АПРОКСИМАЦІЯ ГВИНТОВОГО КОНОЇДА І КАТЕНОЇДА ОДНОТИПНИМИ ВІДСІКАМИ РОЗГОРТНИХ ПОВЕРХОНЬ

Короткий опис

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЛУЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

На правах рукопису

Бойко Лев Степанович

УДК 514.18

АПРОКСИМАЦІЯ ГВИНТОВОГО КОНОЇДА І КАТЕНОЇДА
ОДНОТИПНИМИ ВІДСІКАМИ РОЗГОРТНИХ ПОВЕРХОНЬ

Спеціальність 05.01.01 –
прикладна геометрія, інженерна графіка

Дисертація на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук

Науковий керівник
Пилипака Сергій Федорович
доктор технічних наук, професор

Луцьк – 2013

ЗМІСТ
ВСТУП. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
РОЗДІЛ 1. ОГЛЯД СПОСОБІВ АПРОКСИМАЦІЇ КРИВИХ ТА ПОВЕРХОНЬ. ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ТЕОРІЇ ПОВЕРХОНЬ ДЛЯ ПРОВЕДЕННЯ ПОДАЛЬШИХ ДОСЛІДЖЕНЬ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1. Поняття апроксимації та її застосування. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Огляд існуючих способів апроксимації кривих і поверхонь у прикладній геометрії. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1. Апроксимація і інтерполяція кривих. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2. Апроксимація заданих поверхонь відсіками нерозгортних поверхонь. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.3. Апроксимація заданих поверхонь відсіками торсів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3. Аналіз потреби апроксимації нерозгортних поверхонь гвинтових коноїдів (шнеків) розгортними. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
1.4. Основні положення теорії поверхонь, необхідні для проведення досліджень з їх апроксимації. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
Висновки до розділу 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
РОЗДІЛ 2. ГВИНТОВИЙ КОНОЇД ТА ІЗОМЕТРИЧНИЙ КАТЕНОЇД – ПОВЕРХНІ ДЛЯ АПРОКСИМАЦІЇ ВІДСІКАМИ ТОРСІВ З ОДНАКОВИМИ ОДНОТИПНИМИ ПЛОСКИМИ ВИКРІЙКАМИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1. Знаходження однозначної відповідності між лініями і точками на поверхні гвинтового коноїда і на поверхні ізометричного йому катеноїда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2. Апроксимація ізометричного катеноїда зрізаними конусами. . . . . . . .41
2.3. Побудова розгорток зрізаних конусів, які апроксимують заданий відсік катеноїда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4. Апроксимація гвинтового коноїда смугами торсів-гелікоїдів. . . . . . . 50
2.5. Оцінка точності апроксимації гвинтового коноїда відсіками торсів-гелікоїдів, в які перетворюються зрізані конуси. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
Висновки до розділу 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
РОЗДІЛ 3. АПРОКСИМАЦІЯ КАТЕНОЇДА ТА ІНШИХ ПОВЕРХОНЬ ОБЕРТАННЯ СМУГАМИ ТОРСІВ ВЗДОВЖ СПЕЦІАЛЬНИХ ЛІНІЙ ПОВЕРХНІ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
3.1. Апроксимація поверхонь обертання циліндричними відсіками. 69
3.2. Задання або знаходження ліній на поверхнях обертання, вздовж яких буде здійснюватися їх апроксимація відсіками торсів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
3.3. Конструювання торсів, дотичних до заданих ліній на поверхні катеноїда та знаходження їх ребер звороту. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4. Апроксимація катеноїда смугами торсів, дотичних до заданих ліній на поверхні катеноїда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5. Знаходження розгорток торсів, що апроксимують катеноїд вздовж заданих ліній дотику. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Висновки до розділу 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
РОЗДІЛ 4. АПРОКСИМАЦІЯ ГВИНТОВОГО КОНОЇДА ОДНОТИП-НИМИ ВІДСІКАМИ ТОРСІВ ТА ПОБУДОВА ЇХ РОЗГОРТОК. . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.1. Аналітичний опис торсів, дотичних до гвинтового коноїда вздовж кривої, заданої внутрішнім рівнянням виду v=v(u) або u=u(v) . . . . . . . . . . .106
4.2. Апроксимація гвинтового коноїда смугами торсів вздовж кривої, заданої лінійним внутрішнім рівнянням u=аv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
4.3. Знаходження ліній, що обмежують смугу апроксимуючого торса, яка знаходиться між співвісними із коноїдом циліндрами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4. Знаходження ребра звороту та ліній, що обмежують смугу апроксимуючого торса, на його розгортці. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.5. Апроксимація гвинтового коноїда вздовж геодезичних ліній на його поверхні та побудова розгорток однотипних елементів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
4.6. Апроксимація гвинтового коноїда вздовж ліній кривини на його поверхні та побудова розгорток однотипних елементів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132
Висновки до розділу 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
ДОДАТКИ А. Текстові файли алгебраїчних операцій та перетворень в середовищі символьної математикипрограмного продукту Mathematica. . . . . . .148
ДОДАТКИ Б. Фотографії моделі гвинтового коноїда, апроксимованого однотипними елементами торсів вздовж ліній кривини. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
ДОДАТКИ В Копії довідок про впровадження результатів досліджень. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176

