КАРПУША МАРИНА ВАСИЛІВНА. МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІДЕНТИФІКАЦІЯ В ЗАДАЧАХ ОПТИМІЗАЦІЇ ПОРТФЕЛЯ ТА КЕРУВАННЯ РИЗИКАМИ

Короткий опис

КАРПУША МАРИНА ВАСИЛІВНА. Назва дисертаційної роботи: "МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІДЕНТИФІКАЦІЯ В ЗАДАЧАХ ОПТИМІЗАЦІЇ ПОРТФЕЛЯ ТА КЕРУВАННЯ РИЗИКАМИ"

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
На правах рукопису
КАРПУША МАРИНА ВАСИЛІВНА
УДК 519.87
МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІДЕНТИФІКАЦІЯ В ЗАДАЧАХ ОПТИМІЗАЦІЇ
ПОРТФЕЛЯ ТА КЕРУВАННЯ РИЗИКАМИ
01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи
ДИСЕРТАЦІЯ
на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук
Науковий керівник
к. ф.-м. н., доцент
Назаренко Олександр Максимович
Суми – 2015
ЗМІСТ
ВСТУП ......................................................................................................................... 4
РОЗДІЛ 1. ЗАДАЧА ОПТИМІЗАЦІЇ ІНВЕСТИЦІЙНОГО ПОРТФЕЛЯ ЯК
ЗАДАЧА БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ В УМОВАХ
СТАТИСТИЧНОЇ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ ............................................................... 11
1.1. Класична модель Г. Марковіца................................................................... 13
1.2. Задача оптимізаці портфеля на практиці. Обмеження до моделі.......... 22
1.3. Висновки до розділу 1.................................................................................. 29
РОЗДІЛ 2. ІДЕНТИФІКАЦІЯ ПАРАМЕТРІВ ОПТИМІЗАЦІЙНОЇ ЗАДАЧІ
ЗА ДОПОМОГОЮ ДИСКРЕТНО-НЕПЕРЕВНИХ МОДЕЛЕЙ З
ДВОЗНАЧНОЮ ДИСКРЕТНОЮ ЗМІННОЮ..................................................... 30
2.1. Дослідження на стаціонарність та нестаціонарність часових рядів ..... 32
2.2. Дискретно-неперервна модель з двозначною дискретною змінною .... 40
2.3. Чисельний експеримент ............................................................................... 46
2.4. Висновки до розділу 2.................................................................................. 53
РОЗДІЛ 3. ІДЕНТИФІКАЦІЯ ПАРАМЕТРІВ ОПТИМІЗАЦІЙНОЇ ЗАДАЧІ
ЗА ДОПОМОГОЮ ДИСКРЕТНО-НЕПЕРЕВНИХ МОДЕЛЕЙ З
ТРИЗНАЧНОЮ ДИСКРЕТНОЮ ЗМІННОЮ...................................................... 55
3.1. Дискретно-неперервна модель з тризначною дискретною змінною .... 57
3.2. Чисельний експеримент ............................................................................... 60
3.3. Висновки до розділу 3.................................................................................. 86
РОЗДІЛ 4. МЕТОД ІДЕНТИФІКАЦІЇ З ВИКОРИСТАННЯМ РІЗНИХ
ФУНКЦІОНАЛЬНИХ ФОРМ................................................................................. 87
4.1. Ідентифікація функції цілі........................................................................... 87
4.2. Гнучкі функціональні форми. Ефекти другого роду............................... 89
4.3. Ідентифікація системи обмежень ............................................................. 100
4.4. Чисельний експеримент ............................................................................. 102
4.5. Висновки до розділу 4................................................................................ 108
ВИСНОВКИ ............................................................................................................ 111
ЛІТЕРАТУРА.......................................................................................................... 113
ДОДАТКИ ............................................................................................................... 127
Додаток А. Акти про впровадження результатів кандидатської дисертації. 127
Додаток Б. Результати апроксимації за допомогою дискретно-непервної
моделі з двозначною фіктивної змінною.......................................................... 130
Додаток В. Результати апроксимації за допомогою дискретно-непервної
моделі з тризначною фіктивної змінною.......................................................... 133
Додаток Г. Опис алгоритмів і програм вирішення задач за допомогою
електронно-обчислювальних засобів, які розроблені у процесі виконання
дисертаційної роботи.......................................................................................... 146
4
ВСТУП
Актуальність теми. Задача моделювання та прогнозування часових
рядів була і залишається актуальною. Відповідні моделі успішно
використовуються при аналізі даних в техніці, економіці, соціології,
медицині та інших сферах. Серед науковців, які займалися розвитком теорії
моделювання та прогнозування часових рядів, слід виділити Айвазяна С. А.,
Давніса В. В., Кардаша В. А., Канторовича Г. Г., Носко В. П.,
Федоренко В. П., Клементса М., Дікі Д., Доладо Д., Філліпса П., Перона П.
