М. Ковальова (м. Київ, 2012 р.).
Публікації. За результатами досліджень опубліковано 11 робіт [24-27, 39, 44, 63-67], 8 у фахових виданнях [24-27, 63-65]; з них 3 одноосібно.

Список літератури

ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ
Під час роботи над дисертаційним дослідженням була досягнута основна мета: розроблено та впроваджено в процес проектування геометричну модель поверхні обертання з керованою вздовж її осі середньою кривиною з урахуванням зміцнення зазначеної поверхні шляхом геодезичного намотування. Інваріантність моделі підтверджується можливістю моделювання процесів, що мають різну фізичну природу і визначаються поверхнями з аналогічними властивостями, які знаходять застосування у газовій динаміці, при дослідженні тонких плівок, у біології (при дослідженні клітин і клітинних мембран), у розробках у галузі нанотехнологій, тощо.
Основну наукову цінність роботи представляє можливість розширення діапазону питань теорії поверхонь з керованою середньою кривизною, а також урізноманітнення методів розвязків, що в ній використовуються. Дійсно, в класичних дослідженнях застосовувалися переважно методи диференціальної геометрії, теорії функцій комплексного змінного й функціонального аналізу. Завдяки даній роботі на передній план виходить спосіб практичного розрахунку поверхонь з керованою середньою кривиною на рівні інженерного методу.
Практичне значення роботи полягає у такому:
-запропоновані методи моделювання фасонної поверхні обертання залежно від функції опису середньої кривини вздовж осі за умови визначення на ній ділянок, де зазначена функція приймає екстремальні значення; та визначення фасонних поверхонь обертання з врахуванням умови усунення екстремальних значень кривини меридіана за допомогою R-функцій згідно технологічних вимог;
-розроблено інженерний спосіб визначення за допомогою поліномів Фур’є фасонної поверхні обертання залежно від опису її середньої кривини вздовж осі; та спосіб побудови на фасонних поверхнях обертання сім’ї їх геодезичних кривих з використанням диференціальних рівнянь.
Найбільше науково-практичне значення мають такі результати досліджень:
1.Виконано аналіз відомих методів геометричного моделювання поверхонь обертання сталої та змінної середньої кривини вздовж їх осей, який показав обмеженість їх застосування стосовно розрахунку пневматичних гумових виробів з фасонними поверхнями обертання, що доводить необхідність розробки інженерного способу цих розрахунків.
2.Розроблено спосіб визначення закону зміни середньої кривини вздовж осі залежно від опису фасонної поверхні обертання (пряма задача), що зводиться до розробки алгоритму підбору функцій, які входять до опису зазначеної поверхні за критерієм, який погано формалізується, наприклад, ідентифікація періодичного вигляду «гофрованої» поверхні, пристосованої для застосування у пневматичних гумових виробах Це вказує на необхідність пошуку інших шляхів геометричного моделювання, зумовлених специфікою поставленого завдання.
3.Розроблено спосіб опису фасонної поверхні обертання залежно від зміни за наперед заданим законом середньої кривини вздовж осі (обернена задача), що дозволило створити графо-аналітичний інженерний метод розрахунку поверхонь пневматичних виробів, коли зазначеним виробам надають форму фасонних поверхонь обертання, де зусилля навантаження спрямовані вздовж їх осей. Виявлено та досліджено варіанти реалізації нового способу переважно у математичних пакетах з власними обчислювальними середовищами, наприклад, Maple, MatLab, MatCAD, тощо, де описи поверхонь одержуються в кодах цих мов.
4.Для загального опису фасонної поверхні обертання з запропонованою середньою кривиною у параметричному вигляді розроблено спосіб опису поверхні за допомогою елементів ряду Фур’є залежно від аналітичного опису кривини її меридіана, що дозволило на практиці описувати у аналітичному вигляді поверхні обертання з керованою середньою кривиною вздовж осі. Виявлено та досліджено найбільш доцільні варіанти дискретного розбиття межі зміни параметра функції опису, при якому здійснюється опис, а також похибки, що при цьому виникають. Опис поверхні за допомогою елементів ряду Фур’є є суттєвим моментом при складанні керуючої програми для станка з ЧПК при формоутворенні фасонної оправки, на яку наноситься прошарок гуми в процесі виготовлення пневматичного гумового виробу.