ВСТУП

Актуальність теми. У зв’язку з інтенсивним розвитком комп’ютерних технологій та тривимірної графіки задачі конструювання поверхонь та їх апроксимації набувають нового змісту і нових можливостей їх вирішення.
Вироби із розгортних поверхонь, що виготовляються згинанням листового матеріалу, мають переваги перед виробами із нерозгортних поверхонь, для виготовлення яких плоска заготовка підлягає більш складному деформуванню і, як наслідок, потребує складнішої оснастки і обладнання. Крім того, для деталі із розгортної поверхні можна досить точно розрахувати контури плоскої заготовки, виходячи із того, що її площа і довжини ліній (включаючи і лінії контуру) та кути між ними при згинанні залишаються незмінними. Тому на виробництві намагаються, по можливості, використовувати деталі із розгортних поверхонь при умові, що це не вплине на погіршення технологічного процесу.
Ще більшої гостроти набуває тема заміни нерозгортних поверхонь розгортними в умовах малосерійного виробництва та виконанні ремонтних і експериментальних робіт. В цьому випадку витрати на придбання або виготовлення спеціальної оснастки можуть бути не виправданими. З іншої сторони, потрібна деталь може бути виготовлена із кусків розгортних поверхонь, які досить точно заміняють нерозгортні поверхні.
Така заміна часто практикується на практиці. Проте для її здійснення потрібні знання теорії поверхонь та їх згинання. Класичним прикладом може служити полиця плуга, для якої питання вибору поверхні (розгортної чи нерозгортної) ще і досі не вирішено. Заміною циліндроїдальної поверхні полиці на розгортну займалося чимало науковців, в тому числі проф. Обухова В.С. із своїми учнями [16, 17, 19, 20, 24, 57, 64-66, 107]. Проф. Ковальов С.М. та його учениця Панасюк Л.С. досліджували апроксимацію розгортними поверхнями трубопроводів із плоскою і просторовою віссю [46, 72-75], Нарзуллаєв С.А. – поверхонь обертання другого та четвертого порядку [62, 63]. В московській школі в цьому напрямі були виконані роботи під керівництвом проф. Рижова М.М., зокрема його учнем Алімовим Р. розглянуті графічні способи апроксимації [4, 99]. Малиновська В.І. досліджувала апроксимацію архітектурних оболонок та поверхонь суден [53, 54]. Характерним для цих робіт є те, що в них розглянуті часткові випадки апроксимації окремих поверхонь розгортними без аналізу ліній, вздовж яких вона є найбільш прийнятною в цілому для всіх нерозгортних поверхонь.
Розвиток комп’ютерних технологій та математичного програмного забезпечення, в тому числі обчислювальних пакетів прикладних програм, дозволив провести дослідження апроксимації поверхонь на сучасному рівні та отримати нові наукові результати.
Зв’язок роботи з науковими програмами, темами, планами. Дисертаційна робота виконувалась у Луцькому національному технічному університеті згідно плану наукових досліджень кафедри інженерної та комп’ютерної графіки у відповідності з галузевими НДР.
Мета і задачі дослідження. Метою досліджень є знаходження ліній на поверхнях гвинтового коноїда та ізометричного катеноїда, вздовж яких смуга дотичного торса найбільш щільно прилягає до вказаних поверхонь і при цьому ребро звороту знаходиться на достатній відстані від лінії дотику, що дозволяє апроксимувати поверхню смугою торса достатньої ширини.
Для досягнення поставленої мети слід розв’язати такі задачі:
 виконати огляд існуючих способів апроксимації нерозгортних поверхонь відсіками торсів;
 вивчити можливість апроксимації гвинтового коноїда смугами торсів-гелікоїдів;
 з’ясувати, які із способів апроксимації ізометричного катеноїда можуть бути застосовані до апроксимації гвинтового коноїда;
 дослідити особливості апроксимації гвинтового коноїда та катеноїда відсіками торсів вздовж їх спеціальних ліній та з’ясувати, вздовж яких ліній така апроксимація є найбільш доцільною;
 розробити способи раціональної апроксимації гвинтового коноїда однотипними відсіками розгортних поверхонь вздовж знайдених кривих;
 побудувати математичні моделі поверхонь однотипних відсіків апроксимуючих торсів та знайти їх розгортки з нанесеними лініями викрою;
 використати результати виконаних досліджень для апроксимації шнеків, робочою поверхнею яких є гвинтовий коноїд, однотипними відсіками торсів в умовах, коли це необхідно (спрощення технології, відсутність необхідного штампувального обладнання, одиничні вироби в експериментальних цехах, ремонтні роботи тощо).
Об’єктом дослідження є нерозгортні поверхні гвинтового коноїда сталого кроку та ізометричного катеноїда, які взаємно згинаються одна на одну.
Предметом дослідження є пошук раціональних способів апроксимації вказаних нерозгортних поверхонь однотипними відсіками торсів.
Методи дослідження. Задачі, поставлені у роботі, розв’язувались на основі методів диференціальної та аналітичної геометрії, комп’ютерної графіки з використанням системи AutoCad, середовищ математичних процесорів MatLab та Mathematica, теорії кривих та поверхонь.