Велика увага приділяється і у роботах українських вчених Бідюка П. І.,
Гейця В. М., Гуляницького Л. Ф., Зайченка Ю. П., Згуровського М. З.,
Івахненка О. Г., Панкратової Н. Д., Скрипниченко М. І., Степашка В. С.,
Харазішвілі Ю. М., Черняка О. І та інших науковців.
Моделі, що дозволяють моделювати та прогнозувати часові ряди,
можуть бути успішно використані й при знаходженні ефективних стратегій
управління інвестиційним портфелем. Необхідність використання у сучасній
портфельній теорії математичних та обчислювальних методів, які б могли
враховувати зростаючу складність досліджуваних систем, можна пояснити
наступним чином. По-перше, розвиток фінансових ринків, їх інструментарію
та доступність статистичної інформації про поточний стан активів у кожний
момент часу спонукають до розвитку математичних методів моделювання
таких систем. По-друге, неперервне зростання обчислювальних потужностей
комп’ютерів та одночасне зниження витрат на устаткування дозволяють
розвивати та використовувати новий, ефективний оптимізаційний та
алгоритмічний інструментарій. При цьому збільшується об’єм доступної
статистичної інформації, тому природнім є й збільшення розмірності
досліджуваних задач. По-третє, у сучасній теорії портфелів почали
використовуватися моделі, які дозволяють прогнозувати доходності активів.
Твердження, що можна знайти значення ціни активу в майбутній момент
часу, суперечить класичній фінансовій теорії, яка вважає цю величину
випадковою та непередбачуваною. Відмова від цієї тези привела до швидкого
5
розвитку моделей, що використовуються при прогнозуванні ціни активу на
основі доступної інформації та дозволяють будувати ефективні інвестиційні
стратегії. Розвитком сучасної портфельної теорії займалися Марковіц Г.,
Шарп В., Тобін Дж., Блек Ф., Лінтнер Дж., Магнус Я., Чоу Г., Давіс Й.,
Дероон Ф., Фабоззі Ф., Фішер Б., Ортобеллі С., Рачев С., Стоянов С.,
Біглова А. та інші науковці.
У даній роботі розроблена та апробована інформаційна технологія
моделювання та прогнозування часових рядів, що базується на
запропонованих нових моделях та може бути використана при досліджені
процесів різної фізичної природи. Для її підтримки реалізовано
спеціалізоване алгоритмічно-програмне забезпечення для розв'язання
проблем параметричної ідентифікації в задачах оптимізації інвестиційного
портфеля.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.
Дисертаційна робота виконана на кафедрі моделювання складних систем
Сумського державного університету та пов’язана з виконанням науководослідної теми «Моделювання та ідентифікація слабоформалізованих
динамічних систем» (№ 0111U006334).
Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка
моделей, що використовуються при моделюванні та прогнозуванні часових
рядів. Особлива увага приділяється імітаційним, робастним та прогнозним
властивостям запропонованих моделей.
Для досягнення поставленої мети в роботі ставляться такі задачі:
• підтвердити доцільність використання прогнозування часових рядів
при параметричної ідентифікації в задачах оптимізації інвестиційного
портфеля;
• дослідити підходи до визначення стаціонарності та нестаціонарності
часових рядів;
6
• розробити інформаційну технологію моделювання та прогнозування
часових рядів, яка може бути використана для розв'язання проблем
параметричної ідентифікації в задачах оптимізації інвестиційного портфеля;
• запропонувати методологію аналізу розв’язків оптимізаційних задач,
параметри яких були знайдені за допомогою класичних та запропонованих
моделей;
• удосконалити моделі, що базуються на гнучких функціональних
формах та використовуються для дослідження ефектів другого роду.
Об’єктом дослідження є системи, для яких характерні такі ознаки:
• неповнота інформації про динаміку змінних, що входять у
математичні моделі даних систем;
• неможливість проведення безпосереднього експерименту;
• доступність статистичної інформації про динаміку змінних.
Предметом дослідження є регресійні та статистичні моделі, що можуть
бути використані при моделюванні та прогнозуванні часових рядів.
Методи дослідження. У дисертаційній роботі застосовано методи
математичного моделювання, матричної алгебри, математичного аналізу,
прикладної статистики, економетрики, теорії стійкості, теорії алгоритмів та
чисельні методи.
