Лукашова Тетяна Дмитрівна Групи з обмеженнями на узагальнені норми заданих систем підгруп

Короткий опис

Лукашова Тетяна Дмитрівна, докторант кафедри алгебри і комп’ютерної математики Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Назва дисертації: «Групи з обмеженнями на узагальнені норми заданих систем підгруп». Шифр та назва спеціальності 01.01.06 алгебра та теорія чисел. Спецрада Д 26.001.18 Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
Мiнiстерство освiти i науки України
Квалiфiкацiйна наукова робота
на правах рукопису
Лукашова Тетяна Дмитрiвна
УДК 512.542, 512.544
Дисертацiя
Групи з обмеженнями на узагальненi норми
заданих систем пiдгруп
01.01.06 — алгебра та теорiя чисел
Подається на здобуття наукового ступеня
доктора фiзико-математичних наук
Дисертацiя мiстить результати власних дослiджень. Використання iдей,
результатiв i текстiв iнших авторiв мають посилання на вiдповiдне джерело
Т. Д. Лукашова
Науковий консультант: Петравчук Анатолiй Петрович
доктор фiзико-математичних наук,
професор
Київ 2021

ЗМIСТ
ПЕРЕЛIК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ 19
ВСТУП 22
РОЗДIЛ 1. ЛОКАЛЬНО СКIНЧЕННI p-ГРУПИ З ОБМЕЖЕННЯМИ
НА НОРМУ АБЕЛЕВИХ НЕЦИКЛIЧНИХ ПIДГРУП 66
1.1. Попереднi твердження i результати . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.2. Властивостi локально скiнченних p-груп, в яких норма
абелевих нециклiчних пiдгруп недедекiндова . . . . . . . . . . . 74
1.3. Нескiнченнi локально скiнченнi p-групи (p 6= 2) з
неабелевою нормою абелевих нециклiчних пiдгруп . . . . . . . . 79
1.4. Нескiнченнi локально скiнченнi 2-групи з недедекiндовою нормою абелевих нециклiчних пiдгруп . . . . . . . . . . . . . . . . 83
ВИСНОВКИ ДО ПЕРШОГО РОЗДIЛУ . . . . . . . . . . . . . . . . 95
РОЗДIЛ 2. СКIНЧЕННI 2-ГРУПИ IЗ ЗАДАНИМИ ВЛАСТИВОСТЯМИ НОРМИ АБЕЛЕВИХ НЕЦИКЛIЧНИХ ПIДГРУП 98
2.1. Скiнченнi 2-групи з нециклiчним центром та недедекiндовою
нормою абелевих нециклiчних пiдгруп . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.2. Скiнченнi 2-групи з циклiчним центром i недедекiндовою нормою абелевих нециклiчних пiдгруп . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
ВИСНОВКИ ДО ДРУГОГО РОЗДIЛУ . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
РОЗДIЛ 3. ПЕРIОДИЧНI НЕПРИМАРНI ГРУПИ З ОБМЕЖЕННЯМИ НА НОРМУ АБЕЛЕВИХ НЕЦИКЛIЧНИХ ПIДГРУП 153
3.1. Попереднi твердження та результати . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.2. Перiодичнi локально нiльпотентнi групи з недедекiндовою нормою абелевих нециклiчних пiдгруп . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