Теоретичною базою проведених досліджень були наступні роботи, з якими знайомився автор:
- у галузі конструювання розгортних поверхонь: Бубеннікова А.В., Булгакова В.Я., Ваніна В.В., Громова М.Я., Мартиросова А.Л., Несвідоміна В.М., Обухової В.С., Підгорного О.Л., Пилипаки С.Ф., Рачковської Г.С., Скідана І.А. та ін.
- у галузі знаходження розгорток торсових поверхонь: Джанабаєва Д.Д., Кардашевської Ю.Г., Пилипаки С.Ф., Скідана І.А. та ін.
- у галузі апроксимації нерозгортних поверхонь розгортними: Ковальова С.М., Нарзуллаєва С.А., Обухової В.С., Панасюк Л.С., Рижова М.М., та ін.
При роботі над дисертацією використовувались фундаментальні праці вчених: Г. Монжа, В. Блашке, К. Гаусса, Л. Ейлера, Ж. Серре, Ж. Френе, Е. Картана та ін.
Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:
вперше:
- досліджено особливості апроксимації нерозгортних поверхонь торсами вздовж спеціальних ліній на них;
- з’ясовано, що з точки зору площі перекриття і щільності прилягання апроксимацію нерозгортних поверхонь торсами доцільно проводити вздовж ліній кривини;
- показано, що апроксимацію лінійчатих нерозгортних поверхонь вздовж прямолінійних твірних можливо здійснювати тільки відсіками площин;
удосконалено:
- спосіб апроксимації гвинтового коноїда однотипними елементами торсів вздовж спеціальних ліній поверхні;
отримав подальший розвиток:
- спосіб апроксимації гвинтового коноїда на основі апроксимації ізометричного катеноїда;
- аналітичний опис розгорток апроксимуючих однотипних відсіків із розгортних поверхонь.
Обґрунтованість і достовірність результатів. Достовірність наукових положень і отриманих результатів забезпечується перевіркою перших квадратичних форм апроксимуючих торсів і їх розгорток, а також візуалізацією апроксимованої і апроксимуючої поверхонь засобами комп’ютерної графіки.
Наукове значення роботи полягає в розвитку способів апроксимації гвинтових лінійчатих поверхонь однотипними відсіками торсів.
Практичне значення одержаних результатів полягає в розробці раціонального способу апроксимації робочих поверхонь шнеків однотипними відсіками торсів.
Впровадження результатів роботи здійснено:
– на приватному підприємстві «ВНД», у ТОВ «Ландтехнік Сервісцентр Україна» при виконанні відновлювальних робіт шнекових робочих органів;
– в навчальний процес Луцького національного технічного університету.
Особистий внесок здобувача у співавторських публікаціях з науковим керівником полягає у розробці наступних питань:
- знайдено параметричні рівняння торса-гелікоїда, як обвідної поверхні однопараметричної множини площин, дотичних до гвинтового коноїда вздовж гвинтової лінії [92];
- запропоновано і розроблено алгоритм оцінки точності апроксимації кривої лінії ламаною при нерівномірному кроці розбиття [13];
- за відомим рівнянням геодезичної лінії у внутрішніх координатах гвинтового коноїда отримано параметричні рівняння торса, який дотикається до гвинтового коноїда вздовж цієї геодезичної лінії [77];
- знайдено параметричні рівняння торса, дотичного до гвинтового коноїда вздовж просторової кривої, заданої лінійною залежністю у внутрішніх координатах [78];
- знайдено параметричні рівняння торса, дотичного до гвинтового коноїда вздовж лінії кривини та його ребра звороту [79];
здійснено розрахунок параметрів зрізаних конусів для апроксимації заданого відсіку гвинтового коноїда [80].
Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційних досліджень доповідались на наступних наукових конференціях:
– VІІ міжнародній науково-практичній конференції «Геометричне моделювання і комп’ютерний дизайн» (м. Одеса, 2010 р.);
– VІІІ міжнародній кримській науково-практичній конференції «Геометричне і комп’ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн» (м. Сімферополь, 2011 р.);
– всеукраїнській науковій конференції молодих вчених, аспірантів та студентів «Прикладна геометрія та інженерна графіка 2011» (м. Луцьк, 2011);
– науково-практичній конференції в Національному університеті біоресурсів і природокористування України, присвяченій пам’яті проф. Обухової В.С. (м. Київ, 2012 р.);
– щорічних наукових семінарах кафедри інженерної та комп’ютерної графіки Луцького національного технічного університету (2009 – 2011 р.р.) та на науковому семінарі з прикладної геометрії Київського національного університету будівництва і архітектури (2012 р.).
Публікації. Результати досліджень висвітлено у 9 наукових працях, опублікованих у фахових виданнях, затверджених МОНмолодьспорту України. При цьому 6 праць написані у співавторстві, 3 праці – одноосібні.
Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 116 найменувань та додатків. Робота містить 144 сторінки основного тексту, 72 рисунка.