Наукова новизна отриманих результатів. Вперше запропоновано
нові дискретно-неперервні моделі з двозначними та тризначними фіктивними
змінними, які можуть бути використані при моделюванні та прогнозуванні
часових рядів різної фізичної природи. Попередній аналіз на стаціонарність
та нестаціонарність часових рядів підвищує надійність специфікації цих
моделей, а ітераційна процедура побудови дискретної складової дозволяє
покращити імітаційні властивості. Дискретно-неперервні моделі дозволяють
будувати множину ймовірних варіантів прогнозу. Використано множинні
логіт- та пробіт-моделі для встановлення найбільш ймовірного варіанту
прогнозу із числа згенерованих. Дискретно-неперервні моделі з двозначними
фіктивними змінними можуть бути використані для задач великої
7
розмірності. Моделі з тризначними фіктивними змінними передбачають
процедуру верифікації, яка дозволяє автоматично виконати всі передумови
коректного використання методу найменших квадратів при оцінювані
невідомих параметрів моделей і покращити робастні та прогнозні
властивості.
Розроблено інформаційну технологію моделювання та прогнозування
часових рядів, що базується на запропонованих моделях. На її основі
реалізовано спеціалізоване алгоритмічно-програмне забезпечення для
розв'язання проблем параметричної ідентифікації в задачах оптимізації
інвестиційного портфеля.
Отримали подальшого розвитку моделі, що базуються на гнучких
функціональних формах та використовуються для дослідження ефектів
другого роду.
Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків та
рекомендацій. Якість і достовірність запропонованих методів розглянута в
контексті моделювання портфельних інвестицій та макроекономічного
розвитку. Всі алгоритми апробовані на статистичних даних динаміки
розвитку реальних систем. Проведений порівняльний аналіз запропонованих
моделей з класичними, що використовуються при прогнозуванні ціни активу.
Чисельний експеримент показав високу якість та адекватність розроблених
моделей та можливість їх використання в практиці моделювання складних
систем.
Наукове значення роботи. Дана робота присвячена розвитку ідеї, що
для ідентифікації задачі оптимізації портфеля доцільніше використовувати
методи, які відрізняються своєю гнучкістю та простотою. Отримані
конкретні результати дозволяють провести порівняльний аналіз з
класичними методиками і показати доцільність досліджень у цьому
напрямку.
В роботі запропоновані нові моделі, які можуть бути використані при
аналізі систем, динаміка розвитку яких описується за допомогою часових
8
рядів різної фізичної природи. Особливістю даних моделей є ітераційна
процедура побудови, яка дозволяє враховувати стаціонарність чи
нестаціонарність часових рядів та досліджувати дискретні та неперервні
ефекти. Процедура верифікації налаштовує модель на досліджуваний процес
і дозволяє знаходити прогнозні значення, які є нечутливими до незначних
змін вхідної інформації.
Практичне значення отриманих результатів. Наукові результати
дисертаційного дослідження дозволили розробити інформаційну технологію
моделювання та прогнозування часових рядів, що базується на
запропонованих нових моделях та може бути використана при досліджені
процесів різної фізичної природи. Реалізовано спеціалізоване алгоритмічнопрограмне забезпечення для розв'язання проблем параметричної
ідентифікації в задачах оптимізації інвестиційного портфеля.
Особистий внесок здобувача. Дисертація є самостійною науковою
працею, в якій висвітлені власні ідеї і розробки автора, що дозволили
вирішити поставлені завдання. Робота містить теоретичні та методичні
положення і висновки, сформульовані дисертанткою особисто. Використанні
в роботі ідеї, положення чи гіпотези інших авторів мають відповідні
посилання і використанні лише для підкріплення запропонованих ідей.
Особистий внесок здобувача наступний:
• досліджено методи встановлення стаціонарності чи нестаціонарності
часових рядів; проведено огляд літератури та порівняльний аналіз
використання різних статистичних процедур на дослідження
стаціонарності чи нестаціонарності часових рядів на практиці;
• запропоновано дискретно-неперервні моделі з двозначними та
тризначними фіктивними змінними; досліджено недоліки та
переваги використання даних моделей на практиці, проведено
порівняльний аналіз з відомими моделями прогнозування ціни
активу;
9
• досліджено гнучкі функціональні форми та ефекти, що можуть бути
дослідженні при оцінюванні відповідних регресійних моделей;
• побудово оптимізаційні задачі інвестиційного портфеля з
параметрами, які ідентифіковані запропонованими та класичними
методами; удосконалено методологію порівняння отриманих
результатів;
• розроблено та апробовано інформаційну технологію моделювання та
прогнозування часових рядів, що базується на запропонованих
нових моделях та може бути використана при досліджені процесів
різної фізичної природи. Для її підтримки реалізовано
спеціалізоване алгоритмічно-програмне забезпечення для
розв'язання проблем параметричної ідентифікації в задачах
оптимізації інвестиційного портфеля.