5.Враховуючи те, що асимптотична намотка не впливає на зміцнення поверхні обертання, то описувати її пропонується наближено за «правилом катеноїда», і вважати її за декоративну обмотку поверхневого прошарку. В результаті чого розроблено спрощений спосіб наближеного опису та побудови умовно асимптотичних кривих на фасонній поверхні обертання, що дозволило будувати умовно асимптотичні криві на зазначеній поверхні без розв’язання диференціальних рівнянь.
6.Складено та розв’язано диференціальні рівняння для геометричного моделювання намотування нитки за геодезичним законом на фасонній поверхні обертання з меридіаном складної форми, що дозволило розробити комп’ютерні програми розрахунку розташування положення нитки на фасонній поверхні, коли намотування здійснювалося за геодезичним законом. При цьому особливістю процесу намотки є відсутність натяжіння нитки, яка перед намоткою пропускається через ванну зі смолою, тому завдяки прилипанню нитка має фіксуватися на фасонній оправці.
7.Враховуючи, що характер періодичної функції опису середньої кривини фасонної поверхні обертання є змінним, то для практичних впроваджень виявився необхідним розроблений спосіб опису фасонної поверхні обертання за умови усунення за допомогою R-функцій екстремальних значень зазначеної функції. Це дозволило описати та унаочнити новий різновид фасонних поверхонь обертання пневматичних гумових виробів, у яких ділянки виявляються близькими до рівноймовірних щодо руйнування, коли у поверхні «автоматично» усуваються точки, де може статися її розрив.
8.Складено та розв’язано диференціальні рівняння геодезичних кривих для нового класу поверхні обертання не періодичної вздовж осі, у якої середня кривина вздовж осі змінюється за законом синуса, і яка має вигляд конічно-гофрованої поверхні обертання. Це дозволило ввести до інженерної практики новий різновид поверхні пневматичного гумового виробу, призначеного для аварійних робіт, що має експлуатаційні переваги порівняно з поверхнею «подушки», яка зараз використовується на практиці.
9.Запропоновано фасонні поверхні обертання шляхом вибору варіантів описів функцій зміни середніх кривин вздовж осей, складено та розв’язано відповідні диференціальні рівняння геодезичних кривих для різновидів нових поверхонь обертання. Це дозволило на практиці розрахувати геодезичне намотування нитки на фасонні поверхні обертання, а також у перспективі здійснити розрахунки таких різновидів пневматичних виробів: гумових підйомників, гасильників коливань, ресор, амортизаторів, тощо;
10.Результати дисертаційній роботи впровадженні та використовуються:
у виробництві Прилуцького заводу протипожежного і спеціального машинобудування при проектуванні поверхонь обертання пневматичних підйомників конічно-гофрованного типу, у навчальному процесі при викладанні курсу «Протипожежна та аварійно-рятувальна техніка» (розділ «Пожежні автомобілі загального призначення») та спецкурсів з підготовки до дипломного проектування; при виконанні досліджень по державних бюджетних темах «Підвищення ефективності засобів малої механізації в підрозділах МНС» (№державної реєстрації 0109U003061) та «Обґрунтування можливості використання аварійно-рятувального автомобіля «Дельфін» при пожежах в висотних будинках» (№ державної реєстрації 0109U003081).
Достовірність одержаних результатів забезпечується: коректністю постановки усіх задач; теоретичним обґрунтуванням сформульованих припущень та доведенням тверджень; тестовими прикладами та візуалізацією результатів розрахунків; отриманням показників, що відповідають відомим експериментальним даним; розв’язанням практичних задач під час впровадження.