Список літератури

ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ

Дисертаційну роботу присвячено розробці способів апроксимації гвинтового коноїда та ізометричного йому катеноїда однотипними смугами розгортних поверхонь.
Значення для науки полягає у подальшому розвитку способів апроксимації нерозгортних поверхонь розгортними на основі побудови дотичних смуг торсів до вихідної поверхні вздовж спеціальних ліній на ній, зокрема, вздовж ліній кривини.
Значення для практики полягає в розробці аналітичних моделей при конструюванні однотипних елементів апроксимуючих торсів, що покривають поверхню гвинтового коноїда раціональним способом вздовж ліній кривини та знаходженні плоских викрійок цих елементів з прямолінійними твірними, вздовж яких їх потрібно згинати у готовий виріб.
При вирішенні поставлених задач отримані наступні теоретичні і практичні результати.
1. Виконано огляд існуючих способів апроксимації нерозгортних поверхонь відсіками торсів, який показав відсутність єдиного підходу щодо її проведення для різних поверхонь технічних форм.
2. Розроблено спосіб апроксимації гвинтового коноїда смугами торсів-гелікоїдів. Розрахунок смуги на точність апроксимації проводився для катеноїда, на який згинається коноїд. Показано, що зрізані конуси, які апроксимують катеноїд, перетворюються у відповідні апроксимуючі смуги торсів-гелікоїдів для гвинтового коноїда. Лінією дотику смуги до коноїда є гвинтова лінія, яка одночасно є ребром звороту апроксимуючого торса-гелікоїда, що зумовлює апроксимацію тільки по одну сторону від лінії дотику.
3. Показано, що апроксимація гвинтового коноїда торсами-гелікоїдами можлива, однак для практики неприйнятна, оскільки апроксимована поверхня значною мірою відходить від коноїда при збільшенні різниці між обмежуючими співвісними циліндрами. Можливе більш точне наближення апроксимованої поверхні до коноїда, але при цьому поверхня буде ребристою, що теж є неприйнятним.
4. З’ясовано, що апроксимацію коноїда неможливо здійснити вздовж прямолінійної твірної, оскільки однопараметрична множина дотичних площин вздовж неї утворює пучок, а не поверхню. Можлива тільки груба апроксимація однією із площин цього пучка.
5. Запропоновано і розроблено спосіб апроксимації гвинтового коноїда і ізометричного катеноїда смугами торсів вздовж будь-якої лінії, заданої на їх поверхнях у внутрішніх координатах. Виведено для загального випадку такої апроксимації рівняння апроксимуючого торса, його ребра звороту і розгортки.
6. Досліджено особливості апроксимації вказаних поверхонь вздовж спеціальних ліній, за які було взято асимптотичні, геодезичні та лінії кривини. Для кожного із вказаних випадків побудовано апроксимуючий торс, знайдені обмежуючі лінії таким чином, щоб утворений відсік був однотипним елементом, множиною яких можна було апроксимувати гвинтовий коноїд з необхідною точністю.
7. Показано, що найгіршою є апроксимація вздовж асимптотичної лінії, оскільки вона є ребром звороту апроксимуючого торса, а найкращою – вздовж лінії кривини. В цьому випадку прямолінійні твірні апроксимуючого торса перпендикулярні до лінії дотику і смуга із заданою довжиною твірних торса перекриває максимальну площу коноїда. Показано, що для гвинтового коноїда апроксимація є рівнозначною вздовж ліній кривини як однієї сім’ї, так і другої, оскільки їх кривина однакова і має протилежні знаки. Особливістю апроксимації вздовж геодезичних ліній є те, що лінія дотику на розгортці апроксимуючого торса перетворюється у пряму лінію. Для катеноїда і інших поверхонь обертання лінія дотику – меридіан – теж перетворюється на розгортці у пряму лінію, до якої твірні торса перпендикулярні, оскільки меридіан є одночасно і геодезичною лінією і лінією кривини.
8. Для кожного із розглянутих випадків апроксимації гвинтового коноїда побудовано плоску заготовку однотипного елемента із нанесеними прямолінійними твірними, вздовж яких необхідно згинати заготовку, щоб одержати необхідний відсік поверхні. При побудові розгорток використовувалися чисельні методи інтегрування. Для двох випадків – апроксимація коноїда вздовж геодезичної лінії і апроксимація катеноїда вздовж меридіана – розгортка була знайдена в аналітичному вигляді.
9. Результати досліджень впроваджено на приватному підприємстві «ВНД», у ТОВ «Ландтехнік Сервісцентр Україна» та в навчальний процес Луцького національного технічного університету.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Авдоньев Е.Я. Аппроксимация поверхностей плавающих тел алгебраическими / Е.Я. Авдоньев // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1975. -Вып. 19. - С. 99 – 102.
2. Алберг Дж. Теория сплайнов и ее приложения / Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш. – М.: Мир, 1972. – 316 с.
3. Алимов Р.У. Развертка торсов общего вида / Р.У. Алимов, А.С. Садриддинов // Доклады АН УзССР. – Ташкент: Изд. ФАН УзССР, 1978. – № 6. – С. 24–28.
4. Алимов Р. Алгоритмизация конструирования и развертывания торсовых поверхностей в приложении к автоматизации построения разверток фасонных частей трубопроводов: Автореф. дис... к-та техн. наук: 05.01.01 / Самарканд, 1983. -17 с.
5. Ахмедов Ю.Х. Аппроксимация гиперповерхности второго порядка гипермногогранниками / Ю.Х. Ахмедов // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1985. - Вып. 40. - С. 58 – 60.
6. Бабичев А.Н. Аппроксимация поверхностей пространственными четырехзвенниками, имеющими два прямых угла / А.Н. Бабичев, С.Н. Ковалев // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1981. - Вып. 31. - С. 36 – 37.
7. Бадаєв Ю.І. Апроксимація точкового каркаса згладжуючим квадратичним сплайном / Ю.І. Бадаєв // Прикл. геометрія і інж. графіка. – К.: КІБІ, 1993. – Вип. 54. – С. 19 – 25.