У спільних роботах з науковим керівником О. М. Назаренком були
сформульовані постановки задач, проаналізовано вибір методів їх
дослідження та обговорено результати.
Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на
VII регіональній науковій конференції «Актуальні проблеми математики та
інформатики» (Запоріжжя, ЗНУ, 2009), на ХVI Всеукраїнській науковій
конференції «Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики»
(Львів, ЛНУ, 2009), на ХV Міжнародному симпозіуму «Методи дискретних
особливостей в задачах математичної фізики» (Харків – Херсон, 2011), на
Міжнародній конференції «Моделювання та дослідження стійкості
динамічних систем» (Київ, Київський національний університет
ім. Т. Г. Шевченка, 2011), на I Міжнародній ХХ Всеукраїнській науковій
конференції «Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики»
(Львів, ЛНУ, 2014), на наукових семінарах кафедри моделювання складних
систем та кафедри прикладної та обчислювальної математики Сумського
державного університеті (2011, 2014), на науковому семінарі кафедри вищої
математики і інформатики Харківського національного університету
10
ім. В. Н. Каразіна (2012), на міжкафедральному науковому семінарі кафедри
моделювання складних систем та кафедри системного аналізу та теорії
прийняття рішень Київського національного університету ім. Т. Г. Шевченка
(2013, 2014), на міжнародному науковому семінарі відділу кібернетики
Північно-Східного центру НАН України «Чисельне моделювання методами
дискретних особливостей в математичній фізиці» (Харків, 2014).
Публікації. За результатами дисертаційних досліджень опубліковано
13 наукових праць, серед яких 4 наукові статті у фахових журналах України,
1 наукова стаття, яка включена до міжнародної наукометричної бази, 4 тез
доповідей у збірниках матеріалів наукових симпозіумів та конференцій, а
також 3 статті та 1 теза конференції, які додатково відображають наукові
результати дисертації.
Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу,
чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків.
Робота містить 7 таблиць та 53 рисунки. Загальний обсяг дисертаційної
роботи становить 112 сторінок, 140 найменувань літератури на 14 сторінках
та додатки на 32 сторінках

Список літератури

ВИСНОВКИ
У даній роботі запропоновано нові моделі, що можуть бути
використанні при прогнозуванні та моделюванні часових рядів різної
фізичної природи. Дані моделі використано при параметричної ідентифікації
в задачах оптимізації з лінійними і квадратичними критеріями якості.
Основні результати дисертаційної роботи полягають у наступному.
1. Запропоновано нові дискретно-неперервні моделі з двозначним та
тризначними фіктивними змінними, які можуть бути використані при
моделюванні та прогнозуванні часових рядів різної фізичної природи.
Попередній аналіз даних на стаціонарність та нестаціонарність часових рядів
підвищує надійність специфікації моделей, а ітераційна процедура побудови
дискретної складової дозволяє покращити імітаційні властивості. Моделі
досліджують наявність в даних часових рядах неперервних та дискретних
ефектів та дозволяють будувати множину ймовірних варіантів прогнозу. За
допомогою множинних логіт- та пробіт-моделей встановлюється найбільш
ймовірний варіант прогнозу із числа згенерованих. Запропоновані дискретнонеперервні моделі апробовані на реальних статистичних даних, результати
чисельного експерименту показали високу практичну ефективність.
2. Запропоновано дискретно-неперервні моделі з двозначними
дискретними змінними, що характеризуються своєю простотою та можуть
бути застосовані для задач великої розмірності.
3. Вперше розроблено нові дискретно-неперервні моделі з тризначними
фіктивними змінними, процедура верифікації яких дозволяє автоматично
виконати всі передумови коректного використання методу найменших
квадратів при оцінювані невідомих параметрів моделей та покращити
прогнозні та робастні властивості.
4. Досліджено доцільність використання дискретно-неперервних
моделей при параметричній ідентифікації в задачах оптимізації
інвестиційного портфеля з лінійними та квадратичними критеріями якості.
112
Порівняльний аналіз розв’язків оптимізаційних задач, параметри яких були
знайдені за допомогою класичних та запропонованих методів,
продемонстрував практичну ефективність розроблених моделей.
5. Розроблено та апробовано інформаційну технологію моделювання та
прогнозування часових рядів, що може бути використана при дослідженні
процесів різної фізичної природи. Для її підтримки реалізовано
спеціалізоване алгоритмічно-програмне забезпечення для розв'язання
проблем параметричної ідентифікації в задачах оптимізації інвестиційного
портфеля.
6. Отримали подальшого розвитку моделі, що базуються на гнучких
функціональних формах та використовуються для дослідження ефектів
другого роду. Моделі апробовані на реальних статистичних даних,
результати чисельного експерименту показали високу практичну
ефективність