Подальший розвиток досліджень доцільно виконувати в напрямку розробки алгоритмів моделювання інших фізичних явищ та процесів, що мають різну фізичну природу і визначаються поверхнями з аналогічними властивостями, які знаходять застосування у газовій динаміці, при дослідженні тонких плівок, у біології (при дослідженні клітин і клітинних мембран), у розробках у галузі нанотехнологій, тощо. Все це дозволить розширити діапазон питань теорії поверхонь з керованою середньою кривизною, а також урізноманітнити методи розв’язків, що в ній використовуються.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРНИХ ДЖЕРЕЛ

1. АветисянВ. Математическая модель работы пневморезинового пожарно-технического вооружения круглой формы / В. Аветисян // Проблемы пожарной безопасности: Сб. науч. тр. Вып. 8. Харьков: АПБУ, 2000. С. 10-12.
2. АветисянВ. Улучшение условий труда спасателей за счет использования пневморезиновых подъемников / В.Аветисян / дис. канд. техн. наук 05.26.01. - ХНАДУ, Харьков, 2007.
3. АюшевТ.Геометрические вопросы адаптивной технологии изготовления конструкций намоткой из волокнистых композиционных материалов / Т. Аюшев / Улан-Уде, изд. БНЦ СЩ РАН, 2005 212 с.
4. БадаєвЮ. Універсальна аналітична крива для побудови візерунка. / Ю. Бадаєв, Т. Щоголева // Прикладна геом. та інж. графіка Праці / Таврійська держ. агротехнічна академія. Вип. 4, Т. 40. Мелітополь: ТДАТА, 2008, С. 32 37.
5. БадаевЮ. Расчет сечений выпуклой поверхности и эквидистантной к ней с оптимальным количеством информации / Ю.Бадаев // Прикладная геометрия и инженерная графика.К.:Будівельник, 1975.Вып. 20. С. 6 64.
6. БакельманИ. Введение в дифференциальную геометрию «в целом». / И. Бакельман, А. Вернер, Б.Кантор // - М.: Наука, 1973. 16 с.
7. БелоколосЕ. Алгебро-геометрические принципы суперпозиции конечнозонных решений интегрируемых нелинейных уравнений / Е. Белоколос, А. Бобенко, В. Матвеев, В. Энольский // УМН. - 1986. -Т. 41, вып. 2. C. 3 42.
8. Белько И. Сборник задач по дифференциальной геометрии. / И. Белько, В. Ведерников, В. Воднев, А. Гусак, А. Нахимовская, А. Рябушко , Л. Тутаев, А. Феденко // М.: Наука, 1979. 272 c.
9. БляшкеВ. Дифференциальная геометрия. Пер. с нем. - М.: Объед. науч.-техн. изд-во, 1935. 330 c.
10. БобенкоА. Собственные функции проблем Дирихле и Неймана для эллиптического уравнения синус-Гордон на прямоугольнике / А. Бобенко // Записки научн. семин. ЛОМИ. 1989. Т.179.C.3236.
11. Борисенко В. Масштабування плоских криволінійних обводів заданої кривини. / В. Борисенко, С. Устенко, В. Спіцин // Прикладна геометрія та інженерна графіка . К.: КНУБА, 2003. вип. 72. C. 189 191
12. Борох Г. Построение математических моделей намоточных процессов. / Г. Борох, Э. Мондлин // Труды НИАТ, М., 1979, №291. 7 с.
13. ГалимовК. Теория оболочек сложной геометрии (геометрические вопросы теории оболочек). / К. Галимов, В. Паймушин // Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1985. 164 с.
14. ДубровинБ. Нелинейные уравнения типа Кортевега - де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. / Б. Дубровин, В. Матвеев, С. Новиков // УМН. 1976. Т. 31, вып. 1. C. 55 136.
15. ДубровинБ. Вещественные двухзонные решения уравнения sine-Gordon. / Б. Дубровин, С. Натанзон // Функциональный анализ и его приложение. - 1982. Т. 16, № 1. C. 27 43.
16. Иванов Г. Прямая и обратная задачи моделирования поверхностей. Прикладная геометрия и инженерная трафика, 1990, вып.50.-C.17 21.
17. ИвановА. Лекции по классической дифференциальной геометри. / А. Иванов, А. Тужилин // М.: Логос, 2009. 224 c.