17
3.3. Нескiнченнi локально скiнченнi групи з локально
нiльпотентною недедекiндовою нормою абелевих
нециклiчних пiдгруп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
ВИСНОВКИ ДО ТРЕТЬОГО РОЗДIЛУ . . . . . . . . . . . . . . . . 172
РОЗДIЛ 4. ПЕРIОДИЧНI ГРУПИ IЗ ЗАДАНИМИ ВЛАСТИВОСТЯМИ НОРМИ РОЗКЛАДНИХ ПIДГРУП ГРУПИ 173
4.1. Деякi допомiжнi результати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.2. Взаємозв‘язки мiж нормами абелевих нециклiчних та розкладних пiдгруп в локально скiнченних p-групах . . . . . . . . . . 179
4.3. Про взаємозв‘язки мiж нормами абелевих нециклiчних та розкладних пiдгруп в непримарних перiодичних групах . . . . . . 186
4.4. Локально нiльпотентнi перiодичнi групи з недедекiндовою нормою розкладних пiдгруп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.5. Нескiнченнi локально скiнченнi групи з локально нiльпотентною
недедекiндовою нормою розкладних пiдгруп . . . . . . . . . . . 196
ВИСНОВКИ ДО ЧЕТВЕРТОГО РОЗДIЛУ . . . . . . . . . . . . . . 202
РОЗДIЛ 5. НЕПЕРIОДИЧНI ГРУПИ З ОБМЕЖЕННЯМИ НА НОРМУ РОЗКЛАДНИХ ПIДГРУП 205
5.1. Властивостi неперiодичних груп, в яких норма розкладних пiдгруп недедекiндова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.2. Неперiодичнi групи з недедекiндовою локально нiльпотентною
нормою розкладних пiдгруп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.3. Взаємозв’язки мiж нормами абелевих нециклiчних та
розкладних пiдгруп в неперiодичних локально розв‘язних групах 235
5.4. Локально розв’язнi групи, в яких норми абелевих нециклiчних
та розкладних пiдгруп мають одиничний перетин . . . . . . . . 243
ВИСНОВКИ ДО П’ЯТОГО РОЗДIЛУ . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
18
РОЗДIЛ 6. ГРУПИ З ОБМЕЖЕННЯМИ НА НОРМУ ЦИКЛIЧНИХ
ПIДГРУП НЕПРОСТИХ ПОРЯДКIВ 261
6.1. Попереднi означення та результати . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6.2. Неперiодичнi групи з обмеженнями на норму циклiчних пiдгруп
непростих порядкiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
ВИСНОВКИ ДО ШОСТОГО РОЗДIЛУ . . . . . . . . . . . . . . . . 276
ВИСНОВКИ 278
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 281
ДОДАТОК 302
Список публiкацiй за темою дисертацiї . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Вiдомостi про апробацiю результатiв дисертацiї . . . . . . . . . . . . 308