8. Бадаев Ю.И. Аппроксимация выпуклых поверхностей отсеками плоскостей / Ю.И. Бадаев // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1975. - Вып. 19. - С. 133 – 135.
9. Баджория Г.Ч. Об одном методе построения розвертки / Г.Ч. Баджория // Судостроение. – М.: Изд. УДН,1984. –№ 5. – С. 37 – 38.
10. Белько И.В. Сборник задач по дифференциальной геометрии / И.В. Белько, В.И. Ведерников, В.Т. Воднев, А.А. Гусак, А.И. Нахимовская, А.П. Рябушко, Л.К. Тутаев, А.С. Феденко. – М.: Наука, 1979. – 272 с.
11. Бойко Л.С. Апроксимація катеноїда смугами торсів вздовж спеціальних ліній на його поверхні / Л.С. Бойко // Прикл. геометрія та інж. графіка: зб. наук. праць за матеріалами VІІІ міжнародної кримської науково-практичної конференції «Геометричне і комп’ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн». –К.: КНУБА, 2011. –Вип. 88. – С. 81 – 87.
12. Бойко Л.С. Конструювання розгорток однотипних відсіків торсів, які апроксимують поверхню гвинтового коноїда / Л.С. Бойко // Комп’ютерно-інтегровані технології: освіта, наука, виробництво. Науковий журнал: зб. наук. праць за матеріалами всеукраїнської наукової конференції молодих вчених, аспірантів та студентів «Прикладна геометрія та інженерна графіка 2011». – Луцьк: ЛНТУ, 2011. - № 6. – С. 40 – 44.
13. Бойко Л.С. Методика апроксимації кривих залежно від значення радіусу кривини у вибраних точках / Л.С. Бойко, О.Ю. Ройко // Наукові нотатки. Міжвузівський збірник (за галузями знань ”Машинобудування та металообробка”, ”Інженерна механіка”, ”Металургія та матеріалознавство”). –Вип. 29.–Луцьк: ЛНТУ, 2010. –С. 32 – 35.
14. Бойко Л.С. Апроксимація поверхонь обертання циліндричними відсіками / Л.С. Бойко // Прикл. геометрія та інж. графіка. –К.: КНУБА, 2010. –Вип. 86. – С. 154 – 159.
15. Бубенников А.В. Начертательная геометрия. /А.В. Бубенников, М.Я. Громов. -М.: Высшая школа, 1973. - 416 с.
16. Булгаков В.Я. Торсы четвертого порядка и их приложение к конструированию поверхностей технических форм и оболочек: Автореф. дис... к-та техн. наук: 05.01.01 / Киевс. инж.-строит. ин-т. -К., 1973. -15 с.
17. Булгаков В.М. Проектування полиці плуга за заданою геодезичною лінією – граничною траєкторією руху скиби / В.М. Булгаков, Д.Г. Войтюк, С.Ф. Пилипака // Науковий вісник Національного університету біоресурсів і природокористування України. –К., 2010. –Вип. 144, ч. 5. – С. 20 – 35.
18. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов // И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. М.: Наука, 1967. -608 с.
19. Василевський О.В. Комп’ютерне моделювання технічних поверхонь / О.В. Василевський // Прикл. геометрія та інж. графіка. –К.: КНУБА, 2011. –Вип. 88. – С. 106 – 110.
20. Василевський О.В. Автоматизоване проектування торсових поверхонь / О.В. Василевський // Прикл. геометрія та інж. графіка. –К.: КНУБА, 2012. –Вип. 90. – С. 58 – 62.
21. Варварица А.Г. Некоторые вопросы исследования топографических поверхностей применительно к задачам землеустройства: Автореф. дисс…к-та техн. наук: 05.01.01 / КИСИ. – К., 1976. – 17 с.
22. Варварица А.Г. Аппроксимация топографической поверхности поверхностью одинакового ската // Прикл. геометрия и инж. графика. – К.: Будівельник, 1976. – Вып. 37. – С. 39 – 43.
23. Вишневский А.С. К вопросу аппроксимации неразвертываемых линейчатых поверхностей многогранниками / А.С. Вишневский // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1966. - Вып. 4. - С. 105 – 106.
24. Войтюк Д.Г. Проектування полиці плуга із розгортуваної поверхні за заданою граничною траєкторією руху скиби / Д.Г. Войтюк, С.Ф. Пилипака // Вісник аграрної науки. –К.:”Аграрна наука”, 1998. -№ 1. –С. 47-49.
25. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия / М.Я. Выгодский. – М.–Л.: ГТТИ, 1949. – 511 с.
26. Гармаш Н.С. Об одном способе аппроксимации поверхностей оболочек отсеками гиперболических параболоидов или однополостных гиперболоидов / Н.С. Гармаш // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1979. - Вып. 28. - С. 87 – 89.
27. Гетьман А.Г. Численный метод построения торсовых поверхностей по заданной геодезической линии / А.Г. Гетьман // Прикл. геометрия и инж. графика. – К.: Будівельник, 1983. – № 35. – С. 52 – 54.
28. Гетьман А.Г. Проектирование линейчатого каркаса развертывающейся лемешно-отвальной поверхности с учетом некоторых агротехнических требований / А.Г. Гетьман // Сборник научн.трудов МИИСП. − М., 1982. − С. 16−19.
29. Гришкин А.Д. Об аппроксимации сферической и торовой мягких оболочек сферическими многоугольниками / А.Д. Гришкин // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1976. - Вып. 22. - С. 90 – 93.
30. Грищенко В.Г. К вопросу аппроксимации поверхности оболочки упорядоченной пространственной сетью / В.Г. Грищенко // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1985. - Вып. 40. - С. 49 – 51.
31. Даминов Ш.Х. К вопросу аппроксимации сложных поверхностей поверхностями вращения / Ш.Х. Даминов // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1970. - Вып. 11. - С. 67 – 72.
32. Даминов Ш.Х. Аппроксимация незакономерных поверхностей частями поверхностей 2 порядка / Ш.Х. Даминов // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1965. - Вып. 1. - С. 119 – 128.
33. Джанабаев Д.Д. Построение розвертки торса с помощью ЭВМ / Д.Д. Джанабаев // Прикл. геометрия и инж. графика. – К.: Будівельник, 1977. – № 23. – С. 69 – 71.
34. Драганов Б.Х. Конструирование впускных и выпускных каналов двигателей внутреннего сгорания / Б.Х. Драганов, М.Г. Круглов, В.С. Обухова // –К.: Вища школа, 1987. 175 с.
35. Дубанов А.А. Построение торсовой поверхности, касающейся заданной и проходящей через пространственную кривую / А.А. Дубанов, В.И. Якунин // Тезисы Международной конференции по компьютерной геометрии и графике "Кограф-96". - Нижний Новгород, 1996. С. 118.
36. Дубанов А.А. Методы и алгоритмы аппроксимации технических поверхностей развертывающимися: Автореф. дис... к-та техн. наук: 05.01.01 / М., 1997. -20 с.