18. КовальовС. Конструювання сітчастих каркасів поверхонь із горизонталей і ліній найбільшого нахилу / С.Ковальов, О.Воронцов // Прикладна геометрія та інженерна графіка. К.: Будівельник, 1993. Вип.54. С. 13 15.
19. КованцовН. Дифференциальная геометрия, топология, тензорный анализ: Сб. задач / Н. Кованцов. // К.: Высшая шк., 1989. 398 с.
20. Комков М. Технология намотки композитных конструкций ракет и средств поражения : учебн. пособие / М. Комков, В. Тарасов. // М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. 431 с.
21. Коровіна І. Моделювання плоских кривих на основі натягу гнучкої нерозтяжної нитки. / І. Коровіна, С. Пилипака, Т. Пилилака // Наукові нотатки. Міжвузівський збірник (за напрямом «Інженерна механіка»)- - Вип.22. - Ч. 1. - Луцьк: ЛДТУ, 2008. - С. 254 263.
22. Коровіна І. Конструювання автомобільних балонів високого тиску у формі нодоїда / І. Коровіна // Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. Вип. 4- Прикл. геометрія та інж. графіка. - Т. 46. - Мелітополь: ТДАТУ, 2010. С. 134 141.
23. Коровіна І. Конструювання поверхонь сталої середньої кривини на основі її меридіану / І. Коровіна // Геометричне та комп’ютерне моделювання. Вип. 26. Харків: Харківський державний університет харчування та торгівлі, 2010. С. 128 133.
24. КуценкоЛ. Опис поверхонь обертання сталої та змінної вздовж осі середньої кривини / Л. Куценко, С. Руденко // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Вип. 88. Київ: КНУБА, 2011 р. С.7 15.
25. КуценкоЛ. Поверхні обертання зі змінною уздовж осі кривиною меридіанів та їх зміцнення шляхом намотування кевларової нитки. / Л. Куценко, С. Руденко // Комп’ютерно-інтегровані технології: освіта, наука, виробництво. Вип. 6 Луцьк: ЛДТУ, 2011 С. 148 153.
26. Куценко Л.М. Армування фасонних гумових поверхонь обертання намотуванням кевларової нитки / Л.М. Куценко, С.Ю. Руденко // Геометричне та комп’ютерне моделювання. Харків: ХДУХТ, 2011. - Вип. 29. С. 3-10.
27. Куценко Л.М. Опис фасонних поверхонь обертання гумових пневматичних виробів, армованих намотуванням нитки / Л.М. Куценко, С.Ю. Руденко // Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. Мелітополь: ТДАТУ, 2012. - Вип. 4. - Т. 52. - С. 13-23.
28. МихайленкоВ. Об эквидистантных срединных поверхностях оболочек / В.Михайленко, С.Грабко // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 13 К.: Будівельник, 1971 С. 24 29.
29. МищенкоА. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. / А. Мищенко, Ю. Соловьев, А. Фоменко // М.:Изд-во МГУ, 1981 183 c.
30. Мищенко, А. Курс дифференциальной геометрии и топологии / А. Мищенко, А. Фоменко // М. : Факториал Пресс, 2000. 448 c.
31. МищенкоА. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии / А. Мищенко, Ю. Соловьев, А. Фоменко // М.: Издательство физ.мат. литературы, 2004. 412 c.
32. Морозов А. Вопросы теории плазмы. Под ред. М.А. Леонтовича. / А. Морозов, Л. Соловьев // Вып. 2. М.: Госатомиздат, 1963. 3 с.
33. МухамбетжановС. Геодезическая намотка на конических поверхностях произвольного профиля. Механика композитных материалов. / С. Мухамбетжанов, Ю. Ромашов, С. Сидорин, Е. Цснтовский // - 1992.- № 6.- С. 764 770.
34. НайдышА. Решение задач геометрического моделирования на основе перенесения в пространство параметров. / А.Найдыш // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: КДТУБА, 1997. Вип.62. С. 56 59.