Список літератури

ВИСНОВКИ
Дисертацiйна робота присвячена вивченню властивостей абстрактних
груп залежно вiд обмежень, яким задовольняють нормалiзатори та узагальненi норми заданих систем пiдгруп Σ. У якостi визначального обмеження обирається недедекiндовiсть вiдповiдної Σ-норми, яка є перетином
нормалiзаторiв усiх пiдгруп видiленої системи Σ. Це, з одного боку дозволяє узагальнити уже вiдомi класи груп з нормальними системами пiдгруп
Σ (тобто, груп, що збiгаються зi своєю Σ-нормою), а з iншого, – є продовженням iдей Р. Бера, Г. Вiдандта, Г. Гашюца та В. Каппе, що стосуються вивчення узагальнених норм групи та стали класичними у теорiї груп.
Окрiм того, такий пiдхiд щодо вивчення груп з обмеженнями на їх Σ-норми
дає поштовх для нових дослiджень, якi стосуються як властивостей самих
норм, так i їх впливу на властивостi груп.
Ефективнiсть вказаного пiдходу до вивчення груп пiдтверджується
тим, що у багатьох випадках за умови недедекiндовостi вiдповiдної Σнорми вдається вiдновити групу i охарактеризувати її з точнiстю до твiрних елементiв та визначальних спiввiдношень.
У роботi дослiджено групи з недедекiндовою Σ-нормою для систем Σ,
якi складаються з: усiх абелевих нециклiчних, усiх циклiчних пiдгруп непростого порядку та усiх розкладних пiдгруп групи вiдповiдно.
У зв’язку з iснуванням перiодичних груп О.Ю. Ольшанського, тобто,
нескiнченних простих груп, усi власнi пiдгрупи яких циклiчнi, в перiодичному випадку дослiдження проводилися у класi локально скiнченних
груп.
Основними новими науковими результатами дисертацiї є наступнi:
– одержано структурний опис нескiнченних локально скiнченних p-груп
(p – довiльне просте число) з недедекiндовою нормою абелевих нециклiчних
пiдгруп;
279
– дослiджено властивостi та одержано повний опис скiнченних 2-груп,
що мають недедекiндову норму абелевих нециклiчних пiдгруп;
– охарактеризовано властивостi непримарних локально скiнченних груп
з недедекiндовою локально нiльпотентною нормою абелевих нециклiчних
пiдгруп; одержано структурний опис перiодичних непримарних локально
нiльпотентних груп, в яких вказана норма недедекiндова;
– дослiджено взаємозв’язки мiж нормами нециклiчних та абелевих нециклiчних пiдгруп в класi перiодичних локально нiльпотентних груп за
умови недедекiндовостi норми абелевих нециклiчних пiдгруп; встановлено
достатнi умови, за яких зазначенi вище норми збiгаються;
– уведено до розгляду поняття норми розкладних пiдгруп, встановлено умови її дедекiндовостi та дослiджено взаємозв’язки мiж нормами розкладних та абелевих нециклiчних груп в класах локально скiнченних та
неперiодичних локально розв’язних груп; побудовано приклади груп, що
iлюструють цi взаємозв’язки;
– дослiджено властивостi та описано будову перiодичних локально нiльпотентних груп з недедекiндовою нормою розкладних пiдгруп та нескiнченних локально скiнченних не локально нiльпотентних груп з недедекiндовою
локально нiльпотентною нормою розкладних пiдгруп;
– описано властивостi неперiодичних локально розв’язних груп з недедекiндовою нормою розкладних пiдгруп та одержано повну характеризацiю
таких груп за додаткової умови локальної нiльпотентностi вказаної норми;
– дослiджено властивостi неперiодичних локально розв’язних груп, в
яких норма розкладних пiдгруп має одиничний перетин з нормою абелевих
нециклiчних груп, та знайдено обмеження, яким задовольняють вказанi
норми у цьому випадку;
– охарактеризовано властивостi норми циклiчних пiдгруп непростого
порядку в класi неперiодичних груп, одержано повний опис неперiодичних
груп, в яких вказана норма неабелева;
280
– проаналiзовано взаємозв’язки мiж нормою циклiчних пiдгруп непростих порядкiв та нормою нескiнченних циклiчних пiдгруп в неперiодичних
групах; побудовано вiдповiднi приклади.
Оскiльки групи, що збiгаються зi своєю Σ-нормою є групами з порожньою або нормальною системою пiдгруп Σ, то дослiдження властивостей
групи за властивостями її Σ-норми пов’язує мiж собою рiзнi пiдходи щодо
узагальнень дедекiндових груп та дає можливiсть сформулювати новi задачi. Найприроднiшою з них є задача дослiдження груп, в яких та чи iнша
Σ-норма має у групi скiнченний неодиничний iндекс, а також груп, в яких
Σ-норма недедекiндова та мiстить хоча б одну пiдгрупу системи Σ.
Дисертацiйна робота має теоретичний характер, а отриманi результати
узагальнюють вiдомi результати Р. Бера, Г. Вiландта, В. Каппе, Ф.М. Лимана та С.М. Чернiкова, що стосуються узагальнень дедекiндових груп та
узагальнених норм групи, й можуть використовуватись у рiзноманiтних
теоретико-групових дослiдженнях, пов’язаних iз вивченням властивостей i
будови груп за властивостями їх природних систем пiдгруп, а також при
читаннi спецкурсiв, спецсемiнарiв та написаннi наукових робiт.