37. Дубанов А.А. Определение линии касания неразвертывающегося сегмента и аппроксимирующей его торсовой поверхности / А.А. Дубанов, В.В. Найханов, В.И. Якунин // Научно-методический сборник докладов семинара по организации Всероссийского конкурса учащихся и студентов по черчению и компьютерной графике. – Саратов: СГТУ, 1995. - С. 46-47.
38. Дубанов А.А. Определение торсовой поверхности, касающейся двух заданных поверхностей / А.А. Дубанов, В.В. Найханов, В.И. Якунин // "Роль геометрии в искусственном интеллекте и системах автоматизированного проектирования". Всероссийская научно-техническая конференция. - Улан-Удэ, 1996.- С. 74-76.
39. Дубров А.А. Автоматическое построение разверток поверхностей вращения / А.А. Дубров // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Будівельник, 1989. -Вып. 48. - С. 109 - 111.
40. Издебский А.Э. Оптимизация геометрических параметров развертки аппроксимирующей поверхности отвода / А.Э. Издебский, Ю.З. Швиденко // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Будівельник, 1976. -Вып. 26. - С. 27 - 28.
41. Кардашевская Ю.Г. О возможности использования торсов в качестве лемешно-отвальных поверхностей / Ю.Г. Кардашевская // Труды Московского института радиотехники, электроники и автоматики. − 1969. − Вып. 44. − С. 50−55.
42. Кардашевская Ю.Г. Применение торсовых поверхностей в сельскохозяйственном машиностроении / Ю.Г. Кардашевская // Доклады МИИСП. – М.: МИИСП, 1964. – № 5. – С.71 – 77.
43. Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами / Б.И. Квасов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 360 с.
44. Киргизбаев Т.К. Моделирование топографической поверхности с помощью полиномиальной интерполяции / Т.К. Киргизбаев, А.А. Ященко // Прикл. геометрия и инж. графика. – К.: Будівельник, 1984. – Вып. 38. – С. 77 – 79.
45. Клендій М.Б. Обгрунтування параметрів перевантажувального патрубка гвинтового конвейєра: Автореф. дис... канд. техн. наук: 05.05.05 / Клендій Микола Богданович. Тернопільський держ. технічний ун-т ім. Івана Пулюя. - Тернопіль, 2007. - 20 с.
46. Ковалев С.Н., Панасюк Л.С. Аппроксимация каналовой поверхности непрерывной лентой торсов и ее развертка // Реферат. информ. о законченных научно-исслед. работах в вузах Украинской ССР. -К.: Вища школа, 1977. - Вып.1. - С.13.
47. Кохан С.С. Создание непрерывных поверхностей из точечных данных / С.С. Кохан, И.П. Полищук // Ученые записки ТНУ. Серия: География, 2004. – Т. 17 (56). - №2. – С. 142 – 155.
48. Кривошапко С.Н. Построение разверток торсов и складок / С.Н. Кривошапко // Строительство и архитектура . – М.: Изд. вузов,1987. – № 11. – С. 114 – 116.
49. Кривошапко С.Н. Применение торсовых поверхностей в судостроении / С.Н. Кривошапко // Судостроение. – М.: Изд. УДН,1989. –№ 7. – С. 62 – 68.
50. Курек Г.К. Аппроксимация минимальных поверхностей многочленами, заданными в полярной системе координат / Г.К. Курек // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1975. -Вып. 19. - С. 39 – 42.
51. Кучкарова Д. Ф. Анализ формирования математическмх моделей топографических поверхностей / Д.Ф. Кучкарова // Прикл. геометрия и инж. графика. – К.: КГТУСА, 1997. – Вып. 62. – С. 110 – 114.
52. Лапшин М.Л. Апроксимация судовых обводов. Вопросы прикладной геометрии, МАИ, М.; 1966.
53. Малиновская В.И. К вопросу об аппроксимации поверхности свода-оболочки развертываемой поверхностью / В.И. Малиновская // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Будівельник, 1966. -Вып. 4. –С .100 - 104.
54. Малиновская В.И. О замене некоторых поверхностей двоякой двоякой кривизны развертывающимися (применительно к судостроению) / В.И. Малиновская // Вопросы теории и практики начертательной геометрии. -К., 1960.
55. Малкіна В.М. Дискретна апроксимація за критерієм методу найменших квадратів з використанням диференціальних характеристик / В.М. Малкіна, І.В. Пихтєєва // Праці ТДАТА. – Мелітополь: ТДАТА, 2004.– № 4. – Прикл. геометрія та інж. графіка. – Том 26. – С. 77 – 83.
56. Малько С.В. Аппроксимация упорядоченного точечного обвода кривимы 2-го порядка / С.В. Малько // Прикл. геометрия и инж. графика. – К.: Будівельник, 1979. – Вып. 27. – С. 41 – 42.
57. Мартиросов А.Л. Развертки торсов 4-го порядка и их приложение к конструированию рабочих органов сельхозмашин: Автореф. дис... к-та техн. наук: 05.01.01 / Киевс. инж.-строит. ин-т. -К., 1978. -17 с.
58. Михайленко В.Є., Кучкарова Д. Ф. Геометричні моделі топографічних поверхонь в задачах проектування // Прикл. геометрия и инж. графика. – К.: КГТУСА, 1997. – Вып. 62. – С. 53 – 57.
59. Михайленко В.Е. Аппроксимация регулярных поверхностей различной гауссовой кривизны многогранниками / В.Е. Михайленко, С.М. Грабко // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1970. - Вып. 11. - С. 52 – 59.
60. Нагорный Н.Н. Математическое описание поверхности поля / Н.Н. Нагорный, А.Г. Варварица // Механизация и электрификация сельского хозяйства. – К.: Урожай, 1980. – Вып. 49. – С. 40 – 48.
61. Найдиш В.М. Новий погляд на проблеми дискретного геометричного моделювання / В.М. Найдиш, А.В. Найдиш // Прикл. геометрія і інж. графіка. – К.: КНУБА, 2004. – Вип. 74. – С. 14 – 19.
62. Нарзуллаев С.А. Об одном графо-аналитическом способе построения разверток неразвертываемых поверхностей вращения 2-го порядка / С.А. Нарзуллаев // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1973. -Вып. 17. - С. 33 – 35.
63. Нарзуллаев С.А. К вопросу оптимального раскроя поверхности тора / С.А. Нарзуллаев // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1976. -Вып. 22. - С. 103– 108.
64. Обухова В.С. О конструировании отвальной поверхности с использованием ЭВМ / В.С. Обухова, А.Л. Мартиросов // Прикл. геометрия и инж. графика.– К.: Будівельник, 1978. – № 25. – С. 83 – 84.