35. НайдышВ. Моделирование кривых линий на основе дискретной интерполяции. / В. Найдыш // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 50 К.: Будівельник, 1990 С. 13 17.
36. НайдышВ.Теоретические основы дискретного геометрического моделирования. / В.Найдыш // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып.58 К.: КГТСУА, 1995 С. 26 29.
37. НайдышА. Аппроксимация по критерию наименьшей суммы отклонений (НСО) перенесением в пространство параметров. / А. Найдыш // Прикладная геометрия и инженерная графика. К.: КГТУСА, 1997. Вып.62. С. 172 176.
38. Несвідомін В. Конструювання гвинтових поверхонь, у яких середня кривина змінюється в заданих межах. / В. Несвідомін, О. Пилипака // Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. Вип.4. Прикладна геометрія та інженерна графіка. Том 50. - Мелітополь: ТДАТУ, 2011.-С. 41 47.
39. Обґрунтування можливості використання аварійно-рятувального автомобіля «Дельфін» при пожежах в висотних будинках, Звіт про науково-дослідну роботу, Харків: Національний університет цивільного захисту України, 2011, - № державної реєстрації 0109U003081. 102 с.
40. ПарняковА. Геометрические вопросы технологии изготовления поверхностей методом обмотки. // Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей: Сборник науч. трудов.- М.: Изд-во МАИ, 1969. -Вып.3.- С.18 21.
41. ПарняковА. Построение плотного каркаса геодезических на соосном сочетании отсеков поверхностей вращения. // Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей: Сборник науч. трудов. - М.: Изд-во МАИ, 1969. Вып.3. - 103 - 106 c.
42. ПарняковА. Вопросы конструирования плотных каркасов геодезических. // Автореферат дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук. - М.. 1969. - 19 с.
43. Позняк Э. Дифференциальная геометрия. // Э. Позняк, Е. Шикин // М.: Издво МГУ, 1990. 384 c.
44. Підвищення ефективності застосування засобів малої механізації в підрозділах МНС. Звіт про науково-дослідну роботу, Харків: Національний університет цивільного захисту України, 2011, - № державної реєстрації 01090003061.- 156 с.
45. ПидгайныйЮ. Методика расчета характеристик геодезической намотки оболочек тел вращения. / Ю. Пидгайный, В. Морозова, В. Дудко // Механика полимеров.- 1967.- № 6.- С. 1096 1104.
46. ПилипакаТ. Порівняльний аналіз балонів циліндричної і сферичноїформи для зберігання стисненого газу / Т. Пилипака, О. Пилипака / Прикладна геометрія та інженерна графіка. -К.: КНУБА, 2011. -Вип. 87. - С. 309 - 313.
47. Пилипака С. Конструювання поверхонь обертання сталої середньої кривини / С. Пилипака, І. Коровіна // Матеріали ІІІ Всеукраїнської науково-практичної конференції „Перспективи розвитку агропромислового комплексу в Поліському регіоні України”. Ніжин: Міланік, 2010. С. 35 43.
48. Пилипака С. Конструювання мінімальної поверхні гвинтовим рухом просторової кривої. / С. Пилипака, І. Коровіна // Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. Вип. 4. Прикл. геометрія та інж. графіка. Т. 39.-Мелітополь: ТДАТУ, 2008.С.30-36.
49. Пилипака С. Мінімальні поверхні, отримані з ізотропних кривих. / С. Пилипака, Е. Чернишова // Збірник наукових праць КНУДТ (спецвипуск): Доповіді кримської науково-практичної конференції «Геометричне та комп’ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн». К.: ДОП КНУДТ, 2006. С. 40 45.
50. Пилипака С. Дослідження плоских кривих, натуральні рівняння яких мають синусоїдний характер. / С. Пилипака // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Вип. 76. К.: КНУБА, 2006 С. 160 165.
51. ПилипакаС. Моделювання ліній найбільшого нахилу поверхні поля для системи точного землеробства. / С.Пилипака, М.Волянський, І.Хименко // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Вип. 72. К.: КНУБА, 2003 С. 56 59.
52. ПлоскийВ. Криволінійні конгруенції першого порядку як моделі геометричних полів. / В. Плоский // Прикладна геометрія та інженерна графіка. К.: КНУБА, 2000. Вип. 67. С. 71 73.
53. ПлоскийВ.Топологія електростатичного поля з багатьма видовженими електродами. / В. Плоский, А.Козлов // Прикладна геометрія та інженерна графіка. К.: КДТУБА, 1997. Вип. 62. С. 193 195.
54. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. / . Л.С. Понтрягин - М.: Наука, 1965. 332 с.
55. Подгорный А.Л. О связи архитектурного и геометрического формообразования поверхностей оболочек // А.Л. Подгорный / Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев: Будiвельник, 1972, вып.14 С. 38 41.
56. ПуанкареА. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. / А.Пуанкаре - М. Л.: ОГИЗ, 1947. 296 с.
57. ПульпинскийЯ. Математическое моделирование оболочек вращения сложных форм. Дисс. на соискание канд.техн наук. - Пенза: ПГУАиС, 2006. - 140 с.
58. Рашевский Л. Курс дифференциальной геометрии / Рашевский Л.В. / - М.,Л. : ГОНТИ, 1939. - 360 с.
59. Рашевский П. Курс дифференциальной геометрии. 4-е изд. - М., 1956. - 420 с.
60. РвачевВ.Введение в теорию R-функций. / В. Рвачев, Т.Шейко // Проблемы машиностроения. 2001.Т. 4, № 1-2. С. 46 58.
61. РвачевВ.Геометрические приложения алгебры логики. / В. Рвачев К.: Технiка, 1967. 212 с.
62. РуденкоС. Графічний спосіб побудови мінімальної поверхні обертання. / С. Руденко // Геометричне та комп’ютерне моделювання. Харків: ХДУХТ, 2009. - Вип. 23. С. 198 202.
63. Руденко С. Геометричне моделювання траєкторії фокуса еліпса, який котиться по прямій. / С. Руденко // Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. Мелітополь: ТДАТУ, 2011. - Вип. 4. - Т. 49. - С. 171 177.
64. Руденко С. Описание поверхностей вращения с переменной вдоль оси средней кривизной. / С. Руденко // Современное состояние, развитие инженерной геометрии и компьютерной графики. Алматы: КазНТУ, 2011. С. 153 162.
65. Руденко С. Геометричне моделювання фасонних поверхонь обертання гумових пневматичних виробів: Навчально-методичний посібник / С. Руденко, В. Гузенко // Харків: НУЦЗУ, 2011. 24 с.
66. РуденкоС. Зміцнення фасонних поверхонь обертання гумових пневматичних виробів шляхом намотування нитки: Навчально- методичний посібник / С. Руденко, В. Гузенко // Харків: НУЦЗУ, 2011. 20 с.
67. Савелов А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. / А. Савелов // М.: Физматгиз, 1960. 289 с.
68. Сборник задач по дифференциальной геометрии /под ред. Феденко А.С. 2-е изд. М., 1979. 272 с.
69. СкиданИ.Геометрическое моделирование кинематических поверхностей в специальных координатах: автореф. дисс. на соискание уч. степени д-ра техн. наук: спец. 05.01.01/ И.Скидан. М., 1989.37 с.
70. СкиданІ. Застосування нормальної координації простору для вивчення еквідистантних поверхонь / І.Скидан, О.Коломієць // Прикладна геометрія та інженерна графіка.К.: КНУБА, 2001. Вип. 69.С.1417.
71. Сковорода А. Физика плазмы. Издательство 2009. Т. 35. 675 с.
72. Сковорода А. О значении средней кривизны в геометрии магнитного поля ловушек для удержания плазмы. / А. Сковорода, И. Тайманов // 2010. - Том 36. № 9. С. 874 878.
73. Тайманов И. Лекции по дифференциальной геометрии. / И. Тайманов // Ижевск : ИКИ, 2002. 176 с.
74. ФоменкоА. Наглядная геометрия и топология. Математические образы в реальном мире. Издательство МГУ, ЧеРо., 2009. 416 c.