65. Обухова В.С. Об апроксимации лемешно-отвальных поверхностей / В.С. Обухова, А.Л. Мартиросов // Прикл. геометрия и инж. графика.– К.: Будівельник, 1976. – № 21. – С. 145 – 150.
66. Обухова В.С. Усовершенствованная модель для автоматизированого проектирования торсовых отвальных поверхностей / В.С. Обухова // Прикл. геометрия и инж. графика.– К.: Будівельник, 1981. – № 32. – С. 13 – 17.
67. Павлов А.В. Некоторые задачи аппроксимации незакономерных поверхностей / А.В. Павлов // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Будівельник, 1966. -Вып.4. -С.81-89.
68. Павлов А.В. Аппроксимация поверхностей с отрицательной гауссовой кривизной отсеками плоскостей / А.В. Павлов, Ю.И. Бадаев // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1976. - Вып. 21. - С. 3 – 6.
69. Павлов А.В. Некоторые задачи аппроксимации незакономерных поверхностей многогранниками / А.В. Павлов // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1966. - Вып. 4. - С. 81 – 89.
70. Панасюк Л.С. Аналитический алгоритм определения параметров развертки звена каналовой поверхности с направляющей пространственной кривой / Л.С. Панасюк, А.Н. Чепелева // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Будівельник, 1977. -Вып. 23. - С. 115 - 118.
71. Панасюк Л.С. Графо-аналитический расчет параметров разверток составных частей диффузора с осью пространственной кривой / Л.С. Панасюк // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Будівельник, 1977. -Вып. 24. - С. 117 - 121.
72. Панасюк Л.С. К вопросу оптимальной аппроксимации геликоидальных поверхностей / Л.С. Панасюк // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Будівельник, 1981. -Вып. 32. - С. 50 - 52.
73. Панасюк Л.С. К численному расчету чертежей непрерывных лент, аппроксимирующих каналовые поверхности отсеками торсов / Л.С. Панасюк, Н.Н. Крюков // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Будівельник, 1978. -Вып. 26. - С. 76 - 78.
74. Панасюк Л.С. Об одном способе раскроя конических поверхностей, аппроксимирующих каналовую поверхность / Л.С. Панасюк // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1975. -Вып. 19. - С. 114 – 117.
75. Панасюк Л.С. Оптимальная аппроксимация и развертывание каналовых поверхностей технических форм: Автореф. дис... к-та техн. наук: 05.01.01 / Киевс. инж.- строит. ин-т. - К., 1977. - 14 с.
76. Патент №3843 Україна, В65G33/16. Робочий орган транспортера / Р.Б. Гевко, М.Б. Клендій. № - 2004032157; Заявл. 23.03.2004; Опубл. 15.12.2004. Бюл. №12. – 2 с.
77. Пилипака С.Ф. Апроксимація гвинтового коноїда смугами торсів вздовж геодезичних ліній на його поверхні / С.Ф Пилипака, Л.С. Бойко // Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. –Вип. 4. Прикл. геометрія та інж. графіка. –Том 49. –Мелітополь: ТДАТУ, 2011. – С. 3 – 10.
78. Пилипака С.Ф. Апроксимація гвинтового коноїда смугами торсів вздовж просторових кривих на його поверхні / С.Ф Пилипака, Л.С. Бойко // Геометричне та комп’ютерне моделювання. –Харків: Харківський державний університет харчування та торгівлі, 2011. –Вип. 28. – С. 32 – 38.
79. Пилипака С.Ф. Апроксимація гвинтового коноїда смугами торсів вздовж ліній кривини на його поверхні / С.Ф Пилипака, Л.С. Бойко // Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. –Вип. 4. Прикл. геометрія та інж. графіка. –Том 52. –Мелітополь: ТДАТУ, 2012. – С. 31 – 39.
80. Пилипака С.Ф. Апроксимація катеноїда, який є згинанням відсіку гвинтового коноїда, зрізаними конусами / С.Ф Пилипака, Л.С. Бойко // Прикл. геометрія та інж. графіка: зб. наук. праць за матеріалами VІІ міжнародної науково-практичної конференції «Геометричне моделювання і комп’ютерний дизайн». -К.: КНУБА, 2010. –Вип. 84. – С. 280 – 284.
81. Пилипака С.Ф. Дослідження сукупності положень площини, закріпленої в системі супровідного тригранника просторової кривої / С.Ф. Пилипака, М.М. Муквич // Праці Таврійського державного агротехнічного університету.– Мелітополь: ТДАТУ, 2008. – № 4.– Прикл. геометрія та інж. граф.– Том 40.– С. 48–55.
82. Пилипака С.Ф. Торс, як обвідна поверхня множини положень площини, закріпленої в системі супровідного тригранника плоскої кривої / С.Ф. Пилипака, М.М.Муквич // Праці Таврійського державного агротехнічного університету. – Мелітополь: ТДАТУ, 2008. – № 4.– Прикл. геометрія та інж. граф. – Том 41. – С. 26–35.
83. Пилипака С.Ф. Построение кривой торса на его развертке / С.Ф. Пилипака // Прикл. геометрия и инж. графика. – К.: Будівельник, 1989.– № 47. – С.45–46.
84. Пилипака С.Ф. Теоретичний пошук рівнянь геодезичних ліній в кінцевому вигляді на поверхнях обертання / С.Ф Пилипака, Я.С. Кремець // Прикладна геометрія та інженерна графіка. –К.: КНУБА, 2011. –Вип. 87. – С. 302 – 308.
85. Пилипака С.Ф. Дослідження розгортних та супутніх поверхонь, утворених однопараметричними сім'ями площин / С.Ф. Пилипака, Т.А. Кресан // Науковий вісник Національного університету біоресурсів і природокористування України. –К., 2010. –Вип. 144, ч. 1. – С. 232 – 241.
86. Пилипака С.Ф. Дослідження інтерполяційної функції на основі сумі графіків гіперболічного секанса / С.Ф. Пилипака, І.Ю. Хименко // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. – Вип. 4. – Т. 21. – Мелітополь: ТДАТА, 2003. – С. 12 – 15.
87. Пилипака Т.С. Наближені натуральні рівняння плоских кривих, представлених дискретним точковим рядом / Т.С. Пилипака // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. – Вип. 4. Прикл. геометрія та інж. графіка. –Том 35. –Мелітополь: ТДАТА, 2007. – С. 150 - 155.
88. Пилипака С.Ф. Неперервне згинання катеноїда в гвинтовий коноїд / С.Ф. Пилипака // Прикл. геометрія та інж. графіка. -К.: КДТУБА, 1998. -Вип. 63. -С. 80-83.