75. Чешкова М. Дифференциальная геометрия. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 1994., 135 с.
76. Borzellino J. Closed geodesics on orbifolds of revolution. // J. Borzellino, С. Jordan- Squire, G. Petrics, D. Sullivan // Houston Journal of Mathematics, University of Houston Volume 112, No. 3, 15 p.
77. BobenkoA. A curvature theory for discrete surfaces based on mesh parallelity. // А. Bobenko, H. Pottmann, J. Wallner // Algorithmen und mathematische Modellierung, Institut f¨ur Geometrie , Report 2008. - р.41, December 2008. 21 p.
78. HoffmannT. Discrete Curves and Surfaces. - Vom Fachbereich 3 Mathematik der Technischen Universit¨at Berlin, 112 p.
79. HoffmannC. Geometric and Solid Modeling. Morgan-Kaufmann / SanMateo, CA. 1989.
80. Hoffmann T. Discrete rotational cmc surfaces and the elliptic billiard. In H. C. Hege and K.Polthier, editors, Mathematical Visualisation / Springer. 1998. Р. 117 124.
81. KenmotsuK. Surfaces of revolution with periodic mean curvature / Mathematical Institute, Tohoku University Sendai / Osaka J. Math. 40.2003. - Р. 687 696.
82. KenmotsuK. Surfaces of revolution with prescribed mean curvature / Tohoku Math. J. 32.1980. Р. 147 153.
83. Kenmotsu K. Translations of Math. Monographs, V. 221. American Math. Society, Providence, 2003.
84. Korevaar N. The global structure of constant mean curvature surfaces. / N. Ko evaar, R. Kusner // Invent. math. 114.1993. Р. 311 332.
85. Lopes R. Surfaces with constant mean curvature in Euclidean space // International Electronic Journal of Geometry. Volume 3. 2010. No. 2 Р. 67 101.
86. LejdforsC. Surfaces of constant mean curvature. Master’s thesis 2003.- E11 / Mathematics Centre for Mathematical Sciences Lund University. 52 p.
87. MeeksW., III: The topology and geometry of embedded surfaces of constant mean curvature / Jour. Diff. Geom. 27.1988. Р. 539 552.
88. RossmanW. The first bifurcation point for Delaunay nodoids / W. Rossman // Experimental Mathematics Vol. 14. 2005. Р. 331 342.
89. Saеarp R. and Toubiana E.: Calssification des surfaces de type Delaunay / Amer. J. Math. 121.1999. Р. 671 700.
90. Kusner R. Bubbles, conservation laws, and balanced diagrams // Geometric Analysis and Computer Graphics: Proc- of a Workshop held May 23-25, 19S8 / Paui Concus, Robert Finn, David A. Hoffman, editors. - Springer-Verlag New York Inc., 1991. P. 103 108.
91. Osserman R. Curvature in the eighties // Amer. Math, Mon, - 1990. - 97, №8. P. 731 756.
92. SterlingI. Constant mean curvature tori // Geometric Analysis and Computer Graphics: Proc. of a Workshop held May 23-25, 1988/ Paul Concus, Robert Finn, David A. Hoffman, editors, - Springer-Veriag New York Inc., 1991, P. 175 180.
93. Fash el Bah H. On surfaces with constant mean curvature // Comment, math. Univ- carol. - J975. 16, No 2. P. 245 254.
94. Seaman Waller. Heli-coids of constant mean curvature and theii - Gauss maps // Pacif, J Math 1984, 110, N" 2. Р. 387 396.
95. Azevedo Tribuzy Renato. A characterization of tori with constant mean curvature in space form // Bol. Soc. brasil. mat. 1980, 11, N2. P. 259 274.
96. Carmo Manfredo P. do, Dajczer Marcos. Helicoidal surfaces with constant mean curvature // Tohoku Math. J. 1982. 34, J 3. P. 425 435.
97. Dorftneister J., H. Wu. Constant mean. curvature surfaces and loap groups// J. reine angew. Malh. 1993. &nda