89. Пилипака С.Ф. Геометрична суть згинання поверхонь обертання у гвинтові / С.Ф. Пилипака // Труды Таврической государственной агротехнической академии. –Вып.4. Прикл. геометрия и инж. графика. Т. 6. –Мелитополь: ТГАТА, 1999. –С. 85 - 88.
90. Пилипака С.Ф. Дослідження геодезичних ліній на поверхні гвинтового коноїда / С.Ф Пилипака, Т.В. Гнітецька // Сучасні проблеми геометричного моделювання. Матеріали міжнародної науково-практичної конференції. –Львів: Національний університет ”Львівська політехніка”, 2003. – С. 77-80.
91. Пилипака С.Ф. Графо-аналитический метод приближенного построения кривой по заданному натуральному уравнению / С.Ф. Пилипака // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Будівельник, 1989. -Вып.48. -С.44-45.
92. Пилипака С.Ф. Апроксимація гвинтового коноїда смугами торсів-гелікоїдів / С.Ф Пилипака, Л.С. Бойко // Геометричне та комп’ютерне моделювання. –Харків: Харківський державний університет харчування та торгівлі, 2010. –Вип. 26.– С. 73 – 80.
93. Пилипака С.Ф. Дослідження інтерполяційної функції на основі суми графіків гіперболічного секанса / С.Ф. Пилипака, І.Ю. Хименко // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. – Вип. 4. – Т. 21. – Мелітополь: ТДАТА, 2003. - С. 12 – 15.
94. Подгорный А.Л. Аппроксимация преобразований / А.Л. Подгорный, В.А. Плоский // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Будівельник, 1989. -Вып. 48. - С. 8 - 10.
95. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия / А.В. Погорелов. -М.: Наука, 1969. -176 с.
96. Пустюльга С.И. Аппроксимация поверхностей 4-го порядка параболическими цилиндрами и конусами / С.И. Пустюльга, И.Н. Бурчак // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1986. - Вып. 42. - С. 62 – 63.
97. Пустюльга С.И. Об одном способе аппроксимации поверхностей применительно к изготовления опалубки / С.И. Пустюльга // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1985. - Вып. 39. - С. 70 – 71.
98. Решетникова А.А. Об аппроксимации внутренней поверхности лопаток паровых турбин циклическими поверхностями // Кинематические методы конструирования технических поверхностей. Труды МАИ. М., 1970. –Вып. 213. –С. 17-25.
99. Рыжов Н.Н. Аппроксимация сложных поверхностей развертывающимися поверхностями / Н.Н. Рыжов // Труды ВЗЭИ. Начертательная геометрия. - Вып. 13. – М., 1953.
100. Сидоренко Ю.В. Комп’ютерна реалізація різних способів параметризації інтерполяційної функції Гаусса / Ю.В. Сидоренко, А.В. Сацкова // Прикл. геометрія та інж. графіка. –К.: КНУБА, 2003. –Вип. 72. –С.174-178.
101. Скидан И.А. Развертка торсов / И.А.Скидан // Прикл. геометрия и инж. графика.– К.: Будівельник, 1988. – № 46. – С. 25– 26.
102. Скидан И.А. Развертка торсов с ребром возврата на круговом конусе / И.А.Скидан // Прикл. геометрия и инж. графика.: Реф. информ. о законченных научн. исслед. работах в вузах УССР. – К.: Вища школа, 1977. – № 1. – С. 15 – 19.
103. Стрельченко О.А. Аппроксимация плоского точечного обвода с заданным допуском кривыми 2-го порядка с использованием кривых 3-го порядка / О.А. Стрельченко, В.И. Залевский // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Будівельник, 1981. -Вып. 32. - С. 60 - 61.
104. Трегубова И.А. Аппроксимация вырожденных отсеков гиперболического параболоида билинейными сплайнами / И.А. Трегубова, А.И. Пилипенко // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Будівельник, 1989. -Вып. 47. - С. 97 - 99.
105. Тукаев С.К. Аппроксимация линий квадратичными и кубическими уравнениями // Прикл. геометрія и інж. графіка. – К.: КНУБА, 2000. – Вип. 67. – С. 177 – 178.
106. Уставщиков В.Г. Сегментирование развертываемыми поверхностями максимальной площади / В.Г. Уставщиков, А.З. Джакашев // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Будівельник, 1990. -Вып. 50. - С. 102 - 104.
107. Федоров А.К. Конструирование лемешно-отвальной поверхности корпуса плуга из отсека нелинейчатой поверхности третьего порядка / А.К. Федоров, В.С. Обухова // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1976. - Вып. 22. - С. 44 – 48.
108. Харченко А.И. Аппроксимация поверхностей мыльных пузырей на квадратном плане кусками алгебраических поверхностей / А.И. Харченко, А.А. Гиндюк // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1976. - Вып. 21. - С. 79 – 82.
109. Хименко І.Ю. Геометричне моделювання рельєфу поля для системи точного землеробства: Автореф. дис... к-та техн. наук: 05.01.01 / Київський націон. ун-т. буд-ва і архіт. - К., 2005. - 20 с.
110. Холковський Ю.Р. Побудова поверхні, що огинає однопараметричну множину конусів / Ю.Р. Холковський // Прикл. геометрия и инж. графика. –К.: Будівельник, 1999. – № 52.– С. 69–75.
111. Цвицинский И.В. Алгоритмы аппроксимации и изображения кривых линий и поверхностей / И.В. Цвицинский, Б.Н. Чернов. – Кишинев: Штиинца, 1979. – 103 с.
112. Швиденко Ю.З. Аппроксимация торсовыми поверхностями криволинейных участков трубопроводов больших диаметров / Ю.З. Швиденко, С.А. Нарзуллаев, П.М. Енин, Э.В. Пилькевич // Реферат. информ. о законченных научно-исслед. работах в вузах Украинской ССР. -К.: Вища школа, 1977. - Вып.1. – С. 12 – 13.
113. Швиденко Ю.З. Исследование развертки аппроксимирующей поверхности конусного отвода / Ю.З. Швиденко, А.Э. Издебский // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Будівельник, 1982. -Вып. 33. - С. 73 - 75.
114. Kouibia A.. Fairness approximation by modified discrete smoothing Dm – splines / A. Kouibia, M. Pasadas, J. Torrens // Mathematical Methods for Curves and Surfaces. Vol. II, eds. M. Daehlen, T. Luche and L.L. Schumaker (Vanderbilt Univ. Press, Nashville, 1998) p.p. 295 – 302.
115. Floater M.S. Parametrization and smoots approximation of surfase triangulations / M.S. Floater // Comp. Aided Geom. Design 14 (1997), p.p. 231 - 250.
116. Hoschek J. Approximation of surfases cylinders / J. Hoschek, T. Randrup // Computer-Aided Design 30 (1998), p.p. 807 -812.